18.2.3 正方形培优提高题（含解析）
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八下数学培优提高 第十八章 正方形
一．选择题（共10小题）
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
2．若正方形的周长为40，则其对角线长为（ ）
A．100 B． C． D．10
3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
4．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
6．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
7．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C．1 D．
8．如图，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AC＝12，则PE+PF的值是（ ）
A．6 B．10 C．6 D．12
9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B． C． D．2
10．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二．填空题（共10小题）
11．正方形既是 图形，又是 图形，它有 条对称轴，对称中心是 ．
12．若正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积为 ．
13．用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形．一定能够拼成的图形是 ．
14．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝ 时，四边形MENF是正方形．
16．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m．
17．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为 ．
18．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为 ．
19．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2，其中正确结论是 （填序号）
20．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°、n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就接近正方形．
①菱形的一个内角为70°，则“接近度”＝ ；
②菱形的“接近度”＝ 时，菱形就是正方形．
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则：
①菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝ ；
②在这种情况下，菱形的“接近度”＝ 时，菱形就是正方形．
三．解答题（共5小题）
21．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，求∠BCE的度数
22．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
23．如图，正方形ABCD中，H在BC上，DE⊥AH交AB于点E，交AH于点G，若AB＝3，BH＝1．
（1）求DE的长；
（2）求GH的长．
24．在学习完矩形的内容后，某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O为矩形ABCD对角线的交点．
操作发现：
如图（1）所示，点E为AD边上任意一点，连接EO并延长与BC边交于点F．
（1）小组成员甲发现“AE＝CF”，请你完成证明；
（2）如图（2），连接BE、DF，小组成员乙发现“四边形BEDF的形状一定是 ，当AE的长为 时，四边形BEDF是菱形”；
探究发现：
受前面两位组员的启发，小组成员丙与丁对图形进一步操作，将图（2）中的△ABE与△CDF分别沿BE与DF进行翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′，C′处．
（3）如图（3），连接A′D，BC′，发现“四边形BA′DC′是平行四边形”，请你证明这个结论；
（4）如图（4），连接A′C′，A′C′有最小值吗？若有，请你直接写出AE的长；若没有，请说明理由．
25．如图，点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，AB＝4，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△AD′F
（1）画出旋转后的图形，求证：点C、B、F三点共线；
（2）AG平分∠EAF交BC于点G．
①如图2，连接EF．若BG：CE＝5：6，求△AEF的面积；
②如图3，若BM、DN分别为正方形的两个外角角平分线，交AG、AE的延长线于点M、N．当MM∥DC时，直接写出DN的长．
八下数学培优提高 第十八章 正方形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
2．若正方形的周长为40，则其对角线长为（ ）
A．100 B． C． D．10
【解答】解：∵正方形的周长为40，
∴正方形的边长为10，
∴对角线长为，
故选：C．
3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【解答】解：∵正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OD＝OC＝OB，
∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8个．
故选：C．
4．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴当BC＝CD时，四边形ABCD是正方形，
故选：A．
5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
又∵△ADE是正三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴△ABE是等腰三角形，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝15°．
故选：C．
6．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
7．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为，
∴AC＝2，
又∵点A′是线段AC的中点，
∴A′C＝1，
∴S阴影＝×1×1＝．
故选：B．
8．如图，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AC＝12，则PE+PF的值是（ ）
A．6 B．10 C．6 D．12
【解答】解：在正方形ABCD中，OB⊥OC，∠OBC＝45°，
