【走进重高汇编】八下数学第十八章 第二节 平行四边形的判定
文档属性
| 名称 | 【走进重高汇编】八下数学第十八章 第二节 平行四边形的判定 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-03 18:53:27 | ||
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文档简介
八下数学走进重高汇编 平行四边形的判定
一．选择题（共10小题）
1．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行 B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等 D．一组对角相等的四边形是平行四边形
2．给定平面上不在同一直线上的三点，以这三点为顶点的平行四边形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
4．如图，已知在△ABC中，AB＝6，BC＝10，AC＝8，D是AB的中点，DE∥BC，EF∥AB，则四边形DBFE的周长等于（ ）
A．16 B．24 C．14 D．18
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
6．如图所示，在?ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）
①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或③或④
7．以A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1）三点为顶点画平行四边形，第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，垂足为D，E为BC中点，则DE的长度是（ ）
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．2.5cm
9．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线的中点，点E和点F分别是CD与AB的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
10．一个木板上钉有九枚铁钉，顶尖向上（如图）用橡皮筋套住其中4枚铁钉，构成一个平行四边形，共有（ ）种套法．
A．40 B．24 C．22 D．21
二．填空题（共6小题）
11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是 ．（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．
12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝6cm，AC＝8cm，则四边形ADEF的周长等于 cm．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点F在AC延长线上，，DE是△ABC中位线，如果∠1＝30°，DE＝2，则四边形AFED的周长是 ．
14．如图，?ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，AB的长是1，则EF＝ ．
15．如图，在?ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的是 ．
16．如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是 ．
三．解答题（共7小题）
17．如图，AE∥FD，AE＝FD，B、C在直线EF上，且BE＝CF，
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）试证明：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F分别是AD，AB中点，AD＝BD
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若AD＝a，AB＝b，求△CEF的周长．
19．如图，已知点M、N分别为?ABCD的边CD、AB的中点，连接AM、CN．
（1）证明：AM＝CN；
（2）过点B作BH⊥AM于点H，交CN于点E，连接CH，判断线段CB、CH的数量关系，并说明理由．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）
（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）
（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．
21．如图①，在△ADE中，AD＝AE，B、C分别是AD、AE的中点．
（1）把在△ADE绕点A沿顺时针方向旋转后得图②，求证：△BAD≌△CAE；
（2）如图③，设F、G、H、I分别是线段BC、CE、ED、DB的中点，求证：四边形FGHI是平行四边形．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒．
（1）求AB与CE间的距离；
（2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；
（3）直接写出t为何值时，PF＝3．
23．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
八下数学走进重高汇编 平行四边形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行 B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等 D．一组对角相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的性质定理以及判定定理即可作出判断．
【解答】解：A、正确；
B、正确；
C、正确；
D、一组对角相等而另一组对角不相等的四边形不是平行四边形，故命题错误．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及判定定理，正确理解定理是关键．
2．给定平面上不在同一直线上的三点，以这三点为顶点的平行四边形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】只要将三角形的三边作为平行四边形的对角线作图，就可得出结论．
【解答】解：如图所示：
以点A，B，C为顶点能做三个平行四边形：?ABCD，?ABFC，?AEBC．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理作图是解决问题的关键．
3．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE＝3cm，即可求得AB＝6cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
4．如图，已知在△ABC中，AB＝6，BC＝10，AC＝8，D是AB的中点，DE∥BC，EF∥AB，则四边形DBFE的周长等于（ ）
A．16 B．24 C．14 D．18
【分析】根据中位线定理求出DE和EF的长，根据平行四边形的周长公式求出四边形DBFE的周长．
