【走进重高汇编】八下数学第十八章 正方形训练卷
文档属性
| 名称 | 【走进重高汇编】八下数学第十八章 正方形训练卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 21:34:37 | ||
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文档简介
八下数学走进重高汇编 第十八章 正方形
一．选择题（共10小题）
1．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
2．正方形的面积是2，它的对角线长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（ ）
A．45° B．35° C．22.5° D．15.5°
4．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选①③ C．选②④ D．选②③
5．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
6．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
7．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，P是BC边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF＝（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE＝DF．AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝BF B．AE⊥BF C．AO＝OE D．S△AOB＝S四边形DEOF
9．如图，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，矩形OMNP两边分别交AB、BC边于E、F两点，连结BO，下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）BE+BF＝0A；（3）S四边形OEBF＝S矩形OMNP；（4）AE2+FC2＝EF2．正确的结论有（ ）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．14
二．填空题（共5小题）
11．如图，四边形ABCD是正方形，AC是一条对角线，阴影部分的面积和为16，则正方形ABCD的边长为 ．
12．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为 ．
13．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝ 度．
14．如图，正方形ABCD中，E点在BC上，AE平分∠BAC．若BE＝cm，则△AEC面积为 cm2．
15．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，则正方形的面积为 ．
三．解答题（共7小题）
16．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE＝BF．求证：CE＝DF．
17．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE．
（2）求∠BEC的度数．
18．如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求BE的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
20．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF．
（1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积．
21．已知：如图，在△ABC中，∠A＞90°．以AB、AC为边分别在△ABC形外作正方形ABDE和正方形ACFG，EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N．
（1）若连接BG、CE，求证：BG＝CE．
（2）试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
22．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
八下数学走进重高汇编 第十八章 正方形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
【解答】解：A、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；
D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
故选：A．
2．正方形的面积是2，它的对角线长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∴正方形的面积＝AC?BD＝AC2＝2，
∴AC2＝4，
∴AC＝2，
故选：B．
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（ ）
A．45° B．35° C．22.5° D．15.5°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝∠BCA＝45°；
△ACE中，AC＝AE，则：
∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠CAE）＝67.5°；
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝22.5°．
故选：C．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选①③ C．选②④ D．选②③
【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．
故选：D．
5．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
【解答】解：∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE
∴△AED≌△CED
∴∠ECF＝∠DAF＝25°，
又∵在△DEC中，∠CDE＝45°，
∴∠CED＝180°﹣25°﹣45°＝110°，
∴∠BEC＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
6．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
故选：B．
7．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，P是BC边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝1，AC⊥BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠CBO＝∠BCO＝45°，OB＝BD，
∴BD＝＝，∠BOC＝90°，
∴OB＝，
∵PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°＝∠EOF，△BEP是等腰直角三角形，
∴四边形OEPF是矩形，PE＝BE，
∴PF＝OE，
∴PE+PF＝BE+OE＝OB＝；
故选：B．
8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE＝DF．AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝BF B．AE⊥BF
C．AO＝OE D．S△AOB＝S四边形DEOF
【解答】解：A、∵在正方形ABCD中，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
又∵CE＝DF，
∴AF＝DE，
∵∠D＝∠BAF＝90°，
∴△BAF≌△ADE，
∴AE＝BF，
故此选项正确；
B、∵△BAF≌△ADE，
∴∠BFA＝∠AED，
∵∠AED+∠EAD＝90°，
∴∠BFA+∠EAD＝90°，
∴∠AOF＝90°，
∴AE⊥BF，
故此选项正确；
C、如图，连接BE，
假设AO＝OE，
∵BF⊥AE，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵BO＝BO，
∴△ABO≌△EBO，
∴AB＝BE，
又∵AB＝BC，
BC＜BE，
∴AB不可能等于BE，
∴假设AO＝OE，不成立，即AO≠OE，
故此选项错误；
D、∵△BAF≌△ADE，
∴S△BAF＝S△ADE，
∴S△BAF﹣S△AOF＝S△ADE﹣S△AOF，
∴S△AOB＝S四边形DEOF，故此选项正确．
故选：C．
9．如图，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，矩形OMNP两边分别交AB、BC边于E、F两点，连结BO，下列结论：（ ）
（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）BE+BF＝0A；（3）S四边形OEBF＝S矩形OMNP；（4）AE2+FC2＝EF2．
正确的结论有（ ）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：（1）错误．△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；
（2）正确．BE+BF＝AB＝OA；
（3）错误．∵△AOE≌△BOF，∴四边形BEOF的面积＝△ABO的面积＝正方形ABCD的面积；
（4）正确．
AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2．
