【走进重高汇编】八下数学第十八章 第一节 平行四边形的性质训练卷
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| 名称 | 【走进重高汇编】八下数学第十八章 第一节 平行四边形的性质训练卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 09:00:04 | ||
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文档简介
八下数学走进重高汇编 平行四边形的性质
一．选择题（共10小题）
1．在?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：3：3：1 C．3：3：1：1 D．3：1：3：1
2．如图，E是?ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD＝∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD＝CF B．BF＝CF C．AF＝CD D．DE＝EF
3．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
5．如图，在?ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
7．如图，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AB＝2BC，BM＝a，AM＝b，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF＝AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．∠ABC＝60° B．AB：BC＝1：4 C．AB：BC＝5：2 D．AB：BC＝5：8
9．如图，在?ABCD中，∠ABC＝72°，AF⊥BC于F，AF交BD于点E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（ ）
A．60° B．66° C．70° D．72°
10．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根，则?ABCD的周长为（ ）
A．4+2 B．12+6 C．2+2 D．4+2或12+6
二．填空题（共6小题）
11．如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件 使△ABE≌△CDF（只填一个即可）．
12．如图，?ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝ 度．
13．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，与AD交于点E，与BC交于点F，且AD＝5，AB＝4，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为 ．
14．如图，在?ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC+BD＝ ．
15．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
16．在面积为60的?ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB＝10，BC＝12，则CE+CF的值为 ．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE．
求证：AF∥CE．
18．如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹，不写画法），并说明理由．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠GDC的平分线交BC的延长线于E，延长ED交BA的延长线于F．
求证：△FBE是等腰三角形．
20．已知：如图，在?ABCD中，O为对角线的中点．过O的直线MN交AB边于点M，交CD边于点N；过O的另一条直线PQ交AD边于点P，交BC边于点Q，连接PN，MQ．证明：△PON与△QOM全等．
21．如图，?ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
22．如图，AB＝AC，D是BC上任意一点，作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF为平行四边形．
（1）当点D在BC上运动时，∠EDF的大小是否发生变化？为什么？
（2）当AB＝10cm时，求?AEDF的周长；
（3）通过计算（2），你能否得出类似于（1）的结论？写出你的猜想．
23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
八下数学走进重高汇编 平行四边形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：3：3：1 C．3：3：1：1 D．3：1：3：1
【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，根据以上结论即可选出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，
即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，能根据平行四边形的对角相等及平行线的性质进行判断是解此题的关键．
2．如图，E是?ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD＝∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD＝CF B．BF＝CF C．AF＝CD D．DE＝EF
【分析】可证△AEF≌△DEC（AAS或ASA），由∠FCD＝∠D得△DEC、△AEF都是等腰三角形．
故易判断C、D都成立；
∠B＝∠D＝∠F，则CF＝BC＝AD．
没有条件证明BF＝CF．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠B＝∠D，AB∥CD．
∵BF∥CD，∴∠F＝∠FCD，∠FAE＝∠D．
∵AE＝ED，
∴△AEF≌△DEC．
∴AF＝CD，EF＝CE．
∵∠FCD＝∠D，∴CE＝DE．
∴DE＝EF．
故C、D都成立；
∵∠B＝∠D＝∠F，则CF＝BC＝AD．故A成立．
没有条件证明BF＝CF．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．