∵PE⊥BD，PF⊥AC，
∴四边形OEPF为矩形，△BEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝BE，
∴PE+PF＝BE+OE＝OB，
∵AC＝BC，
∴OB＝AC＝6，
∴PE+PF＝6，
故选：A．
9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B． C． D．2
【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，
∴AC＝，CF＝3，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝＝＝2，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×2＝．
故选：B．
10．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF＝3，
∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，
又∵MN＝20，
∴20÷3＝，（不是整数）
∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3＝15格，向上移动了10÷2×3＝15格，
此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，
∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是10+4＝14次，
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．正方形既是 轴对称 图形，又是 中心对称 图形，它有 4 条对称轴，对称中心是 对角线交点 ．
【解答】解：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，对称中心是对角线交点．
故答案为：轴对称，中心对称，4，对角线交点．
12．若正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积为 8 ．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD＝4，
∴正方形ABCD的面积＝AC?BD＝×4×4＝8；
故答案为：8．
13．用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形．一定能够拼成的图形是 ①④ ．
【解答】解：根据题意，用形状和大小完全相同的直角三角形一定能拼出矩形和等腰三角形，共2种图形．
画出图形如下所示：
故答案为：①④．
14．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 a+6 ．
【解答】解：拼成的长方形的面积＝（a+3）2﹣32，
＝（a+3+3）（a+3﹣3），
＝a（a+6），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．
故答案为：a+6．
15．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝ 1：2 时，四边形MENF是正方形．
【解答】解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
16．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 4600 m．
【解答】解：连接GC，
∵四边形ABCD为正方形，
所以AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵∠CDB＝45°，GE⊥DC，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝GE．
在△AGD和△GDC中，
∴△AGD≌△GDC
∴AG＝CG
在矩形GECF中，EF＝CG，
∴EF＝AG．
∵BA+AD+DE+EF﹣BA﹣AG﹣GE
＝AD＝1500m．
∵小敏共走了3100m，
∴小聪行走的路程为3100+1500
＝4600（m）
故答案为：4600
17．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AMB＝∠DAE，
∵DE＝DC，
∴AB＝DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA＝∠DEM＝90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM＝AD，
∵AE＝2EM，
∴BC＝AD＝3EM，
连接DM，如图所示：
在Rt△DEM和Rt△DCM中，，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM＝CM，
∴BC＝3CM，
设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，
解得：x＝，
∴BM＝；
故答案为：．
18．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为 3cm ．
【解答】解：由题意设CN＝x cm，则EN＝（8﹣x）cm，
又∵CE＝DC＝4cm，
∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，即CN＝3cm．
故答案为：3cm．
19．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2，其中正确结论是 ①②③ （填序号）
【解答】解：设BE，DG交于O，
∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCE+∠DCE＝∠ECG+∠DCE＝90°+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠4＝∠3+∠1＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠BOG＝90°，
∴BE⊥DG；故①②正确；
连接BD，EG，如图所示，
∴DO2+BO2＝BD2＝BC2+CD2＝2a2，EO2+OG2＝EG2＝CG2+CE2＝2b2，
则BG2+DE2＝DO2+BO2+EO2+OG2＝2a2+2b2，故③正确．
故答案为：①②③．
20．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°、n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就接近正方形．
①菱形的一个内角为70°，则“接近度”＝ 40 ；
②菱形的“接近度”＝ 0 时，菱形就是正方形．
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则：
①菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝ ；
②在这种情况下，菱形的“接近度”＝ 1 时，菱形就是正方形．
【解答】解：（1）①若菱形的一个内角为70°，
∴该菱形的相邻的另一内角的度数110°，
