9.1 探索规律问题
一、数字猜想型
在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
解题方法：分析比较 发现数量关系 猜想 计算 解决问题．
二、数式规律型
通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
解题方法：观察 分析 归纳 验证 得出结论．
三、图形规律型
图形规律问题主要是观察图形的组成、分解等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合．
解题方法：观察 图形的组成与分解利用数形结合归纳解决问题．
四、数形结合猜想型
首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系．
解题方法：观察图形变化规律利用数形结合思想猜想并验证得出结论．
五、动态规律型
要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．
解题方法：观察图形体会变化确定发生变化的与没有发生变化的量逐步发现规律．
一、选择题
1．（2016·河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
A．(1，-1) B．(-1，-1) C．(2，0) D．(0，-2)
2．（2016·青海）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（ ）
A．（12）6 B．（12）7 C．（22）6 D．（22）7
3．（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形：
按照这种规律摆下去，第个图形用的棋子个数为（ ）
A． B． C. D．
4．（2017·温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，…得到螺旋折线（如图），已知点（0，1），（，0），（0，），则该折线上的点的坐标为（ ）
A．（，24） B．（，25） C．（，24） D．（，25）
5.（2017?河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作： 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（?? ）
A.?1.4???????????????????????????????????????B.?1.1???????????????????????????????????????C.?0.8???????????????????????????????????????D.?0.5
6．（2018·阜新）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，2） C．（?2，0） D．（﹣1，1）
7．（2018·十堰）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
123256722310???
A．210 B．41 C．52 D．51
8．（2018·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A．504m2 B．10092m2 C．10112m2 D．1009m2
二、填空题
9．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律.第n个图案中有__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)
10．（2016·齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为 ．
11.（2017?盘锦）如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y= 32 x于点B1 ， B2 ， 过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2 ， 过点A2作x轴的平行线交直线y= 32 x于点B3 ， …，按照此规律进行下去，则点An的横坐标为________．
12.（2017?徐州）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为________．
13.（2017?淄博）设△ABC的面积为1． 如图1，分别将AC，BC边2等分，D1 ， E1是其分点，连接AE1 ， BD1交于点F1 ， 得到四边形CD1F1E1 ， 其面积S1= 13 ． 如图2，分别将AC，BC边3等分，D1 ， D2 ， E1 ， E2是其分点，连接AE2 ， BD2交于点F2 ， 得到四边形CD2F2E2 ， 其面积S2= 16 ； 如图3，分别将AC，BC边4等分，D1 ， D2 ， D3 ， E1 ， E2 ， E3是其分点，连接AE3 ， BD3交于点F3 ， 得到四边形CD3F3E3 ， 其面积S3= 110 ； … 按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnFnEn ， 其面积Sn=________．
14．（2018·辽阳）如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1,过点A1作A1B1∥OA,交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA,交OC于点B2；……，按此规律进行下去，点A2020的坐标是_____________.
15．（2018·绥化）将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆______个.
16．（2018·淮安）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是_____．
三、解答题
17．（2016·无锡）如图1是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮框．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO，及若干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、AnBnCnDn，OEFG围成，其中A1、G、B1在A2B2上，A2、A3…、An与B2、B3、…Bn分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、Cn和D2、D3…Dn分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，FH1=H1H2=d，C1D1、C2D2、C3D3、CnDn依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边CnDn与点E间的距离应不超过d），A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥AnCn．
（1）求d的值；
（2）问：CnDn与点E间的距离能否等于d？如果能，求出这样的n的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？
18.（2017?安徽）阅读理解 我们知道，1+2+3+…+n= n(n+1)2 ，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12 ， 第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22 ， …；第n行n个圆圈中数的和为 n+n+?+n︸n个n ，即n2 ， 这样，该三角形数阵中共有 n(n+1)2 个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2 ．
（1）将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=________，因此，12+22+32+…+n2=________．
（2）根据以上发现，计算： 12+22+32+?+201721+2+3+?+2017 的结果为________．
19．（2018·河北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？
（2）求第5个台阶上的数x是多少？
应用 求从下到上前31个台阶上数的和．
发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
20．（2018·安徽）观察以下等式：
第1个等式：11+02+11×02=1，
第2个等式：12+13+12×13=1，
第3个等式：13+24+13×24=1，
第4个等式：14+35+14×35=1，
第5个等式：15+46+15×46=1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.
