18.2.2 矩形与菱形培优提高题（含解析）
文档属性
| 名称 | 18.2.2 矩形与菱形培优提高题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 22:03:48 | ||
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文档简介
八下数学培优提高 第十八章 矩形与菱形
一．选择题（共10小题）
1．若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对边平行且相等 C．对角线相等 D．对角相等
3．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
4．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（ ）
A．34 B．26 C．8.5 D．6.5
5．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90° B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD
C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD+∠ADC＝180° D．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC＝90°
6．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5cm，那么HF的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．4cm D．不能确定
7．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
8．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则线段BD的长等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．+1
二．填空题（共10小题）
11．菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 ，面积为 ．
12．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为 度时，两条对角线长度相等．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为 cm．
14．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件 ，使其成为正方形（只填一个即可）
15．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CB的中点，则OE的长等于 ．
16．如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AD＝AB＝6km，CD＝CB＝5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l2的距离是 km．
17．如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点恰好与点O重合，若BE＝2，则折痕AE的长为
18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为 ．
19．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 ．
20．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是 ；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是 ．
三．解答题（共5小题）
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
22．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
23．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M、N分别是BC、DE的中点，连接ME、MD．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A＝60°，试判定△MED的形状．
24．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．
25．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．
八下数学培优提高 第十八章 矩形与菱形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB＝AD＝6cm，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6cm，
故选：D．
2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对边平行且相等 C．对角线相等 D．对角相等
【解答】解：矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有自己独有的性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线相等，
故选：C．
3．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【解答】解：由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD＝BC＝CD＝AB，
根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．
故选：B．
4．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（ ）
A．34 B．26 C．8.5 D．6.5
【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝13，
所以，斜边上的中线长＝×13＝6.5．
故选：D．
5．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90° B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD
C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD+∠ADC＝180° D．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC＝90°
【解答】解：A、一个角为直角的平行四边形为矩形，故A正确．
B、矩形的对角线平分且相等，故B正确．
C、∠BCD+∠ADC＝180°，但∠BCD不一定与∠ADC相等，根据矩形的判定定理，故C不正确．
D、因为∠BAD＝∠BCD，故AB∥CD，又因为，∠ABC＝∠ADC＝90°，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故D正确．
故选：C．
6．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5cm，那么HF的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．4cm D．不能确定
【解答】解：∵点E，D分别是AB，BC的中点，
∴DE是三角形ABC的中位线，有DE＝AC，
∵AH⊥BC，点F是AC的中点，
∴HF是Rt△AHC中斜边AC上的中线，有HF＝AC，
∴FH＝DE＝5cm．
故选：A．
7．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
【解答】解：矩形ABCD的面积S＝2S△ABC，而S△ABC＝S矩形AEFC，即S1＝S2，
故选：B．
8．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：∵矩形对边AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF＝30°，
∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CF，
∵AB＝，
∴CD＝AB＝，
∵∠DCF＝30°，
∴CF＝÷＝2，
∴EF＝2．
故选：A．
9．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则线段BD的长等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OC，∵点C的坐标为（1，3），
∴OC＝＝，
∵四边形OBCD是矩形，
∴BD＝OC＝．
故选：D．
10．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．+1
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，
