18.1 平行四边形的性质与判定培优提高试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 18.1 平行四边形的性质与判定培优提高试题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 21:59:32 | ||
图片预览
文档简介
八下数学培优提高 第十八章 平行四边形的性质与判定
一．选择题（共10小题）
1．?ABCD中，如果∠B＝100°，那么∠A、∠D的值分别是（ ）
A．∠A＝100°，∠D＝80° B．∠A＝80°，∠D＝100°
C．∠B＝80°，∠D＝80° D．∠A＝100°，∠D＝100°
2．如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
3．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD∥BC
4．如图，?ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE＝2cm，则AB的长度是（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm
5．将一个平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
6．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，E为AB上一点，过点E作EF∥BC，交CD于点F，G为AD上一点，H为BC上一点，连接CG，AH．若GD＝BH，则图中的平行四边形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
7．已知平行四边形一边长为8，一条对角线长为6，则另一条对角线α满足（ ）
A．10＜α＜22 B．4＜α＜20 C．4＜α＜28 D．2＜α＜14
8．在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2），则顶点D的坐标为（ ）
A．（7，2） B．（5，4） C．（1，2） D．（2，1）
9．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
10．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤
二．填空题（共11小题）
11．在?ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，则?ABCD的周长为 cm．
12．如图所示，在?ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
13．如图，四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD＝11﹣x，BC＝x﹣5，则当x＝ 时，四边形ABCD是平行四边形．
14．如图，F、G、H分别是平行四边形ABCD的边BC、CD、AD上的三等分点，E是AB边的中点，已知四边形EFGH的面积是51平方厘米，那么平行四边形ABCD的面积是 平方厘米．
15．如图，在?ABCD中，EF经过对角线的交点O，交AB于点E，交CD于点F．若AB＝5，AD＝4，OF＝1.8，那么四边形BCFE的周长为 ．
16．如图，?ABCD中，AD＝10，AD边上的高为8，对角线交点为O，直线EF经过O，与AB、CD分别交于点E、F；直线GH经过点O，与AD、BC分别交于点G、H；直线MN经过点O，与AD、BC分别交于点M、N，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为 ．
18．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则这个四边形一定是 四边形．
19．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，已知AB＝10，AC＝18，则MN的长是 ．
20．如图，?ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是 ．
21．我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线．现有两个全等三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为0，那么奇异中位线的长是 cm．
三．解答题（共5小题）
22．已知：如图，已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，求AB和BC的长．
23．如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD且AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．
24．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．
25．如图1，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，BA＝2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
26．[阅读]
在平面直角坐标系中，以任意两点P（ x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为．
[运用]
（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为 ．
（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
八下数学培优提高 第十八章 平行四边形的性质与判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．?ABCD中，如果∠B＝100°，那么∠A、∠D的值分别是（ ）
A．∠A＝100°，∠D＝80° B．∠A＝80°，∠D＝100°
C．∠B＝80°，∠D＝80° D．∠A＝100°，∠D＝100°
【解答】解：∵∠A与∠B是邻角，
∴∠A＝180°﹣∠B＝80°，
∴∠D＝∠B＝100°
故选：B．
2．如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
【解答】解：过E作EM∥AB与GC交于点M，
∴△EMF≌△DGF，
∴EM＝GD，
∵DE是中位线，
∴CE＝AC，
又∵EM∥AG，
∴EM：AG＝CE：AC＝1：2，
又∵EM＝GD，
∴AG：GD＝2：1．
故选：A．
3．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD∥BC
【解答】解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A可以判断四边形ABCD是平行四边形．
B、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴∴四边形ABCD是平行四边形，