【解答】解：∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴E是AC的中点，
∴DE＝BC＝5，
∵E是AC的中点，EF∥AB，
∴F是BC的中点，
∴EF＝AB＝3，
∴平行四边形DBFE的周长为：（5+3）×2＝16，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP＝BQ，据此列出方程求解即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，则CP＝12﹣3t，BQ＝t，
根据题意得到12﹣3t＝t，
解得：t＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及动点问题，解题的关键是化动为静，分别表示出CP和BQ的长，难度不大．
6．如图所示，在?ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）
①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或③或④
【分析】③可以采用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得；
④可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得；
①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；所以此题应选择③与④．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，AD＝BC，
如果∠BAE＝∠FCD，
则△ABE≌△DFC（ASA）
∴BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；（③正确）
如果∠BEA＝∠FCE，
则AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；（④正确）
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
7．以A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1）三点为顶点画平行四边形，第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先根据平行线的性质，易求得第四个顶点的坐标，继而求得答案．
【解答】解：如图，
∵第四个顶点可能为：D1（2，1），D2（4，﹣1），D3（﹣4，﹣1），
∴第四个顶点不可能在第二象限．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，垂足为D，E为BC中点，则DE的长度是（ ）
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．2.5cm
【分析】延长CD交AB于F，利用“角边角”证明△ACD和△AFD全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝AC，DF＝CD，然后求出BF的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【解答】解：如图，延长CD交AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ACD和△AFD中，
∵，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
∴AF＝AC，DF＝CD，
∵AB＝6cm，AC＝4cm，
∴BF＝AB﹣AF＝6﹣4＝2cm，
又∵E为BC中点，
∴DE＝BF＝×2＝1cm．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形以及DE为中位线的△BCF是解题的关键．
9．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线的中点，点E和点F分别是CD与AB的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，根据“等腰三角形的两个底角相等”的性质和三角形内角和定理来求∠EPF的度数．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．
∴∠PEF＝∠PFE＝20°，
∴∠EPF＝180°﹣2∠PEF＝140°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
10．一个木板上钉有九枚铁钉，顶尖向上（如图）用橡皮筋套住其中4枚铁钉，构成一个平行四边形，共有（ ）种套法．
A．40 B．24 C．22 D．21
【分析】矩形十个（最小的四个，长方形四个，最大的一个，各边中点连起来一个）然后横向平行四边形可以有六个（就是图中那几个，换个方向，369那边也是一样6个），由此即可解决问题；
【解答】解：
故选：C．
【点评】本题综合考查平行四边形的判定．把这个九枚铁钉分成横竖6排，每排上有两个点来求解．
二．填空题（共6小题）
11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是 AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C等（不唯一） ．（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．
【分析】本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
【解答】解：可添加的条件有：AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C等，答案不唯一；
以∠A＝∠C为例进行说明；
证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°；
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°；
∴AD∥BC；
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C等（不唯一）
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答此类题的关键．
12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝6cm，AC＝8cm，则四边形ADEF的周长等于 14 cm．
【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．
【解答】解：∵BD＝AD，BE＝EC，
∴DE＝AC＝4cm，DE∥AC，
∵CF＝FA，CE＝BE，
∴EF＝AB＝3cm，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝14cm．
故答案为14．