∴P′Q＝CP′＝BC?sinB＝2×＝．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 20 ，面积为 24 ．
【解答】解：如图，AC＝6，BD＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，
∴AB＝＝5，
∴菱形的周长是：4AB＝4×5＝20，面积是：AC?BD＝×6×8＝24．
故答案为：20，24．
12．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为 90 度时，两条对角线长度相等．
【解答】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以得到∠α＝90°．
故答案是：90°．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为 5 cm．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝×10＝5cm．
故答案为：5．
14．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件 AB＝BC（答案不唯一） ，使其成为正方形（只填一个即可）
【解答】解：添加条件：AB＝BC，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
15．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CB的中点，则OE的长等于 4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DO＝OB，
∵E是BC的中点，
∴OE＝AB，
∵AB＝8，
∴OE＝4．
故答案为4．
16．如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AD＝AB＝6km，CD＝CB＝5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l2的距离是 4 km．
【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，
在△ADC与△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥l2于E，CF⊥l1于F，
∴CE＝CF＝4km，
即村庄C到公路l2的距离是4km．
故答案是：4．
17．如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点恰好与点O重合，若BE＝2，则折痕AE的长为 4
【解答】解：由题意得：AB＝AO＝CO，即AC＝2AB，
且OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设AB＝AO＝OC＝x，
则有AC＝2x，∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC＝x，
在Rt△OEC中，∠OCE＝30°，
∴OE＝EC，即BE＝EC，
∵BE＝2，
∴OE＝2，EC＝4，
则AE＝4，
故答案为：4
18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，AC⊥BD，
∴AD＝AB＝＝13，
∵DH⊥AB，
∴AO×BD＝DH×AB，
∴12×10＝13×DH，
∴DH＝，
∴BH＝＝．
故答案为：．
19．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 4.8 ．
【解答】解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP＝＝，
∴EF的最小值为．
故答案为4.8．
20．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是 20 ；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是 ．
【解答】解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1＝5，C1D1＝AC＝5，A2B2＝C2D2＝C2B2＝A2D2＝5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4＝20，
同理可得出：A3D3＝5×，C3D3＝C1D1＝×5，
A5D5＝5×（）2，C5D5＝C3D3＝（）2×5，
…
∴四边形A2015B2015C2015D2015的周长是：，
故答案为：20；．
三．解答题（共5小题）
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，DE＝AC，
∴AC⊥BD，DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD．
（2）解：∵菱形ABCD的边长为6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BD⊥AC，AO＝CO＝AC．
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵△AOD中BD⊥AC，AD＝6，AO＝3，
∴OD＝＝3，
∵四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝3，
∵在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝3，
∴AE＝＝＝3．
22．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
【解答】解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．
∴∠FEC＝90°．
∴∠AEF+∠DEC＝90°．
而∠ECD+∠DEC＝90°．
∴∠AEF＝∠ECD．（3分）
在Rt△AEF与Rt△DCE中，
∵，
∴Rt△AEF≌Rt△DCE（AAS）．（5分）
∴AE＝CD．（6分）
AD＝AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm．
∴2（AE+ED+DC）＝32，即2（2AE+4）＝32，
整理得：2AE+4＝16
解得：AE＝6（cm）．
23．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M、N分别是BC、DE的中点，连接ME、MD．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A＝60°，试判定△MED的形状．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，
∴MD＝ME＝BC，
∴点N是DE的中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，
∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，
∴∠DME＝60°，
∴△MED是等边三角形．
24．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠ECD，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝DC．
（2）①当AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形．
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD＝BD＝DC，
∴四边形AFBD是菱形．
25．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．
【解答】解：（1）∵A（20，0），C（0，8），
∴OA＝20，OC＝8，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝OA＝10，
∵四边形OABC为矩形，
∴BC＝OA＝20，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB＝OD＝10，
∴PC＝BC﹣PB＝10，
∴t＝10；
（2）如图1，∵四边形ODQP为菱形，
∴OD＝OP＝PQ＝10，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝＝6，
∴t＝6，
∴CQ＝CP+PQ＝6+10＝16，
∴Q点的坐标为（16，8）；
（3）如图2，△OPD为等腰三角形时，分三种情况：
①如果O为顶点，那么OP＝OD＝10，
由勾股定理可以求得PC＝6，此时P1（6，8）；
②如果P为顶点，那么PO＝PD，
作PE⊥OA于E，则OE＝ED＝5，此时P2（5，8）；
③如果D为顶点，那么DP＝DO＝10，
作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF＝6，
