课时作业(十一)
[9.1 图形的旋转]
一、选择题
1．下列运动属于旋转的是( )
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
2．如图K－11－1，小明坐在秋千上，秋千旋转了76°，小明的位置也从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为( )
A．28° B．52° C．74° D．76°
图K－11－1
图K－11－2
3．2017·泰安 如图K－11－2，在正方形网格中，线段A′B′是由线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与点A对应，则角α的大小为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
二、填空题
4．2018·衡阳 如图K－11－3，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为________.
图K－11－3
图K－11－4
5．2018·江宁区校级月考 如图K－11－4，把△ABC绕着点A按顺时针方向旋转，得到△AB′C′，点C恰好在B′C′上，旋转角为α，则∠C′的度数为________(用含α的式子表示)．
三、解答题
6．如图K－11－5，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE＝BC，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF，△ABC旋转后能与△FBE重合，请回答：
(1)旋转中心是点________；
(2)旋转了________度；
(3)AC与EF的关系如何？
图K－11－5
7．2017·宁夏 在如图K－11－6所示的平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(1，1)，C(5，1)．
(1)将△ABC平移，其中点A移到点A1(4，5)的位置，画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后得到的△A1B2C2
图K－11－6
操作探究题 将一副三角尺按图K－11－7的位置摆放，直角顶点A是EF的中点，边AB与边DF交于点G，边AC与边DE交于点H，DE＝DF＝4，将三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转(旋转角为锐角)．
(1)在上述旋转过程中，FG与DH有怎样的数量关系？
(2)在旋转的过程中，四边形AHDG的面积有何变化？请说明理由．
图K－11－7
详解详析
课时作业(十一)
[9.1 图形的旋转]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B A．滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转；
B．钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；
C．气球升空的运动是平移，不属于旋转；
D．一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．
故选B.
2．[解析] B 根据题意知OA＝OA′，
∵∠AOA′＝76°，
∴∠OAA′＝＝52°.
故选B.
3．[解析] C 线段AA′和BB′的垂直平分线的交点为旋转中心O，根据网格的特征可知∠AOA′＝90°，所以旋转角α＝90°.
4．[答案] 90°
[解析] ∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB＝OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小．
∵∠BOD＝90°，
∴旋转的角度为90°.
5．[答案] 90°－
[解析] ∵△ABC绕着点A按顺时针方向旋转α得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，∠CAC′＝α，
∴∠C′＝(180°－α)＝90°－.
6．解：(1)∵BC＝BE，BA＝BF，
∴BC和BE，BA和BF为对应边．
∵△ABC旋转后能与△FBE重合，
∴旋转中心为点B.
故答案为B.
(2)90
(3)AC＝EF，AC⊥EF.理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°后能与△FBE重合，
∴EF＝AC，EF与AC成90°的角，即AC⊥EF.
7．解：(1)△A1B1C1如图所示．
(2)△A1B2C2如图所示．
[素养提升]
解：(1)连接AD.
∵DE＝DF，A是EF的中点，∠EDF＝90°，
∴FA＝DA，∠F＝∠EDA＝45°.
又∵∠FAG＋∠BAD＝∠DAH＋∠BAD＝90°，
∴∠FAG＝∠DAH.
在△AFG和△ADH中，
∴△AFG≌△ADH，∴FG＝DH.
(2)四边形AHDG的面积不变，恒为4.理由：由(1)可得四边形AHDG的面积等于S△ADF的面积，即4，∴在旋转的过程中，四边形AHDG的面积不变．
课件18张PPT。第9章 中心对称图形
——平行四边形9.1 图形的旋转9.1 图形的旋转第9章 中心对称图形——平行四边形知识目标9.1 图形的旋转目标一 会识别旋转、旋转中心、旋转角9.1 图形的旋转9.1 图形的旋转9.1 图形的旋转9.1 图形的旋转目标二 会利用旋转的性质计算A9.1 图形的旋转9.1 图形的旋转9.1 图形的旋转目标三 会画旋转图形9.1 图形的旋转9.1 图形的旋转总结反思知识点一 旋转的定义9.1 图形的旋转定点一定的角度 旋转中心旋转中心旋转角旋转方向9.1 图形的旋转知识点二 旋转的性质相等 相等9.1 图形的旋转知识点三 旋转图形的作法9.1 图形的旋转9.1 图形的旋转①顺时针课时作业(十二)
[9.2 中心对称与中心对称图形]
一、选择题
1．2017·泰州 把下列英文字母看成图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
图K－12－1
2．如图K－12－2，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论中不成立的是( )
A．OC＝OC′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′
图K－12－2
图K－12－3
3．如图K－12－3，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是( )
A．(2，－1) B．(3，－1)
C．(4，－1) D．(3，－2)
二、填空题
4．在平面直角坐标系中，点P(3，－2)关于原点O成中心对称的点的坐标是________．
5．如图K－12－4，已知△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称．
(1)图形中，点O是线段AA′的________点，AB的对应线段是________；
(2)因为△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，所以△ABC________△A′B′C′.
图K－12－4
图K－12－5
6．如图K－12－5，已知AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是________．
三、解答题
7．如图K－12－6，作出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′
图K－12－6
8．如图K－12－7，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
(1)在图甲中作出一个是中心对称图形但不是轴对称图形的四边形；
(2)在图乙中作出一个是轴对称图形但不是中心对称图形的四边形；
(3)在图丙中作出一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形．
图K－12－7
图K－12－8
规律探究 2018·江阴校级月考 如图K－12－8，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(－1，0)．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点P2018的坐标为( )
A．(2，0) B．(－2，2) C．(0，－2) D．(2，2)
详解详析
课时作业(十二)
[9.2 中心对称与中心对称图形]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] C
2．[答案] D
3．[解析] B 如图，连接BB1，与AA1相交于点E，点E即为对称中心，E(3，－1)．故选B.
4．[答案] (－3，2)
5．[答案] (1)中 A′B′ (2)≌
6．[答案]
[解析] ∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴DC＝AC＝1，DE＝AB＝3，∴在Rt△EDA中，AE的长是＝.
7．解：如图所示．
8．解：答案不唯一，如图所示．
[素养提升]
[解析] B 点P1(2，0)，P2(－2，2)，P3(0，－2)，P4(2，2)，P5(－2，0)，P6(0，0)，P7(2，0)，…，从而可得出6次一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴点P2018的坐标为(－2，2)．故选B.
课件22张PPT。第9章 中心对称图形
——平行四边形9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形第9章 中心对称图形——平行四边形知识目标9.2 中心对称与中心对称图形目标一 理解中心对称的概念9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形目标二 会作关于某点对称的中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形目标三 会识别中心对称图形D9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形总结反思知识点一 中心对称的定义9.2 中心对称与中心对称图形180° 对称中心对称点9.2 中心对称与中心对称图形知识点二 中心对称的性质对称中心 平分9.2 中心对称与中心对称图形知识点三 利用中心对称的性质作成中心对称的图形的步骤9.2 中心对称与中心对称图形知识点四 中心对称图形的概念中心对称图形对称中心9.2 中心对称与中心对称图形9.2 中心对称与中心对称图形丙课时作业(十三)
[9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质]
一、选择题
1．在?ABCD中，已知∠A＋∠C＝200°，则∠A的度数是( )
A．160° B．100°
C．80° D．60°
2．如图K－13－1所示，在?ABCD中，BC＝BD，∠C＝74°，则∠ADB的度数是( )
A．16° B．22° C．32° D．68°
图K－13－1
图K－13－2
3．如图K－13－2，在?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.如果AC＝10，BD＝8，AB＝m，那么m的取值范围是( )
A．1＜m＜9 B．2＜m＜18
C．8＜m＜10 D．4＜m＜5
4．如图K－13－3，在?ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是( )
A．AE＝CF B．BE＝DF
C．BF＝DE D．∠1＝∠2
图K－13－3
图K－13－4
5．2017·眉山 如图K－13－4，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若?ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
图K－13－5
二、填空题
6．2017·连云港 如图K－13－5，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF＝56°，则∠B＝________°.
7．如图K－13－6所示，在?ABCD中，已知A，B，C三点的坐标分别为A(－3，0)，B(1，0)，D(0，2)，则点C的坐标是________．
图K－13－6
图K－13－7
8．2018·泰州 如图K－13－7，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为________．
9．如图K－13－8，在?ABCD中，过对角线BD上的一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形有________对．
图K－13－8
图K－13－9
10．2018·福州鼓楼区校级模拟 如图K－13－9，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(4，0)，B(6，2)，直线y＝2x＋1向下平移________个单位长度可将平行四边形OABC的面积平分．
三、解答题
11．2017·淮安 已知：如图K－13－10，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：△ADE≌△CBF.
图K－13－10
12.2018·无锡 如图K－13－11，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE.
图K－13－11
13．2018·宿迁 如图K－13－12，在?ABCD中，点E，F分别在边CB，AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB，CD交于点G，H.求证：AG＝CH.
图K－13－12
14．已知：如图K－13－13，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD，连接CE.求证：CE平分∠BCD.
图K－13－13
15．如图K－13－14所示，已知四边形ABCD是平行四边形，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E，连接AE.
(1)求证：CD＝CE；
(2)若BE＝CE，∠B＝80°，求∠DAE的度数．
图K－13－14
等分面积操作探究题 阅读下面的操作过程，回答后面的问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A，C两点画直线AC把?ABCD分割成两部分(如图K－13－15①)，小刚过AB，CD的中点画直线EF，把?ABCD也分割成两部分(如图K－13－15②)．
(1)这两种分割方法中被分割成的两部分面积之间的关系为S1________S2，S3________S4；
(2)根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有________条，请在图K－13－15③的平行四边形中画出一种；
(3)由上述试验操作过程，你发现了什么规律？
图K－13－15
详解详析
课时作业(十三)
[9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[解析] C 由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.由BC＝BD，∠C＝74°得∠CDB＝∠C＝74°，∴∠DBC＝180°－74°×2＝32°，∴∠ADB＝32°.
3．[解析] A ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝×10＝5，OB＝OD＝BD＝×8＝4.∵OA－OB＜AB＜OA＋OB，∴5－4＜m＜5＋4，∴m的取值范围是1＜m＜9.故选A.
4．[解析] A A项，当AE＝CF时，无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B项，当BE＝DF时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥BC，∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项不符合题意；
C项，当BF＝DE时，BF－EF＝DE－EF，
∴BE＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此选项不符合题意；
D项，当∠1＝∠2时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，故此选项不符合题意．故选A.
5．[解析] C 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，OA＝OC，所以∠OAE＝∠OCF.又因为∠AOE＝∠COF，所以△AOE≌△COF，所以AE＝CF，OE＝OF，而AB＝CD，AD＝BC，所以四边形EFCD的周长为DE＋CF＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝×18＋2×1.5＝12.
6．[答案] 56
[解析] ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.在四边形AECF中，∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－56°－90°－90°＝124°.在?ABCD中，∠B＝180°－∠C＝180°－124°＝56°.
7．[答案] (4，2)
[解析] ∵A，B两点的坐标分别为A(－3，0)，B(1，0)，∴OA＝3，OB＝1，∴AB＝3＋1＝4.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB＝4.∵点D的坐标为(0，2)，∴点C的纵坐标和点D的纵坐标相等，是2，其横坐标是4，即点C的坐标为(4，2)．
8．[答案] 14
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD.∵AC＋BD＝16，∴OB＋OC＝8，∴△BOC的周长＝BC＋OB＋OC＝6＋8＝14.