故B可以判断四边形ABCD是平行四边形．
C、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C可以判断四边形ABCD是平行四边形．
D、∵AB＝CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故D不可以判断四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
4．如图，?ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE＝2cm，则AB的长度是（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
设AB＝CD＝xcm，则AD＝BC＝（x+2）cm，
∵?ABCD的周长为20cm，
∴x+x+2＝10，
解得：x＝4，
即AB＝4cm，
故选：D．
5．将一个平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种．
故选：D．
6．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，E为AB上一点，过点E作EF∥BC，交CD于点F，G为AD上一点，H为BC上一点，连接CG，AH．若GD＝BH，则图中的平行四边形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵EF∥BC，
∴四边形AEFD、四边形BCFE均为平行四边形，
∵GD＝BH，AD＝BC，
∴AG＝CH，
又∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
又∵EF∥BC，
∴四边形AMNG、四边形MNCH均为平行四边形，
∴共有6个平行四边形，
故选：D．
7．已知平行四边形一边长为8，一条对角线长为6，则另一条对角线α满足（ ）
A．10＜α＜22 B．4＜α＜20 C．4＜α＜28 D．2＜α＜14
【解答】解：如图，已知平行四边形中，AB＝8，AC＝6，求BD的取值范围，即α的取值范围．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴α＝2OB，AC＝2OA＝6，
∴OB＝α，OA＝3，
∴在△AOB中：AB﹣OA＜OB＜AB+OA
即：10＜α＜22，
故选：A．
8．在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2），则顶点D的坐标为（ ）
A．（7，2） B．（5，4） C．（1，2） D．（2，1）
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵?ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2），
∴顶点D的坐标为（1，2）．
故选：C．
9．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠B＝∠D＝60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴BC×AE＝CD×AF，∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴AE＝AF，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝60°，
∵AB＝4，
∴BE＝2，
∴AE＝＝2，
∴EF＝AE＝2，
过A作AM⊥EF，
∴AM＝AE?sin60°＝3，
∴△AEF的面积是：EF?AM＝×2×3＝3．
故选：B．
10．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；
②△PAB的周长；
③△PMN的面积；
④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤
【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN＝AB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选：B．
二．填空题（共11小题）
11．在?ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，则?ABCD的周长为 28 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
∴平行四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝6+8+6+8＝28cm．
故答案为：28．
12．如图所示，在?ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 50° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠C＝∠ABF．
又∵∠C＝40°，
∴∠ABF＝40°．
∵EF⊥BF，
∴∠F＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣40°＝50°．
故答案是：50°．
13．如图，四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD＝11﹣x，BC＝x﹣5，则当x＝ 8 时，四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：∵BD⊥AD，BD⊥BC，
∴AD∥BC，
只要AD＝BC，四边形ABCD是平行四边形．
AD＝BC
11﹣x＝x﹣5
x＝8．
故答案为：8．
14．如图，F、G、H分别是平行四边形ABCD的边BC、CD、AD上的三等分点，E是AB边的中点，已知四边形EFGH的面积是51平方厘米，那么平行四边形ABCD的面积是 108 平方厘米．
【解答】解：作如图辅助线HS∥AB、GQ∥AD、SE∥AD、QF∥AB，
设平行四边形面积为S平方厘米．
则RS＝QT＝AB，QR＝ST＝AD，HR＝AB，RG＝AD，FT＝AB，ET＝AD，
∴四边形EFGH的面积＝[（×+×+×+×）﹣×]S＝51．
即S＝51，
解得S＝108平分厘米．
故答案为 108．
15．如图，在?ABCD中，EF经过对角线的交点O，交AB于点E，交CD于点F．若AB＝5，AD＝4，OF＝1.8，那么四边形BCFE的周长为 12.6 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝4，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴CF＝AE，OE＝OE＝1.8，
∴EF＝OE+OF＝3.6，
∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF＝EF+BC+BE+AE＝EF+BC+AB＝3.6+4+5＝12.6．
故答案为：12.6．