【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点F在AC延长线上，，DE是△ABC中位线，如果∠1＝30°，DE＝2，则四边形AFED的周长是 16 ．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE＝AC，从而得到CF＝DE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF＝2CF，利用勾股定理列式求出CE，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB，从而得到AD的长度，最后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵DE是△ABC中位线，
∴DE＝AC，
∵CF＝AC，
∴CF＝DE＝2，
∵∠1＝30°，∠ACB＝90°，
∴EF＝2CF＝2×2＝4，
由勾股定理得，CE＝＝＝2，
∴BC＝2CE＝4，
又∵AC＝2DE＝2×2＝4，
∴AB＝＝＝8，
∴AD＝AB＝4，
∴四边形AFED的周长＝4+（4+2）+4+2＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记各性质与定理并准确识图，理清图中各线段的关系然后求解是解题的关键．
14．如图，?ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，AB的长是1，则EF＝ ．
【分析】根据平行四边形性质推出AB＝CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE＝DC＝AB，求出CE的长，进而根据直角三角形性质求出EF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°，
∵AB＝1，
∴CE＝2，
∴EF＝CE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，解题的关键是求出CE＝2AB，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
15．如图，在?ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的是 ①②④⑤⑥ ．
【分析】连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，推出OE＝OF，得出平行四边形BEDF，求出BN＝DM，即可求出各个选项．
【解答】解：
连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝BO，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，BE∥DF，∴①正确；②正确；④正确；
∵根据已知不能推出AB＝DE，∴③错误；
∵BN⊥AC，DM⊥AC，
∴∠BNO＝∠DMO＝90°，
在△BNO和△DMO中
∴△BNO≌△DMO（AAS），
∴BN＝DM，
∵S△ADE＝×AE×DM，S△ABE＝×AE×BN，
∴S△ADE＝S△ABE，∴⑤正确；
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，∴⑥正确；
故答案为：①②④⑤⑥．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
16．如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是 5 ．
【分析】分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【解答】解：如图，分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，
∵△APC和△BPD是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴△AHB是等边三角形，
∵∠A＝∠DPB＝60°，
∴AH∥PD，
∵∠B＝∠CPA＝60°，
∴BH∥PC，
∴四边形CPDH为平行四边形，
∴CD与HP互相平分．
∵G为CD的中点，
∴G正好为PH中点，
∵△ABH是等边三角形，
∴在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．
∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
三．解答题（共7小题）
17．如图，AE∥FD，AE＝FD，B、C在直线EF上，且BE＝CF，
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）试证明：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据SAS即可证明；
（2）只要证明AB∥CD，AB＝CD即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AE∥DF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵AE＝FD，BE＝CF，
∴△AEB≌△DFC．
（2）解：连接AC、BD．
∵△AEB≌△DFC，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF，
∴AB∥DC，
∴四边形ABDC是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F分别是AD，AB中点，AD＝BD
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若AD＝a，AB＝b，求△CEF的周长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF＝BD，根据直角三角形的性质得到CE＝AD，根据题意得到CE＝EF；
（2）根据三角形中位线定理、直角三角形的性质求出CE＝EF＝a，CF＝b，根据周长公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵点E，F分别是AD，AB中点，
∴EF＝BD，
∵∠ACB＝90°，点E是AD的中点，
∴CE＝AD，
∵AD＝BD，
∴CE＝EF，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）解：由（1）得，CE＝EF＝AD＝a，
∵∠ACB＝90°，点F是AB中点，
∴CF＝AB＝b，
∴△CEF的周长＝a+b．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
19．如图，已知点M、N分别为?ABCD的边CD、AB的中点，连接AM、CN．
（1）证明：AM＝CN；
（2）过点B作BH⊥AM于点H，交CN于点E，连接CH，判断线段CB、CH的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AN∥MC，AN＝CM，进而利用平行四边形的判定得出答案；
（2）利用三角形中位线定理的推论得出HE＝EB，以及利用平行线的性质得出NC⊥HB，再利用线段垂直平分线的性质得出答案．
【解答】解：（1）AM∥NC，
理由：∵点M、N分别为?ABCD的边CD、AB的中点，
∴AB＝CD，MC＝AN，AB∥CD，
∴AN∥MC，AN＝MC，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴AM＝NC；
（2）BC＝HC，
理由：∵AM∥NC，AN＝BN，
∴BE＝HE，
∵BH⊥AM，
∴EB⊥NE，
∴NC垂直平分HB，