9．[答案] 3
[解析] 由平行四边形的对角线分成的两个三角形面积相等可得?AGPE与?PFCH的面积相等；?ABFE与?BCHG的面积相等；?AGHD与?EFCD的面积相等．
10．[答案] 6
[解析] 连接AC，BO，交于点D，如图所示．当直线y＝2x＋1经过点D时，该直线可将?OABC的面积平分．
∵四边形OABC是平行四边形，∴BD＝OD.
∵B(6，2)，O(0，0)，∴D(3，1)．
设直线y＝2x＋1平移后的直线为y＝kx＋b，
∵该直线平行于直线y＝2x＋1，∴k＝2.
∵该直线过点D(3，1)，∴y＝2x－5，
∴直线y＝2x＋1要向下平移6个单位长度可将平行四边形OABC的面积平分．
11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(AAS)．
12．证明：在?ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠C.
∵E，F分别是边BC，AD的中点，
∴AF＝CE.
在△ABF与△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠ABF＝∠CDE.
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠E＝∠F.
∵BE＝DF，∴AF＝CE.
在△AGF和△CHE中，
∴△AGF≌△CHE(ASA)，
∴AG＝CH.
14．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠E＝∠DCE.
∵BE＝AE＋AB＝AE＋CD＝AD，
∴BE＝AD＝BC，
∴∠E＝∠BCE，∴∠DCE＝∠BCE，
即CE平分∠BCD.
15．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC.
又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
又∵CD＝CE，BE＝CE，∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA.
∵∠B＝80°，∴∠BAE＝50°，
∴∠DAE＝180°－80°－50°＝50°.
[素养提升]
[解析] (1)都是相等关系，因为AC，EF都经过平行四边形的对称中心，故分得的两部分的面积相等；(2)有无数条，因为经过对称中心的直线有无数条；(3)经过平行四边形对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分．
解：(1)＝ ＝
(2)无数 答案不唯一，如图所示，所画直线经过对角线AC，BD的交点O即可．
(3)经过平行四边形对称中心的任意直线都可以把平行四边形分成面积相等的两部分．
[点评] 平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过对称中心的任意一条直线都可以将平行四边形分成完全重合的两个图形．
课件14张PPT。第9章 中心对称图形
——平行四边形9.3 第1课时
平行四边形的定义及其性质9.3 第1课时
平行四边形的定义及其性质第9章 中心对称图形——平行四边形知识目标9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质目标一 掌握平行四边形的概念和中心对称性9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质两组对边分别平行的四边形是平行四边形(或平行四边形的概念)1∶29.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质目标二 平行四边形的性质9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质总结反思知识点一 平行四边形的定义9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质两组对边分别平行 ?ABCD平行四边形ABCD9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质知识点二 平行四边形的性质相等互相平分相等中心9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质9.3 第1课时 平行四边形的定义及其性质课时作业(十四)
[9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形]
一、选择题
1．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
图K－14－1
2．如图K－14－1，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则可增加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AC＝BD
D．∠ABC＋∠BAD＝180°
3．已知关于四边形ABCD有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法有( )
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
4．如图K－14－2，已知△ABC，分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则( )
A．∠ADC与∠BAD相等
B．∠ADC与∠BAD互补
C．∠ADC与∠ABC互补
D．∠ADC与∠ABC互余
图K－14－2
图K－14－3
5．2018·连云港校级模拟 如图K－14－3，在平面直角坐标系中，以A(－1，0)，B(2，0)，C(0，1)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A．(3，1) B．(－4，1)
C．(1，－1) D．(－3，1)
二、填空题
6．如图K－14－4，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝3 cm，当BC＝________cm时，四边形ABCD是平行四边形.
图K－14－4
图K－14－5
7．2018·金坛模拟 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图K－14－5所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是________．
8．2017·凉山州 如图K－14－6，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，D，E分别是BC，AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于点F，则四边形AFBD的面积为________．
图K－14－6
三、解答题
9．2018·岳阳 如图K－14－7，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形.
图K－14－7
10.如图K－14－8，在?ABCD中，F，E分别是BA，DC延长线上的点，且AE∥CF，AE与CF分别交BC，AD于点G，H.求证：EG＝FH.
图K－14－8
11．如图K－14－9所示，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，AE＝CF，M，N分别是DE，BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．
图K－14－9
12．2018·镇江模拟 如图K－14－10①，已知点A，B，C，D在一条直线上，BF，CE相交于点O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC.
(1)求证：△ACE≌△DBF；
(2)如图②，把△DBF沿AD翻折使点F落在点G处，连接BE和CG.求证：四边形BGCE是平行四边形．
图K－14－10
动点问题 如图K－14－11，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9 cm，BC＝6 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，第几秒时四边形ABCD被PQ分成的两个四边形中有一个是平行四边形？
图K－14－11
详解详析
课时作业(十四)
[9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[答案] B
3．[解析] C 依题意得有四种组合方式符合题意：①③，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定；②④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；①②和③④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定．故选C.
4．[解析] B 如图所示，依题意得AD＝BC，CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＋∠BAD＝180°，∠ADC＝∠ABC.
5．[解析] B 如图所示，①以AC为对角线，可以画出?AFCB，F(－3，1)；②以AB为对角线，可以画出?ACBE，E(1，－1)；③以BC为对角线，可以画出?ACDB，D(3，1)．故选B.
6．[答案] 3
7．[答案] ②③
[解析] ∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃就可以确定平行四边形的大小．
8．[答案] 12
[解析] ∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.
在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.
∵BD＝DC，∴AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD＝2S△ABD.
又∵BD＝DC，∴S△ABC＝2S△ABD，
∴S四边形AFBD＝S△ABC.
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，
∴S△ABC＝AB·AC＝×4×6＝12，
∴S四边形AFBD＝12.
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵AE＝CF，∴BE＝DF，
∴BE∥DF且BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
10．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
即AF∥EC，AH∥CG.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF和四边形AGCH都是平行四边形，
∴AE＝CF，AG＝CH，
∴AE－AG＝CF－CH，即EG＝FH.
11．[解析] 由平行四边形的性质可证明△ADE≌△CBF，可得DE＝BF.结合条件可得EM∥FN，所以结论成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，CD∥AB.
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF，
∴∠DEA＝∠BFC，DE＝BF.
∵M，N分别是DE，BF的中点，
∴EM＝FN.
∵CD∥AB，
∴∠BFC＝∠NBE，
∴∠DEA＝∠NBE，
∴EM∥FN，
∴四边形ENFM是平行四边形．
12．证明：(1)∵OB＝OC，
∴∠ACE＝∠DBF.
在△ACE和△DBF中，
∴△ACE≌△DBF(AAS)．
(2)由△ACE≌△DBF得CE＝BF.
∵∠ACE＝∠DBF，∠DBG＝∠DBF，
∴∠ACE＝∠DBG，∴CE∥BG.
∵CE＝BF，BG＝BF，∴CE＝BG，
∴四边形BGCE是平行四边形．
[素养提升]
解：设运动的时间是t s，
由题意，得AP＝t，CQ＝2t，AD∥BC，
①当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形．
∵BQ＝BC－CQ＝6－2t，
∴t＝6－2t，
解得t＝2；
②当PD＝CQ时，四边形CDPQ是平行四边形．
∵PD＝AD－AP＝9－t，
∴2t＝9－t，解得t＝3.
综上所述，当运动到第2秒或第3秒时，四边形ABCD被PQ分成的两个四边形中有一个是平行四边形．
课件13张PPT。第9章 中心对称图形
——平行四边形9.3 第2课时
从边的关系判定平行四边形9.3 第2课时
从边的关系判定平行四边形第9章 中心对称图形——平行四边形知识目标9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形目标 能从边的关系判定平行四边形9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形总结反思知识点一 平行四边形的判定定理一9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形平行且相等ABCD9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形知识点二 平行四边形的判定定理二分别相等BCCD 9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形9.3 第2课时 从边的关系判定平行四边形课时作业(十五)
[9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形]
一、选择题
1．在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AD∥BC，AB∥DC
C．AB＝DC，AD＝BC
D．AB∥DC，AD＝BC
2．已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，则下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AC B．AB∥CD
C．∠BAD＝∠BCD D．AD＝BC
3．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
二、填空题
4．如图K－15－1，AC，BD是相交的两条线段，O为它们的中点．当BD绕点O旋转时(AC，BD不重合)，连接AB，BC，CD，DA所得到的四边形ABCD始终为______________．
图K－15－1
图K－15－2
5．2018·长春南关区校级月考 如图K－15－2，OA＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝________cm时，四边形ABCD是平行四边形．
图K－15－3
6．如图K－15－3，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件：________，使得四边形AECF为平行四边形(图中不再添加点和线)．
7．用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设__________________．
三、解答题
8．如图K－15－4，?ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.
求证：四边形AECF是平行四边形．
图K－15－4
9．如图K－15－5，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH.则EH与GF平行吗？证明你的结论．
图K－15－5
10．如图K－15－6，已知E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，BE＝DF，BE∥DF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
图K－15－6
11．2017·西宁 如图K－15－7，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，求?ABCD的面积．
图K－15－7
12．如图K－15－8，?ABCD的对角线相交于点O，直线EF过点O分别交BC，AD于点E，F，G，H分别为OB，OD的中点，四边形GEHF是平行四边形吗？为什么？
图K－15－8
13．如图K－15－9，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上．
(1)给出以下条件：①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
(2)在(1)中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
图K－15－9
平行四边形综合探究题 如图K－15－10，在?ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，上述结论还成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由．
图K－15－10
详解详析
课时作业(十五)
[9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] D
2．[解析] A 先由对角线互相平分可以得出四边形ABCD是平行四边形，再由其性质可得选项B，C，D正确．
3．[解析] B ①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③组合可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④组合可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形．
4．[答案] 平行四边形
[解析] 因为OA＝OC，OB＝OD，所以四边形ABCD是平行四边形．
5．[答案] 8
[解析] 当OB＝8 cm时，四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
∵BD＝16 cm，OB＝8 cm，∴OB＝OD.
又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为8.
6．[答案] 答案不唯一，如BE＝DF
7．[答案] 四边形的四个内角都是锐角
8．[解析] 由四边形ABCD是平行四边形，可得OD＝OB，OA＝OC.要想说明四边形AECF是平行四边形，只需证得OF＝OE即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，
∴△FDO≌△EBO，∴OF＝OE.
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
9．解：EH与GF平行．
证明：连接EG，FH.
在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD.
又∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
又∵BG＝DH，
∴OB－BG＝OD－DH，即OG＝OH，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∴EH∥GF.
10．[解析] 本题可通过三角形全等说明四边形ABCD的一组对边平行且相等，从而说明其是平行四边形，还可通过对角线互相平分判别其是平行四边形．
证明：连接DE，BF，BD，设BD交AC于点O.
∵BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴OB＝OD，OE＝OF.
∵AE＝CF，
∴AE＋OE＝CF＋OF，
即OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
11．解：(1)证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC.
∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.
在△AOD和△COB中，
∵∠ADO＝∠CBO，∠AOD＝∠COB，OA＝OC，
∴△AOD≌△COB，
∴OD＝OB.
又OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴?ABCD的面积＝△CAD的面积＋△ABC的面积＝AC·OD＋AC·OB＝AC·BD＝24.
12．[解析] 由平行四边形的性质可知OB＝OD，AD∥BC，可得出△BOE≌△DOF，所以OE＝OF.
