【走进重高汇编】八下数学第十八章 矩形与菱形训练卷

八下数学走进重高汇编 矩形与菱形
一．选择题（共10小题）
1．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
2．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（　　）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形ABCD沿BD折叠；点C落在点E处，且BE与AD相交于点F，则BF＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是（　　）
A．DC＞EF B．DC＜EF C．DC＝EF D．无法比较
5．菱形的周长是32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别为（　　）
A．8cm，16cm B．8cm，8cm C． D．
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．则线段BE的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE是∠DAB的平分线，EF∥AD交AB于点F，若AB＝9，CE＝4，AE＝8，则DF等于（　　）
A．4 B．8 C．6 D．9
8．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
9．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（　　）
A．5 B．3 C．2 D．1
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
二．填空题（共6小题）
11．在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，若AC＝BD，则平行四边形ABCD的面积为　 　．
12．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O、H为AD边上的中点，若OH的长为2，则菱形ABCD的周长等于　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝70°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB＝　 　度．
14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有　 　（只填写序号）．
15．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是　 　．
16．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是　 　．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF＝DC．
18．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，AC与DB交于点M．过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：四边形BNCM是菱形．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
20．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接BF、EF，与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝4，求AB的长．
21．如图，等腰△CEF的两腰CE、CF的长与菱形ABCD的边长相等．
（1）求证：△BEC≌△DFC；
（2）当△ECF是等边三角形时，求∠B的度数．
22．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．点P为矩形外一点且满足AP＝PC，AP⊥PC．PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．
（1）若AP＝，AB＝BC，求矩形ABCD的面积；
（2）若CD＝PM，求证：AC＝AP+PN．
23．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：　 　．
（填“成立”或“不成立”）
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
八下数学走进重高汇编 矩形与菱形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）可以选出答案．
【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的对角线也相等，故此选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形，菱形的对角线互相垂直，故此选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项正确；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定方法：对角线相等且相互平分的四边形为矩形是解题关键．
2．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（　　）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
【分析】根据矩形的性质求出OA＝OB，AC＝BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB＝OA，代入求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AC+BD＝20，
∴AC＝BD＝10cm，
∴OA＝OB＝5cm，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝5cm，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB和求出OA的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形ABCD沿BD折叠；点C落在点E处，且BE与AD相交于点F，则BF＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用折叠的性质得到∠CBD＝∠EBD，再根据矩形的性质得∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，所以∠FDB＝∠CBD，接着证明BF＝DF，设BF＝FD＝x，在Rt△ABF中利用勾股定理得到（8﹣x）2+42＝x2，然后解方程即可．
【解答】解：∵矩形ABCD沿BD折叠，点C落在点E处，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，
∴∠FDB＝∠CBD，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴BF＝DF，
设BF＝FD＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，
即BF的长为5．
故选：C．
【点评】本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是（　　）
A．DC＞EF B．DC＜EF C．DC＝EF D．无法比较
【分析】根据三角形中位线定理证明EF＝AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明CD＝AB，得到答案．
【解答】解：∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF＝AB，