∴HC＝BC．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定以及平行线的性质等知识，得出HE＝BE是解题关键．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）
（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）
（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．
【分析】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．
（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD＝∠FDG＝30°，进而求出∠AGD＝90°，故△AGD的形状可证．
【解答】解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，
可知PE＝，
PE∥AB，
∴∠PEF＝∠ANF，
同理PF＝，
PF∥CD，
∴∠PFE＝∠CME，
又PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形．
（2）判断出△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF＝AB，
同理，HE∥CD，HE＝CD，
∵AB＝CD
∴HF＝HE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∵∠EFC＝60°，
∴∠HEF＝60°，
∴∠HEF＝∠HFE＝60°，
∴△EHF是等边三角形，
∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF＝FD，
∴GF＝FD，
∴∠FGD＝∠FDG＝30°
∴∠AGD＝90°
即△AGD是直角三角形．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答此题的关键是作出三条辅助线，构造出和中位线定理相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
21．如图①，在△ADE中，AD＝AE，B、C分别是AD、AE的中点．
（1）把在△ADE绕点A沿顺时针方向旋转后得图②，求证：△BAD≌△CAE；
（2）如图③，设F、G、H、I分别是线段BC、CE、ED、DB的中点，求证：四边形FGHI是平行四边形．
【分析】（1）根据AD＝AE可得AB＝AC，再根据旋转可得∠BAD＝∠CAE，然后再利用SAS证明△BAD≌△CAE；
（2）连结CD，根据F、G、H、I分别是线段BC、CE、ED、DB的中点可得FI∥CD，FI＝CD，GH∥CD，GH＝CD，进而得到FI∥GH，FI＝GH，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出结论．
【解答】证明：（1）∵AD＝AE，B、C分别是AD、AE的中点，
∴AB＝AC，
根据旋转可得∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）连结CD，
∵F、G、H、I分别是线段BC、CE、ED、DB的中点，
∴FI∥CD，FI＝CD，GH∥CD，GH＝CD，
∴FI∥GH，FI＝GH，
∴四边形FGHI是平行四边形，
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定，三角形中位线的性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒．
（1）求AB与CE间的距离；
（2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；
（3）直接写出t为何值时，PF＝3．
【分析】（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；
（3）根据平行四边形的判定与性质，可得；根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质，可得t＝4.3．
【解答】解：（1）如图，作CH⊥AB于点H，
∵BC＝3，AC＝4，
∴根据勾股定理得：AB＝＝5，
∴AB?CH＝AC?BC，即×5×CH＝×4×3，
∴CH＝，
则AB与CE间的距离为；
（2）∵D是AC中点，
∴当P为AB中点时，PD∥BC，
又∵CE∥BA，
∴四边形PBCF为平行四边形，
此时PB＝AB，即t＝；
（3）∵EC∥AB，
∴∠A＝∠FCD，∠APD＝∠CFD．
在△ADP和△CDF中，
∴△ADP≌△CDF，
FD＝DP＝＝BC，
∴P是AB的中点，
PB＝，即t＝；
作FH∥BC，FG⊥AB于G，如图1，
∵EC∥AB，
∴∠A＝∠FCD，∠APD＝∠CFD．
在△ADP和△CDF中，
∴△ADP≌△CDF，
AP＝FC．
∵FH∥BC，FC∥HB，
∴FH＝BC＝PF＝3，HB＝FC＝AP．
∵FG＝＝＝2.4．
HG＝＝＝1.8，
PH＝2HG＝3.6．
HB＝AP＝＝0.7，
PB＝AB﹣AP＝5﹣0.7＝4.3，
即t＝4.3，
综上所述：t的值为，4.3．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
23．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
【分析】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC＝BC，得出DC＝DG，从而EC＝FG，易证∠1＝∠2＝90°﹣∠DFC，∠CEF＝∠FGH＝135°，由AAS证出△CEF≌△FGH．∴CF＝FH．
（2）通过证明△CEF≌△FGH（ASA）得出．
【解答】解：（1）FH与FC的数量关系是：FH＝FC．
证明如下：延长DF交AB于点G，
由题意，知∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且，
∴DG为△ABC的中位线，
∴．
∵AC＝BC，
∴DC＝DG，
∴DC﹣DE＝DG﹣DF，
即EC＝FG．
∵∠EDF＝90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD＝90°，∠2+∠CFD＝90°，
∴∠1＝∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DGA＝45°，
∴∠CEF＝∠FGH＝135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF＝FH．
（2）FH与FC仍然相等．
理由：由题意可得出：DF＝DE，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA＝∠FGB＝45°，
∴∠FGH＝∠CEF＝45°，
∵点D为AC的中点，DF∥BC，
∴DG＝BC，DC＝AC，
∴DG＝DC，
∴EC＝GF，
∵∠DFC＝∠FCB，
∴∠GFH＝∠FCE，
在△FCE和△HFG中
，
∴△FCE≌△HFG（ASA），
∴HF＝FC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大．
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日期：2019/3/19 10:13:50；用户：445137740；邮箱：445137740@qq.com；学号：5708951