一、选择题
1.（2017·宜春模拟）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣ 2n+1n(n+1) x+ 1n(n+1) 与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值是（?? ）
A.?20152016????????????????????????????????????B.?20162017????????????????????????????????????C.?20172018????????????????????????????????????D.?1
2.（2017·台州模拟）农夫将苹果树种在正方形的果园内．为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数（n）和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n为（?? ）
A.?6??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?16
3.（2017·葫芦岛一模）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1 ， A3B3C3C2 ， …按如图所示放置，点A1 ， A2 ， A3 ， 和点C1 ， C2 ， C3 ， …，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1 ， B2 ， B3 ， B4的坐标分别为（1，1）（3，2），（7，4），（15，8），则Bn的坐标是（?? ）
A.?（2n﹣1，2n﹣1）????????B.?（2n ， 2n﹣1）????????C.?（2n﹣1 ， 2n）????????D.?（2n﹣1﹣1，2n﹣1）
4.（2017·镇江二模）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（?? ）
A.?24329????????????????????????????????????B.?81329????????????????????????????????????C.?8129????????????????????????????????????D.?81328
5.（2017·淄博一模）如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律，（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注“？”的圆圈中的数应是（?? ）
A.?119??????????????????????????????????????B.?120??????????????????????????????????????C.?121??????????????????????????????????????D.?122
6．（2018·晋中模拟）在庆祝党的十九大召开期间，学校用了若干盆花摆成如图所示的三角形花阵（图中的数表示花盆的编号），如果我们把这个花阵看作是一个三角形数阵，则第10行的第一盆花的编号是（ ）
第一行
1
第二行
2
3
4
第三行
5
6
7
8
9
第四行
10
11
12
13
14
15
16
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
A．80 B．81 C．82 D．83
7．（2018?重庆二模）如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（?? ）和黑子．
A．37 B．42 C．73 D．121
8．（2018?武汉模拟）按照一定规律排列的n个数：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64 …若最后两个数的差为﹣1536，则n为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．（2018?湖北模拟）如图，10个不同正整数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和．如表示a1＝a2＋a3，则a1的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．40
10．（2018?河南模拟）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是（ ）
A．（12）2016 B．（12）2017 C．（33）2016 D．（33）2017
二、填空题
11.（2017·北京二模）小明在他家里的时钟上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在n点钟响起后，下一次则在（3n﹣1）小时后响起，例如钟声第一次在3点钟响起，那么第2次在（3×3﹣1=8）小时后，也就是11点响起，第3次在（3×11﹣1=32）小时后，即7点响起，以此类推…；现在第1次钟声响起时为2点钟，那么第3次响起时为________点，第2017次响起时为________点（如图钟表，时间为12小时制）．
12.（2017·承德一模）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y= 33 x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y= 33 x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（ 3 ，1），则点A8的横坐标是________．
13.（2017·唐山一模）如图，将顶点为P（1，﹣2），且过原点的抛物线y的一部分沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y1 ， 其顶点为P1 ， 然后将抛物线y1沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y2 ， 其顶点为P2；…，如此进行下去，直至得到抛物线y2016 ， 则点P2016坐标为________．
14．（2018?沈阳一模）已知a1＝32，a2＝55，a3＝710，a4＝917，a5＝1126，…，则an＝_____．（n为正整数）．
15．（2018?莆田模拟）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为______．
16．（2018?北京模拟）如图，∠AOB=10°，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1 P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2 P3；……
请按照上面的要求继续操作并探究：
∠P3 P2 P4=_____°；按照上面的要求一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求点Pn+1了，则n=_____．
三、解答题
17.（2017·滁州一模）如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这样得到图②，图③，…
（1）观察图形并完成表格：
图形名称
基本图形的个数
菱形的个数
图①
1
1
图②
2
3
图③
3
7
图④
4
________
…
…
…
猜想：在图n中，菱形的个数为________?[用含有n（n≥3）的代数式表示]；
（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（x1 ， 1），则x1=________；第2017个基本图形的中心O2017的坐标为________
18.（2017·青岛二模）问题的提出：n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？ 问题的转化：由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题： n条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…
（1）请你仿照前面的推导过程，写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