又因为OG＝OH，所以四边形GEHF的对角线互相平分，即可得出结论．
解：四边形GEHF是平行四边形．
理由：在?ABCD中，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDA.
又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，
∴OE＝OF.
又∵OG＝OB，OH＝OD，
∴OG＝OH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
[点评] 本题图中已有四边形GEHF的对角线，故首先分析对角线的关系．
13．解：(1)若选①和②，
证明：在△BEO和△DFO中，
∵∠1＝∠2，OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，
∴△BEO≌△DFO(ASA)；
若选①和③，
证明：在△BEO和△DFO中，
∵OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，OE＝OF，
∴△BEO≌△DFO(SAS)；
若选②和③，
证明：在△BEO和△DFO中，
∵∠1＝∠2，∠BOE＝∠DOF，OE＝OF，
∴△BEO≌△DFO(AAS)．
(2)若选①和②，
证明：由(1)知△BEO≌△DFO，
∴OE＝OF.
∵AE＝CF，∴OA＝OC.
∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；
若选①和③，证明：∵AE＝CF，OE＝OF，
∴OA＝OC.
∵OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；
若选②和③，
证明：由(1)知△BEO≌△DFO，∴OB＝OD.
∵AE＝CF，OE＝OF，∴OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
[素养提升]
[解析] (1)见到60°角首先想到等边三角形，很容易发现△ADE与△BCF是等边三角形，再推出CE＝AF，AE＝CF或CE∥AF.即可证四边形AFCE是平行四边形．(2)比较分析可得DE＝BF，AE＝CF.
解：(1)证明：在?ABCD中，AB＝CD，AD＝CB且AB∥CD，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠DAB＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△ADE，△BCF都是等边三角形，
∴DE＝AE＝AD＝CB＝CF＝BF.
∵点E，F分别在CD，AB的延长线上，
∴CD＋DE＝AB＋BF，即CE＝AF.
又∵AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，上述结论仍然成立．
推理过程如下：
在?ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，且AB∥CD，AD∥CB.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，且∠ADE＝∠AED，∠CBF＝∠CFB.
∵AB∥CD，AD∥CB，
∴∠AED＝∠ADE＝∠DAB＝∠CBF＝∠CFB，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF.
∵点E，F分别在CD，AB的延长线上，
∴CD＋DE＝AB＋BF，即CE＝AF.
又∵AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
[点评] 一题多问中，当图形、条件部分发生了变化时，要积极从上一问中发现对下一问有指导性的思路，比较异同，寻求突破．
课件15张PPT。第9章 中心对称图形
——平行四边形9.3 第3课时
从对角线的关系判定平行四边形9.3 第3课时
从对角线的关系判定平行四边形第9章 中心对称图形——平行四边形知识目标9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形目标一 能从对角线的关系判定平行四边形9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形目标二 会用反证法证明简单的问题9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形BD，CE互相平分平行四边形BE，CD不成立 9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形总结反思知识点一 平行四边形的判定方法9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形互相平分9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形知识点二 反证法相反错误矛盾9.3 第3课时 从对角线的关系判定平行四边形××√课时作业(十六)
[9.4 第1课时 矩形及其性质]
一、选择题
1．如图K－16－1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，则OD的长为( )
A. B．5
C．8 D．10
图K－16－1
图K－16－2
2．如图K－16－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝5，CD＝6，则BC的长是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图K－16－3所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
图K－16－3
图K－16－4
4．2017·衢州 如图K－16－4，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于( )
A. B. C. D.
图K－16－5
5．如图K－16－5，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A．4.8 B．5
C．6 D．7.2
二、填空题
6．2017·辽阳 如图K－16－6，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝________．
图K－16－6
图K－16－7
7．如图K－16－7，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________°.
8．如图K－16－8，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5.以点B为圆心，BC长为半径作圆弧，与边AD交于点E，则DE的长为________．
图K－16－8
图K－16－9
9．2017·徐州 如图K－16－9，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP的长为________．
三、解答题
10．已知：如图K－16－10，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.
图K－16－10
11．如图K－16－11，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E，求证：BE＝BD.
图K－16－11
12．2018·连云港 如图K－16－12，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
图K－16－12
动点探究题 如图K－16－13，E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.
(1)如图(a)，当P为线段EC的中点时，易得PR＋PQ＝________(不需证明)．
(2)如图(b)，当P为线段EC上的任意一点(不与点E，C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图(c)，当P为线段EC延长线上的任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
图K－16－13
详解详析
课时作业(十六)
[9.4 第1课时 矩形及其性质]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B ∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，∴BD＝AC＝10，则OD＝OB＝5.故选B.
2．[解析] C ∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OA，AB＝CD＝6.
又∵OA＝5，∴AC＝2OA＝10.
根据勾股定理可得：BC＝＝8.
故选C.
3．[答案] B
4．[解析] B 由折叠的性质可得∠BCA＝∠ECA.又∵AD∥BC，∴∠FAC＝∠BCA，∴∠FAC＝∠ECA，∴AF＝CF.设DF＝x，则CF＝AF＝6－x，在Rt△CDF中，由勾股定理，得x2＋42＝(6－x)2，解得x＝.
5．[解析] A 如图，连接OP，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F.
∵矩形的两条边AB，BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝48.
∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝10，
∴OA＝OD＝5.
∵S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12.
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA·PE＋OD·PF＝×5×PE＋×5×PF＝(PE＋PF)＝12，
∴PE＋PF＝4.8.
6．[答案] 5
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC＝7，∠D＝90°，
∴∠AEB＝∠EBC.∵∠ABE＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝CD＝4.
∵AD＝7，AE＝4，∴DE＝AD－AE＝7－4＝3.
在Rt△EDC中，CE＝＝＝5.
故答案为5.
7．[答案] 15
8．[答案] 1
[解析] 连接BE，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°.
∵AB＝3，BE＝BC＝5，
∴AE＝＝4，
∴DE＝AD－AE＝BC－AE＝1.
9．[答案]
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，∠ADC＝90°，AD∥BC.在Rt△ACD中，AC＝＝＝5.∵AQ＝AD，AD＝3，∴AQ＝3，∴CQ＝AC－AQ＝2.∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠QPC.∵AQ＝AD，∴∠ADQ＝∠AQD.∵∠PQC＝∠AQD，∴∠PQC＝∠QPC，∴PC＝CQ＝2，∴BP＝BC－PC＝3－2＝1.在Rt△ABP中，AP＝＝＝.
10．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠EFB＋∠BEF＝90°.
∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，
∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∴∠BEF＝∠CFD.
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD(ASA)，∴BF＝CD.
11．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AD∥BC.
又∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴BE＝AC，∴BE＝BD.
12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE，∴CD＝AF.
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
(2)BC＝2CD.
理由：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE.
∵E是AD的中点，∴AD＝2DE＝2CD.
∵AD＝BC，∴BC＝2CD.
[素养提升]
解：(1)
(2)PR＋PQ＝仍然成立．
证明：如图①，连接BP，过点C作CK⊥BD于点K.
因为四边形ABCD为矩形，所以∠BCD＝90°.
又因为CD＝AB＝3，BC＝4，
所以BD＝＝＝5.
因为S△BCD＝BC·CD＝BD·CK，
所以3×4＝5CK，所以CK＝.
因为S△BCE＝BE·CK，S△BEP＝PR·BE，
S△BCP＝PQ·BC，且S△BCE＝S△BEP＋S△BCP，
所以BE·CK＝PR·BE＋PQ·BC.
又因为BE＝BC，所以CK＝PR＋PQ，
所以CK＝PR＋PQ.
因为CK＝，所以PR＋PQ＝.
图① 图②
(3)图(c)中的结论是PR－PQ＝.(根据图②可计算)
[点评] (1)探究线段之间的关系一般可以先分析特殊位置时的情况，比如本例先取EC的中点P.
(2)通过面积分析来研究动点问题是重要的策略．
(3)后面一问一般在与前一问的对比中发现解题思路．
课件15张PPT。第9章 中心对称图形
——平行四边形9.4 第1课时 矩形及其性质9.4 第1课时 矩形及其性质第9章 中心对称图形——平行四边形知识目标9.4 第1课时 矩形及其性质目标一 理解矩形的定义、对称性9.4 第1课时 矩形及其性质59.4 第1课时 矩形及其性质9.4 第1课时 矩形及其性质目标二 掌握矩形性质的应用9.4 第1课时 矩形及其性质9.4 第1课时 矩形及其性质9.4 第1课时 矩形及其性质9.4 第1课时 矩形及其性质总结反思知识点一 矩形的定义9.4 第1课时 矩形及其性质有一个角是直角9.4 第1课时 矩形及其性质知识点二 矩形的性质直中心互相平分且相等轴9.4 第1课时 矩形及其性质9.4 第1课时 矩形及其性质9.4 第1课时 矩形及其性质课时作业(十七)
[9.4 第2课时 矩形的判定]
一、选择题
1．如图K－17－1，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
图K－17－1
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
2．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列不能判定它是矩形的条件是( )
A．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD
B．AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°
C．∠ABC＝∠BCD＝∠ADC
D．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD
3．平面内一点到两条平行线的距离分别是1 cm和3 cm，则这两条平行线间的距离为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．2 cm或4 cm
图K－17－2
4．如图K－17－2，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE B．BE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
二、填空题
5．2018·灌云县月考 对于四边形ABCD，下面给出对角线的三种特征：①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC＝BD.当具备上述条件中的______时，就能得到四边形ABCD是矩形．(填序号)
图K－17－3
6．如图K－17－3，地面上两根一样长的电线杆AB，CD均与地面垂直，小明想知道两根电线杆顶端A，C之间的距离，他没有梯子，于是就测量了底端B，D间的距离，他认为点B，D间的距离等于点A，C间的距离．你认为他的想法对吗？________(填“对”或“不对”)，依据是______________________．
7．2018·常州校级期中 如图K－17－4，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝CD，连接AE交BC于点F，连接BE，∠AFC＝n∠D，当n＝________时，四边形ABEC是矩形．
图K－17－4
图K－17－5
8．如图K－17－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB上不与点A，B重合的一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则线段EF的最小值为________．
三、解答题
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CD到点E，使ED＝CD，连接AE，BE.求证：四边形ACBE是矩形.
10．已知：如图K－17－6，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F，且BE＝CF.求证：平行四边形ABCD是矩形
图K－17－6
11.如图K－17－7，在△ABC中，AD＝CD＝BD，且DF，DE分别是∠BDC和∠ADC的平分线，试判断CD与EF的关系，并说明理由．
图K－17－7
12．如图K－17－8所示，在四边形ABCD中，H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是______________，并证明；
(2)连接BF，CE.在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由．
图K－17－8
13．2017·徐州 如图K－17－9，在?ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E.连接BD，EC.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形．
图K－17－9
14．如图K－17－10，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.
(1)求证：DB＝CF；
(2)如果AC＝BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.
图K－17－10
动点问题 如图K－17－11，在?ABCD中，对角线BD＝12 cm，AC＝16 cm，AC，BD相交于点O.若E，F是AC上的两动点，分别从A，C两点以相同的速度向点C，A运动，其速度为0.5 cm/s.
(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由．
(2)在点E，F的运动过程中，以点D，E，B，F为顶点的四边形能为矩形吗？如果能，求出此时的运动时间t的值；如果不能，请说明理由．
图K－17－11
详解详析
课时作业(十七)
[9.4 第2课时 矩形的判定]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D 因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形．要使它成为矩形，必须有一个角是直角或两条对角线相等．
2．[解析] C 作图观察就很容易得出答案．
3．[答案] D
4．[答案] B
5．[答案] ①③
[解析] 当具备①③两个条件时，能得到四边形ABCD是矩形．理由：∵对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．故答案为：①③.