一．选择题（共10小题）
1．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行 B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等 D．一组对角相等的四边形是平行四边形
2．给定平面上不在同一直线上的三点，以这三点为顶点的平行四边形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
4．如图，已知在△ABC中，AB＝6，BC＝10，AC＝8，D是AB的中点，DE∥BC，EF∥AB，则四边形DBFE的周长等于（ ）
A．16 B．24 C．14 D．18
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
6．如图所示，在?ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）
①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或③或④
7．以A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1）三点为顶点画平行四边形，第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，垂足为D，E为BC中点，则DE的长度是（ ）
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．2.5cm
9．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线的中点，点E和点F分别是CD与AB的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
10．一个木板上钉有九枚铁钉，顶尖向上（如图）用橡皮筋套住其中4枚铁钉，构成一个平行四边形，共有（ ）种套法．
A．40 B．24 C．22 D．21
二．填空题（共6小题）
11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是 ．（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．
12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝6cm，AC＝8cm，则四边形ADEF的周长等于 cm．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点F在AC延长线上，，DE是△ABC中位线，如果∠1＝30°，DE＝2，则四边形AFED的周长是 ．
14．如图，?ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，AB的长是1，则EF＝ ．
15．如图，在?ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的是 ．
16．如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是 ．
三．解答题（共7小题）
17．如图，AE∥FD，AE＝FD，B、C在直线EF上，且BE＝CF，
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）试证明：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F分别是AD，AB中点，AD＝BD
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若AD＝a，AB＝b，求△CEF的周长．
19．如图，已知点M、N分别为?ABCD的边CD、AB的中点，连接AM、CN．
（1）证明：AM＝CN；
（2）过点B作BH⊥AM于点H，交CN于点E，连接CH，判断线段CB、CH的数量关系，并说明理由．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）
（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）
（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．
21．如图①，在△ADE中，AD＝AE，B、C分别是AD、AE的中点．
（1）把在△ADE绕点A沿顺时针方向旋转后得图②，求证：△BAD≌△CAE；
（2）如图③，设F、G、H、I分别是线段BC、CE、ED、DB的中点，求证：四边形FGHI是平行四边形．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒．
（1）求AB与CE间的距离；
（2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；
（3）直接写出t为何值时，PF＝3．
23．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
八下数学走进重高汇编 平行四边形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行 B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等 D．一组对角相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的性质定理以及判定定理即可作出判断．
【解答】解：A、正确；
B、正确；
C、正确；
D、一组对角相等而另一组对角不相等的四边形不是平行四边形，故命题错误．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及判定定理，正确理解定理是关键．
2．给定平面上不在同一直线上的三点，以这三点为顶点的平行四边形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】只要将三角形的三边作为平行四边形的对角线作图，就可得出结论．
【解答】解：如图所示：
以点A，B，C为顶点能做三个平行四边形：?ABCD，?ABFC，?AEBC．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理作图是解决问题的关键．
3．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE＝3cm，即可求得AB＝6cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
4．如图，已知在△ABC中，AB＝6，BC＝10，AC＝8，D是AB的中点，DE∥BC，EF∥AB，则四边形DBFE的周长等于（ ）
A．16 B．24 C．14 D．18
【分析】根据中位线定理求出DE和EF的长，根据平行四边形的周长公式求出四边形DBFE的周长．
【解答】解：∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴E是AC的中点，
∴DE＝BC＝5，
∵E是AC的中点，EF∥AB，
∴F是BC的中点，
∴EF＝AB＝3，
