【走进重高汇编】八下数学第十八章 平行四边形单元测试B卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 【走进重高汇编】八下数学第十八章 平行四边形单元测试B卷（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 21:54:06 | ||
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文档简介
【走进重高汇编】八下数学 第十八章 单元测试B卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知在?ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则?ABCD的周长等于（ ）
A．10cm B．6cm C．5cm D．4cm
2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
3．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．5 B．2 C． D．
6．点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
7．如图，平面直角坐标系中有一个5×5的方阵，在方阵中的点的横、纵坐标都是整数的点叫格点，四个点都是格点的四边形叫格点四边形，已知：A（1，2），B（3，2）．以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数是（ ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．13个
8．如图，D是△ABC内一点，AD＝6，BC＝4，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
9．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
二．填空题（共7小题）
11．若菱形两条对角线的长分别为6和10，则这个菱形的周长是 ．
12．如图，已知AD∥BC，AB∥CD，AB＝4，BC＝6，EF是AC的垂直平分线，分别交AD、AC于E、F，连结CE，则△CDE的周长是 ．
13．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF＝ cm．
14．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为 ．
15．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当＝ 时，四边形ADFE是平行四边形．
16．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 cm．
三．解答题（共7小题）
17．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB＝ 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
18．AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝DF．
求证：△ACE≌△ACF．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如果∠G＝90°，∠C＝60°，BC＝2，求四边形DEBF的面积．
20．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE＝2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图②），求点D到AG的距离；
（2）当α＝45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，
AF与BG交于点E．
（1）求证：AF⊥BG，DF＝CG；
（2）若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．
22．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在?ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若?ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
23．如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF＝∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．
【走进重高汇编】八下数学第十八章+单元测试b卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知在?ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则?ABCD的周长等于（ ）
A．10cm B．6cm C．5cm D．4cm
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝2，
∴?ABCD的周长＝2×（AD+AB）＝2×（3+2）＝10cm．
故选：A．
2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长是15，
∴AB＝BC＝5，
∴菱形ABCD的周长是20．
故选：B．
3．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
【解答】解：∵AD＝DE，DO∥AB，
∴OD为△ABE的中位线，
∴OD＝OC，
∵在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS）；
∵在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD；
故B、C、D均正确．
故选：A．
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC＝AC＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．
故选：C．
5．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．5 B．2 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，
∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，
∴BC＝＝5（cm），
∴AE×BC＝BO×AC
故5AE＝24，
解得：AE＝．
故选：C．
6．点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【解答】解：过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
由旋转可得：PD＝PE，∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠EPF＝90°，
∴∠ADP＝∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP＝EF，AD＝PF，
又∵AD＝AB，
∴PF＝AB，即AP+PB＝PB+BF，
∴AP＝BF，
∴BF＝EF，又∠F＝90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF＝45°，又∠CBF＝90°，
则∠CBE＝45°．
故选：C．
7．如图，平面直角坐标系中有一个5×5的方阵，在方阵中的点的横、纵坐标都是整数的点叫格点，四个点都是格点的四边形叫格点四边形，已知：A（1，2），B（3，2）．以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数是（ ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．13个
【解答】解：如图所示：
∵矩形AD4C1B，平行四边形ACDB，平行四边形AC1D1B，平行四边形AD5CB，上下完全一样的各有1个，一共有8个，
还有正方形ACBC3，
还有4个以AB为对角线的平行四边形AD4BD2，平行四边形C2AC1B，平行四边形AD2BD5，平行四边形ADBC4．
∴一共有13个面积为2的平行四边形．
故选：D．
8．如图，D是△ABC内一点，AD＝6，BC＝4，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴HG＝BC＝EF，EH＝FG＝AD，
∵AD＝6，BC＝4，
∴EF＝HG＝2，EH＝GF＝3，
∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH＝2×（2+3）＝10．
故选：C．
9．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①正确．
理由：
∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．
理由：
EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，
解得x＝3．
∴BG＝3＝6﹣3＝GC；
③正确．
理由：
∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，
∴AG∥CF；
④错误．
理由：
∵S△GCE＝GC?CE＝×3×4＝6
∵GF＝3，EF＝2，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FCE＝3：2，
∴S△GFC＝×6＝≠3．
故④不正确．
∴正确的个数有3个．
故选：C．
10．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，
在梯形GDBE中，S△GDB＝S△EDB（同底等高）
∴S△GDB﹣公共三角形＝S△EDB﹣公共三角形
即∴S△DGE＝S△GEB，S△GKE＝S△GFE
同理S△GKE＝S△GFE
∴S阴影＝S△DGE+S△GKE
＝S△GEB+S△GEF
＝S正方形GBEF
＝42
＝16
故选：D．
二．填空题（共7小题）
11．若菱形两条对角线的长分别为6和10，则这个菱形的周长是 4 ．
【解答】解：如图，在菱形ABCD中，AC＝10，BD＝6，
∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝5．
∴AB＝＝．
∴周长＝4．
12．如图，已知AD∥BC，AB∥CD，AB＝4，BC＝6，EF是AC的垂直平分线，分别交AD、AC于E、F，连结CE，则△CDE的周长是 10 ．
【解答】解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴△CDE的周长是：ED+EC+DC＝AD+DC＝10．
故答案为：10．
13．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF＝ 3 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC，OB＝BD，
∵AC+BD＝24cm，
∴OA+OB＝12cm，
∵△OAB的周长是18cm，
∴AB＝6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF＝AB＝3cm．
故答案为：3．
14．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为 ．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，
则BE＝a﹣b，
∵正方形AEFG的顶点E，
∴AF平分∠BAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CA平分∠BAD，
∴点F在正方形ABCD的对角线上，
∵G在正方形ABCD的边AB，AD上，
∴CF＝a﹣b，
∴BE：CF＝（a﹣b）：（a﹣b）＝．
故答案为：．
15．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当＝ 时，四边形ADFE是平行四边形．
【解答】解：当＝时，四边形ADFE是平行四边形．
理由：∵＝，
∴∠CAB＝30°，
∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB＝60°，AE＝AB，
∴∠FEA＝30°，又∠BAC＝30°，
∴∠FEA＝∠BAC，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（AAS）；
∵∠BAC＝30°，∠DAC＝60°，
∴∠DAB＝90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵△ABC≌△EAF，
∴EF＝AC＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
故答案为：．
16．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 17 cm．
【解答】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，
在Rt△ABC中，
由勾股定理：x2＝（8﹣x）2+22，
解得：x＝，
∴4x＝17，
即菱形的最大周长为17cm．
故答案为：17．
三．解答题（共7小题）
17．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB＝ 2：1 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）答：四边形MENF是菱形．
证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，
∴NE＝FM，NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
（3）解：当四边形MENF是正方形正方形时，则∠EMF＝90°，
∵△ABM≌△DCM，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°，
∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，
∴AM＝DM＝AB，
∴AD＝2AB，
当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．
故答案为：2：1．
18．AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝DF．
求证：△ACE≌△ACF．
【解答】证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠FAC＝∠EAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如果∠G＝90°，∠C＝60°，BC＝2，求四边形DEBF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，DC＝AB，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AG∥BD，∠G＝90°，
∴∠DBC＝90°，
∵∠C＝60°，BC＝2，
∴DC＝2BC＝4，由勾股定理得：BD＝2，
∴△DBC的面积是BD×BC＝×2×2＝2，
∵F为DC的中点，
∴△DBF的面积是S△DBC＝×2＝，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF的面积是2S△DBF＝2．．
20．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE＝2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图②），求点D到AG的距离；
（2）当α＝45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．
【解答】（1）解：如图②，作DK⊥AG于点K，
∵CD＝CE＝DE＝2cm，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，（1分）
∴∠ADG＝360°﹣2×90°﹣60°＝120°．
∵AD＝DG＝1cm，
∴∠DAG＝∠DGA＝30°，（2分）
∴DK＝DG＝cm，
∴点D到AG的距离为cm．（4分）
（2）证明：∵α＝45°，BC∥EH，
∴∠NCE＝∠NEC＝45°，CN＝NE，
∴∠CNE＝90°，（5分）
∴∠DNH＝90°，
∵∠D＝∠H＝90°，
∴四边形MHND是矩形，（6分）
∵CN＝NE，
∴DN＝NH，（7分）
∴矩形MHND是正方形．（8分）
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，
AF与BG交于点E．
（1）求证：AF⊥BG，DF＝CG；
（2）若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝∠BAD．
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC．
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
即2∠BAF+2∠ABG＝180°，
∴∠BAF+∠ABG＝90°．