∴“接近度”等于|110﹣70|＝40；
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，
则菱形是正方形；
（2）①若菱形的一个内角为60°，
∴该菱形的相邻的另一内角的度数120°，
∴“接近度”等于＝；
②当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，
则菱形是正方形；
故答案为：40；0；；1．
三．解答题（共5小题）
21．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，求∠BCE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠E＝＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为：22.5°．
22．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∴△BED≌△CFD．
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°．
∵∠A＝90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF．
∴四边形DFAE为正方形．
23．如图，正方形ABCD中，H在BC上，DE⊥AH交AB于点E，交AH于点G，若AB＝3，BH＝1．
（1）求DE的长；
（2）求GH的长．
【解答】解：（1）∵DE⊥AH，
∴∠ADE＝∠BAH＝180°﹣∠DAG，
在△DAE和△ABH中，
，
∴△DAE≌△ABH，
∴AE＝BH＝1，
∴DE＝＝＝；
（2）∵△DAE≌△ABH，
∴AH＝DE＝，
∵∠GAE＝∠BAH，∠AGE＝∠ABH＝90°，
∴△AGE∽△ABH，
∴＝，
∴＝，
解得：GH＝，
24．在学习完矩形的内容后，某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O为矩形ABCD对角线的交点．
操作发现：
如图（1）所示，点E为AD边上任意一点，连接EO并延长与BC边交于点F．
（1）小组成员甲发现“AE＝CF”，请你完成证明；
（2）如图（2），连接BE、DF，小组成员乙发现“四边形BEDF的形状一定是 平行四边形 ，当AE的长为 时，四边形BEDF是菱形”；
探究发现：
受前面两位组员的启发，小组成员丙与丁对图形进一步操作，将图（2）中的△ABE与△CDF分别沿BE与DF进行翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′，C′处．
（3）如图（3），连接A′D，BC′，发现“四边形BA′DC′是平行四边形”，请你证明这个结论；
（4）如图（4），连接A′C′，A′C′有最小值吗？若有，请你直接写出AE的长；若没有，请说明理由．
【解答】
（1）证明：如图1，连接AC，
∴点O在线段AC上，AD∥BC，OA＝OC，
∴∠AOE＝∠COF，∠EAO＝∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF；
（2）解：如图2，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，
由（1）有AE＝CF，
∴DE＝BF
Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴BE＝DF，
∵EF＝EF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
设AE＝x，则DE＝6﹣x，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BE＝BD＝6﹣x，
在Rt△ABE中，AB＝4，
根据勾股定理，得 AB2+AE2＝BE2，
∴16+x2＝（6﹣x）2，
∴x＝．
故答案为平行四边形，．
（3）解：如图3，连接BD，由（1）有，AE＝CF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴∠ABE＝CDF，
∵沿BE翻折，点A落在A′处，
∴Rt△ABE≌Rt△A′BE，
∴A′B＝AB，∠ABE＝∠A′BE＝∠ABA′
同理可得，C′D＝CD，∠CDF＝∠C′DF＝∠C′DC，
∴∠ABA′＝∠C′DC，A′B＝C′D，
∠ABO﹣∠ABA′＝∠CDO﹣∠CDC′，
∴∠OBA′＝∠ODC′，
∴A′B∥C′D，
∴四边形BA′DC′是平行四边形；
（4）解：由（3）可知，A'C'＝2OA'，
∴A'C'最小时，OA'最小．
连接OB，在△A'OB中，
OA'≥A'B﹣OB，
∴OA'取最小值时，点B，O，A'共线；
即落在对角线上．
∴要使A′C′最小，只有点A′，C′落在矩形对角线BD上，
设AE＝x，
∴EA′＝x，DE＝6﹣x，矩形的对角线BD＝＝2，
由对折有BA′＝BA＝4
∴DA′＝BD﹣BA′＝2﹣4，
在Rt△DEA′中，有DE2＝EA′2+DA′2，
∴（6﹣x）2＝x2+（2﹣4）2
∴x＝，
即：AE＝．
25．如图，点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，AB＝4，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△AD′F
（1）画出旋转后的图形，求证：点C、B、F三点共线；
（2）AG平分∠EAF交BC于点G．
①如图2，连接EF．若BG：CE＝5：6，求△AEF的面积；
②如图3，若BM、DN分别为正方形的两个外角角平分线，交AG、AE的延长线于点M、N．当MM∥DC时，直接写出DN的长．
【解答】（1）证明：旋转后的图形如图1中所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
∵∴点D′与点B重合，
∵∠AD′F＝90°，
∴∠AD′F+′AD′C＝180°，
∴C，B，F共线．
（2）①解：如图2中，连接EG．
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
∵AG平分∠EAF，
∴∠EAG＝×90°＝45°，
∴∠FAG＝∠FAB+∠BAG＝∠BAG+∠DAE＝45°，
∴∠FAG＝∠EAG，
∵AG＝AG，AF＝AE，
∴△GAE≌△GAF（SAS），
∴FG＝EG，
∴EG＝BF+BG＝DE+BG，
∵BG：CE＝5：6，
∴可以假设BG＝5k，CE＝6k，则DE＝4﹣6k，CG＝4﹣5k，EG＝4﹣k，
在Rt△EGC中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（4﹣k）2＝（6k）2+（4﹣5k）2，
∴k＝，
∴DE＝，
∴AE＝AF＝＝，
∴S△AEF＝?AE?AF＝．
②解：如图3中，连接EG，延长MN交AD的延长线于点P，作MQ⊥AB交AB的延长线于点Q．
由题意可知：△PDN，△BMQ都是等腰直角三角形，设DP＝PN＝x，BG＝a，DE＝b．
∵四边形AQMP是矩形，
∴MQ＝BQ＝AP＝4+x，
∵DE∥PN，
∴＝，即＝①，
∵BG∥MQ，
∴＝，即＝②
在Rt△BCG中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（a+b）2＝（4﹣a）2+（4﹣b）2③，