∴平行四边形DBFE的周长为：（5+3）×2＝16，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP＝BQ，据此列出方程求解即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，则CP＝12﹣3t，BQ＝t，
根据题意得到12﹣3t＝t，
解得：t＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及动点问题，解题的关键是化动为静，分别表示出CP和BQ的长，难度不大．
6．如图所示，在?ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）
①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或③或④
【分析】③可以采用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得；
④可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得；
①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；所以此题应选择③与④．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC，AD＝BC，
如果∠BAE＝∠FCD，
则△ABE≌△DFC（ASA）
∴BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；（③正确）
如果∠BEA＝∠FCE，
则AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；（④正确）
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
7．以A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1）三点为顶点画平行四边形，第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先根据平行线的性质，易求得第四个顶点的坐标，继而求得答案．
【解答】解：如图，
∵第四个顶点可能为：D1（2，1），D2（4，﹣1），D3（﹣4，﹣1），
∴第四个顶点不可能在第二象限．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，垂足为D，E为BC中点，则DE的长度是（ ）
A．1cm B．1.5cm C．2cm D．2.5cm
【分析】延长CD交AB于F，利用“角边角”证明△ACD和△AFD全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝AC，DF＝CD，然后求出BF的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．
【解答】解：如图，延长CD交AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ACD和△AFD中，
∵，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
∴AF＝AC，DF＝CD，
∵AB＝6cm，AC＝4cm，
∴BF＝AB﹣AF＝6﹣4＝2cm，
又∵E为BC中点，
∴DE＝BF＝×2＝1cm．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形以及DE为中位线的△BCF是解题的关键．
9．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线的中点，点E和点F分别是CD与AB的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，根据“等腰三角形的两个底角相等”的性质和三角形内角和定理来求∠EPF的度数．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．
∴∠PEF＝∠PFE＝20°，
∴∠EPF＝180°﹣2∠PEF＝140°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
10．一个木板上钉有九枚铁钉，顶尖向上（如图）用橡皮筋套住其中4枚铁钉，构成一个平行四边形，共有（ ）种套法．
A．40 B．24 C．22 D．21
【分析】矩形十个（最小的四个，长方形四个，最大的一个，各边中点连起来一个）然后横向平行四边形可以有六个（就是图中那几个，换个方向，369那边也是一样6个），由此即可解决问题；
【解答】解：
故选：C．
【点评】本题综合考查平行四边形的判定．把这个九枚铁钉分成横竖6排，每排上有两个点来求解．
二．填空题（共6小题）
11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是 AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C等（不唯一） ．（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．
【分析】本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
【解答】解：可添加的条件有：AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C等，答案不唯一；
以∠A＝∠C为例进行说明；
证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°；
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°；
∴AD∥BC；
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C等（不唯一）
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答此类题的关键．
12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB＝6cm，AC＝8cm，则四边形ADEF的周长等于 14 cm．
【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．
【解答】解：∵BD＝AD，BE＝EC，
∴DE＝AC＝4cm，DE∥AC，
∵CF＝FA，CE＝BE，
∴EF＝AB＝3cm，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝14cm．
故答案为14．
【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型．
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点F在AC延长线上，，DE是△ABC中位线，如果∠1＝30°，DE＝2，则四边形AFED的周长是 16 ．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE＝AC，从而得到CF＝DE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF＝2CF，利用勾股定理列式求出CE，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB，从而得到AD的长度，最后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵DE是△ABC中位线，