3．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【分析】据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C＝180°，根据∠B：∠C＝1：2，求出∠C即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B：∠C＝1：2，
∴∠C＝×180°＝120°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB＝∠ABE，又由∠BED＝150°，即可求得∠A的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵∠BED＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5．如图，在?ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，OB＝OD，又由∠ODA＝90°，根据勾股定理，即可求得AD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10cm，BD＝6cm
∴OA＝OC＝AC＝5cm，OB＝OD＝BD＝3cm，
∵∠ODA＝90°，
∴AD＝＝4cm．
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
【分析】由在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得OA＝OC＝AC，2cm＜AC＜8cm，继而求得OA的取值范围．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，
∴OA＝OC＝AC，2cm＜AC＜8cm，
∴1cm＜OA＜4cm．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用．
7．如图，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AB＝2BC，BM＝a，AM＝b，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先利用平行四边形的性质和已知条件证明△MAB为直角三角形，再利用勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：∵M为CD中点，
∴CM＝DM＝CD＝AB＝BC＝AD，
∴∠DAM＝∠DMA，∠CBM＝∠CMB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝2∠DMA，∠D＝2∠CMB，
∴∠DMA+∠CMB＝（∠C+∠D）＝90°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠DMA+∠CMB）＝90°
即△MAB为直角三角形，
∵BM＝a，AM＝b，
∴CD＝AB＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目设计较好，综合性较强．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF＝AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．∠ABC＝60° B．AB：BC＝1：4 C．AB：BC＝5：2 D．AB：BC＝5：8
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB＝∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE＝∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB＝AE，同理可得DC＝DF，再由AB＝DC得到AE＝DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF＝DE，当EF＝AD时，设EF＝x，则AD＝BC＝4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB＝AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
又BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得：DC＝DF，
∴AE＝DF，
∴AE﹣EF＝DF﹣EF，
即AF＝DE，
当EF＝AD时，设EF＝x，则AD＝BC＝4x，
∴AF＝DE＝（AD﹣EF）＝1.5x，
∴AE＝AB＝AF+EF＝2.5x，
∴AB：BC＝2.5：4＝5：8．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．
9．如图，在?ABCD中，∠ABC＝72°，AF⊥BC于F，AF交BD于点E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（ ）
A．60° B．66° C．70° D．72°
【分析】取DE的中点Q，连接AQ，根据平行四边形的性质求出FA⊥AD，根据三角形的内角和定理求出∠BAF，根据直角三角形斜边上的中线求出AQ＝AB，推出∠ABD＝2∠ADB，根据三角形的内角和定理求出∠ADB即可．
【解答】解：取DE的中点Q，连接AQ，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∵AF⊥BC，
∴FA⊥AD，
∴DE＝2AQ＝2DQ，
∵DE＝2AB，
∴AQ＝AB，
∴∠AQB＝∠ABD，
∵AQ＝DQ，
∴∠QAD＝∠ADQ，
∴∠ABD＝∠AQB＝∠QAD+∠ADQ＝2∠ADQ，
∵AF⊥BC，∠ABC＝∠ADC＝72°，
∴∠BAF＝90°﹣72°＝18°，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴3∠ADB＝180°﹣90°﹣18°＝72°，
∴∠ADB＝24°，
∵∠FAD＝90°，
∴∠AED＝180°﹣∠FAD﹣∠ADE＝66°，
故选：B．
【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上 的中线，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能求出∠ABD＝2∠ADB是解此题的关键．
10．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根，则?ABCD的周长为（ ）
A．4+2 B．12+6
C．2+2 D．4+2或12+6
【分析】由a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根，即可求得a的值，又由AE＝EB＝EC＝a，即可求得BC的长，由AE⊥BC，由勾股定理即可求得AB的长，然后由四边形ABCD是平行四边形，即可求得?ABCD的周长．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∵AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根，