由①②③可得x＝2或﹣2（舍弃）
∴DN＝x＝2．
一．选择题（共10小题）
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
2．若正方形的周长为40，则其对角线长为（ ）
A．100 B． C． D．10
3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
4．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
6．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
7．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C．1 D．
8．如图，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AC＝12，则PE+PF的值是（ ）
A．6 B．10 C．6 D．12
9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B． C． D．2
10．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二．填空题（共10小题）
11．正方形既是 图形，又是 图形，它有 条对称轴，对称中心是 ．
12．若正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积为 ．
13．用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形．一定能够拼成的图形是 ．
14．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝ 时，四边形MENF是正方形．
16．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m．
17．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为 ．
18．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为 ．
19．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2，其中正确结论是 （填序号）
20．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°、n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就接近正方形．
①菱形的一个内角为70°，则“接近度”＝ ；
②菱形的“接近度”＝ 时，菱形就是正方形．
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则：
①菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝ ；
②在这种情况下，菱形的“接近度”＝ 时，菱形就是正方形．
三．解答题（共5小题）
21．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，求∠BCE的度数
22．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
23．如图，正方形ABCD中，H在BC上，DE⊥AH交AB于点E，交AH于点G，若AB＝3，BH＝1．
（1）求DE的长；
（2）求GH的长．
24．在学习完矩形的内容后，某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O为矩形ABCD对角线的交点．
操作发现：
如图（1）所示，点E为AD边上任意一点，连接EO并延长与BC边交于点F．
（1）小组成员甲发现“AE＝CF”，请你完成证明；
（2）如图（2），连接BE、DF，小组成员乙发现“四边形BEDF的形状一定是 ，当AE的长为 时，四边形BEDF是菱形”；
探究发现：
受前面两位组员的启发，小组成员丙与丁对图形进一步操作，将图（2）中的△ABE与△CDF分别沿BE与DF进行翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′，C′处．
（3）如图（3），连接A′D，BC′，发现“四边形BA′DC′是平行四边形”，请你证明这个结论；
（4）如图（4），连接A′C′，A′C′有最小值吗？若有，请你直接写出AE的长；若没有，请说明理由．
25．如图，点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，AB＝4，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△AD′F
（1）画出旋转后的图形，求证：点C、B、F三点共线；
（2）AG平分∠EAF交BC于点G．
①如图2，连接EF．若BG：CE＝5：6，求△AEF的面积；
②如图3，若BM、DN分别为正方形的两个外角角平分线，交AG、AE的延长线于点M、N．当MM∥DC时，直接写出DN的长．
八下数学培优提高 第十八章 正方形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
2．若正方形的周长为40，则其对角线长为（ ）
A．100 B． C． D．10
【解答】解：∵正方形的周长为40，
∴正方形的边长为10，
∴对角线长为，
故选：C．
3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【解答】解：∵正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OD＝OC＝OB，
∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，一共8个．
故选：C．
4．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴当BC＝CD时，四边形ABCD是正方形，
故选：A．
5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
又∵△ADE是正三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴△ABE是等腰三角形，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝15°．
故选：C．
6．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
7．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为，
∴AC＝2，
又∵点A′是线段AC的中点，
∴A′C＝1，
∴S阴影＝×1×1＝．
故选：B．
8．如图，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AC＝12，则PE+PF的值是（ ）
A．6 B．10 C．6 D．12
【解答】解：在正方形ABCD中，OB⊥OC，∠OBC＝45°，
∵PE⊥BD，PF⊥AC，