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAF+∠ABG）＝180°﹣90°＝90°．
∴AF⊥BG；
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠DAF，
∴DF＝AD，
∵AB∥CD，
∴∠ABG＝∠CGB，
∴∠CBG＝∠CGB，
∴CG＝BC，
∵AD＝BC．
∴DF＝CG；
（2）解：∵DF＝AD＝6，
∴CG＝DF＝6．
∴CG+DF＝12，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴CD＝AB＝10．
∴10+FG＝12，
∴FG＝2，
过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H．
∴∠GBH＝∠AEB＝90°．
∵AF∥BH，AB∥FH，
∴四边形ABHF为平行四边形．
∴BH＝AF＝8，FH＝AB＝10．
∴GH＝FG+FH＝2+10＝12，
∴在Rt△BHG中：BG＝＝．
∴FG的长度为2，BG的长度为4．
22．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在?ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若?ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE＝BC，
证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF（全等三角形对应边相等），
∠A＝∠ECF（全等三角形对应角相等），
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF且BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC且DF＝BC（平行四边形的对边平行且相等），
∵DE＝EF＝DF，
∴DE∥BC且DE＝BC；
（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1D1＝CD，A1D1＝AD，
∴四边形A1B1C1D1的周长＝×1＝，
同理可得，四边形A2B2C2D2的周长＝×＝，
四边形A3B3C3D3的周长＝×＝，
…，
∴四边形的周长之和l＝1++++…；
（3）由图可知，+++…＝1（无限接近于1），
所以l＝1++++…＝2（无限接近于2）．
23．如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF＝∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．
【解答】（1）EF＝BE+DF，
证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ＝DF，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABE＝∠ABQ＝90°，
在△ADF和△ABQ中
，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ＝AF，∠QAB＝∠DAF，
∵∠DAB＝90°，∠FAE＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠BAE+∠BAQ＝45°，
即∠EAQ＝∠FAE，
在△EAQ和△EAF中
∴△EAQ≌△EAF，
∴EF＝EQ＝BE+BQ＝BE+DF．
（2）解：AM＝AB，
理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF＝EQ，
∴×EQ×AB＝×FE×AM，
∴AM＝AB．
（3）AM＝AB，
证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ＝DF，连接AQ，
∵折叠后B和D重合，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABE＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，
在△ADF和△ABQ中，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ＝AF，∠QAB＝∠DAF，
∵∠FAE＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAQ＝∠EAQ＝∠BAD，
即∠EAQ＝∠FAE，
在△EAQ和△EAF中，
，
∴△EAQ≌△EAF（SAS），
∴EF＝EQ，
∵△EAQ≌△EAF，EF＝EQ，
∴×EQ×AB＝×FE×AM，
∴AM＝AB．
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知在?ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则?ABCD的周长等于（ ）
A．10cm B．6cm C．5cm D．4cm
2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
3．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．5 B．2 C． D．
6．点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
7．如图，平面直角坐标系中有一个5×5的方阵，在方阵中的点的横、纵坐标都是整数的点叫格点，四个点都是格点的四边形叫格点四边形，已知：A（1，2），B（3，2）．以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数是（ ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．13个
8．如图，D是△ABC内一点，AD＝6，BC＝4，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
9．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
二．填空题（共7小题）
11．若菱形两条对角线的长分别为6和10，则这个菱形的周长是 ．
12．如图，已知AD∥BC，AB∥CD，AB＝4，BC＝6，EF是AC的垂直平分线，分别交AD、AC于E、F，连结CE，则△CDE的周长是 ．
13．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF＝ cm．
14．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为 ．
15．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当＝ 时，四边形ADFE是平行四边形．
16．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 cm．
三．解答题（共7小题）
17．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB＝ 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
18．AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝DF．
求证：△ACE≌△ACF．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如果∠G＝90°，∠C＝60°，BC＝2，求四边形DEBF的面积．
20．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE＝2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图②），求点D到AG的距离；
（2）当α＝45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，
AF与BG交于点E．
（1）求证：AF⊥BG，DF＝CG；
（2）若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．
22．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在?ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若?ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
23．如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF＝∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．