6．[答案] 对 两条平行线之间的距离处处相等
7．[答案] 2
[解析] 当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BCE＝∠D.由题意易得AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC＝∠FEC＋∠BCE，∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形．
8．[答案]
[解析] 如图，连接CD.
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10.
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD.
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，
即×8×6＝×10×CD，
解得CD＝，∴EF＝.
9．[解析] 有一个角是直角的平行四边形是矩形．
证明：因为D是AB的中点，
所以AD＝BD＝AB.
因为ED＝CD，
所以四边形ACBE是平行四边形．
又因为∠ACB＝90°，
所以四边形ACBE是矩形．
10．证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠OEB＝∠OFC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝BD，OC＝AC.
在△BEO和△CFO中，
∴△BEO≌△CFO(AAS)，
∴OB＝OC，∴BD＝AC，
∴平行四边形ABCD是矩形．
11．[解析] 有三个角是直角的四边形是矩形．
解：CD与EF互相平分且相等．
理由如下：因为AD＝CD＝BD，
所以∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.
又因为∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD＝180°，
所以2(∠ACD＋∠BCD)＝180°，
所以∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝×180°＝90°.
因为AD＝CD＝BD，
所以△ADC与△BDC均为等腰三角形．
因为DE，DF分别平分∠ADC，∠BDC，
所以DE⊥AC，DF⊥BC，即∠CED＝∠CFD＝90°，
所以四边形CEDF为矩形，
所以EF与CD互相平分且相等．
12．解：(1)答案不唯一，如添加条件：BE∥CF.
证明：连接BF，CE，如图所示．
∵BE∥CF，∴∠1＝∠2.
∵H是边BC的中点，
∴BH＝CH.
又∵∠3＝∠4，
∴△BEH≌△CFH.
(2)当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形．
理由如下：
∵△BEH≌△CFH，∴EH＝FH.
又∵BH＝CH，
∴四边形BFCE是平行四边形．
∵BH＝EH，∴BC＝EF，
∴?BFCE是矩形．
13．[解析] (1)先证明△EBO≌△DCO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；
(2)若四边形BECD为矩形，则BC＝DE，BD⊥AE.又AD＝BC，∴AD＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB＝∠EDB＝40°，∴∠ADE＝80°，故∠BOD＝180°－∠ADE＝100°.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥DC，
∴∠EBO＝∠DCO，∠BEO＝∠CDO.
∵O是边BC的中点，∴BO＝CO，
∴△EBO≌△DCO，∴EO＝DO，
∴四边形BECD是平行四边形．
(2)100
14．[解析] (1)根据CF∥AB，可知∠DAE＝∠CFE，结合E是CD的中点得出△ADE≌△FCE，可得DA＝CF，再根据等量代换可知DB＝CF.
(2)根据DB＝CF，DB∥CF，可知四边形BDCF是平行四边形，再根据AC＝BC，DA＝DB，得出CD⊥AB，从而四边形BDCF是矩形．
解：(1)证明：因为CF∥AB，
所以∠DAE＝∠CFE.
因为E是CD的中点，所以DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
所以△ADE≌△FCE，
所以DA＝CF.
因为DA＝DB，所以DB＝CF.
(2)四边形BDCF是矩形．
证明：因为DB＝CF，DB∥CF，
所以四边形BDCF是平行四边形．
因为AC＝BC，DA＝DB，
所以CD⊥AB，所以∠CDB＝90°，
所以平行四边形BDCF是矩形．
[素养提升]
解：(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．
理由：∵E，F是AC上的两动点，分别从A，C两点以相同的速度向点C，A运动，∴AE＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，
∴|OA－AE|＝|OC－CF|，
即OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
(2)能．分为两种情况：
①当点E在OA上，点F在OC上时，
∵四边形DEBF是矩形，
∴EF＝BD＝12 cm.
∵AE＝CF＝0.5t cm，
∴16－0.5t－0.5t＝12，
解得t＝4.
②当点E在OC上，点F在OA上时，AE＝CF＝0.5t cm，则0.5t－12＋0.5t＝16，解得t＝28.
故当运动时间t为4 s或28 s时，以点D，E，B，F为顶点的四边形是矩形．
课件16张PPT。第9章 中心对称图形
——平行四边形9.4 第2课时 矩形的判定9.4 第2课时 矩形的判定第9章 中心对称图形——平行四边形知识目标9.4 第2课时 矩形的判定目标一 掌握矩形的判定方法9.4 第2课时 矩形的判定9.4 第2课时 矩形的判定9.4 第2课时 矩形的判定9.4 第2课时 矩形的判定9.4 第2课时 矩形的判定目标二 利用两条平行线之间的距离的性质解题9.4 第2课时 矩形的判定9.4 第2课时 矩形的判定9.4 第2课时 矩形的判定总结反思知识点一 矩形的判定方法9.4 第2课时 矩形的判定直角三个角是直角相等9.4 第2课时 矩形的判定9.4 第2课时 矩形的判定知识点二 两条平行线之间的距离相等9.4 第2课时 矩形的判定9.4 第2课时 矩形的判定课时作业(十八)
[9.4 第3课时 菱形及其性质]
一、选择题
1．2018·荆州 菱形不具备的性质是( )
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
2．在菱形ABCD中，AB＝5 cm，则此菱形的周长为( )
A．5 cm B．15 cm C．20 cm D．25 cm
3．在菱形ABCD中，AB＝3，∠B＝60°，则对角线AC的长为( )
A．12 B．9 C．6 D．3
4．如图K－18－1所示，将一个长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )
图K－18－1
A．10 cm2 B．20 cm2 C．40 cm2 D．80 cm2
5．如图K－18－2，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于( )
A．75° B．45° C．60° D．30°
图K－18－2
图K－18－3
6．如图K－18－3所示，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )
A．4 B. C. D．5
图K－18－4
二、填空题
7．如图K－18－4，菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的周长l＝________．
8．2018·吉林一模 如图K－18－5，四边形ABCD是菱形，点A，B，C，D的坐标分别是(m，0)，(0，n)，(1，0)，(0，2)，则mn＝________．
9．在菱形ABCD中，AE为BC边上的高，若AB＝5，AE＝4，则线段CE的长为________．
图K－18－5
图K－18－6
10．如图K－18－6所示，菱形ABCD的对角线BD，AC的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(不与点A，C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是________．
三、解答题
11．2017·自贡 如图K－18－7，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.
求证：∠ABF＝∠CBE.
图K－18－7
12．如图K－18－8，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.
求证：OE＝BC.
图K－18－8
13．2017·沈阳 如图K－18－9，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF.
求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠BEF＝∠BFE.
图K－18－9
14．已知：如图K－18－10，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？请说明理由．
图K－18－10
15．2018·无锡校级月考 在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图K－18－11①，若点E在边BC上，且E为BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图K－18－11②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
图K－18－11
操作题 用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角尺60°角的顶点与点A重合，60°角的两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．
(1)当三角尺的两边分别与菱形的边BC，CD相交于点E，F时，如图K－18－12①，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论．
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时(如图②)，你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
图K－18－12
详解详析
课时作业(十八)
[9.4 第3课时 菱形及其性质]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B 菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线互相垂直但不一定相等，故选B.
2．[解析] C 因为在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AB＝5 cm，所以菱形的周长为4AB＝20 cm.故选C.
3．[答案] D
4．[解析] A 所剪菱形的对角线长分别为4 cm，5 cm，故面积为×4×5＝10(cm2)．
5．[解析] C 连接AC，∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，∴AB＝AC，AD＝AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴AB＝BC＝AC，AC＝CD＝AD，∴∠B＝∠D＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝30°，∠BAD＝180°－∠B＝120°，∴∠EAF＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝60°.故选C.
6．[解析] C 连接BD交AC于点O，则OA＝AC＝3，∴BO＝＝4.∵S△ABC＝AC·BO＝BC·AE，∴AE＝.
7．[答案] 52
[解析] 菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的边长为＝13，故菱形的周长l＝13×4＝52.
8．[答案] 2
[解析] ∵四边形ABCD是菱形，点A，B，C，D的坐标分别是(m，0)，(0，n)，(1，0)，(0，2)，
∴m＝－1，n＝－2，∴mn＝2.
9．[答案] 2或8
[解析] 当点E在CB的延长线上时，如图①所示．∵AB＝5，AE＝4，∴BE＝3，∴CE＝BC＋BE＝8；
当点E在BC边上时，如图②所示．∵AB＝5，AE＝4，∴BE＝3，∴CE＝BC－BE＝2.
综上可知：CE的长是2或8.
10．[答案] 2.5
[解析] 由题意知四边形AEPF为平行四边形，
所以S△AEF＝S△FEP，所以S阴影＝S△ABC.
因为菱形ABCD的对角线长分别为2和5，
所以S菱形ABCD＝×2×5＝5，
所以S阴影＝S△ABC＝×5＝2.5.
11．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB.
在△AFB和△CEB中，
∴△AFB≌△CEB，∴∠ABF＝∠CBE.
12．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD，∴OE＝BC.
13．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，∴△ADE≌△CDF.
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE.
14．解：(1)证明：连接AC.
∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，
∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC.
(2)F是线段BC的中点．
理由如下：在菱形ABCD中，AB＝BC.
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC.
∵AE＝EC，∠CEF＝60°，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴AF是△ABC的角平分线．
∵AB＝AC，
∴AF是△ABC中BC边上的中线，
∴F是线段BC的中点．
15．证明：(1)连接AC.
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°，
∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°，
∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠ECF＝180°－30°－120°＝30°，
∴∠FEC＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴BE＝DF.
(2)连接AC.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠ACF＝60°.
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF＋∠FAD＝60°＋∠FAD.
在菱形ABCD中，∠D＝∠B＝60°，
∴∠AFC＝∠D＋∠FAD＝60°＋∠FAD，
∴∠AEB＝∠AFC.
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴AE＝AF.
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
[素养提升]
解：(1)结论：BE＝CF.
证明：∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF.
又∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACF＝60°，
∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF.
(2)成立．
理由：∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAC＋∠EAC＝∠EAF＋∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF.
又∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACF＝60°，
∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF.
课件17张PPT。第9章 中心对称图形
——平行四边形9.4 第3课时 菱形及其性质9.4 第3课时 菱形及其性质第9章 中心对称图形——平行四边形知识目标9.4 第3课时 菱形及其性质目标一 掌握菱形的概念9.4 第3课时 菱形及其性质①③9.4 第3课时 菱形及其性质目标二 掌握菱形的性质并能应用菱形的性质解决问题9.4 第3课时 菱形及其性质B9.4 第3课时 菱形及其性质9.4 第3课时 菱形及其性质9.4 第3课时 菱形及其性质9.4 第3课时 菱形及其性质9.4 第3课时 菱形及其性质9.4 第3课时 菱形及其性质总结反思知识点一 菱形的定义9.4 第3课时 菱形及其性质一组邻边相等9.4 第3课时 菱形及其性质知识点二 菱形的性质相等垂直9.4 第3课时 菱形及其性质9.4 第3课时 菱形及其性质课时作业(十九)
[9.4 第4课时 菱形的判定]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．四边相等的四边形是菱形
2．如图K－19－1，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，则下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
图K－19－1
图K－19－2
3．如图K－19－2，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四个结论中，不正确的是( )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形
4．2017·舟山 如图K－19－3，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，B(1，1)．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )
A．先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
图K－19－3
图K－19－4
二、填空题
5．如图K－19－4，在?ABCD中，AB＝5，AC＝6，当BD＝________时，四边形ABCD是菱形．
图K－19－5
6．如图K－19－5，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB＝AC；③BF∥EC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________(只填写序号)．
三、解答题
7．2017·宁夏 如图K－19－6，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形.