∴四边形OEPF为矩形，△BEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝BE，
∴PE+PF＝BE+OE＝OB，
∵AC＝BC，
∴OB＝AC＝6，
∴PE+PF＝6，
故选：A．
9．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B． C． D．2
【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，
∴AC＝，CF＝3，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝＝＝2，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×2＝．
故选：B．
10．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【解答】解：如图1，连接AC，CF，则AF＝3，
∴两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，
又∵MN＝20，
∴20÷3＝，（不是整数）
∴按A﹣C﹣F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10÷2×3＝15格，向上移动了10÷2×3＝15格，
此时M位于如图所示的5×5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点N处，
∴从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是10+4＝14次，
故选：B．
二．填空题（共10小题）
11．正方形既是 轴对称 图形，又是 中心对称 图形，它有 4 条对称轴，对称中心是 对角线交点 ．
【解答】解：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，对称中心是对角线交点．
故答案为：轴对称，中心对称，4，对角线交点．
12．若正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积为 8 ．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD＝4，
∴正方形ABCD的面积＝AC?BD＝×4×4＝8；
故答案为：8．
13．用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形．一定能够拼成的图形是 ①④ ．
【解答】解：根据题意，用形状和大小完全相同的直角三角形一定能拼出矩形和等腰三角形，共2种图形．
画出图形如下所示：
故答案为：①④．
14．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 a+6 ．
【解答】解：拼成的长方形的面积＝（a+3）2﹣32，
＝（a+3+3）（a+3﹣3），
＝a（a+6），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．
故答案为：a+6．
15．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝ 1：2 时，四边形MENF是正方形．
【解答】解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
16．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 4600 m．
【解答】解：连接GC，
∵四边形ABCD为正方形，
所以AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵∠CDB＝45°，GE⊥DC，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝GE．
在△AGD和△GDC中，
∴△AGD≌△GDC
∴AG＝CG
在矩形GECF中，EF＝CG，
∴EF＝AG．
∵BA+AD+DE+EF﹣BA﹣AG﹣GE
＝AD＝1500m．
∵小敏共走了3100m，
∴小聪行走的路程为3100+1500
＝4600（m）
故答案为：4600
17．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AMB＝∠DAE，
∵DE＝DC，
∴AB＝DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA＝∠DEM＝90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM＝AD，
∵AE＝2EM，
∴BC＝AD＝3EM，
连接DM，如图所示：
在Rt△DEM和Rt△DCM中，，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM＝CM，
∴BC＝3CM，
设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2＝（3x）2，
解得：x＝，
∴BM＝；
故答案为：．
18．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长度为 3cm ．
【解答】解：由题意设CN＝x cm，则EN＝（8﹣x）cm，
又∵CE＝DC＝4cm，
∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，即CN＝3cm．
故答案为：3cm．
19．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2，其中正确结论是 ①②③ （填序号）
【解答】解：设BE，DG交于O，
∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCE+∠DCE＝∠ECG+∠DCE＝90°+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠4＝∠3+∠1＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠BOG＝90°，
∴BE⊥DG；故①②正确；
连接BD，EG，如图所示，
∴DO2+BO2＝BD2＝BC2+CD2＝2a2，EO2+OG2＝EG2＝CG2+CE2＝2b2，
则BG2+DE2＝DO2+BO2+EO2+OG2＝2a2+2b2，故③正确．
故答案为：①②③．
20．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°、n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就接近正方形．
①菱形的一个内角为70°，则“接近度”＝ 40 ；
②菱形的“接近度”＝ 0 时，菱形就是正方形．
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则：
①菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝ ；
②在这种情况下，菱形的“接近度”＝ 1 时，菱形就是正方形．
【解答】解：（1）①若菱形的一个内角为70°，
∴该菱形的相邻的另一内角的度数110°，
∴“接近度”等于|110﹣70|＝40；