∴a＝3，
∴AE＝EB＝EC＝3，
∵AE⊥BC，
∴AB＝＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝EB+EC＝6，
∴?ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝12+6．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及一元二次方程的解法．注意平行四边形的对边相等．
二．填空题（共6小题）
11．如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件 AE＝CF 使△ABE≌△CDF（只填一个即可）．
【分析】根据平行四边形性质推出AB＝CD，AB∥CD，得出∠BAE＝∠DCF，根据SAS证两三角形全等即可．
【解答】解：添加的条件是AE＝CF，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF，
故答案为：AE＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，也培养了学生的发散思维能力，题目比较好，是一道开放性的题目，答案不唯一．
12．如图，?ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝ 25 度．
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形对角相等，邻角互补，所以已知∠A可以求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵?ABCD
∴AD∥BC
∴∠B＝180°﹣∠A＝65°
又∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣65°＝25°．
故答案为25．
【点评】运用平行四边形的性质常解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．
13．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，与AD交于点E，与BC交于点F，且AD＝5，AB＝4，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为 12 ．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝CF，OE＝OF，再根据四边形的周长定义列式代入数据计算即可得解．
【解答】解：在?ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，OE＝OF，
四边形EFCD的周长＝EF+CF+CD+DE＝2OE+AE+DE+CD＝2OE+AD+AB，
∵AD＝5，AB＝4，OE＝1.5，
∴四边形EFCD的周长＝2×1.5+5+4＝3+5+4＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的对边平行，对角线互相平分得到三角形全等的条件是解题的关键．
14．如图，在?ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC+BD＝ 18 ．
【分析】△AOB的周长为15，则AO+BO+AB＝15，又AB＝6，所以OA+OB＝9，根据平行四边形的性质，即可求解．
【解答】解：因为△AOB的周长为15，AB＝6，所以OA+OB＝9；又因为平行四边形的对角线互相平分，所以AC+BD＝18．
故答案为18．
【点评】此题主要考查平行四边形的对角线互相平分．在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．
15．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 1 米．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，
整理，得x2﹣35x+34＝0．
解得，x1＝1，x2＝34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x＝1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程．
16．在面积为60的?ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB＝10，BC＝12，则CE+CF的值为 22+11或2+ ．
【分析】分两种情况：①由平行四边形ABCD的面积求出AE＝5，AF＝6，再根据勾股定理求出BE、DF，求出CE、CF，即可得出结果；
②CE＝10﹣5，CF＝6﹣10，即可得出结果．
【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∠A为锐角时；
∵平行四边形ABCD的面积＝BC?AE＝AB?AF＝60，AB＝10，BC＝12，
∴AE＝5，AF＝6，
∵AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴BE＝＝5，DF＝＝6，
∴CE＝12+5，CF＝10+6，
∴CE+CF＝22+11；
②如图2所示：∠A为钝角时；
由①得：CE＝12﹣5，CF＝6﹣10，
∴CE+CF＝2+；
综上所述，CE+CF的值为22+11或2+．
故答案是：22+11或2+．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE．
求证：AF∥CE．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出∠1＝∠2，DF＝BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠1＝∠2，
∵BF＝DE，
∴BF+BD＝DE+BD，
即DF＝BE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB，
∴AF∥CE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹，不写画法），并说明理由．
【分析】∠AOB的平分线必定经过平行四边形对角线的交点．所以先作平行四边形的对角线，再作∠AOB的平分线．设对角线交点为P，根据平行四边形的性质可得：AP＝BP．再由条件AO＝BO，OP＝OP，可得△APO≌△BPO，进而得到∠AOP＝∠BOP．
【解答】解：如图：OP是∠AOB的平分线；
理由：由四边形AEBF是平行四边形可以知道AP＝BP，
又OA＝0B，
则OP是等腰三角形OAB底边AB上的中线，