16．如图，?ABCD中，AD＝10，AD边上的高为8，对角线交点为O，直线EF经过O，与AB、CD分别交于点E、F；直线GH经过点O，与AD、BC分别交于点G、H；直线MN经过点O，与AD、BC分别交于点M、N，则图中阴影部分的面积为 40 ．
【解答】解：由题意可得：△GOM≌△HON，△DOF≌△BOE，△AEO≌△CFO，
则S△GOM＝S△HON，S△DOF＝S△BOE，S△AEO＝S△CFO，
故图中阴影部分的面积为：S四边形ABCD＝×8×10＝40．
故答案为：40．
17．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为 25° ．
【解答】解：∵?ABCD与?DCFE的周长相等，且CD＝CD，
∴AD＝DE，
∵∠DAE＝∠DEA，
∵∠BAD＝60°，∠F＝110°，
∴∠ADC＝120°，∠CDE═∠F＝110°，
∴∠ADE＝360°﹣120°﹣110°＝130°，
∴∠DAE＝＝25°，
故答案为：25°．
18．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则这个四边形一定是 平行 四边形．
【解答】解：∵a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd
∴a2+b2+c2+d2﹣2ac﹣2bd＝0
∴（a﹣b）2+（c﹣d）2＝0
解得：a＝b，c＝d，
∴这个四边形的形状是平行四边形．
故答案为：平行．
19．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，已知AB＝10，AC＝18，则MN的长是 4 ．
【解答】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，
∴AD＝AB＝10，BN＝ND，
∴DC＝AC﹣AD＝8，
∵BN＝ND，BM＝MC，
∴MN＝CD＝4，
故答案为：4．
20．如图，?ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∵EF＝3，
∴CE＝＝2，
∴AB＝，
故答案为：．
21．我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线．现有两个全等三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为0，那么奇异中位线的长是 cm．
【解答】解：∵32+42＝9+16＝25＝52，
∴边长分别为3cm，4cm，5cm的三角形是直角三角形．
如图，将两个全等的直角△ABC与△DEF的斜边AC与DF重合，拼成凸四边形ABCE，AC与BE交于点O，M为AC的中点．
∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝AE＝3cm，∠BAC＝∠EDF，
∴BO＝OE，AO⊥BE．
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，
∴OA＝AB?cos∠BAO＝3×＝，
∵AM＝AC＝，
∴OM＝AM﹣OA＝﹣＝．
即奇异中位线的长是cm．
故答案为．
三．解答题（共5小题）
22．已知：如图，已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，求AB和BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，
∴（OA+OB+AB）﹣（OB+OC+BC）＝8cm，
即AB﹣BC＝8cm，①
∵平行四边形ABCD的周长为60cm，
∴2（AB+BC）＝60cm，②
∴由①②得到：AB＝19cm，BC＝11cm．
23．如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD且AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．
【解答】证明：∵AB＝CD、AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC．
24．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．
【解答】答：四边形ADEF是平行四边形．
证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥BF，DE＝AB，
∵AF＝AB，
∴DE＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
25．如图1，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，BA＝2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
【解答】（1）证明：在Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴DO＝DA，
∴∠DAO＝∠DOA＝30°，∠EOA＝90°，
∴∠AEO＝60°
又∵△OBC为等边三角形
∴∠BCO＝∠AEO＝60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO＝∠COA＝90°，
∴OC∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABO中，
∵∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，AB＝2，
∴OA＝AB?tan60°＝2×＝．
在Rt△OAG中，OA2+OG2＝AG2，设OG＝x，
由折叠可知：AG＝GC＝4﹣x，可得，
解得，
∴OG＝．
26．[阅读]
在平面直角坐标系中，以任意两点P（ x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为．
[运用]
（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为 （2，1.5） ．
（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
【解答】解：（1）M（，），即M（2，1.5）．
（2）如图所示：
根据平行四边形的对角线互相平分可得：
设D点的坐标为（x，y），
∵以点A、B、C、D构成的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，
∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），
∴BC＝，
∴AD＝，
∵﹣1+3﹣1＝1，2+1﹣4＝﹣1，
∴D点坐标为（1，﹣1），
②当BC为对角线时，
∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），
∴AC＝2，BD＝2，
D点坐标为（5，3）．
③当AC为对角线时，
∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），
∴AB＝＝，
∴CD＝，
D点坐标为：（1﹣3﹣1，4﹣1+2），即（﹣3，5），
综上所述，符合要求的点有：D'（1，﹣1），D″（﹣3，5），D″′（5，3）．