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，
则菱形是正方形；
（2）①若菱形的一个内角为60°，
∴该菱形的相邻的另一内角的度数120°，
∴“接近度”等于＝；
②当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，
则菱形是正方形；
故答案为：40；0；；1．
三．解答题（共5小题）
21．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，求∠BCE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠E＝＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为：22.5°．
22．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∴△BED≌△CFD．
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°．
∵∠A＝90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF．
∴四边形DFAE为正方形．
23．如图，正方形ABCD中，H在BC上，DE⊥AH交AB于点E，交AH于点G，若AB＝3，BH＝1．
（1）求DE的长；
（2）求GH的长．
【解答】解：（1）∵DE⊥AH，
∴∠ADE＝∠BAH＝180°﹣∠DAG，
在△DAE和△ABH中，
，
∴△DAE≌△ABH，
∴AE＝BH＝1，
∴DE＝＝＝；
（2）∵△DAE≌△ABH，
∴AH＝DE＝，
∵∠GAE＝∠BAH，∠AGE＝∠ABH＝90°，
∴△AGE∽△ABH，
∴＝，
∴＝，
解得：GH＝，
24．在学习完矩形的内容后，某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O为矩形ABCD对角线的交点．
操作发现：
如图（1）所示，点E为AD边上任意一点，连接EO并延长与BC边交于点F．
（1）小组成员甲发现“AE＝CF”，请你完成证明；
（2）如图（2），连接BE、DF，小组成员乙发现“四边形BEDF的形状一定是 平行四边形 ，当AE的长为 时，四边形BEDF是菱形”；
探究发现：
受前面两位组员的启发，小组成员丙与丁对图形进一步操作，将图（2）中的△ABE与△CDF分别沿BE与DF进行翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′，C′处．
（3）如图（3），连接A′D，BC′，发现“四边形BA′DC′是平行四边形”，请你证明这个结论；
（4）如图（4），连接A′C′，A′C′有最小值吗？若有，请你直接写出AE的长；若没有，请说明理由．
【解答】
（1）证明：如图1，连接AC，
∴点O在线段AC上，AD∥BC，OA＝OC，
∴∠AOE＝∠COF，∠EAO＝∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF；
（2）解：如图2，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，
由（1）有AE＝CF，
∴DE＝BF
Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴BE＝DF，
∵EF＝EF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
设AE＝x，则DE＝6﹣x，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BE＝BD＝6﹣x，
在Rt△ABE中，AB＝4，
根据勾股定理，得 AB2+AE2＝BE2，
∴16+x2＝（6﹣x）2，
∴x＝．
故答案为平行四边形，．
（3）解：如图3，连接BD，由（1）有，AE＝CF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴∠ABE＝CDF，
∵沿BE翻折，点A落在A′处，
∴Rt△ABE≌Rt△A′BE，
∴A′B＝AB，∠ABE＝∠A′BE＝∠ABA′
同理可得，C′D＝CD，∠CDF＝∠C′DF＝∠C′DC，
∴∠ABA′＝∠C′DC，A′B＝C′D，
∠ABO﹣∠ABA′＝∠CDO﹣∠CDC′，
∴∠OBA′＝∠ODC′，
∴A′B∥C′D，
∴四边形BA′DC′是平行四边形；
（4）解：由（3）可知，A'C'＝2OA'，
∴A'C'最小时，OA'最小．
连接OB，在△A'OB中，
OA'≥A'B﹣OB，
∴OA'取最小值时，点B，O，A'共线；
即落在对角线上．
∴要使A′C′最小，只有点A′，C′落在矩形对角线BD上，
设AE＝x，
∴EA′＝x，DE＝6﹣x，矩形的对角线BD＝＝2，
由对折有BA′＝BA＝4
∴DA′＝BD﹣BA′＝2﹣4，
在Rt△DEA′中，有DE2＝EA′2+DA′2，
∴（6﹣x）2＝x2+（2﹣4）2
∴x＝，
即：AE＝．
25．如图，点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，AB＝4，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°得到△AD′F
（1）画出旋转后的图形，求证：点C、B、F三点共线；
（2）AG平分∠EAF交BC于点G．
①如图2，连接EF．若BG：CE＝5：6，求△AEF的面积；
②如图3，若BM、DN分别为正方形的两个外角角平分线，交AG、AE的延长线于点M、N．当MM∥DC时，直接写出DN的长．
【解答】（1）证明：旋转后的图形如图1中所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
∵∴点D′与点B重合，
∵∠AD′F＝90°，
∴∠AD′F+′AD′C＝180°，
∴C，B，F共线．
（2）①解：如图2中，连接EG．
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
∵AG平分∠EAF，
∴∠EAG＝×90°＝45°，
∴∠FAG＝∠FAB+∠BAG＝∠BAG+∠DAE＝45°，
∴∠FAG＝∠EAG，
∵AG＝AG，AF＝AE，
∴△GAE≌△GAF（SAS），
∴FG＝EG，
∴EG＝BF+BG＝DE+BG，
∵BG：CE＝5：6，
∴可以假设BG＝5k，CE＝6k，则DE＝4﹣6k，CG＝4﹣5k，EG＝4﹣k，
在Rt△EGC中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（4﹣k）2＝（6k）2+（4﹣5k）2，
∴k＝，
∴DE＝，
∴AE＝AF＝＝，
∴S△AEF＝?AE?AF＝．
②解：如图3中，连接EG，延长MN交AD的延长线于点P，作MQ⊥AB交AB的延长线于点Q．
由题意可知：△PDN，△BMQ都是等腰直角三角形，设DP＝PN＝x，BG＝a，DE＝b．
∵四边形AQMP是矩形，
∴MQ＝BQ＝AP＝4+x，
∵DE∥PN，
∴＝，即＝①，
∵BG∥MQ，
∴＝，即＝②
在Rt△BCG中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（a+b）2＝（4﹣a）2+（4﹣b）2③，
由①②③可得x＝2或﹣2（舍弃）
∴DN＝x＝2．