故选：C．
10．如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．14
【解答】解：如图，
延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是矩形，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，
∴△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形．
这个八边形的面积等于＝矩形面积﹣4个小三角形的面积＝3×3﹣4×1×1÷2＝7．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．如图，四边形ABCD是正方形，AC是一条对角线，阴影部分的面积和为16，则正方形ABCD的边长为 4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝DA，阴影部分的面积和＝正方形ABCD的面积，
∵阴影部分的面积和为16，
即AB2＝16，
∴AB2＝32，
∴AB＝＝4；
故答案为：4．
12．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为 5 ．
【解答】解：
过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD＝AB，
∴EM＝AD，BM＝CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM＝8，
解得：EM＝4，
即AD＝DC＝BC＝AB＝4，
∵CE＝3，
由勾股定理得：BE＝＝＝5，
故答案为：5．
13．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝ 45 度．
【解答】解：设∠BAE＝x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵AE＝AB，
∴AB＝AE＝AD，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝90°﹣x°，
∠DAE＝90°﹣x°，
∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°+x°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED
＝180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°）
＝45°．
答：∠BEF的度数是45°．
故答案为：45．
14．如图，正方形ABCD中，E点在BC上，AE平分∠BAC．若BE＝cm，则△AEC面积为 cm2．
【解答】解：设正方形的边长为a，
∵AE平分∠BAC，
∴tan∠ABC＝tan2∠BAE，
解得a＝2+，
由△AEC面积＝△ABC面积﹣△ABE的面积＝（2+）（2）﹣（2）＝2+．
故答案为：2+．
15．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，则正方形的面积为 4 ．
【解答】解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
∵，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，则OC＝OD＝×2a＝a，
∵∠CED＝90°，∠DCE＝30°，
∴CD＝2a，DE＝a，
由勾股定理得，得，
∵OE＝，
∴四边形OCED的面积＝
四边形OMEN的面积＝，
∵四边形OCED的面积＝四边形OMEN的面积，即可得：＝，
解得a2＝1，
∴正方形ABCD的面积＝（2a）2＝4a2＝4×1＝4，
故答案为：4
三．解答题（共7小题）
16．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE＝BF．求证：CE＝DF．
【解答】证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵AE＝BF，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF，
即BE＝CF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴CE＝DF．
17．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE．
（2）求∠BEC的度数．
【解答】（ 1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵三角形ADE为正三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∴∠BAE＝∠CDE＝150°，
在△BAE和△CDE中
，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）解：∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
又∵∠BAE＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝15°，
同理：∠CED＝15°
∴∠BEC＝60°﹣15°×2＝30°．
18．如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求BE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠EFA＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴BE＝EF，
又∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝45°，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴EF＝FC，
∴BE＝CF；
（2）解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，
在Rt△CEF中可求得CE＝x，
∵BC＝1，
∴x+x＝1，解得x＝﹣1，
即BE的长为﹣1．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴?四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
20．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF．
（1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG＝EH，
∵AH＝2，DG＝2，
∴DG＝AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG＝∠AHE，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG＝∠QGE，即∠AEH+∠HEG＝∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE＝GF，HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH＝QF＝2，
∵DG＝6，CD＝8，
∴CG＝2，
∴△FCG的面积＝CG?FQ＝×2×2＝2．
21．已知：如图，在△ABC中，∠A＞90°．以AB、AC为边分别在△ABC形外作正方形ABDE和正方形ACFG，EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N．
（1）若连接BG、CE，求证：BG＝CE．
（2）试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：连接BG和CE交于O，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，
∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，
∴∠GAB＝∠EAC，
在△BAG和△EAC中，
，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴BG＝CE．
（2）四边形PQMN为正方形，
证明：∵EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N，
∴PN∥BG，MN＝CE，MN∥CE，PQ＝CE，PQ∥CE，PN＝BG，
∵BG＝CE，
∴PN＝MN，MN＝PQ，MN∥PQ，
∴四边形PQMN是菱形，
∵△BAG≌△EAC，
∴∠GBA＝∠AEC，
∵四边形ABDE是正方形，
∴∠EAB＝90°，
∴∠ABG+∠BWA＝90°，
∵∠BWA＝∠GWE，
∴∠GWE+∠AEC＝90°，
∴∠EOW＝180°﹣90°＝90°，
∵MN∥CE，PN∥BG，
∴∠NZO＝∠EOW＝90°，∠NIO＝90°，
∴∠MNP＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°
∴菱形PQMN是正方形，
即四边形PQMN为正方形．
22．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，
，∴△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠BEN，∵EB＝CB，
∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，
∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝．
解得x1＝，x2＝﹣（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
一．选择题（共10小题）