∴DE＝AC，
∵CF＝AC，
∴CF＝DE＝2，
∵∠1＝30°，∠ACB＝90°，
∴EF＝2CF＝2×2＝4，
由勾股定理得，CE＝＝＝2，
∴BC＝2CE＝4，
又∵AC＝2DE＝2×2＝4，
∴AB＝＝＝8，
∴AD＝AB＝4，
∴四边形AFED的周长＝4+（4+2）+4+2＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记各性质与定理并准确识图，理清图中各线段的关系然后求解是解题的关键．
14．如图，?ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，AB的长是1，则EF＝ ．
【分析】根据平行四边形性质推出AB＝CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE＝DC＝AB，求出CE的长，进而根据直角三角形性质求出EF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°，
∵AB＝1，
∴CE＝2，
∴EF＝CE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，解题的关键是求出CE＝2AB，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
15．如图，在?ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF，在①BE＝DF；②BE∥DF；③AB＝DE；④四边形EBFD为平行四边形；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的是 ①②④⑤⑥ ．
【分析】连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，推出OE＝OF，得出平行四边形BEDF，求出BN＝DM，即可求出各个选项．
【解答】解：
连接BD交AC于O，过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝BO，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，BE∥DF，∴①正确；②正确；④正确；
∵根据已知不能推出AB＝DE，∴③错误；
∵BN⊥AC，DM⊥AC，
∴∠BNO＝∠DMO＝90°，
在△BNO和△DMO中
∴△BNO≌△DMO（AAS），
∴BN＝DM，
∵S△ADE＝×AE×DM，S△ABE＝×AE×BN，
∴S△ADE＝S△ABE，∴⑤正确；
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，∴⑥正确；
故答案为：①②④⑤⑥．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
16．如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是 5 ．
【分析】分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【解答】解：如图，分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，
∵△APC和△BPD是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴△AHB是等边三角形，
∵∠A＝∠DPB＝60°，
∴AH∥PD，
∵∠B＝∠CPA＝60°，
∴BH∥PC，
∴四边形CPDH为平行四边形，
∴CD与HP互相平分．
∵G为CD的中点，
∴G正好为PH中点，
∵△ABH是等边三角形，
∴在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．
∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
三．解答题（共7小题）
17．如图，AE∥FD，AE＝FD，B、C在直线EF上，且BE＝CF，
（1）求证：△ABE≌△DCF；
（2）试证明：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据SAS即可证明；
（2）只要证明AB∥CD，AB＝CD即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AE∥DF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵AE＝FD，BE＝CF，
∴△AEB≌△DFC．
（2）解：连接AC、BD．
∵△AEB≌△DFC，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF，
∴AB∥DC，
∴四边形ABDC是平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F分别是AD，AB中点，AD＝BD
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若AD＝a，AB＝b，求△CEF的周长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF＝BD，根据直角三角形的性质得到CE＝AD，根据题意得到CE＝EF；
（2）根据三角形中位线定理、直角三角形的性质求出CE＝EF＝a，CF＝b，根据周长公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵点E，F分别是AD，AB中点，
∴EF＝BD，
∵∠ACB＝90°，点E是AD的中点，
∴CE＝AD，
∵AD＝BD，
∴CE＝EF，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）解：由（1）得，CE＝EF＝AD＝a，
∵∠ACB＝90°，点F是AB中点，
∴CF＝AB＝b，
∴△CEF的周长＝a+b．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
19．如图，已知点M、N分别为?ABCD的边CD、AB的中点，连接AM、CN．
（1）证明：AM＝CN；
（2）过点B作BH⊥AM于点H，交CN于点E，连接CH，判断线段CB、CH的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AN∥MC，AN＝CM，进而利用平行四边形的判定得出答案；
（2）利用三角形中位线定理的推论得出HE＝EB，以及利用平行线的性质得出NC⊥HB，再利用线段垂直平分线的性质得出答案．
【解答】解：（1）AM∥NC，
理由：∵点M、N分别为?ABCD的边CD、AB的中点，
∴AB＝CD，MC＝AN，AB∥CD，
∴AN∥MC，AN＝MC，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴AM＝NC；
（2）BC＝HC，
理由：∵AM∥NC，AN＝BN，
∴BE＝HE，
∵BH⊥AM，
∴EB⊥NE，
∴NC垂直平分HB，
∴HC＝BC．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定以及平行线的性质等知识，得出HE＝BE是解题关键．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）