所以OP是∠AOB的平分线．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及复杂作图，关键是熟练掌握平行四边形的性质，找出作图的方法．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠GDC的平分线交BC的延长线于E，延长ED交BA的延长线于F．
求证：△FBE是等腰三角形．
【分析】根据DE平分∠GDC，可得∠GDE＝∠CDE，然后根据平行线的性质得出∠GDE＝∠E，∠CDE＝∠F，继而可得∠E＝∠F，即可证明△FBE是等腰三角形．
【解答】证明：∵DE平分∠GDC，
∴∠GDE＝∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，C D∥BF
∴∠GDE＝∠E，∠CDE＝∠F，
∴∠E＝∠F，
∴△FBE是等腰三角形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握平行线的性质，以及角平分线的性质．
20．已知：如图，在?ABCD中，O为对角线的中点．过O的直线MN交AB边于点M，交CD边于点N；过O的另一条直线PQ交AD边于点P，交BC边于点Q，连接PN，MQ．证明：△PON与△QOM全等．
【分析】由在?ABCD中，O为对角线线的中点，易证得△POD≌△QOB，则可得OP＝OQ，同理可得ON＝OM，然后由SAS证得：△PON与△QOM全等．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO＝∠QBO，
在△POD和△QOB中，
，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP＝OQ，
同理：ON＝OM，
在△PON和△QOM中，
，
∴△PON≌△QOM（SAS）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21．如图，?ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
【分析】（1）先证明∠B＝∠EAD，然后利用SAS可进行全等的证明；
（2）证明△ABE为等边三角形，可得∠BAE＝60°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°+25°＝85°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．
22．如图，AB＝AC，D是BC上任意一点，作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF为平行四边形．
（1）当点D在BC上运动时，∠EDF的大小是否发生变化？为什么？
（2）当AB＝10cm时，求?AEDF的周长；
（3）通过计算（2），你能否得出类似于（1）的结论？写出你的猜想．
【分析】（1）由题可知，四边形AEDF为平行四边形，∠EDF＝∠A，所以在D点运动过程中，只要∠A度数不发生变化，它的度数就不变；
（2）平行四边形AEDF中，FD＝AE，AF＝ED，因为ED和AC平行，所以∠EDB和∠C相等，又在等腰三角形ABC中，∠B＝∠C，所以BE＝DE，同理，AF＝BE，即平行四边形AEDF周长等于AB的2倍20；
（3）在D点运动过程中，虽然平行四边形AEDF形状会发生变化，但是线段之间的和差关系不变，即平行四边形AEDF周长永远等于三角形ABC腰长的2倍．
【解答】解：（1）不变，因为四边形AEDF为平行四边形，平行四边形的对角相等；
（2）在?AEDF中，DF＝AE，AF＝DE，ED∥AC
∴∠EDB＝∠C，
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝ED＝AF，
∴C?AEDF＝2（AE+DE）＝2（AE+BE）＝2AB＝20，
即?AEDF的周长等于等腰三角形的两腰之和，周长为20cm；
（3）?AEDF的周长保持不变，周长等于常数20cm．
【点评】本题主要考查了平行四边形中对边相等的性质及应用，以及等腰三角形的等角对等边的性质，难易程度适中．
23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，因为Q、P点的速度
已知，AD、BC的长度已知，要求时间，用时间＝路程÷速度，即可求出时间；
（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD+PC）×AB÷2＝60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；
（3）使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ＝PD、PQ＝QD、QD＝PD；可利用等腰三角形及直角梯形的
性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．
【解答】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形
∴DQ＝CP
当P从B运动到C时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，
CP＝21﹣2t
∴16﹣t＝21﹣2t
解得t＝5
当P从C运动到B时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，
CP＝2t﹣21
∴16﹣t＝2t﹣21，
解得t＝，
∴当t＝5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，
即
解得t＝9（秒）
若点P返回时，CP＝2（t﹣），
则
解得t＝15（秒）．
故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；
（3）当PQ＝PD时
作PH⊥AD于H，则HQ＝HD
∵QH＝HD＝QD＝（16﹣t）
由AH＝BP得
解得秒；
当PQ＝QD时QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t，
∵QD2＝PQ2＝t2+122
∴（16﹣t）2＝122+t2
解得（秒）；
当QD＝PD时DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，
∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+（16﹣2t）2
∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2
即3t2﹣32t+144＝0
∵△＜0，
∴方程无实根，
当点P从C向B运动时，观察图象可知，只有PQ＝PD，
由题意：2t﹣26＝（16﹣t），
t＝．
综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