图K－19－6
8．如图K－19－7，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E和点F.
(1)求证：DE＝BF；
(2)若EF⊥BD，试判断四边形BEDF是什么特殊平行四边形，并证明你的结论．
图K－19－7
9.如图K－19－8，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OCED为菱形；
(2)连接AE，BE，则AE与BE相等吗？请说明理由．
图K－19－8
10．如图K－19－9，在?ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形．
(2)①当AE＝________cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE＝________cm时，四边形CEDF是菱形．
图K－19－9
11．2018·南京 如图K－19－10，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.
求证：(1)∠BOD＝∠C；
(2)四边形OBCD是菱形．
图K－19－10
最值问题 将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图K－19－11所示的四边形ABCD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．
图K－19－11
详解详析
课时作业(十九)
[9.4 第4课时 菱形的判定]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] D
2．[解析] A 首先根据平移的性质得出AB //CD，故四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定定理得出答案．
3．[解析] C 由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又由∠BAC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A，B正确．如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠FAD.又由DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．故选C.
4．[解析] D 过点B作射线BD∥OA，在射线BD上截取BC＝OA，则四边形OACB是平行四边形．过点B作BH⊥x轴于点H，∵B(1，1)，∴OB＝＝.∵A(，0)，∴C(1＋，1)，OA＝OB，∴四边形OACB是菱形，∴可以将点A先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点C，故选D.
5．[答案] 8
[解析] ∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分．∵AC＝6，∴OA＝AC＝3，∴OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8.
6．[答案] ②
[解析] ∵BD＝CD，DE＝DF，∴四边形BECF是平行四边形．①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；②AB＝AC时，∵D是BC的中点，∴AF是BC的中垂线，∴BE＝CE，∴平行四边形BECF是菱形；③四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形．
7．证明：如图，由折叠的性质，得AB＝AD，BM＝DM，∠1＝∠2.
∵DM∥AB，∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AD＝DM，
∴AB＝AD＝BM＝DM，
∴四边形ABMD是菱形．
8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，
∴△OED≌△OFB(AAS)，
∴DE＝BF.
(2)四边形BEDF是菱形．
证明：∵DE∥BF，DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
又∵EF⊥BD，
∴?BEDF是菱形．
9．解：(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形．
又∵AC，BD为矩形ABCD的对角线，
∴AC＝BD，∴OC＝OD，
∴四边形OCED为菱形．
(2)AE与BE相等．
理由：∵由(1)可知四边形OCED为菱形，
∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD.
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠ADC＝∠BCD，
∴∠EDC＋∠ADC＝∠ECD＋∠BCD，
即∠ADE＝∠BCE，∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴AE＝BE.
10．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG.
∵G是CD的中点，∴CG＝DG.
在△FCG和△EDG中，
∴△FCG≌△EDG(ASA)，∴FG＝EG.
又∵CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)①3.5 ②2
11．证明：(1)延长AO到点E，如图所示．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO.
又∵∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO，
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，
即∠BOD＝2∠BAD.
又∵∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.
(2)连接OC.
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.
∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，
∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD.
又∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，
∴OB＝BC.
又∵OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．
[素养提升]
解：(1)证明：如图(a)，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F.
∵两张矩形纸片的宽度相等，∴AE＝DF.
又∵S?ABCD＝AE·BC＝DF·AB，
∴BC＝AB，∴?ABCD是菱形．
(2)存在最小值和最大值．
①当∠DAB＝90°时，菱形ABCD的边长最小，为2，此时，菱形ABCD的周长最小，为8；
②当AC为矩形纸片的对角线时，此时菱形ABCD的周长最大，如图(b)．
设AB＝x，则BC＝AB＝x.在Rt△BCG中，BC2＝BG2＋CG2，即x2＝(8－x)2＋22，解得x＝.
∴菱形ABCD周长的最大值为×4＝17.
[点评] 本题中周长最大值的计算是个难点，可采用实际操作的方法，即用两张完全相同的矩形纸片，研究重叠部分的周长是怎样变化的，进而发现结论，这就是所谓的做数学，学数学，不仅是用笔画画算算，有时候也要动手操作．
课件15张PPT。第9章 中心对称图形
——平行四边形9.4 第4课时 菱形的判定9.4 第4课时 菱形的判定第9章 中心对称图形——平行四边形知识目标9.4 第4课时 菱形的判定目标一 会用定义法判定一个四边形是菱形9.4 第4课时 菱形的判定9.4 第4课时 菱形的判定9.4 第4课时 菱形的判定目标二 会从四边关系判定一个四边形是菱形9.4 第4课时 菱形的判定9.4 第4课时 菱形的判定9.4 第4课时 菱形的判定目标三 会从对角线关系判定一个四边形是菱形9.4 第4课时 菱形的判定9.4 第4课时 菱形的判定9.4 第4课时 菱形的判定总结反思知识点 菱形的判定方法9.4 第4课时 菱形的判定9.4 第4课时 菱形的判定9.4 第4课时 菱形的判定课时作业(二十)
[9.4 第5课时 正方形的性质与判定]
一、选择题
1．下列条件中，不能判定一个平行四边形是正方形的是( )
A．对角线相等且互相垂直
B．一组邻边相等且有一个角是直角
C．对角线相等且有一组邻边相等
D．对角线互相平分且有一个角是直角
2．如图K－20－1，在?ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是( )
A．65° B．55°
C．70° D．75°
图K－20－1
图K－20－2
3．如图K－20－2，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为( )
A．2 B. C. D．1
二、填空题
4．如图K－20－3，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，则AE的长为________．
图K－20－3
图K－20－4
5．已知：如图K－20－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED＝________°.
6．2016·南京 如图K－20－5，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形ABCD的边长为________cm.
图K－20－5
图K－20－6
7．如图K－20－6，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一个动点，则DN＋MN的最小值为________．
三、解答题
8．2018·吉林 如图K－20－7，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF，求证：△ABE≌△BCF.
图K－20－7
9．如图K－20－8，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF.
求证：CE＝DF.
图K－20－8
10．2018·盐城 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图K－20－9所示．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
图K－20－9
11．如图K－20－10，在正方形ABCD中，点E(与点B，C不重合)是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF的位置，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF.
(1)求证：△ABE≌△EGF；
(2)若AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，求BE的长．
图K－20－10
探究题 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)观察猜想：
如图K－20－11①，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为________；
②BC，CD，CF之间的数量关系为________．(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考：
如图②，当点D在线段CB的延长线上时，(1)中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论，再给予证明．
(3)拓展延伸：
如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝2 ，CD＝BC，请求出GE的长．
图K－20－11
详解详析
课时作业(二十)
[9.4 第5课时 正方形的性质与判定]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D A．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故本选项错误；B.一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故本选项错误；C.对角线相等且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；D.对角线互相平分且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项正确．故选D.
2．[解析] A ∵四边形AEFG是正方形，∴∠AEF＝90°.∵∠CEF＝15°，∴∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝90°＋15°＝105°，∴∠B＝∠AEC－∠BAE＝105°－40°＝65°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝65°.故选A.
3．[答案] B
4．[答案]
[解析] ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠D＝90°.
∵DE＝2，EC＝1，∴AD＝DC＝2＋1＝3.
在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，AD＝3，DE＝2，
∴AE＝＝＝.
5．[答案] 45
[解析] 由题意，得AB＝AD＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝∠AED＝60°，所以∠BAE＝150°，所以∠AEB＝15°，所以∠BED＝∠AED－∠AEB＝60°－15°＝45°.
6．[答案] 13
[解析] 如图，连接AC和BD交于点O，由题意可知，B，E，F，D四点都在菱形ABCD的对角线BD上，设AC＝2a cm，BD＝2b cm，根据菱形与正方形的面积计算公式，可得·(2a)2＝ 50，解得a＝5(负值已舍去)，且·2a·2b＝120，解得b＝12，所以AB＝＝＝13(cm)．故答案为13.
7．[答案] 10
[解析] 利用正方形的轴对称性，点B，D关于直线AC对称，连接BM交AC于点N，N就是所求的点，它使DN＋MN最小．在Rt△MBC中，BM＝DN＋MN＝＝＝10.
8．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF.
9．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°.
又∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF.
在△CEB和△DFC中，
∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF.
10．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF.
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
(2)四边形AECF是菱形．
理由：连接AC交BD于点O，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，
∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF.
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
11．解：(1)证明：∵线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF的位置，
∴EF＝AE，EF⊥AE，
∴∠FEG＋∠AEB＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∴∠EAB＋∠AEB＝90°，
∴∠EAB＝∠FEG.
∵过点F作BC的垂线FG，
∴∠G＝90°，∴∠B＝∠G.
在△ABE和△EGF中，
∴△ABE≌△EGF.
(2)由(1)知△ABE≌△EGF，
∴S△ABE＝S△EGF，AB＝EG＝2.
∵S△ABE＝2S△ECF，∴S△EGF＝2S△ECF，
∴S△CGF＝S△ECF.
∵△CGF和△ECF的底边CG，EC上的高均是FG，
∴EC＝CG＝EG＝1，
∴BE＝BC－EC＝AB－EC＝1.
故BE的长是1.
[素养提升]
解：(1)①在正方形ADEF中，AD＝AF.
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF.
在△DAB与△FAC中，
∴△DAB≌△FAC，∴∠ABD＝∠ACF，
∴∠ACB＋∠ACF＝∠ACB＋∠ABD＝90°，
即CF⊥BC.故答案为垂直．
②由①知△DAB≌△FAC，
∴BD＝CF.
∵BC＝BD＋CD，∴BC＝CF＋CD.
故答案为BC＝CF＋CD.
(2)当点D在线段CB的延长线上时，(1)中的结论①仍然成立，结论②不成立，正确结论：BC＝CD－CF.
证明：∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°.
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF.
在△DAB与△FAC中，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD＝∠ACF，BD＝CF.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝∠ABD＝180°－∠ABC＝135°，
∴∠DCF＝∠ACF－∠ACB＝90°，
∴CF⊥BC.
∵BC＝CD－BD，∴BC＝CD－CF.
综上所述，BC⊥CF且BC＝CD－CF.
(3)如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点E分别作EM⊥BD于点M，EN⊥CF于点N.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AB＝2 ，
∴BC＝4，AH＝BC＝2.
∵CD＝BC＝1，CH＝BC＝2，
∴DH＝3.
由(2)证得BC⊥CF，CF＝BD＝5.
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°.
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴EN＝CM，EM＝CN.
∵∠AHD＝∠ADE＝∠DME＝90°，
∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM.
在△ADH与△DEM中，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，
∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3.
∵∠ABC＝45°，∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，∴GN＝1，
∴GE＝＝.