（2）根据递推规律用n的代数式填空：n条直线最多可以把平面分割成________个部分． 问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？ 首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到1+1=2个部分；所以，1个平面最多可以把空间分割成2个部分； 空间中有2个平面时，新增的一个平面与已知的1个平面最多有1条交线，这1条交线会把新增的这个平面最多分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2个平面最多可以把空间分割成4个部分； 空间中有3个平面时，新增的一个平面与已知的2个平面最多有2条交线，这2条交线会把新增的这个平面最多分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4=8个部分，所以，3个平面最多可以把空间分割成8个部分； 空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得到1+1+2+4+7=15个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分； 空间中有5个平面时，新增的一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11=26个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部分；…
（3）请你仿照前面的推导过程，写出“6个平面最多可以把空间分割成多少个部分？”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
（4）根据递推规律填写结果：10个平面最多可以把空间分割成________个部分；
（5）设n个平面最多可以把空间分割成Sn个部分，设n﹣1个平面最多可以把空间分割成Sn﹣1个部分，前面的递推规律可以用Sn﹣1和n的代数式表示Sn；这个等式是Sn=________．
19．（2018?安徽模拟）如图，观察下列图形，它们是一些五角星按一定规律排列的，依照此规律，解决下列问题：
（1）第5个图形有__________个五角星，第6个图形有__________个五角星；
（2）第2018个图形有多少个五角星，第n个图形有多少个五角星？
20．（2018?滁州模拟）阅读下面材料：
小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的k个数：x1，x2，…，xk，称为数列Ak：x1，x2，…，xk，其中k为整数且k≥3．
定义V（Ak）=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+…+|xk﹣2﹣xk﹣1|+|xk﹣1﹣xk|．
例如，若数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）=|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|=4．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）已知数列A3：3，5，﹣2，求V（A3）．
（2）已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个互不相等的整数，且x1=3，x4=7，V（A4）=4，直接写出满足条件的数列A4．
（3）已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5中的5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5=25，请直接写出V（A5）的最大值和最小值及对应的数列．
9.1 探索规律问题
一、数字猜想型
在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
解题方法：分析比较 发现数量关系 猜想 计算 解决问题．
二、数式规律型
通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
解题方法：观察 分析 归纳 验证 得出结论．
三、图形规律型
图形规律问题主要是观察图形的组成、分解等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合．
解题方法：观察 图形的组成与分解利用数形结合归纳解决问题．
四、数形结合猜想型
首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系．
解题方法：观察图形变化规律利用数形结合思想猜想并验证得出结论．
五、动态规律型
要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．
解题方法：观察图形体会变化确定发生变化的与没有发生变化的量逐步发现规律．
一、填空题
1．（2016·河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )
A．(1，-1) B．(-1，-1) C．(2，0) D．(0，-2)
【答案】B
【解析】根据已知条件O（0,0），B（2,2），可求得D（1,1），OB与x轴、y轴的交角为45°，当菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，时，8秒可旋转到原来的位置，因60÷8=7....4，所以第60秒时是第8循环的地上个位置，这时点D的坐标原来位置点D的坐标关于原点对称，所以为（-1，-1），故答案选B.
2．（2016·青海）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（ ）
A．（12）6 B．（12）7 C．（22）6 D．（22）7
【答案】A
【解析】如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2=12S1=2，S3=12S2=1，S4=12S3=12，…，由此可得Sn=（12）n﹣3．当n=9时，S9=（12）9﹣3=（12）6，故选A．
3．（2017·烟台）用棋子摆出下列一组图形：
按照这种规律摆下去，第个图形用的棋子个数为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】∵第一个图需棋子3+3=6；
第二个图需棋子3×2+3=9；
第三个图需棋子3×3+3=12；
…
∴第n个图需棋子3n+3枚．
故选：D．
4．（2017·温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，…得到螺旋折线（如图），已知点（0，1），（，0），（0，），则该折线上的点的坐标为（ ）
A．（，24） B．（，25） C．（，24） D．（，25）
【答案】B
【解析】由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，
所以P9的坐标为（﹣6，25），
故选B．
5.（2017?河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作： 将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（?? ）
A.?1.4???????????????????????????????????????B.?1.1???????????????????????????????????????C.?0.8???????????????????????????????????????D.?0.5
【答案】C
【解析】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线， 观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 2 小于等于1， 故选C． 【点评】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣ 2 小于等于1，由此即可判断．
6．（2018·阜新）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（0，2） C．（?2，0） D．（﹣1，1）
【答案】D
【解析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB=2，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=2，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，
∴B1（0，2），B2（-1，1），B3（-2，0），…，
发现是8次一循环，所以2018÷8=252…余2，
∴点B2018的坐标为（-1，1）
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法
7．（2018·十堰）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
123256722310???