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日期：2019/3/19 10:09:16；用户：445137740；邮箱：445137740@qq.com；学号：5708951
一．选择题（共10小题）
1．在?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：3：3：1 C．3：3：1：1 D．3：1：3：1
2．如图，E是?ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD＝∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD＝CF B．BF＝CF C．AF＝CD D．DE＝EF
3．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
5．如图，在?ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
7．如图，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AB＝2BC，BM＝a，AM＝b，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF＝AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．∠ABC＝60° B．AB：BC＝1：4 C．AB：BC＝5：2 D．AB：BC＝5：8
9．如图，在?ABCD中，∠ABC＝72°，AF⊥BC于F，AF交BD于点E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（ ）
A．60° B．66° C．70° D．72°
10．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根，则?ABCD的周长为（ ）
A．4+2 B．12+6 C．2+2 D．4+2或12+6
二．填空题（共6小题）
11．如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件 使△ABE≌△CDF（只填一个即可）．
12．如图，?ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝ 度．
13．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，与AD交于点E，与BC交于点F，且AD＝5，AB＝4，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为 ．
14．如图，在?ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC+BD＝ ．
15．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
16．在面积为60的?ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB＝10，BC＝12，则CE+CF的值为 ．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE．
求证：AF∥CE．
18．如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹，不写画法），并说明理由．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠GDC的平分线交BC的延长线于E，延长ED交BA的延长线于F．
求证：△FBE是等腰三角形．
20．已知：如图，在?ABCD中，O为对角线的中点．过O的直线MN交AB边于点M，交CD边于点N；过O的另一条直线PQ交AD边于点P，交BC边于点Q，连接PN，MQ．证明：△PON与△QOM全等．
21．如图，?ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
22．如图，AB＝AC，D是BC上任意一点，作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF为平行四边形．
（1）当点D在BC上运动时，∠EDF的大小是否发生变化？为什么？
（2）当AB＝10cm时，求?AEDF的周长；
（3）通过计算（2），你能否得出类似于（1）的结论？写出你的猜想．
23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
八下数学走进重高汇编 平行四边形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在?ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：3：3：1 C．3：3：1：1 D．3：1：3：1
【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，根据以上结论即可选出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，
即∠A和∠C的数相等，∠B和∠D的数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，能根据平行四边形的对角相等及平行线的性质进行判断是解此题的关键．
2．如图，E是?ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD＝∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD＝CF B．BF＝CF C．AF＝CD D．DE＝EF
【分析】可证△AEF≌△DEC（AAS或ASA），由∠FCD＝∠D得△DEC、△AEF都是等腰三角形．
故易判断C、D都成立；
∠B＝∠D＝∠F，则CF＝BC＝AD．
没有条件证明BF＝CF．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠B＝∠D，AB∥CD．
∵BF∥CD，∴∠F＝∠FCD，∠FAE＝∠D．
∵AE＝ED，
∴△AEF≌△DEC．
∴AF＝CD，EF＝CE．
∵∠FCD＝∠D，∴CE＝DE．
∴DE＝EF．
故C、D都成立；
∵∠B＝∠D＝∠F，则CF＝BC＝AD．故A成立．
没有条件证明BF＝CF．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，即平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．
3．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【分析】据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C＝180°，根据∠B：∠C＝1：2，求出∠C即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B：∠C＝1：2，