【走进重高汇编】八下数学第十八章+单元测试b卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知在?ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则?ABCD的周长等于（ ）
A．10cm B．6cm C．5cm D．4cm
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝2，
∴?ABCD的周长＝2×（AD+AB）＝2×（3+2）＝10cm．
故选：A．
2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长是15，
∴AB＝BC＝5，
∴菱形ABCD的周长是20．
故选：B．
3．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
【解答】解：∵AD＝DE，DO∥AB，
∴OD为△ABE的中位线，
∴OD＝OC，
∵在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS）；
∵在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD；
故B、C、D均正确．
故选：A．
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC＝AC＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．
故选：C．
5．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．5 B．2 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，
∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，
∴BC＝＝5（cm），
∴AE×BC＝BO×AC
故5AE＝24，
解得：AE＝．
故选：C．
6．点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【解答】解：过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
由旋转可得：PD＝PE，∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠EPF＝90°，
∴∠ADP＝∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP＝EF，AD＝PF，
又∵AD＝AB，
∴PF＝AB，即AP+PB＝PB+BF，
∴AP＝BF，
∴BF＝EF，又∠F＝90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF＝45°，又∠CBF＝90°，
则∠CBE＝45°．
故选：C．
7．如图，平面直角坐标系中有一个5×5的方阵，在方阵中的点的横、纵坐标都是整数的点叫格点，四个点都是格点的四边形叫格点四边形，已知：A（1，2），B（3，2）．以A、B为顶点，面积为2的格点平行四边形的个数是（ ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．13个
【解答】解：如图所示：
∵矩形AD4C1B，平行四边形ACDB，平行四边形AC1D1B，平行四边形AD5CB，上下完全一样的各有1个，一共有8个，
还有正方形ACBC3，
还有4个以AB为对角线的平行四边形AD4BD2，平行四边形C2AC1B，平行四边形AD2BD5，平行四边形ADBC4．
∴一共有13个面积为2的平行四边形．
故选：D．
8．如图，D是△ABC内一点，AD＝6，BC＝4，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴HG＝BC＝EF，EH＝FG＝AD，
∵AD＝6，BC＝4，
∴EF＝HG＝2，EH＝GF＝3，
∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH＝2×（2+3）＝10．
故选：C．
9．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①正确．
理由：
∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．
理由：
EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，
解得x＝3．
∴BG＝3＝6﹣3＝GC；
③正确．
理由：
∵CG＝BG，BG＝GF，
∴CG＝GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，
∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，
∴AG∥CF；
④错误．
理由：
∵S△GCE＝GC?CE＝×3×4＝6
∵GF＝3，EF＝2，△GFC和△FCE等高，
∴S△GFC：S△FCE＝3：2，
∴S△GFC＝×6＝≠3．
故④不正确．
∴正确的个数有3个．
故选：C．
10．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，
在梯形GDBE中，S△GDB＝S△EDB（同底等高）
∴S△GDB﹣公共三角形＝S△EDB﹣公共三角形
即∴S△DGE＝S△GEB，S△GKE＝S△GFE
同理S△GKE＝S△GFE
∴S阴影＝S△DGE+S△GKE
＝S△GEB+S△GEF
＝S正方形GBEF
＝42
＝16
故选：D．
二．填空题（共7小题）
11．若菱形两条对角线的长分别为6和10，则这个菱形的周长是 4 ．
【解答】解：如图，在菱形ABCD中，AC＝10，BD＝6，
∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝5．
∴AB＝＝．
∴周长＝4．
12．如图，已知AD∥BC，AB∥CD，AB＝4，BC＝6，EF是AC的垂直平分线，分别交AD、AC于E、F，连结CE，则△CDE的周长是 10 ．
【解答】解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴△CDE的周长是：ED+EC+DC＝AD+DC＝10．
故答案为：10．
13．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF＝ 3 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC，OB＝BD，
∵AC+BD＝24cm，
∴OA+OB＝12cm，
∵△OAB的周长是18cm，
∴AB＝6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF＝AB＝3cm．
故答案为：3．
14．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为 ．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b，
则BE＝a﹣b，
∵正方形AEFG的顶点E，
∴AF平分∠BAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CA平分∠BAD，
∴点F在正方形ABCD的对角线上，
∵G在正方形ABCD的边AB，AD上，
∴CF＝a﹣b，
∴BE：CF＝（a﹣b）：（a﹣b）＝．
故答案为：．
15．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当＝ 时，四边形ADFE是平行四边形．
【解答】解：当＝时，四边形ADFE是平行四边形．
理由：∵＝，
∴∠CAB＝30°，
∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB＝60°，AE＝AB，
∴∠FEA＝30°，又∠BAC＝30°，
∴∠FEA＝∠BAC，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（AAS）；
∵∠BAC＝30°，∠DAC＝60°，
∴∠DAB＝90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵△ABC≌△EAF，
∴EF＝AC＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
故答案为：．
16．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 17 cm．
【解答】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，
在Rt△ABC中，