在Rt△ABC中，D是AB的中点，
∴CD＝AB，
∴CD＝EF，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．菱形的周长是32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别为（　　）
A．8cm，16cm B．8cm，8cm C． D．
【分析】先连接AC、BD，AC、BD交于点O，由于四边形ABCD是菱形，那么AB＝BC＝CD＝AD，从而易求菱形的边长，再根据∠ABC＝60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可证△ABC是等边三角形，利用勾股定理可得出对角线的长度．
【解答】解：如右图所示，∠ABC＝60°，连接AC、BD，AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
又∵菱形的周长为32，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，
又∵∠ABC＝60°，
∴△BAC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8，
BO＝＝4，
∴BD＝2BO＝8，即两条对角线分别为：8cm、8cm．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．关键是画图，求出菱形边长，另外要掌握菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理进行解答，难度一般．
6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．则线段BE的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由在菱形ABCD中，∠A＝60°，可证得△ABD是等边三角形，又由O为对角线BD的中点，OE⊥AB，可求得OB的长，∠OBE的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，∠OBE＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝30°，
∵O为对角线BD的中点，
∴OB＝BD＝2，
∴BE＝OB＝1．
故选：A．
【点评】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABD是等边三角形是关键．
7．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE是∠DAB的平分线，EF∥AD交AB于点F，若AB＝9，CE＝4，AE＝8，则DF等于（　　）
A．4 B．8 C．6 D．9
【分析】根据平行线的性质和角平分线的等于，得∠DAE＝∠AED，则AD＝ED，从而可以证明四边形ADEF是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分即可求得DF的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EAF＝∠AED．
又AE是∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝ED．
∵AB∥CD，EF∥AD∥BC，
∴四边形ADEF和四边形BCEF是平行四边形．
∴四边形ADEF是菱形．
∴AD＝AF＝9﹣4＝5，AO＝AE＝4，AE⊥DF．
∴DF＝2DO＝2×3＝6．
故选：C．
【点评】此题综合运用了平行四边形的性质和菱形的判定和性质．
8．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．
【解答】解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则
AE＝AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD中，S△ABC＝S△ACD，即BC×AE＝CD×AF，
∴BC＝CD，即AB＝BC．故B正确；
∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
∴∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；
AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等），故C正确；
如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．
9．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（　　）
A．5 B．3 C．2 D．1
【分析】连接BH，根据折叠的性质得到∠1＝∠2，EB＝EH，BH⊥EG，则∠EBH＝∠EHB，又点E是AB的中点，得EH＝EB＝EA，于是判断△AHB为直角三角形，且∠3＝∠4，根据等角的余交相等得到∠1＝∠3，因此有∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
【解答】解：连接BH，如图，
∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，
∴∠1＝∠2，EB＝EH，BH⊥EG，
而∠1＞60°，
∴∠1≠∠AEH，
∵EB＝EH，
∴∠EBH＝∠EHB，
又∵点E是AB的中点，
∴EH＝EB＝EA，
∴EH＝AB，
∴△AHB为直角三角形，∠AHB＝90°，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
则与∠BEG相等的角有3个．
故选：B．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
【分析】首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得 ＝，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．
【解答】解：连接PP′交BC于O，
∵若四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥QC，
∴∠POQ＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴PO∥AC，
∴＝，
∵设点Q运动的时间为t秒，
∴AP＝t，QB＝t，
∴QC＝6﹣t，
∴CO＝3﹣，
∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝6，
∴＝，
解得：t＝2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是熟记平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．推出比例式＝，再表示出所需要的线段长代入即可．
二．填空题（共6小题）
11．在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，若AC＝BD，则平行四边形ABCD的面积为　30　．
【分析】先运用矩形的判定方法得出四边形ABCD是矩形，再运用矩形的面积公式求解．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形．
∴矩形ABCD的面积是：5×6＝30．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查学生运用矩形的判定方法及矩形的面积公式的能力．
12．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O、H为AD边上的中点，若OH的长为2，则菱形ABCD的周长等于　16　．