（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）
（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．
【分析】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．
（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD＝∠FDG＝30°，进而求出∠AGD＝90°，故△AGD的形状可证．
【解答】解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，
可知PE＝，
PE∥AB，
∴∠PEF＝∠ANF，
同理PF＝，
PF∥CD，
∴∠PFE＝∠CME，
又PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形．
（2）判断出△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF＝AB，
同理，HE∥CD，HE＝CD，
∵AB＝CD
∴HF＝HE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∵∠EFC＝60°，
∴∠HEF＝60°，
∴∠HEF＝∠HFE＝60°，
∴△EHF是等边三角形，
∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF＝FD，
∴GF＝FD，
∴∠FGD＝∠FDG＝30°
∴∠AGD＝90°
即△AGD是直角三角形．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答此题的关键是作出三条辅助线，构造出和中位线定理相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
21．如图①，在△ADE中，AD＝AE，B、C分别是AD、AE的中点．
（1）把在△ADE绕点A沿顺时针方向旋转后得图②，求证：△BAD≌△CAE；
（2）如图③，设F、G、H、I分别是线段BC、CE、ED、DB的中点，求证：四边形FGHI是平行四边形．
【分析】（1）根据AD＝AE可得AB＝AC，再根据旋转可得∠BAD＝∠CAE，然后再利用SAS证明△BAD≌△CAE；
（2）连结CD，根据F、G、H、I分别是线段BC、CE、ED、DB的中点可得FI∥CD，FI＝CD，GH∥CD，GH＝CD，进而得到FI∥GH，FI＝GH，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出结论．
【解答】证明：（1）∵AD＝AE，B、C分别是AD、AE的中点，
∴AB＝AC，
根据旋转可得∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）连结CD，
∵F、G、H、I分别是线段BC、CE、ED、DB的中点，
∴FI∥CD，FI＝CD，GH∥CD，GH＝CD，
∴FI∥GH，FI＝GH，
∴四边形FGHI是平行四边形，
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定，三角形中位线的性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AC中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒．
（1）求AB与CE间的距离；
（2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；
（3）直接写出t为何值时，PF＝3．
【分析】（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；
（3）根据平行四边形的判定与性质，可得；根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质，可得t＝4.3．
【解答】解：（1）如图，作CH⊥AB于点H，
∵BC＝3，AC＝4，
∴根据勾股定理得：AB＝＝5，
∴AB?CH＝AC?BC，即×5×CH＝×4×3，
∴CH＝，
则AB与CE间的距离为；
（2）∵D是AC中点，
∴当P为AB中点时，PD∥BC，
又∵CE∥BA，
∴四边形PBCF为平行四边形，
此时PB＝AB，即t＝；
（3）∵EC∥AB，
∴∠A＝∠FCD，∠APD＝∠CFD．
在△ADP和△CDF中，
∴△ADP≌△CDF，
FD＝DP＝＝BC，
∴P是AB的中点，
PB＝，即t＝；
作FH∥BC，FG⊥AB于G，如图1，
∵EC∥AB，
∴∠A＝∠FCD，∠APD＝∠CFD．
在△ADP和△CDF中，
∴△ADP≌△CDF，
AP＝FC．
∵FH∥BC，FC∥HB，
∴FH＝BC＝PF＝3，HB＝FC＝AP．
∵FG＝＝＝2.4．
HG＝＝＝1.8，
PH＝2HG＝3.6．
HB＝AP＝＝0.7，
PB＝AB﹣AP＝5﹣0.7＝4.3，
即t＝4.3，
综上所述：t的值为，4.3．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
23．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
【分析】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC＝BC，得出DC＝DG，从而EC＝FG，易证∠1＝∠2＝90°﹣∠DFC，∠CEF＝∠FGH＝135°，由AAS证出△CEF≌△FGH．∴CF＝FH．
（2）通过证明△CEF≌△FGH（ASA）得出．
【解答】解：（1）FH与FC的数量关系是：FH＝FC．
证明如下：延长DF交AB于点G，
由题意，知∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF，
∴DG∥CB，
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且，
∴DG为△ABC的中位线，
∴．
∵AC＝BC，
∴DC＝DG，
∴DC﹣DE＝DG﹣DF，
即EC＝FG．
∵∠EDF＝90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD＝90°，∠2+∠CFD＝90°，
∴∠1＝∠2．
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DGA＝45°，
∴∠CEF＝∠FGH＝135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF＝FH．
（2）FH与FC仍然相等．
理由：由题意可得出：DF＝DE，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA＝∠FGB＝45°，
∴∠FGH＝∠CEF＝45°，
∵点D为AC的中点，DF∥BC，
∴DG＝BC，DC＝AC，
∴DG＝DC，
∴EC＝GF，
∵∠DFC＝∠FCB，
∴∠GFH＝∠FCE，
在△FCE和△HFG中
，
∴△FCE≌△HFG（ASA），
∴HF＝FC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，综合性强，难度较大．
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