一．选择题（共10小题）
1．?ABCD中，如果∠B＝100°，那么∠A、∠D的值分别是（ ）
A．∠A＝100°，∠D＝80° B．∠A＝80°，∠D＝100°
C．∠B＝80°，∠D＝80° D．∠A＝100°，∠D＝100°
2．如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
3．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD∥BC
4．如图，?ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE＝2cm，则AB的长度是（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm
5．将一个平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
6．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，E为AB上一点，过点E作EF∥BC，交CD于点F，G为AD上一点，H为BC上一点，连接CG，AH．若GD＝BH，则图中的平行四边形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
7．已知平行四边形一边长为8，一条对角线长为6，则另一条对角线α满足（ ）
A．10＜α＜22 B．4＜α＜20 C．4＜α＜28 D．2＜α＜14
8．在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2），则顶点D的坐标为（ ）
A．（7，2） B．（5，4） C．（1，2） D．（2，1）
9．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
10．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤
二．填空题（共11小题）
11．在?ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，则?ABCD的周长为 cm．
12．如图所示，在?ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 ．
13．如图，四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD＝11﹣x，BC＝x﹣5，则当x＝ 时，四边形ABCD是平行四边形．
14．如图，F、G、H分别是平行四边形ABCD的边BC、CD、AD上的三等分点，E是AB边的中点，已知四边形EFGH的面积是51平方厘米，那么平行四边形ABCD的面积是 平方厘米．
15．如图，在?ABCD中，EF经过对角线的交点O，交AB于点E，交CD于点F．若AB＝5，AD＝4，OF＝1.8，那么四边形BCFE的周长为 ．
16．如图，?ABCD中，AD＝10，AD边上的高为8，对角线交点为O，直线EF经过O，与AB、CD分别交于点E、F；直线GH经过点O，与AD、BC分别交于点G、H；直线MN经过点O，与AD、BC分别交于点M、N，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为 ．
18．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则这个四边形一定是 四边形．
19．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，已知AB＝10，AC＝18，则MN的长是 ．
20．如图，?ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是 ．
21．我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线．现有两个全等三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为0，那么奇异中位线的长是 cm．
三．解答题（共5小题）
22．已知：如图，已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，求AB和BC的长．
23．如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD且AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．
24．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．
25．如图1，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，BA＝2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
26．[阅读]
在平面直角坐标系中，以任意两点P（ x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为．
[运用]
（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为 ．
（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
八下数学培优提高 第十八章 平行四边形的性质与判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．?ABCD中，如果∠B＝100°，那么∠A、∠D的值分别是（ ）
A．∠A＝100°，∠D＝80° B．∠A＝80°，∠D＝100°
C．∠B＝80°，∠D＝80° D．∠A＝100°，∠D＝100°
【解答】解：∵∠A与∠B是邻角，
∴∠A＝180°﹣∠B＝80°，
∴∠D＝∠B＝100°
故选：B．
2．如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
【解答】解：过E作EM∥AB与GC交于点M，
∴△EMF≌△DGF，
∴EM＝GD，
∵DE是中位线，
∴CE＝AC，
又∵EM∥AG，
∴EM：AG＝CE：AC＝1：2，
又∵EM＝GD，
∴AG：GD＝2：1．
故选：A．
3．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD∥BC
【解答】解：A、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A可以判断四边形ABCD是平行四边形．
B、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴∴四边形ABCD是平行四边形，
故B可以判断四边形ABCD是平行四边形．
C、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C可以判断四边形ABCD是平行四边形．
D、∵AB＝CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形．