∴P3C＝10﹣6＝4或P4C＝10+6＝16，此时P3（4，8），P4（16，8）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（6，8），P2（5，8），P3（4，8），P4（16，8）．
一．选择题（共10小题）
1．若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对边平行且相等 C．对角线相等 D．对角相等
3．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
4．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（ ）
A．34 B．26 C．8.5 D．6.5
5．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90° B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD
C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD+∠ADC＝180° D．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC＝90°
6．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5cm，那么HF的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．4cm D．不能确定
7．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
8．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则线段BD的长等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．+1
二．填空题（共10小题）
11．菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 ，面积为 ．
12．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为 度时，两条对角线长度相等．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为 cm．
14．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件 ，使其成为正方形（只填一个即可）
15．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CB的中点，则OE的长等于 ．
16．如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AD＝AB＝6km，CD＝CB＝5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l2的距离是 km．
17．如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点恰好与点O重合，若BE＝2，则折痕AE的长为
18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为 ．
19．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 ．
20．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是 ；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是 ．
三．解答题（共5小题）
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
22．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
23．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M、N分别是BC、DE的中点，连接ME、MD．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A＝60°，试判定△MED的形状．
24．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．
25．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．
八下数学培优提高 第十八章 矩形与菱形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（ ）
A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB＝AD＝6cm，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6cm，
故选：D．
2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对边平行且相等 C．对角线相等 D．对角相等
【解答】解：矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有自己独有的性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线相等，
故选：C．
3．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【解答】解：由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD＝BC＝CD＝AB，
根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．
故选：B．
4．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（ ）
A．34 B．26 C．8.5 D．6.5
【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝13，
所以，斜边上的中线长＝×13＝6.5．
故选：D．
5．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90° B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD
C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD+∠ADC＝180° D．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC＝90°
【解答】解：A、一个角为直角的平行四边形为矩形，故A正确．
B、矩形的对角线平分且相等，故B正确．
C、∠BCD+∠ADC＝180°，但∠BCD不一定与∠ADC相等，根据矩形的判定定理，故C不正确．
D、因为∠BAD＝∠BCD，故AB∥CD，又因为，∠ABC＝∠ADC＝90°，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故D正确．
故选：C．
6．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5cm，那么HF的长为（ ）
A．5cm B．6cm C．4cm D．不能确定
【解答】解：∵点E，D分别是AB，BC的中点，
∴DE是三角形ABC的中位线，有DE＝AC，
∵AH⊥BC，点F是AC的中点，
∴HF是Rt△AHC中斜边AC上的中线，有HF＝AC，
∴FH＝DE＝5cm．
故选：A．
7．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
【解答】解：矩形ABCD的面积S＝2S△ABC，而S△ABC＝S矩形AEFC，即S1＝S2，
故选：B．
8．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【解答】解：∵矩形对边AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∵∠DCF＝30°，
∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CF，
∵AB＝，
∴CD＝AB＝，
∵∠DCF＝30°，
∴CF＝÷＝2，
∴EF＝2．
故选：A．
9．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则线段BD的长等于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接OC，∵点C的坐标为（1，3），
∴OC＝＝，
∵四边形OBCD是矩形，
∴BD＝OC＝．
故选：D．
10．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．+1
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC＝AB＝2，∠B＝60°，
∴P′Q＝CP′＝BC?sinB＝2×＝．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 20 ，面积为 24 ．