1．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
2．正方形的面积是2，它的对角线长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（ ）
A．45° B．35° C．22.5° D．15.5°
4．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选①③ C．选②④ D．选②③
5．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
6．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
7．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，P是BC边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF＝（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE＝DF．AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝BF B．AE⊥BF C．AO＝OE D．S△AOB＝S四边形DEOF
9．如图，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，矩形OMNP两边分别交AB、BC边于E、F两点，连结BO，下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）BE+BF＝0A；（3）S四边形OEBF＝S矩形OMNP；（4）AE2+FC2＝EF2．正确的结论有（ ）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．14
二．填空题（共5小题）
11．如图，四边形ABCD是正方形，AC是一条对角线，阴影部分的面积和为16，则正方形ABCD的边长为 ．
12．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为 ．
13．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝ 度．
14．如图，正方形ABCD中，E点在BC上，AE平分∠BAC．若BE＝cm，则△AEC面积为 cm2．
15．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，则正方形的面积为 ．
三．解答题（共7小题）
16．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE＝BF．求证：CE＝DF．
17．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE．
（2）求∠BEC的度数．
18．如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求BE的长．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
20．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF．
（1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积．
21．已知：如图，在△ABC中，∠A＞90°．以AB、AC为边分别在△ABC形外作正方形ABDE和正方形ACFG，EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N．
（1）若连接BG、CE，求证：BG＝CE．
（2）试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
22．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
八下数学走进重高汇编 第十八章 正方形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
【解答】解：A、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；
D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
故选：A．
2．正方形的面积是2，它的对角线长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∴正方形的面积＝AC?BD＝AC2＝2，
∴AC2＝4，
∴AC＝2，
故选：B．
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是（ ）
A．45° B．35° C．22.5° D．15.5°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝∠BCA＝45°；
△ACE中，AC＝AE，则：
∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠CAE）＝67.5°；
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝22.5°．
故选：C．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选①③ C．选②④ D．选②③
【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．
故选：D．
5．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（ ）
A．45° B．60° C．70° D．75°
【解答】解：∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE
∴△AED≌△CED
∴∠ECF＝∠DAF＝25°，
又∵在△DEC中，∠CDE＝45°，
∴∠CED＝180°﹣25°﹣45°＝110°，
∴∠BEC＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
6．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
故选：B．
7．如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，P是BC边上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝1，AC⊥BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠CBO＝∠BCO＝45°，OB＝BD，
∴BD＝＝，∠BOC＝90°，
∴OB＝，
∵PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°＝∠EOF，△BEP是等腰直角三角形，
∴四边形OEPF是矩形，PE＝BE，
∴PF＝OE，
∴PE+PF＝BE+OE＝OB＝；
故选：B．
8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE＝DF．AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（ ）
A．AE＝BF B．AE⊥BF
C．AO＝OE D．S△AOB＝S四边形DEOF
【解答】解：A、∵在正方形ABCD中，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
又∵CE＝DF，
∴AF＝DE，
∵∠D＝∠BAF＝90°，
∴△BAF≌△ADE，
∴AE＝BF，
故此选项正确；
B、∵△BAF≌△ADE，
∴∠BFA＝∠AED，
∵∠AED+∠EAD＝90°，
∴∠BFA+∠EAD＝90°，
∴∠AOF＝90°，
∴AE⊥BF，
故此选项正确；
C、如图，连接BE，
假设AO＝OE，
∵BF⊥AE，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵BO＝BO，
∴△ABO≌△EBO，
∴AB＝BE，
又∵AB＝BC，
BC＜BE，
∴AB不可能等于BE，
∴假设AO＝OE，不成立，即AO≠OE，
故此选项错误；
D、∵△BAF≌△ADE，
∴S△BAF＝S△ADE，
∴S△BAF﹣S△AOF＝S△ADE﹣S△AOF，
∴S△AOB＝S四边形DEOF，故此选项正确．
故选：C．
9．如图，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，矩形OMNP两边分别交AB、BC边于E、F两点，连结BO，下列结论：（ ）
（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）BE+BF＝0A；（3）S四边形OEBF＝S矩形OMNP；（4）AE2+FC2＝EF2．
正确的结论有（ ）个．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：（1）错误．△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；
（2）正确．BE+BF＝AB＝OA；
（3）错误．∵△AOE≌△BOF，∴四边形BEOF的面积＝△ABO的面积＝正方形ABCD的面积；
（4）正确．
AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2．
故选：C．
10．如图，八边形ABCDEFGH中，AB＝CD＝EF＝GH＝1，BC＝DE＝FG＝HA＝，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠H＝135°，则这个八边形的面积等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．14
【解答】解：如图，