【分析】先根据直角三角形的性质求出AD的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∵AC⊥BD．
∵为AD边上的中点，OH＝2，
∴AD＝2OH＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直平分是解答此题的关键．
13．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝70°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB＝　70　度．
【分析】连接AP，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠ADP，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP＝DP，再根据等边对等角可得∠ADP＝∠DAP，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠APB，再根据菱形的对称性可得∠CPB＝∠APB．
【解答】解：如图，连接AP，
在菱形ABCD中，∠ADC＝70°，
∴∠ADP＝∠ADC＝×70°＝35°，
∵EP是AB的垂直平分线，
∴AP＝DP，
∴∠ADP＝∠DAP＝35°，
∴∠APB＝∠ADP+∠DAP＝35°+35°＝70°，
由菱形的对称性得，∠CPB＝∠APB＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，菱形的对称性，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有　①②③④　（只填写序号）．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法进行解答．
【解答】解：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形；故①正确；
②若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形；故②正确；
③若AD平分∠BAC，则DE＝DF；
所以平行四边形是菱形；故③正确；
④若AD⊥BC，AB＝AC；
根据等腰三角形三线合一的性质知：DA平分∠BAC；
由③知：此时平行四边形AEDF是菱形；故④正确；
所以正确的结论是①②③④．
【点评】此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定方法：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
一组邻边相等的平行四边形是菱形．
15．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是　（，3）、（﹣，4）　．
【分析】首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC＝OB，
∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴＝，
即＝，
∴OE＝，
即点B（，3），
∴AF＝OE＝，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）＝﹣，
∴点C（﹣，4）．
故答案是：（，3）、（﹣，4）．
【点评】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
16．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是　AC2+BF2＝4CD2　．
【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB2+OC2＝BC2，据此推得AC2+BF2＝4CD2即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB∥CE，AD∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
又∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∴四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
∴OB2+OC2＝BC2，
∵AC＝2OC，BF＝2OB，
∴AC2+BF2＝（2OC）2+（2OB）2＝4OC2+4OB2＝4BC2，
又∵BC＝CD，
∴AC2+BF2＝4CD2．
故答案为：AC2+BF2＝4CD2．
【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF＝DC．
【分析】求出∠AED＝∠EDC，∠DFE＝∠C，证△DFE≌△DCE，即可得出答案．
【解答】证明：∵DF⊥AE于F，
∴∠DFE＝90°
在矩形ABCD中，∠C＝90°，
∴∠DFE＝∠C，
在矩形ABCD中，AD∥BC
∴∠ADE＝∠DEC，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝∠DEC，∠DFE＝∠C＝90°，
又∵DE是公共边，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴DF＝DC．
【点评】本题考查了矩形性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．
18．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，AC与DB交于点M．过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：四边形BNCM是菱形．
【分析】（1）利用SSS定理可直接判定△ABC≌△DCB；
（2）首先根据CN∥BD、BN∥AC，可判定四边形BNCM是平行四边形，再根据△ABC≌△DCB可得∠1＝∠2，进而可得BM＝CM，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．
【解答】解：（1）∵在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
（2）∵CN∥BD、BN∥AC，
∴四边形BNCM是平行四边形，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠1＝∠2，
∴BM＝CM，
∴四边形BNCM是菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝AE＝BE，从而得到AF＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠1＝∠2，根据等边对等角可得然后∠F＝∠3，然后求出∠2＝∠F，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）根据菱形的四条边都相等可得AC＝CE，然后求出AC＝CE＝AE，从而得到△AEC是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠CAE＝60°，然后根据直角三角形两锐角互余解答．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，E是BA的中点，
∴CE＝AE＝BE，
∵AF＝AE，
∴AF＝CE，
在△BEC中，∵BE＝CE且D是BC的中点，
∴ED是等腰△BEC底边上的中线，
∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵AF＝AE，
∴∠F＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠F，
∴CE∥AF，
又∵CE＝AF，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ACEF是菱形，