∴∠C＝×180°＝120°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB＝∠ABE，又由∠BED＝150°，即可求得∠A的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵∠BED＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
5．如图，在?ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，OB＝OD，又由∠ODA＝90°，根据勾股定理，即可求得AD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10cm，BD＝6cm
∴OA＝OC＝AC＝5cm，OB＝OD＝BD＝3cm，
∵∠ODA＝90°，
∴AD＝＝4cm．
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ）
A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
【分析】由在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得OA＝OC＝AC，2cm＜AC＜8cm，继而求得OA的取值范围．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，
∴OA＝OC＝AC，2cm＜AC＜8cm，
∴1cm＜OA＜4cm．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用．
7．如图，在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，AB＝2BC，BM＝a，AM＝b，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先利用平行四边形的性质和已知条件证明△MAB为直角三角形，再利用勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：∵M为CD中点，
∴CM＝DM＝CD＝AB＝BC＝AD，
∴∠DAM＝∠DMA，∠CBM＝∠CMB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝2∠DMA，∠D＝2∠CMB，
∴∠DMA+∠CMB＝（∠C+∠D）＝90°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠DMA+∠CMB）＝90°
即△MAB为直角三角形，
∵BM＝a，AM＝b，
∴CD＝AB＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的判定和性质、勾股定理的运用，题目设计较好，综合性较强．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF＝AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．∠ABC＝60° B．AB：BC＝1：4 C．AB：BC＝5：2 D．AB：BC＝5：8
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB＝∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE＝∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB＝AE，同理可得DC＝DF，再由AB＝DC得到AE＝DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF＝DE，当EF＝AD时，设EF＝x，则AD＝BC＝4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB＝AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
又BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得：DC＝DF，
∴AE＝DF，
∴AE﹣EF＝DF﹣EF，
即AF＝DE，
当EF＝AD时，设EF＝x，则AD＝BC＝4x，
∴AF＝DE＝（AD﹣EF）＝1.5x，
∴AE＝AB＝AF+EF＝2.5x，
∴AB：BC＝2.5：4＝5：8．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．
9．如图，在?ABCD中，∠ABC＝72°，AF⊥BC于F，AF交BD于点E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（ ）
A．60° B．66° C．70° D．72°
【分析】取DE的中点Q，连接AQ，根据平行四边形的性质求出FA⊥AD，根据三角形的内角和定理求出∠BAF，根据直角三角形斜边上的中线求出AQ＝AB，推出∠ABD＝2∠ADB，根据三角形的内角和定理求出∠ADB即可．
【解答】解：取DE的中点Q，连接AQ，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∵AF⊥BC，
∴FA⊥AD，
∴DE＝2AQ＝2DQ，
∵DE＝2AB，
∴AQ＝AB，
∴∠AQB＝∠ABD，
∵AQ＝DQ，
∴∠QAD＝∠ADQ，
∴∠ABD＝∠AQB＝∠QAD+∠ADQ＝2∠ADQ，
∵AF⊥BC，∠ABC＝∠ADC＝72°，
∴∠BAF＝90°﹣72°＝18°，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴3∠ADB＝180°﹣90°﹣18°＝72°，
∴∠ADB＝24°，
∵∠FAD＝90°，
∴∠AED＝180°﹣∠FAD﹣∠ADE＝66°，
故选：B．
【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上 的中线，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能求出∠ABD＝2∠ADB是解此题的关键．
10．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根，则?ABCD的周长为（ ）
A．4+2 B．12+6
C．2+2 D．4+2或12+6
【分析】由a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根，即可求得a的值，又由AE＝EB＝EC＝a，即可求得BC的长，由AE⊥BC，由勾股定理即可求得AB的长，然后由四边形ABCD是平行四边形，即可求得?ABCD的周长．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∵AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的根，