【解答】解：如图，AC＝6，BD＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，
∴AB＝＝5，
∴菱形的周长是：4AB＝4×5＝20，面积是：AC?BD＝×6×8＝24．
故答案为：20，24．
12．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为 90 度时，两条对角线长度相等．
【解答】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以得到∠α＝90°．
故答案是：90°．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为 5 cm．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝×10＝5cm．
故答案为：5．
14．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件 AB＝BC（答案不唯一） ，使其成为正方形（只填一个即可）
【解答】解：添加条件：AB＝BC，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
15．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CB的中点，则OE的长等于 4 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DO＝OB，
∵E是BC的中点，
∴OE＝AB，
∵AB＝8，
∴OE＝4．
故答案为4．
16．如图所示，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AD＝AB＝6km，CD＝CB＝5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则村庄C到公路l2的距离是 4 km．
【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，
在△ADC与△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥l2于E，CF⊥l1于F，
∴CE＝CF＝4km，
即村庄C到公路l2的距离是4km．
故答案是：4．
17．如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点恰好与点O重合，若BE＝2，则折痕AE的长为 4
【解答】解：由题意得：AB＝AO＝CO，即AC＝2AB，
且OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设AB＝AO＝OC＝x，
则有AC＝2x，∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC＝x，
在Rt△OEC中，∠OCE＝30°，
∴OE＝EC，即BE＝EC，
∵BE＝2，
∴OE＝2，EC＝4，
则AE＝4，
故答案为：4
18．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，AC⊥BD，
∴AD＝AB＝＝13，
∵DH⊥AB，
∴AO×BD＝DH×AB，
∴12×10＝13×DH，
∴DH＝，
∴BH＝＝．
故答案为：．
19．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 4.8 ．
【解答】解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP＝＝，
∴EF的最小值为．
故答案为4.8．
20．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是 20 ；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是 ．
【解答】解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1＝5，C1D1＝AC＝5，A2B2＝C2D2＝C2B2＝A2D2＝5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4＝20，
同理可得出：A3D3＝5×，C3D3＝C1D1＝×5，
A5D5＝5×（）2，C5D5＝C3D3＝（）2×5，
…
∴四边形A2015B2015C2015D2015的周长是：，
故答案为：20；．
三．解答题（共5小题）
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，DE＝AC，
∴AC⊥BD，DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD．
（2）解：∵菱形ABCD的边长为6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BD⊥AC，AO＝CO＝AC．
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵△AOD中BD⊥AC，AD＝6，AO＝3，
∴OD＝＝3，
∵四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝3，
∵在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝3，
∴AE＝＝＝3．
22．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
【解答】解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．
∴∠FEC＝90°．
∴∠AEF+∠DEC＝90°．
而∠ECD+∠DEC＝90°．
∴∠AEF＝∠ECD．（3分）
在Rt△AEF与Rt△DCE中，
∵，
∴Rt△AEF≌Rt△DCE（AAS）．（5分）
∴AE＝CD．（6分）
AD＝AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm．
∴2（AE+ED+DC）＝32，即2（2AE+4）＝32，
整理得：2AE+4＝16
解得：AE＝6（cm）．
23．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M、N分别是BC、DE的中点，连接ME、MD．
（1）求证：MN⊥DE；
（2）若∠A＝60°，试判定△MED的形状．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，
∴MD＝ME＝BC，
∴点N是DE的中点，
∴MN⊥DE；
（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，
∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，
∴∠DME＝60°，
∴△MED是等边三角形．
24．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠ECD，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝DC．
（2）①当AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形．
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD＝BD＝DC，
∴四边形AFBD是菱形．
25．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．
【解答】解：（1）∵A（20，0），C（0，8），
∴OA＝20，OC＝8，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝OA＝10，
∵四边形OABC为矩形，
∴BC＝OA＝20，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB＝OD＝10，
∴PC＝BC﹣PB＝10，
∴t＝10；
（2）如图1，∵四边形ODQP为菱形，
∴OD＝OP＝PQ＝10，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝＝6，
∴t＝6，
∴CQ＝CP+PQ＝6+10＝16，
∴Q点的坐标为（16，8）；
（3）如图2，△OPD为等腰三角形时，分三种情况：
①如果O为顶点，那么OP＝OD＝10，
由勾股定理可以求得PC＝6，此时P1（6，8）；
②如果P为顶点，那么PO＝PD，
作PE⊥OA于E，则OE＝ED＝5，此时P2（5，8）；
③如果D为顶点，那么DP＝DO＝10，
作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF＝6，
∴P3C＝10﹣6＝4或P4C＝10+6＝16，此时P3（4，8），P4（16，8）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（6，8），P2（5，8），P3（4，8），P4（16，8）．