∴AC＝CE，
由（1）知，AE＝CE，
∴AC＝CE＝AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠CAE＝60°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°﹣∠CAE＝90°﹣60°＝30°．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质与判定方法是解题的关键．
20．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接BF、EF，与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝4，求AB的长．
【分析】（1）利用矩形的性质得出∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，进而求出△AOE≌△COF（AAS），得出答案即可；
（2）首先求出∠BAC＝30°，进而得出∠BEF＝2∠OBE，利用AB＝求出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAE＝∠ACF，∠CFO＝∠AEO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：连接OB，
∵BF＝BE，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝OA，
∴∠BAC＝∠OBA，
又∠BEF＝2∠BAC，
∴∠BEF＝2∠OBE，
而Rt△OBE中，∠BEO+∠OBE＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝2×4＝8，
∴AB＝＝＝12．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，得出△AOE≌△COF（AAS）是解题关键．
21．如图，等腰△CEF的两腰CE、CF的长与菱形ABCD的边长相等．
（1）求证：△BEC≌△DFC；
（2）当△ECF是等边三角形时，求∠B的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和菱形的性质证得∠B＝∠D，∠CEB＝∠CFD，CE＝CF就可以证明结论成立；
（2）设∠B＝x，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到∠BCE＝180﹣2x，∠FCD＝180﹣2x，用x表示出∠BCD，进一步利用菱形的性质得出∠B+∠BCD＝180°，联立方程求得答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形；
∴CB＝CD，且∠B＝∠D，
∵△CEF等腰三角形，
∴CE＝CF，
∵CE＝CB，CF＝CD
∴∠B＝∠CEB，∠D＝∠CFD，
∴∠CEB＝∠CFD，
∴△BEC≌△DFC（AAS）
（2）解：设∠B＝x
∵CE＝CB，
∴∠CEB＝∠B＝x，
∴∠BCE＝180﹣2x，
同理∠FCD＝180﹣2x，
∵△CEF是等边三角形，
∴∠ECF＝60°，
∵ABCD是菱形；
∴∠B+∠BCD＝180°，
∴x+2（180﹣2x）+60°＝180°，
x＝80°，
∴∠B＝80°．
【点评】此题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定，以及三角形三角和定理，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
22．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．点P为矩形外一点且满足AP＝PC，AP⊥PC．PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM⊥PD交AD于M．
（1）若AP＝，AB＝BC，求矩形ABCD的面积；
（2）若CD＝PM，求证：AC＝AP+PN．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC，设AB＝x，BC＝3x，在Rt△ABC中根据勾股定理求出，求出AB、BC、即可求出答案；
（2）延长AP，CD交于Q，求出∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据ASA证△APM≌△CPD，得出DP＝PM＝CD，求出∠Q＝∠6，推出AC＝AQ＝AP+PQ，根据AS证△APN≌△CPQ，推出PQ＝PN，即可得出答案．
【解答】（1）解：∵AP⊥CP且AP＝CP，
∴△APC为等腰直角三角形，
∵AP＝，
∴AC＝，
∵AB＝BC，
∴设AB＝x，BC＝3x，
∴在Rt△ABC中，
x2+（3x）2＝10，
10x2＝10，
x＝1，
∴SABCD＝AB?BC＝1×3＝3；
（2）解：延长AP，CD交于Q，
∵∠1+∠CND＝∠2+∠PNA＝90°，
且∠CND＝∠ANP，
∴∠1＝∠2，
又∠3+∠5＝∠4+∠5＝90°，
∴∠3＝∠4，
在△APM和△CPD中
∵，
∴△APM≌△CPD（ASA），
∴DP＝PM，
又∵CD＝PM，
∴CD＝PD，
∴∠1＝∠4＝∠3，
∵∠1+∠Q＝∠3+∠6＝90°
∴∠Q＝∠6
∴DQ＝DP＝CD
∴D为CQ中点，
又∵AD⊥CQ
∴AC＝AQ＝AP+PQ，
在△APN和△CPQ中
∵，
∴△APN≌△CPQ（ASA），
∴PQ＝PN
∴AC＝AP+PQ＝AP+PN．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线定理等知识点，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
23．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：　成立　．
（填“成立”或“不成立”）
（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA＝60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE＝CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE＝∠F，即可得出结论；
（2）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB＝AC，∠ACB＝60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，然后证明
△BGE≌△ECF，即可得出结论；
（3）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，证明同（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，
∵CF＝AE，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F＝30°，
∴BE＝EF；
（2）解：结论成立；理由如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝120°，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
（3）解：结论成立．证明如下：
过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，如图3所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠AGE＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．
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