A．210 B．41 C．52 D．51
【答案】B
【解析】由图形可知，第n行最后一个数为1+2+3+?n=nn+12，据此可得答案．
解：由图形可知，第n行最后一个数为1+2+3+?n=nn+12，
∴第8行最后一个数为8×92=36=6，
则第9行从左至右第5个数是36+5=41，
故选B．
【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为nn+12．
8．（2018·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是（ ）
A．504m2 B．10092m2 C．10112m2 D．1009m2
【答案】A
【解析】由OA4n=2n知OA2017=20162+1=1009，据此得出A2A2018=1009-1=1008，据此利用三角形的面积公式计算可得．
解：由题意知OA4n=2n，
∴OA2016=2016÷2=1008，即A2016坐标为(1008，0)，
∴A2018坐标为(1009，1)，
则A2A2018=1009－1=1008(m)，
∴S△OA2A2018＝12×A2A2018×A1A2＝12×1008×1＝504(m2).
故选：A.
【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半，据此可得．
二、填空题
9．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律.第n个图案中有__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)
【答案】4n+1
【解析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形，然后写出第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数即可.
解：由图可得，第1个图涂有阴影的小正方形的个数为5，
第2个图涂有阴影的小正方形的个数为5×2-1=9，
第3个图涂有阴影的小正方形的个数为5×3-2=13，
…，
第n个图涂有阴影的小正方形的个数为5n×（n-1）=4n+1.
故答案为：4n+1.
【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察出“后一个比前一个图案多4个涂有阴影的小正方形”是解题的关键.
10．（2016·齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为 ．
【答案】（﹣，）．
【解析】∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA=2，OC=1．
∵点B的坐标为（﹣2，1），
∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），
∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，
∴B2（﹣2××，1××），
∴Bn（﹣2×，1×），
∴矩形AnOCnBn的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），
11.（2017?盘锦）如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y= 32 x于点B1 ， B2 ， 过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2 ， 过点A2作x轴的平行线交直线y= 32 x于点B3 ， …，按照此规律进行下去，则点An的横坐标为________．
【答案】(233)n?1
【解析】解：∵AnBn+1∥x轴， ∴tan∠AnBn+1Bn= 32 ． 当x=1时，y= 32 x= 32 ， ∴点B1的坐标为（1， 32 ）， ∴A1B1=1﹣ 32 ，A1B2= A1B132 = 233 ﹣1． ∵1+A1B2= 233 ， ∴点A2的坐标为（ 233 ， 233 ），点B2的坐标为（ 233 ，1）， ∴A2B2= 233 ﹣1，A2B3= A2B232 = 43 ﹣ 233 ， ∴点A3的坐标为（ 43 ， 43 ），点B3的坐标为（ 43 ， 233 ）． 同理，可得：点An的坐标为（ (233)n?1 ， (233)n?1 ）． 故答案为： (233)n?1 ． 【点评】根据两直线与坐标点的特点由三角函数值求出点B1的坐标，从而求出A1B1的值，根据解直角三角形求出A2B2的值，探索规律求出An的坐标；此题规律性较强，计算复杂需仔细认真.
12.（2017?徐州）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为________．
【答案】2n
【解析】解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB=1， ∴AA1=OA=1，OA1= 2 OB= 2 ； ∵△OA1A2为等腰直角三角形， ∴A1A2=OA1= 2 ，OA2= 2 OA1=2； ∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴A2A3=OA2=2，OA3= 2 OA2=2 2 ； ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴A3A4=OA3=2 2 ，OA4= 2 OA3=4． ∵△OA4A5为等腰直角三角形， ∴A4A5=OA4=4，OA5= 2 OA4=4 2 ， ∵△OA5A6为等腰直角三角形， ∴A5A6=OA5=4 2 ，OA6= 2 OA5=8． ∴OAn的长度为 2n ． 故答案为： 2n 【点评】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．
13.（2017?淄博）设△ABC的面积为1． 如图1，分别将AC，BC边2等分，D1 ， E1是其分点，连接AE1 ， BD1交于点F1 ， 得到四边形CD1F1E1 ， 其面积S1= 13 ． 如图2，分别将AC，BC边3等分，D1 ， D2 ， E1 ， E2是其分点，连接AE2 ， BD2交于点F2 ， 得到四边形CD2F2E2 ， 其面积S2= 16 ； 如图3，分别将AC，BC边4等分，D1 ， D2 ， D3 ， E1 ， E2 ， E3是其分点，连接AE3 ， BD3交于点F3 ， 得到四边形CD3F3E3 ， 其面积S3= 110 ； … 按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnFnEn ， 其面积Sn=________．