课件19张PPT。第9章 中心对称图形
——平行四边形9.4 第5课时 正方形的性质与判定9.4 第5课时
正方形的性质与判定第9章 中心对称图形——平行四边形知识目标9.4 第5课时 正方形的性质与判定目标一 理解正方形的概念9.4 第5课时 正方形的性质与判定B9.4 第5课时 正方形的性质与判定9.4 第5课时 正方形的性质与判定目标二 掌握正方形的判定方法9.4 第5课时 正方形的性质与判定9.4 第5课时 正方形的性质与判定9.4 第5课时 正方形的性质与判定9.4 第5课时 正方形的性质与判定9.4 第5课时 正方形的性质与判定9.4 第5课时 正方形的性质与判定目标三 掌握正方形的性质9.4 第5课时 正方形的性质与判定9.4 第5课时 正方形的性质与判定总结反思知识点一 正方形的定义9.4 第5课时 正方形的性质与判定知识点二 正方形的判定9.4 第5课时 正方形的性质与判定知识点三 正方形的性质9.4 第5课时 正方形的性质与判定9.4 第5课时 正方形的性质与判定9.4 第5课时 正方形的性质与判定课时作业(二十一)
[9.5 三角形的中位线]
一、选择题
1．2018·泸县模拟 如图K－21－1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC＝6，则DE的长为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
图K－21－1
图K－21－2
2．2017·张家界 如图K－21－2，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是( )
A．6 B．12 C．18 D．24
3．如图K－21－3，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
图K－21－3
图K－21－4
4．如图K－21－4，杨伯伯家小院子里的四棵小树E，F，G，H刚好在其四边形院子ABCD各边的中点处．若在四边形EFGH内种上小草，则这块草地的形状是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
图K－21－5
5．如图K－21－5，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG的度数为( )
A．47° B．46°
C．41° D．23°
二、填空题
6．2017·淮安 如图K－21－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，F是AD的中点．若AB＝8，则EF＝________．
图K－21－6
图K－21－7
7．2016·扬州 如图K－21－7所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为________．
图K－21－8
8．如图K－21－8，△ABC是等边三角形，CF⊥AB，E是AD的中点，EF＝3.5 cm，则BD＝________．
三、解答题
9．如图K－21－9，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．
图K－21－9
10.2018·南京江宁区期中 如图K－21－10，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F，G，H分别为AD，BC，BD，AC的中点，顺次连接点E，G，F，H.求证：四边形EGFH是菱形．
图K－21－10
11．如图K－21－11，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM，DN，MN.若AB＝6，求DN的长．
图K－21－11
12．如图K－21－12，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为边AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ECBF是平行四边形；
(2)当∠A＝30°时，求证：四边形ECBF是菱形．
图K－21－12
阅读理解题 阅读下面材料：
在数学课上老师请同学们思考如下问题：如图K－21－13(a)，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
结合小敏的思路作答：
(1)若只改变图(a)中四边形ABCD的形状(如图(b))，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．
参考小敏思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图(b)，在(1)的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论．
图K－21－13
详解详析
课时作业(二十一)
[9.5 三角形的中位线]
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B ∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∵BC＝6，∴DE＝BC＝3.故选B.
2．[解析] B 根据题意可知，DE是△ABC的中位线，所以△ABC的周长等于△ADE的周长的2倍，因此△ABC的周长为6×2＝12.
3．[解析] A ∵D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，∴∠BFD＝∠ABF.∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABF，∴∠BFD＝∠DBF，∴DF＝DB＝BC＝3，故选A.
4．[答案] A
5．[答案] D
6．[答案] 2
[解析] 在Rt△ABC中，∵AD＝BD，∴CD＝AB＝4.∵AF＝DF，AE＝EC，∴EF＝CD＝2.
7．[答案] 24
8．[答案] 7 cm
[解析] 由等边三角形的性质可知F为AB的中点，可得EF为△ABD的中位线，所以BD＝2EF＝7 cm.
9．解：∵∠BAC＝54°，AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠BAC＝27°，
∴∠BGA＝180°－∠ABC－∠BAG＝83°.
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，∴∠AFD＝∠BGA＝83°.
10．证明：∵E，F，G，H分别为AD，BC，BD，AC的中点，
∴EG＝AB，EH＝CD，HF＝AB，
EG∥AB，HF∥AB，
∴EG＝HF，EG∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵AB＝CD，∴EG＝EH，
∴四边形EGFH是菱形．
11．解：连接CM，如图所示．
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴CM＝AB＝3.
∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN＝BC，MN∥BC，即MN∥CD.
又∵CD＝BD，∴MN＝CD，
∴四边形NDCM是平行四边形，
∴DN＝CM＝3.
12．证明：(1)∵D，E分别为边AC，AB的中点，
∴DE∥BC，即EF∥BC.
又∵BF∥CE，
∴四边形ECBF是平行四边形．
(2)证法一：
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，E为AB的中点，
∴BC＝AB，CE＝AB，∴BC＝CE.
又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，
∴四边形ECBF是菱形．
证法二：
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，E为AB的中点，
∴BC＝AB＝BE，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，∴BC＝CE.
又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，
∴四边形ECBF是菱形．
证法三：
∵E为AB的中点，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴CE＝AB＝BE，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，∴BC＝CE.
又由(1)知，四边形ECBF是平行四边形，
∴四边形ECBF是菱形．
[素养提升]
解：(1)四边形EFGH还是平行四边形．
理由如下：连接AC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC.
∵G，H分别是CD，AD的中点，
∴GH∥AC，GH＝AC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．
理由如下：
∵F，G分别是BC，CD的中点，∴FG＝BD.
由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，且EF＝AC，
当AC＝BD时，FG＝EF，
∴四边形EFGH是菱形．
②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
课件18张PPT。第9章 中心对称图形
——平行四边形9.5 三角形的中位线9.5 三角形的中位线第9章 中心对称图形——平行四边形知识目标9.5 三角形的中位线目标一 能识别三角形的中位线9.5 三角形的中位线中位中2目标二 能利用三角形中位线定理解决问题9.5 三角形的中位线9.5 三角形的中位线9.5 三角形的中位线9.5 三角形的中位线9.5 三角形的中位线9.5 三角形的中位线9.5 三角形的中位线9.5 三角形的中位线总结反思知识点一 三角形中位线的定义9.5 三角形的中位线两边中点EFEF，DF，DE知识点二 三角形的中位线定理9.5 三角形的中位线平行于第三边等于第三边的一半EFBCBC9.5 三角形的中位线9.5 三角形的中位线9.5 三角形的中位线9.5 三角形的中位线专题训练(一) 平行四边形的性质与判定的灵活运用
? 类型一 平行四边形与全等三角形
1．用两个全等的三角形最多能拼成________个不同的平行四边形．
2．平行四边形中的一条对角线把平行四边形分成________个全等的三角形，两条对角线把平行四边形分成________对全等三角形．
3．如图1－ZT－1所示，E，F是?ABCD的对角线AC上的两点，且BE∥DF.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形BFDE是平行四边形．
图1－ZT－1
4．2018·温州 如图1－ZT－2，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.
(1)求证：△AED≌△EBC；
(2)当AB＝6时，求CD的长．
图1－ZT－2
? 类型二 平行四边形与等腰三角形
5．如图1－ZT－3所示，在△ABC中，AB＝AC＝7 cm，D是BC上一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE＋DF＝________cm.
图1－ZT－3
图1－ZT－4
6．如图1－ZT－4所示，在?ABCD中，AB＝5 cm，AD＝8 cm，∠BAD，∠ADC的平分线分别交BC于点E，F，则EF的长为________．
7．如图1－ZT－5所示，如果?ABCD的内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求?ABCD各内角的度数．
图1－ZT－5
? 类型三 平行四边形中的中点问题
图1－ZT－6
8．如图1－ZT－6所示，在?ABCD中，AB＝6 cm，BC＝10 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A．2 cm＜OA＜5 cm B．2 cm＜OA＜8 cm
C．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm
9．若O为?ABCD的对角线AC与BD的交点，且AO＋BO＝11 cm，则AC＋BD＝________cm.
10．如图1－ZT－7所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC于点A，AB＝1，BC＝，则对角线BD的长为__________．
图1－ZT－7
图1－ZT－8
11．如图1－ZT－8所示，在?ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为F，EF的反向延长线与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是________．
12．如图1－ZT－9所示，在?ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，求?ABCD的面积．
图1－ZT－9
? 类型四 平行四边形中的开放性问题
13．如图1－ZT－10，在?ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，连接DE交BC于点F，则下列结论不一定成立的是( )
图1－ZT－10
A．∠E＝∠CDF B．EF＝DF
C．AD＝2BF D．BE＝2CF
14．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列六组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC；⑤∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC；⑥∠BAD＋∠ABC＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的有( )
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
15．如图1－ZT－11所示，在?ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．(只需证明一组线段相等即可)
(1)连接________；
(2)猜想：________＝________；
(3)证明．
图1－ZT－11
16．如图1－ZT－12，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，交AC于点G，F是AD的中点．
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)若EB是∠AEC的平分线，请写出图中所有与AE相等的边．
图1－ZT－12
详解详析
专题训练(一) 平行四边形的性质与判定的灵活运用
1．[答案] 3
2．[答案] 2 4
3．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF.
(2)由(1)知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.
又∵BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
4．解：(1)证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC.
∵E是AB的中点，∴AE＝BE.
又∵∠AED＝∠B，
∴△AED≌△EBC.
(2)∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC.
又∵AD∥EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CD＝AE.
∵AB＝6，∴CD＝AB＝3.
5．[答案] 7
6．[答案] 2 cm
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠BAD＋∠B＝180°，∠DAE＝∠BEA.
又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE.
又∵AE＝BE，∴AB＝BE＝AE，
∴∠B＝60°，
∴∠D＝60°，∠BAD＝∠C＝120°.
[点评] 当平行四边形中有角平分线、线段垂直平分线或特殊角(30°，60°等)时，通常可以转化出等腰三角形，反之亦然．
8．[答案] B
9．[答案] 22
10．[答案] 2
11．[答案] 2
12．解：如图所示，延长BC至点E，使CE＝CM，连接DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥ME.
又∵M是BC的中点，
∴BC＝2CM＝2CE＝2BM，
∴AD＝ME＝10，BE＝15，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴DE＝AM＝9.
又∵BD2＋DE2＝122＋92＝225，
BE2＝152＝225，
∴BD2＋DE2＝BE2，∴BD⊥DE，
∴?ABCD的面积＝2(△BDE的面积－△DCE的面积)＝2×(×9×12－×9×12×)＝72.
13．[答案] D
14．[答案] C
15．解：(1)BF(或DF)
(2)BF DE(或DF BE)
(3)证明BF＝DE：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF.
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF；
证明DF＝BE：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF.
16．解：(1)证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠DBF.
在△AFE和△DFB中，
∴△AFE≌△DFB(AAS)，
∴AE＝BD，
∴AE＝CD.
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
(2)图中所有与AE相等的边有：AF，DF，BD，CD.
理由：∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE＝CD，AD∥EC，
∴∠CEF＝∠AFE.
∵BD＝CD，
∴AE＝BD.
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF＝∠AFE，
∴AE＝AF.
∵△AFE≌△DFB，
∴AF＝DF，
∴AE＝AF＝DF＝BD＝CD.
专题训练(三) 中点问题常用思路
在解答几何问题时会遇到不少中点问题，解答这类问题通常考虑运用以下四类方法解答：
(1)根据等腰三角形“三线合一”解答；
(2)根据线段垂直平分线的性质解答；
(3)根据直角三角形斜边上中线的性质解答；
(4)构造三角形中位线解答．
? 类型一 与等腰三角形有关的中点问题
1．如图3－ZT－1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝12，CD＝AC＝16，M，N分别是对角线BD，AC的中点．
(1)求证：MN⊥AC；
(2)求MN的长．
图3－ZT－1
? 类型二 与垂直平分线有关的中点问题
2．如图3－ZT－2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC.