延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是矩形，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠G＝∠H＝135°，
∴△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形．
这个八边形的面积等于＝矩形面积﹣4个小三角形的面积＝3×3﹣4×1×1÷2＝7．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．如图，四边形ABCD是正方形，AC是一条对角线，阴影部分的面积和为16，则正方形ABCD的边长为 4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝DA，阴影部分的面积和＝正方形ABCD的面积，
∵阴影部分的面积和为16，
即AB2＝16，
∴AB2＝32，
∴AB＝＝4；
故答案为：4．
12．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为 5 ．
【解答】解：
过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD＝AB，
∴EM＝AD，BM＝CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM＝8，
解得：EM＝4，
即AD＝DC＝BC＝AB＝4，
∵CE＝3，
由勾股定理得：BE＝＝＝5，
故答案为：5．
13．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝ 45 度．
【解答】解：设∠BAE＝x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵AE＝AB，
∴AB＝AE＝AD，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝90°﹣x°，
∠DAE＝90°﹣x°，
∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°+x°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED
＝180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°）
＝45°．
答：∠BEF的度数是45°．
故答案为：45．
14．如图，正方形ABCD中，E点在BC上，AE平分∠BAC．若BE＝cm，则△AEC面积为 cm2．
【解答】解：设正方形的边长为a，
∵AE平分∠BAC，
∴tan∠ABC＝tan2∠BAE，
解得a＝2+，
由△AEC面积＝△ABC面积﹣△ABE的面积＝（2+）（2）﹣（2）＝2+．
故答案为：2+．
15．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝，则正方形的面积为 4 ．
【解答】解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，
∴∠COM＝∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，
在△COM和△DON中，
∵，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，则OC＝OD＝×2a＝a，
∵∠CED＝90°，∠DCE＝30°，
∴CD＝2a，DE＝a，
由勾股定理得，得，
∵OE＝，
∴四边形OCED的面积＝
四边形OMEN的面积＝，
∵四边形OCED的面积＝四边形OMEN的面积，即可得：＝，
解得a2＝1，
∴正方形ABCD的面积＝（2a）2＝4a2＝4×1＝4，
故答案为：4
三．解答题（共7小题）
16．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE＝BF．求证：CE＝DF．
【解答】证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵AE＝BF，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF，
即BE＝CF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴CE＝DF．
17．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE＝CE．
（2）求∠BEC的度数．
【解答】（ 1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵三角形ADE为正三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∴∠BAE＝∠CDE＝150°，
在△BAE和△CDE中
，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）解：∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
又∵∠BAE＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝15°，
同理：∠CED＝15°
∴∠BEC＝60°﹣15°×2＝30°．
18．如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求BE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠EFA＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴BE＝EF，
又∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝45°，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴EF＝FC，
∴BE＝CF；
（2）解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，
在Rt△CEF中可求得CE＝x，
∵BC＝1，
∴x+x＝1，解得x＝﹣1，
即BE的长为﹣1．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴?四边形BECD是菱形；
（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°，
∴AC＝BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
20．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF．
（1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG＝EH，
∵AH＝2，DG＝2，
∴DG＝AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG＝∠AHE，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG＝∠QGE，即∠AEH+∠HEG＝∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE＝GF，HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH＝QF＝2，
∵DG＝6，CD＝8，
∴CG＝2，
∴△FCG的面积＝CG?FQ＝×2×2＝2．
21．已知：如图，在△ABC中，∠A＞90°．以AB、AC为边分别在△ABC形外作正方形ABDE和正方形ACFG，EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N．
（1）若连接BG、CE，求证：BG＝CE．
（2）试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：连接BG和CE交于O，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，
∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，
∴∠GAB＝∠EAC，
在△BAG和△EAC中，
，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴BG＝CE．
（2）四边形PQMN为正方形，
证明：∵EB、BC、CG、GE的中点分别是P、Q、M、N，
∴PN∥BG，MN＝CE，MN∥CE，PQ＝CE，PQ∥CE，PN＝BG，
∵BG＝CE，
∴PN＝MN，MN＝PQ，MN∥PQ，
∴四边形PQMN是菱形，
∵△BAG≌△EAC，
∴∠GBA＝∠AEC，
∵四边形ABDE是正方形，
∴∠EAB＝90°，
∴∠ABG+∠BWA＝90°，
∵∠BWA＝∠GWE，
∴∠GWE+∠AEC＝90°，
∴∠EOW＝180°﹣90°＝90°，
∵MN∥CE，PN∥BG，
∴∠NZO＝∠EOW＝90°，∠NIO＝90°，
∴∠MNP＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°
∴菱形PQMN是正方形，
即四边形PQMN为正方形．
22．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，
，∴△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠BEN，∵EB＝CB，
∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，
∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝．
解得x1＝，x2＝﹣（舍去负值）．
∴正方形的边长为．