故D不可以判断四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
4．如图，?ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE＝2cm，则AB的长度是（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
设AB＝CD＝xcm，则AD＝BC＝（x+2）cm，
∵?ABCD的周长为20cm，
∴x+x+2＝10，
解得：x＝4，
即AB＝4cm，
故选：D．
5．将一个平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种
【解答】解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种．
故选：D．
6．如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，E为AB上一点，过点E作EF∥BC，交CD于点F，G为AD上一点，H为BC上一点，连接CG，AH．若GD＝BH，则图中的平行四边形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵EF∥BC，
∴四边形AEFD、四边形BCFE均为平行四边形，
∵GD＝BH，AD＝BC，
∴AG＝CH，
又∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
又∵EF∥BC，
∴四边形AMNG、四边形MNCH均为平行四边形，
∴共有6个平行四边形，
故选：D．
7．已知平行四边形一边长为8，一条对角线长为6，则另一条对角线α满足（ ）
A．10＜α＜22 B．4＜α＜20 C．4＜α＜28 D．2＜α＜14
【解答】解：如图，已知平行四边形中，AB＝8，AC＝6，求BD的取值范围，即α的取值范围．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴α＝2OB，AC＝2OA＝6，
∴OB＝α，OA＝3，
∴在△AOB中：AB﹣OA＜OB＜AB+OA
即：10＜α＜22，
故选：A．
8．在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2），则顶点D的坐标为（ ）
A．（7，2） B．（5，4） C．（1，2） D．（2，1）
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵?ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2），
∴顶点D的坐标为（1，2）．
故选：C．
9．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠B＝∠D＝60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴BC×AE＝CD×AF，∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴AE＝AF，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝60°，
∵AB＝4，
∴BE＝2，
∴AE＝＝2，
∴EF＝AE＝2，
过A作AM⊥EF，
∴AM＝AE?sin60°＝3，
∴△AEF的面积是：EF?AM＝×2×3＝3．
故选：B．
10．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；
②△PAB的周长；
③△PMN的面积；
④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤
【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MN＝AB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选：B．
二．填空题（共11小题）
11．在?ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，则?ABCD的周长为 28 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
∴平行四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝6+8+6+8＝28cm．
故答案为：28．
12．如图所示，在?ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为 50° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠C＝∠ABF．
又∵∠C＝40°，
∴∠ABF＝40°．
∵EF⊥BF，
∴∠F＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣40°＝50°．
故答案是：50°．
13．如图，四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，BD⊥BC，AD＝11﹣x，BC＝x﹣5，则当x＝ 8 时，四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：∵BD⊥AD，BD⊥BC，
∴AD∥BC，
只要AD＝BC，四边形ABCD是平行四边形．
AD＝BC
11﹣x＝x﹣5
x＝8．
故答案为：8．
14．如图，F、G、H分别是平行四边形ABCD的边BC、CD、AD上的三等分点，E是AB边的中点，已知四边形EFGH的面积是51平方厘米，那么平行四边形ABCD的面积是 108 平方厘米．
【解答】解：作如图辅助线HS∥AB、GQ∥AD、SE∥AD、QF∥AB，
设平行四边形面积为S平方厘米．
则RS＝QT＝AB，QR＝ST＝AD，HR＝AB，RG＝AD，FT＝AB，ET＝AD，
∴四边形EFGH的面积＝[（×+×+×+×）﹣×]S＝51．
即S＝51，
解得S＝108平分厘米．
故答案为 108．
15．如图，在?ABCD中，EF经过对角线的交点O，交AB于点E，交CD于点F．若AB＝5，AD＝4，OF＝1.8，那么四边形BCFE的周长为 12.6 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝4，OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴CF＝AE，OE＝OE＝1.8，
∴EF＝OE+OF＝3.6，
∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF＝EF+BC+BE+AE＝EF+BC+AB＝3.6+4+5＝12.6．
故答案为：12.6．
16．如图，?ABCD中，AD＝10，AD边上的高为8，对角线交点为O，直线EF经过O，与AB、CD分别交于点E、F；直线GH经过点O，与AD、BC分别交于点G、H；直线MN经过点O，与AD、BC分别交于点M、N，则图中阴影部分的面积为 40 ．
【解答】解：由题意可得：△GOM≌△HON，△DOF≌△BOE，△AEO≌△CFO，