∴a＝3，
∴AE＝EB＝EC＝3，
∵AE⊥BC，
∴AB＝＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝EB+EC＝6，
∴?ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝12+6．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及一元二次方程的解法．注意平行四边形的对边相等．
二．填空题（共6小题）
11．如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件 AE＝CF 使△ABE≌△CDF（只填一个即可）．
【分析】根据平行四边形性质推出AB＝CD，AB∥CD，得出∠BAE＝∠DCF，根据SAS证两三角形全等即可．
【解答】解：添加的条件是AE＝CF，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF，
故答案为：AE＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，也培养了学生的发散思维能力，题目比较好，是一道开放性的题目，答案不唯一．
12．如图，?ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝ 25 度．
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形对角相等，邻角互补，所以已知∠A可以求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵?ABCD
∴AD∥BC
∴∠B＝180°﹣∠A＝65°
又∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣65°＝25°．
故答案为25．
【点评】运用平行四边形的性质常解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．
13．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，与AD交于点E，与BC交于点F，且AD＝5，AB＝4，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为 12 ．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝CF，OE＝OF，再根据四边形的周长定义列式代入数据计算即可得解．
【解答】解：在?ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，OE＝OF，
四边形EFCD的周长＝EF+CF+CD+DE＝2OE+AE+DE+CD＝2OE+AD+AB，
∵AD＝5，AB＝4，OE＝1.5，
∴四边形EFCD的周长＝2×1.5+5+4＝3+5+4＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的对边平行，对角线互相平分得到三角形全等的条件是解题的关键．
14．如图，在?ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC+BD＝ 18 ．
【分析】△AOB的周长为15，则AO+BO+AB＝15，又AB＝6，所以OA+OB＝9，根据平行四边形的性质，即可求解．
【解答】解：因为△AOB的周长为15，AB＝6，所以OA+OB＝9；又因为平行四边形的对角线互相平分，所以AC+BD＝18．
故答案为18．
【点评】此题主要考查平行四边形的对角线互相平分．在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．
15．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 1 米．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，
整理，得x2﹣35x+34＝0．
解得，x1＝1，x2＝34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x＝1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程．
16．在面积为60的?ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于点F，若AB＝10，BC＝12，则CE+CF的值为 22+11或2+ ．
【分析】分两种情况：①由平行四边形ABCD的面积求出AE＝5，AF＝6，再根据勾股定理求出BE、DF，求出CE、CF，即可得出结果；
②CE＝10﹣5，CF＝6﹣10，即可得出结果．
【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∠A为锐角时；
∵平行四边形ABCD的面积＝BC?AE＝AB?AF＝60，AB＝10，BC＝12，
∴AE＝5，AF＝6，
∵AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴BE＝＝5，DF＝＝6，
∴CE＝12+5，CF＝10+6，
∴CE+CF＝22+11；
②如图2所示：∠A为钝角时；
由①得：CE＝12﹣5，CF＝6﹣10，
∴CE+CF＝2+；
综上所述，CE+CF的值为22+11或2+．
故答案是：22+11或2+．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE．
求证：AF∥CE．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出∠1＝∠2，DF＝BE，由SAS证明△ADF≌△CBE，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠1＝∠2，
∵BF＝DE，
∴BF+BD＝DE+BD，
即DF＝BE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB，
∴AF∥CE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹，不写画法），并说明理由．
【分析】∠AOB的平分线必定经过平行四边形对角线的交点．所以先作平行四边形的对角线，再作∠AOB的平分线．设对角线交点为P，根据平行四边形的性质可得：AP＝BP．再由条件AO＝BO，OP＝OP，可得△APO≌△BPO，进而得到∠AOP＝∠BOP．
【解答】解：如图：OP是∠AOB的平分线；
理由：由四边形AEBF是平行四边形可以知道AP＝BP，
又OA＝0B，
则OP是等腰三角形OAB底边AB上的中线，