由勾股定理：x2＝（8﹣x）2+22，
解得：x＝，
∴4x＝17，
即菱形的最大周长为17cm．
故答案为：17．
三．解答题（共7小题）
17．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB＝ 2：1 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；
（2）答：四边形MENF是菱形．
证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，
∴NE＝FM，NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
（3）解：当四边形MENF是正方形正方形时，则∠EMF＝90°，
∵△ABM≌△DCM，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°，
∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，
∴AM＝DM＝AB，
∴AD＝2AB，
当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．
故答案为：2：1．
18．AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝DF．
求证：△ACE≌△ACF．
【解答】证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠FAC＝∠EAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）如果∠G＝90°，∠C＝60°，BC＝2，求四边形DEBF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，DC＝AB，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AG∥BD，∠G＝90°，
∴∠DBC＝90°，
∵∠C＝60°，BC＝2，
∴DC＝2BC＝4，由勾股定理得：BD＝2，
∴△DBC的面积是BD×BC＝×2×2＝2，
∵F为DC的中点，
∴△DBF的面积是S△DBC＝×2＝，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF的面积是2S△DBF＝2．．
20．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE＝2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图②），求点D到AG的距离；
（2）当α＝45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．
【解答】（1）解：如图②，作DK⊥AG于点K，
∵CD＝CE＝DE＝2cm，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，（1分）
∴∠ADG＝360°﹣2×90°﹣60°＝120°．
∵AD＝DG＝1cm，
∴∠DAG＝∠DGA＝30°，（2分）
∴DK＝DG＝cm，
∴点D到AG的距离为cm．（4分）
（2）证明：∵α＝45°，BC∥EH，
∴∠NCE＝∠NEC＝45°，CN＝NE，
∴∠CNE＝90°，（5分）
∴∠DNH＝90°，
∵∠D＝∠H＝90°，
∴四边形MHND是矩形，（6分）
∵CN＝NE，
∴DN＝NH，（7分）
∴矩形MHND是正方形．（8分）
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，
AF与BG交于点E．
（1）求证：AF⊥BG，DF＝CG；
（2）若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝∠BAD．
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC．
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
即2∠BAF+2∠ABG＝180°，
∴∠BAF+∠ABG＝90°．
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAF+∠ABG）＝180°﹣90°＝90°．
∴AF⊥BG；
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠DAF，
∴DF＝AD，
∵AB∥CD，
∴∠ABG＝∠CGB，
∴∠CBG＝∠CGB，
∴CG＝BC，
∵AD＝BC．
∴DF＝CG；
（2）解：∵DF＝AD＝6，
∴CG＝DF＝6．
∴CG+DF＝12，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴CD＝AB＝10．
∴10+FG＝12，
∴FG＝2，
过点B作BH∥AF交DC的延长线于点H．
∴∠GBH＝∠AEB＝90°．
∵AF∥BH，AB∥FH，
∴四边形ABHF为平行四边形．
∴BH＝AF＝8，FH＝AB＝10．
∴GH＝FG+FH＝2+10＝12，
∴在Rt△BHG中：BG＝＝．
∴FG的长度为2，BG的长度为4．
22．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在?ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若?ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE＝BC，
证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF（全等三角形对应边相等），
∠A＝∠ECF（全等三角形对应角相等），
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF且BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC且DF＝BC（平行四边形的对边平行且相等），
∵DE＝EF＝DF，
∴DE∥BC且DE＝BC；
（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1D1＝CD，A1D1＝AD，
∴四边形A1B1C1D1的周长＝×1＝，
同理可得，四边形A2B2C2D2的周长＝×＝，
四边形A3B3C3D3的周长＝×＝，
…，
∴四边形的周长之和l＝1++++…；
（3）由图可知，+++…＝1（无限接近于1），
所以l＝1++++…＝2（无限接近于2）．
23．如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF＝∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．
【解答】（1）EF＝BE+DF，
证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ＝DF，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABE＝∠ABQ＝90°，
在△ADF和△ABQ中
，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ＝AF，∠QAB＝∠DAF，
∵∠DAB＝90°，∠FAE＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∴∠BAE+∠BAQ＝45°，
即∠EAQ＝∠FAE，
在△EAQ和△EAF中
∴△EAQ≌△EAF，
∴EF＝EQ＝BE+BQ＝BE+DF．
（2）解：AM＝AB，
理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF＝EQ，
∴×EQ×AB＝×FE×AM，
∴AM＝AB．
（3）AM＝AB，
证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ＝DF，连接AQ，
∵折叠后B和D重合，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABE＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，
在△ADF和△ABQ中，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ＝AF，∠QAB＝∠DAF，
∵∠FAE＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAE+∠BAQ＝∠EAQ＝∠BAD，
即∠EAQ＝∠FAE，
在△EAQ和△EAF中，
，
∴△EAQ≌△EAF（SAS），
∴EF＝EQ，
∵△EAQ≌△EAF，EF＝EQ，
∴×EQ×AB＝×FE×AM，
∴AM＝AB．