图3－ZT－2
? 类型三 与直角三角形斜边上的中线有关的中点问题
3．如图3－ZT－3①，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．
(1)求证：MN⊥DE.
(2)连接DM，ME，求证：∠DME＝180°－2∠A.
(3)若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论．
图3－ZT－3
? 类型四 与三角形中位线有关的中点问题
4．如图3－ZT－4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，M，N分别是对角线BD，AC的中点，试探索MN与AD，BC的位置关系与数量关系，并说明理由．
图3－ZT－4
5．2018·白银 如图3－ZT－5，已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
(1)求证：△BGF≌△FHC；
(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
图3－ZT－5
6．已知M为△ABC的边BC的中点，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于点D，连接DM.
(1)如图3－ZT－6①，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长；
(2)如图3－ZT－6②，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长．
图3－ZT－6
7．如图3－ZT－7①，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N.
(1)试说明：FG＝(AB＋BC＋AC)；
(2)如图②，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由；
(3)如图③，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是______________．
图3－ZT－7
详解详析
专题训练(三) 中点问题常用思路
1．解：(1)证明：如图，连接AM，CM，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M是BD的中点，
∴AM＝CM＝BM＝DM＝BD.
又∵N是AC的中点，∴MN⊥AC.
(2)∵∠BCD＝90°，BC＝12，CD＝16，
∴BD＝＝20，
∴AM＝BD＝×20＝10.
∵AC＝16，N是AC的中点，
∴AN＝×16＝8，∴MN＝＝6.
2．证明：如图，连接AM，AN.
∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，
∴BM＝AM，NC＝AN，
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C.
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠MAB＋∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝NC.
3．解：(1)证明：如图①，连接DM，ME.
∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME.
又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.
(2)证明：由(1)知DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD＋∠CME
＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB)
＝360°－2(∠ABC＋∠ACB)
＝360°－2(180°－∠A)
＝2∠A，
∴∠DME＝180°－2∠A.
(3)(1)中的结论成立；(2)中的结论不成立．
理由如下：如图②，连接DM，ME.在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC
＝2(180°－∠BAC)
＝360°－2∠BAC，
∴∠DME＝180°－(360°－2∠BAC)
＝2∠BAC－180°.
4．解：MN∥AD∥BC，MN＝(BC－AD)．
理由如下：连接AM并延长交BC于点H，如图所示．
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠HBD.
在△AMD和△HMB中，
∴△AMD≌△HMB，∴AM＝MH，AD＝BH.
∵AM＝MH，AN＝NC，
∴MN∥HC，MN＝HC，
∴MN∥BC∥AD，MN＝(BC－AD)．
5．解：(1)证明：∵F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴FH∥BE，FH＝BE＝BG，
∴∠CFH＝∠CBG.
又∵BF＝CF，∴△BGF≌△FHC.
(2)连接EF，GH.当四边形EGFH是正方形时，可得EF⊥GH且EF＝GH.
∵在△BEC中，G，H分别是BE，CE的中点，
∴GH＝BC＝AD＝a，且GH∥BC，
∴EF⊥BC.
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB＝EF＝GH＝a，
∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝a·a＝a2.
6．解：(1)如图①，延长BD交AC于点E，
∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，
∴BD＝DE，AE＝AB＝12，
∴CE＝AC－AE＝18－12＝6.
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴MD是△BCE的中位线，
∴MD＝CE＝×6＝3.
(2)如图②，延长BD交CA的延长线于点E，
∵AD为∠BAE的平分线，BD⊥AD，
∴BD＝DE，AE＝AB＝12，
∴CE＝AC＋AE＝18＋12＝30.
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴MD是△BCE的中位线，
∴MD＝CE＝×30＝15.
7．解：(1)∵BD⊥AF，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°.
在△ABF和△MBF中，
∴△ABF≌△MBF，
∴MB＝AB，AF＝MF.
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG是△AMN的中位线，
∴FG＝MN
＝(MB＋BC＋CN)
＝(AB＋BC＋AC)．
(2)FG＝(AB＋AC－BC)．
理由：如图①，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°.
在△ABF和△MBF中，
∴△ABF≌△MBF，
∴MB＝AB，AF＝MF.
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG＝MN
＝(MB＋CN－BC)
＝(AB＋AC－BC)．
(3)FG＝(AC＋BC－AB)．
理由：如图②，延长AF，AG，与直线BC分别相交于点M，N.
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°.
在△ABF和△MBF中，
∴△ABF≌△MBF，
∴MB＝AB，AF＝MF.
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG＝MN
＝(CN＋BC－MB)
＝(AC＋BC－AB)．
专题训练(二) 特殊平行四边形的折叠问题
? 类型一 把一个顶点折叠到一条边上
1．如图2－ZT－1所示，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，求CD的长．
图2－ZT－1
2．如图2－ZT－2，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，连接AE，AE与FG交于点O.
求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形．
图2－ZT－2
? 类型二 把一条边折叠到对角线上
3.
图2－ZT－3
如图2－ZT－3所示，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．准备一张矩形纸片ABCD，按图2－ZT－4所示操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
图2－ZT－4
? 类型三 把一个顶点折叠到另一个顶点上
5．如图2－ZT－5所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
图2－ZT－5
图2－ZT－6
6．2018·三台县模拟 如图2－ZT－6，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上运动，将△AEF沿EF折叠，使点A′落在BC边上，当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动，则A′C长度的取值范围为________．
7．如图2－ZT－7所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．
图2－ZT－7
8．如图2－ZT－8所示，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.
(1)求证：四边形AFCE为菱形；
(2)设AE＝a，DE＝b，CD＝c.请写出a，b，c三者之间的数量关系式，并说明理由．
图2－ZT－8
? 类型四 沿一条直线折叠
图2－ZT－9
9．2018·内江 如图2－ZT－9，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )
A．31° B．28°
C．62° D．56°
10．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图2－ZT－10所示的图形．若∠CED′＝56°，则∠AED＝________°.
图2－ZT－10
图2－ZT－11
11．如图2－ZT－11所示，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心点O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°，则EF＝________cm.
12．如图2－ZT－12，将一张矩形纸片ABCD折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.
求证：(1)∠ABE＝30°；
(2)四边形BFB′E为菱形．
图2－ZT－12
详解详析
专题训练(二) 特殊平行四边形的折叠问题
1．解：根据折叠的性质，知EF＝AE＝5.根据矩形的性质，知∠B＝90°.在Rt△BEF中，∠B＝90°，EF＝5，BF＝3，根据勾股定理，得BE＝＝＝4，∴CD＝AB＝AE＋BE＝5＋4＝9.
2．证明：连接AF.由折叠的性质，可得AG＝EG，∠AGF＝∠EGF.
∵DC∥AB，
∴∠EFG＝∠AGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝EG.
又∵AG＝EG，∴EF＝AG，
∴四边形AGEF是平行四边形．
又∵AG＝EG，∴平行四边形AGEF是菱形，即A，G，E，F四点围成的四边形是菱形．
3．[答案] D
4．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB.
又由折叠的性质，知∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝∠FDB，
∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF.
又∵ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
(2)∵四边形BFDE是菱形，
∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°.
∵∠A＝90°，AB＝2，
∴AE＝，BF＝BE＝2AE＝，
∴菱形BFDE的面积为×2＝.
5．[答案] C
6．[答案] 4 cm≤A′C≤8 cm
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，BC＝AD＝10 cm，CD＝AB＝6 cm.
当点E与点B重合时，A′C的长度最小，
如图①所示：
此时BA′＝BA＝6 cm，
∴A′C＝BC－BA′＝10－6＝4(cm)；
当点F与点D重合时，A′C的长度最大，
如图②所示：
此时A′D＝AD＝10 cm，
∴A′C＝＝8(cm)．
综上所述，A′C长度的取值范围为4 cm≤A′C≤8 cm.
故答案为：4 cm≤A′C≤8 cm.
7．解：设BE＝x，则CE＝BC－BE＝16－x.
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE＝CE＝16－x.
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，
即82＋x2＝(16－x)2，解得x＝6，
∴AE＝16－6＝10.
由翻折的性质，得∠AEF＝∠CEF.
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE＝10.
过点E作EH⊥AD于点H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6，
∴FH＝AF－AH＝10－6＝4.
在Rt△EFH中，EF＝＝＝4 .
8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.
由折叠的性质，得∠AFE＝∠CFE，AF＝CF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴AF＝CF＝AE.
又∵AD′＝CD，∠D′＝∠D，D′E＝DE，
∴△AD′E≌△CDE，
∴AE＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AFCE为菱形．
(2)a，b，c三者之间的数量关系式为a2＝b2＋c2.理由如下：
由(1)知CE＝AE.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.
∵AE＝a，DE＝b，CD＝c，∴CE＝AE＝a.
在Rt△DCE中，CE2＝CD2＋DE2，
∴a，b，c三者之间的数量关系式可写为a2＝b2＋c2.
9．[解析] D ∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°.∵∠BDC＝62°，∴∠ADB＝90°－62°＝28°.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.根据题意可知∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠ADB＝28°，∴∠DFE＝∠ADB＋∠EBD＝56°.故选D.
10．[答案] 62
11．[答案]
12．证明：(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，
∴∠AEB＝∠A′EB.
∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，
∴∠A′EB＝∠FEB′.
∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，
∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°.
又∵∠A＝90°，∴∠ABE＝30°.
(2)∵∠A′EB＝∠FEB′＝60°，EB′∥BF，
∴∠A′EB＝∠FEB′＝∠BFE＝∠EFB′＝60°，
∴△BEF和△EFB′都是等边三角形，
∴BE＝BF＝EF＝EB′＝FB′，
∴四边形BFB′E为菱形．
第9章 中心对称图形—平行四边形
本章中考演练
一、选择题
1．2018·盐城 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
图9－Y－1
2．2018·安徽 在?ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A．BE＝DF B．AE＝CF
C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
3．2018·宁波 如图9－Y－2，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )
A．50° B．40° C．30° D．20°
图9－Y－2
图9－Y－3
4．2018·衢州 如图9－Y－3，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于( )
A．112° B．110°
C．108° D．106°
图9－Y－4
5．2018·临沂 如图9－Y－4，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图9－Y－5
6．2018·金华 如图9－Y－5，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是( )
A．55° B．60°
C．65° D．70°
二、填空题
7．2018·衡阳 如图9－Y－6，?ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么?ABCD的周长是________．
图9－Y－6
图9－Y－7
8．2018·广州 如图9－Y－7，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．
9．2018·株洲 如图9－Y－8，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长为________．
图9－Y－8
图9－Y－9
10．2018·扬州 如图9－Y－9，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为________．
图9－Y－10
11．2018·青岛 如图9－Y－10，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连接GH，则GH的长为________．
三、解答题
12．2018·淮安 已知：如图9－Y－11，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别与AD，BC相交于点E，F.求证：AE＝CF.
图9－Y－11
13．2018·枣庄 如图9－Y－12，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
(3)在图③中，画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
图9－Y－12
14．2018·南通 如图9－Y－13，在?ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：CF＝AB；
(2)连接BD，BF，当∠BCD＝90°时，求证：BD＝BF.
图9－Y－13
15．2018·徐州 已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：
①OA＝OC，②AB＝CD，③∠BAD＝∠DCB，④AD∥BC.
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
(1)构造一个真命题，画图并给出证明；
(2)构造一个假命题，举反例加以说明．
16．2018·泰安 如图9－Y－14，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.