所以OP是∠AOB的平分线．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及复杂作图，关键是熟练掌握平行四边形的性质，找出作图的方法．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠GDC的平分线交BC的延长线于E，延长ED交BA的延长线于F．
求证：△FBE是等腰三角形．
【分析】根据DE平分∠GDC，可得∠GDE＝∠CDE，然后根据平行线的性质得出∠GDE＝∠E，∠CDE＝∠F，继而可得∠E＝∠F，即可证明△FBE是等腰三角形．
【解答】证明：∵DE平分∠GDC，
∴∠GDE＝∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，C D∥BF
∴∠GDE＝∠E，∠CDE＝∠F，
∴∠E＝∠F，
∴△FBE是等腰三角形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握平行线的性质，以及角平分线的性质．
20．已知：如图，在?ABCD中，O为对角线的中点．过O的直线MN交AB边于点M，交CD边于点N；过O的另一条直线PQ交AD边于点P，交BC边于点Q，连接PN，MQ．证明：△PON与△QOM全等．
【分析】由在?ABCD中，O为对角线线的中点，易证得△POD≌△QOB，则可得OP＝OQ，同理可得ON＝OM，然后由SAS证得：△PON与△QOM全等．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO＝∠QBO，
在△POD和△QOB中，
，
∴△POD≌△QOB（ASA），
∴OP＝OQ，
同理：ON＝OM，
在△PON和△QOM中，
，
∴△PON≌△QOM（SAS）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21．如图，?ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
【分析】（1）先证明∠B＝∠EAD，然后利用SAS可进行全等的证明；
（2）证明△ABE为等边三角形，可得∠BAE＝60°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°+25°＝85°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题注意掌握平行四边形的对边平行且相等的性质．
22．如图，AB＝AC，D是BC上任意一点，作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF为平行四边形．
（1）当点D在BC上运动时，∠EDF的大小是否发生变化？为什么？
（2）当AB＝10cm时，求?AEDF的周长；
（3）通过计算（2），你能否得出类似于（1）的结论？写出你的猜想．
【分析】（1）由题可知，四边形AEDF为平行四边形，∠EDF＝∠A，所以在D点运动过程中，只要∠A度数不发生变化，它的度数就不变；
（2）平行四边形AEDF中，FD＝AE，AF＝ED，因为ED和AC平行，所以∠EDB和∠C相等，又在等腰三角形ABC中，∠B＝∠C，所以BE＝DE，同理，AF＝BE，即平行四边形AEDF周长等于AB的2倍20；
（3）在D点运动过程中，虽然平行四边形AEDF形状会发生变化，但是线段之间的和差关系不变，即平行四边形AEDF周长永远等于三角形ABC腰长的2倍．
【解答】解：（1）不变，因为四边形AEDF为平行四边形，平行四边形的对角相等；
（2）在?AEDF中，DF＝AE，AF＝DE，ED∥AC
∴∠EDB＝∠C，
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝ED＝AF，
∴C?AEDF＝2（AE+DE）＝2（AE+BE）＝2AB＝20，
即?AEDF的周长等于等腰三角形的两腰之和，周长为20cm；
（3）?AEDF的周长保持不变，周长等于常数20cm．
【点评】本题主要考查了平行四边形中对边相等的性质及应用，以及等腰三角形的等角对等边的性质，难易程度适中．
23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，因为Q、P点的速度
已知，AD、BC的长度已知，要求时间，用时间＝路程÷速度，即可求出时间；
（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD+PC）×AB÷2＝60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；
（3）使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ＝PD、PQ＝QD、QD＝PD；可利用等腰三角形及直角梯形的
性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．
【解答】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形
∴DQ＝CP
当P从B运动到C时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，
CP＝21﹣2t
∴16﹣t＝21﹣2t
解得t＝5
当P从C运动到B时，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，
CP＝2t﹣21
∴16﹣t＝2t﹣21，
解得t＝，
∴当t＝5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，
即
解得t＝9（秒）
若点P返回时，CP＝2（t﹣），
则
解得t＝15（秒）．
故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；
（3）当PQ＝PD时
作PH⊥AD于H，则HQ＝HD
∵QH＝HD＝QD＝（16﹣t）
由AH＝BP得
解得秒；
当PQ＝QD时QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t，
∵QD2＝PQ2＝t2+122
∴（16﹣t）2＝122+t2
解得（秒）；
当QD＝PD时DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，
∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+（16﹣2t）2
∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2
即3t2﹣32t+144＝0
∵△＜0，
∴方程无实根，
当点P从C向B运动时，观察图象可知，只有PQ＝PD，
由题意：2t﹣26＝（16﹣t），
t＝．
综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
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