则S△GOM＝S△HON，S△DOF＝S△BOE，S△AEO＝S△CFO，
故图中阴影部分的面积为：S四边形ABCD＝×8×10＝40．
故答案为：40．
17．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为 25° ．
【解答】解：∵?ABCD与?DCFE的周长相等，且CD＝CD，
∴AD＝DE，
∵∠DAE＝∠DEA，
∵∠BAD＝60°，∠F＝110°，
∴∠ADC＝120°，∠CDE═∠F＝110°，
∴∠ADE＝360°﹣120°﹣110°＝130°，
∴∠DAE＝＝25°，
故答案为：25°．
18．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则这个四边形一定是 平行 四边形．
【解答】解：∵a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd
∴a2+b2+c2+d2﹣2ac﹣2bd＝0
∴（a﹣b）2+（c﹣d）2＝0
解得：a＝b，c＝d，
∴这个四边形的形状是平行四边形．
故答案为：平行．
19．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，已知AB＝10，AC＝18，则MN的长是 4 ．
【解答】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，
∴AD＝AB＝10，BN＝ND，
∴DC＝AC﹣AD＝8，
∵BN＝ND，BM＝MC，
∴MN＝CD＝4，
故答案为：4．
20．如图，?ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝CD，
即D为CE中点，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∵EF＝3，
∴CE＝＝2，
∴AB＝，
故答案为：．
21．我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线．现有两个全等三角形，边长分别为3cm，4cm，5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的奇异中位线的长不为0，那么奇异中位线的长是 cm．
【解答】解：∵32+42＝9+16＝25＝52，
∴边长分别为3cm，4cm，5cm的三角形是直角三角形．
如图，将两个全等的直角△ABC与△DEF的斜边AC与DF重合，拼成凸四边形ABCE，AC与BE交于点O，M为AC的中点．
∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝AE＝3cm，∠BAC＝∠EDF，
∴BO＝OE，AO⊥BE．
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，
∴OA＝AB?cos∠BAO＝3×＝，
∵AM＝AC＝，
∴OM＝AM﹣OA＝﹣＝．
即奇异中位线的长是cm．
故答案为．
三．解答题（共5小题）
22．已知：如图，已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，求AB和BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，
∴（OA+OB+AB）﹣（OB+OC+BC）＝8cm，
即AB﹣BC＝8cm，①
∵平行四边形ABCD的周长为60cm，
∴2（AB+BC）＝60cm，②
∴由①②得到：AB＝19cm，BC＝11cm．
23．如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB＝CD且AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．
【解答】证明：∵AB＝CD、AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC．
24．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明．
【解答】答：四边形ADEF是平行四边形．
证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥BF，DE＝AB，
∵AF＝AB，
∴DE＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
25．如图1，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，BA＝2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
【解答】（1）证明：在Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴DO＝DA，
∴∠DAO＝∠DOA＝30°，∠EOA＝90°，
∴∠AEO＝60°
又∵△OBC为等边三角形
∴∠BCO＝∠AEO＝60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO＝∠COA＝90°，
∴OC∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABO中，
∵∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，AB＝2，
∴OA＝AB?tan60°＝2×＝．
在Rt△OAG中，OA2+OG2＝AG2，设OG＝x，
由折叠可知：AG＝GC＝4﹣x，可得，
解得，
∴OG＝．
26．[阅读]
在平面直角坐标系中，以任意两点P（ x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为．
[运用]
（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为 （2，1.5） ．
（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
【解答】解：（1）M（，），即M（2，1.5）．
（2）如图所示：
根据平行四边形的对角线互相平分可得：
设D点的坐标为（x，y），
∵以点A、B、C、D构成的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，
∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），
∴BC＝，
∴AD＝，
∵﹣1+3﹣1＝1，2+1﹣4＝﹣1，
∴D点坐标为（1，﹣1），
②当BC为对角线时，
∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），
∴AC＝2，BD＝2，
D点坐标为（5，3）．
③当AC为对角线时，
∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），
∴AB＝＝，
∴CD＝，
D点坐标为：（1﹣3﹣1，4﹣1+2），即（﹣3，5），
综上所述，符合要求的点有：D'（1，﹣1），D″（﹣3，5），D″′（5，3）．