(1)求证：△ECG≌△GHD；
(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论；
(3)若∠B＝30°，判断四边形AEGF是不是菱形，并说明理由．
图9－Y－14
详解详析
本章中考演练
1．[解析] D A．不是轴对称图形，是中心对称图形；B.是轴对称图形，不是中心对称图形；C.是轴对称图形，不是中心对称图形；D.是轴对称图形，也是中心对称图形．故选D.
2．[解析] B 如图，连接AC，与BD相交于点O，
在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可．
A．若BE＝DF，则OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B．若AE＝CF，则无法证得OE＝OF，故本选项符合题意；
C．若AF∥CE，则能够利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
D．若∠BAE＝∠DCF，则能够利用“角边角”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A选项，故本选项不符合题意．
故选B.
3．[解析] B ∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，
∴∠BCA＝180°－60°－80°＝40°.
∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO∥BC，∴∠1＝∠BCA＝40°.
故选B.
4．[解析] D 根据折叠前后对应角相等可知∠DGH＝∠EGH.∵∠AGE＝32°，∴∠EGH＝×(180°－32°)＝74°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GHC＝∠AGH＝∠EGH＋∠AGE＝106°.故选D.
5．[解析] A 因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，所以当对角线AC＝BD时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故说法④正确，故选A.
6．[解析] C ∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠ACD＝90°－20°＝70°.
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＋∠EDC＝180°.
又∵∠EDC＋∠E＋∠DCE＝180°，
∴∠ADC＝∠E＋20°.
∵∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠DAC＋∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°.
在△ADC中，∠ADC＋∠DAC＋∠ACD＝180°，
即45°＋70°＋∠ADC＝180°，
解得∠ADC＝65°，故选C.
7．[答案] 16
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵OM⊥AC，∴AM＝MC.
∴△CDM的周长＝AD＋CD＝8，
∴平行四边形ABCD的周长是2×8＝16.
8．[答案] (－5，4)
[解析] ∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，
∴AB＝5，∴AD＝5，
∴由勾股定理知：OD＝＝＝4，
∴点C的坐标是(－5，4)．
故答案为(－5，4)．
9．[答案] 2.5
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝10，BO＝DO＝BD，
∴DO＝BD＝5.
∵P，Q分别是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ＝DO＝2.5.
故答案为2.5.
10．[答案] (，－)
[解析] 由折叠得∠CBO＝∠DBO.
在矩形ABCO中，BC∥OA，
∴∠CBO＝∠BOA，
∴∠DBO＝∠BOA，
∴BE＝OE.
在△ODE和△BAE中，
∴△ODE≌△BAE(AAS)，
∴AE＝DE.
设DE＝AE＝x，则有OE＝BE＝8－x.
在Rt△ODE中，根据勾股定理，得42＋x2＝(8－x)2，
解得x＝3，即DE＝3，OE＝5.
过点D作DF⊥OA于点F，
∵S△OED＝OD·DE＝OE·DF，
∴DF＝，OF＝＝，
则D(，－)．
11．[答案]
[解析] ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝5，∠BAD＝∠D＝∠C＝90°.又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠DAF＝∠ABE，∴∠ABE＋∠BAG＝90°，∴∠BGF＝∠BGA＝90°.在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝3，∴BF＝＝.在Rt△BGF中，∵H为BF的中点，∴GH＝BF＝.
12．证明：∵?ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF.
13．解：(1)答案不唯一，如图①所示，△DCE即为所作．
(2)答案不唯一，如图②所示，△ACD即为所作．
(3)如图③所示，△ECD即为所作．
14．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE.
又∵BE＝CE，∠AEB＝∠FEC，
∴△AEB≌△FEC，∴CF＝AB.
(2)如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC.
∵AB＝CF，AB∥CF，
∴四边形ACFB是平行四边形，
∴BF＝AC，∴BD＝BF.
15．解：(1)答案不唯一，如以①④为条件构成真命题：在四边形ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
证明如下：如图，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，∠ADB＝∠DBC.
又∵OA＝OC，∴△AOD≌△COB，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
(2)答案不唯一，如以②④为条件构成假命题：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．理由如下：如图，在四边形ABCD中，满足AB＝CD，AD∥BC，四边形ABCD是等腰梯形，不是平行四边形．
16．解：(1)证明：∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA.
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG＝∠FAG，
∴∠CAG＝∠FGA，∴AC∥FG.
∵DE⊥AC，∴FG⊥DE.
又∵FG⊥BC，∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED，
∴∠C＝∠DHG＝90°.
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是DE的中点，
∴FG是线段DE的垂直平分线，
∴GE＝GD，
∴∠GDE＝∠GED，
∴∠CGE＝∠GDE，
∴△ECG≌△GHD.
(2)证明：过点G作GP⊥AB于点P，
∴GC＝GP，而AG＝AG，
∴Rt△CAG≌Rt△PAG，
∴AC＝AP.
由(1)可得EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC＝PD，
∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.
(3)四边形AEGF是菱形．
理由：∵∠B＝30°，DE∥BC，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD.
而F是AD的中点，
∴AE＝AF＝FG.
又由(1)得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形．
又∵AE＝AF，
∴四边形AEGF是菱形．
课件29张PPT。本章总结提升第9章 中心对称图形
——平行四边形本章总结提升第9章 中心对称图形——平行四边形本章总结提升问题1 中心对称与中心对称图形本章总结提升本章总结提升B本章总结提升问题2 旋转和中心对称性质的运用本章总结提升本章总结提升C本章总结提升本章总结提升问题3 平行四边形的性质及其判定本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升问题4 矩形、菱形、正方形的性质与判定本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升问题5 三角形的中位线本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升第9章 中心对称图形—平行四边形
自我综合评价(三)
[测试范围：第9章 中心对称图形——平行四边形 时间：40分钟 分值：100分]
一、选择题(每小题4分，共20分)
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
图9－Z－1
图9－Z－2
2．如图9－Z－2，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，△PCD的面积将( )
A．变大
B．变小
C．不变
D．变大变小要看点P是向左移动还是向右移动
3．下列关于?ABCD的叙述，正确的是( )
A．若AB⊥BC，则?ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则?ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则?ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则?ABCD是正方形
4．如图9－Z－3，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A．m＋n B．mn
C．2(m＋n) D．2(n－m)
图9－Z－3
图9－Z－4
5．如图9－Z－4，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为( )
A．24 B．20
C．16 D．12
二、填空题(每小题4分，共28分)
6．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则它的面积是________，周长是________．
7．如图9－Z－5，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加________条件，就能保证四边形EFGH是菱形．
图9－Z－5
图9－Z－6
8．如图9－Z－6所示，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm.若墙上钉子间的距离AB＝BC＝16 cm.则∠1的度数是________．
9．如图9－Z－7，在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC，BD交于点O，E为边AB的中点，连接OE，则OE的长为________．
图9－Z－7
图9－Z－8
10．如图9－Z－8，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为(a，b)，那么它的对应点P′的坐标为________．
11．如图9－Z－9，?ABCD的周长为20 cm，两条对角线相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F两点，连接CE，则△CDE的周长为________ cm.
图9－Z－9
图9－Z－10
12．如图9－Z－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．
三、解答题(共52分)
13．(8分)如图9－Z－11，在?ABCD中，E是AD边的中点，连接BE，并延长交CD的延长线于点F.
求证：DF＝AB.
图9－Z－11
14．(10分)如图9－Z－12，每个小方格都是边长为1的正方形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系．
(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1.
(2)画出△A1B1C1向上平移4个单位长度后得到的△A2B2C2.
(3)△A2B2C2能否由△ABC绕平面内某一点旋转得到？若能，标出旋转中心P的位置，并写出其坐标；若不能，请简要说明理由．
图9－Z－12
15．(10分)如图9－Z－13，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP，DP，延长BC到点E，使PE＝PB.求证：∠PDC＝∠PEC.
图9－Z－13
16．(12分)如图9－Z－14所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．
(1)AD与BC有何数量关系？请说明理由；
(2)当AB＝DC时，试说明：四边形AEFD是矩形．
图9－Z－14
17．(12分)如图9－Z－15(a)，在矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF.
(1)求证：四边形BFEP为菱形．
(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时(如图(b))，求菱形BFEP的边长；
②若限定点P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
图9－Z－15
详解详析
自我综合评价(三)
1．[答案] A
2．[答案] C
3．[答案] C
4．[解析] A ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝m，AD＝BC＝n.∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE＝CE，∴△CDE的周长＝DE＋CE＋DC＝DE＋AE＋DC＝AD＋DC＝m＋n，故选A.
5．[解析] D ∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积＝×6×8＝24.∵O是菱形的两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝×24＝12.故选D.
6．[答案] 24 20
7．[答案] AC＝BD
8．[答案] 120°
9．[答案] 2
[解析] 在?ABCD中，OA＝OC，又∵E是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝BC＝×4＝2.
10．[答案] (－a－2，－b)
[解析] 由图可知，△ABC关于点(－1，0)对称变换得到△A′B′C′，∵△ABC上的点P的坐标为(a，b)，∴它的对应点P′的坐标为(－a－2，－b)．
11．[答案] 10
[解析] 由题意，得△CDE的周长等于AD＋CD，由此可得△CDE的周长为10 cm.
12．[答案] 10
[解析] 如图，连接DE，交AC于点P，连接PB，则此时PB＋PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴点B，D关于AC对称，∴PB＝PD，∴PB＋PE＝PD＋PE＝DE.∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝8，∴DE＝＝10，故PB＋PE的最小值是10.
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠F.
∵E是AD边的中点，∴AE＝DE.
在△ABE和△DFE中，
∴△ABE≌△DFE(AAS)，
∴DF＝AB.
14．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)能，点P如图所示，其坐标为(0，2)．
15．证明：在正方形ABCD中，BC＝DC，∠BCP＝∠DCP.
在△BCP和△DCP中，
∴△BCP≌△DCP(SAS)，
∴∠PBC＝∠PDC.
∵PB＝PE，
∴∠PBC＝∠PEC，
∴∠PDC＝∠PEC.
16．[解析] (1)可通过证明四边形ABED和四边形AFCD均为平行四边形得出结论；(2)通过说明平行四边形AEFD的对角线AF与DE相等来说明四边形AEFD是矩形．
解：(1)AD＝BC.理由如下：
因为AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，
所以四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
所以AD＝BE，AD＝FC.
又因为四边形AEFD是平行四边形，
所以AD＝EF，
所以AD＝BE＝EF＝FC，
所以AD＝BC.
(2)因为四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
所以DE＝AB，AF＝DC.
因为AB＝DC，
所以DE＝AF.
又因为四边形AEFD是平行四边形，
所以四边形AEFD是矩形．
17．解：(1)证明：∵折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF.
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∴PE＝EF，
∴PB＝BF＝EF＝PE，
∴四边形BFEP为菱形．
(2)①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5 cm，CD＝AB＝3 cm，∠A＝∠D＝90°.
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝5 cm.
在Rt△CDE中，DE＝＝4 cm，
∴AE＝AD－DE＝5－4＝1(cm)．
在Rt△APE中，AE＝1 cm，AP＝3－PB＝3－EP，
∴EP2＝12＋(3－EP)2，解得EP＝ cm，
∴菱形BFEP的边长为 cm.
②当点Q与点C重合时，如题图(b)，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1 cm；
当点P与点A重合时，如图所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3 cm.
∵3－1＝2(cm)，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2 cm.