【答案】2(n+1)(n+2)
【解析】解：如图所示，连接D1E1 ， D2E2 ， D3E3 ，
∵图1中，D1 ， E1是△ABC两边的中点， ∴D1E1∥AB，D1E1= 12 AB， ∴△CD1E1∽△CBA，且 D1E1BF1 = D1E1AB = 12 ， ∴S△CD1E1= 14 S△ABC= 14 ， ∵E1是BC的中点， ∴S△BD1E1=S△CD1E1= 14 ， ∴S△D1E1F1= 13 S△BD1E1= 13 × 14 = 112 ， ∴S1=S△CD1E1+S△D1E1F1= 14 + 112 = 13 ， 同理可得： 图2中，S2=S△CD2E2+S△D2E2F2= 19 + 118 = 16 ， 图3中，S3=S△CD3E3+S△D3E3F3= 116 + 380 = 110 ， 以此类推，将AC，BC边（n+1）等分，得到四边形CDnEnFn ， 其面积Sn= 1(n+1)2 + 1(n+1)2 ×n× 11+n+1 = 2(n+1)(n+2) ， 故答案为： 2(n+1)(n+2) ． 【点评】根据三角形中位线定理得出相似三角形的面积比，从而得出S1、S2、S3…的面积，从数据中探索出规律得出结论.
14．（2018·辽阳）如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1,过点A1作A1B1∥OA,交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA,交OC于点B2；……，按此规律进行下去，点A2020的坐标是_____________.
【答案】22021?122021,322021
【解析】根据△ABC是等边三角形，得到AB=AC=BC=1，∠ABC=∠A=∠ACB=60°，解直角三角形得到A（12，34 ），C（1，0），根据等腰三角形的性质得到AA1=A1C，根据中点坐标公式得到A1（34，34），推出△A1B1C是等边三角形，得到A2是A1C的中点，求得A2（78，38），推出An（2n+1?12n+1），即可得到结论．
解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠A=∠ACB=60°， ∴A（12,32），C（1，0）， ∵BA1⊥AC， ∴AA1=A1C， ∴A1（34，34）， ∵A1B1∥OA， ∴∠A1B1C=∠ABC=60°， ∴△A1B1C是等边三角形， ∴A2是A1C的中点， ∴A2（78，38）， 同理A3（1516，316）， … ∴An（2n+1?12n+1,32n+1）,A2020的坐标是22021?122021,322021,
故答案为：22021?122021,322021 .
【点评】本题考查了点的坐标，等边三角形的性质，解题的关键是能根据求出的数据得出规律．
15．（2018·绥化）将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆______个.
【答案】2550
【解析】先找出规律，确定出第n行圆的个数为2n个，即：第50行为100个，进而求2+4+6+8+?+100即可得出结论．
解：∵第一行有2个圆，
第二行有4个圆，
第三行有6个圆，
…，
∴第n行有2n个圆，
∴前50行共有圆：2+4+6+8+?+2×50=2+4+6+8+?+100=2550个，
故答案为：2550.
【点评】本题考查了规律题——图形的变化类，解题的关键是根据题意得出每行点数为行数的2倍是解题的关键.
16．（2018·淮安）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是_____．
【答案】（92）n﹣1
【解析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．
解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，
∴∠D1OA1=45°，
∴D1A1=OA1=1，
∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（92）1﹣1，
由勾股定理得，OD1=2，D1A2=22，
∴A2B2=A2O=322，
∴正方形A2B2C2D2的面积=92=（92）2﹣1，
同理，A3D3=OA3=92，
∴正方形A3B3C3D3的面积=814=（92）3﹣1，
…
由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积=（92）n﹣1，
故答案为：（92）n﹣1．
【点评】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°，正确找出规律是解题的关键．
三、解答题
17．（2016·无锡）如图1是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮框．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO，及若干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、AnBnCnDn，OEFG围成，其中A1、G、B1在A2B2上，A2、A3…、An与B2、B3、…Bn分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、Cn和D2、D3…Dn分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，FH1=H1H2=d，C1D1、C2D2、C3D3、CnDn依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边CnDn与点E间的距离应不超过d），A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥AnCn．
（1）求d的值；
（2）问：CnDn与点E间的距离能否等于d？如果能，求出这样的n的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？
【答案】（1）2?24r；（2）不能，32?42r．
【解析】（1）根据d=12FH2，求出EH2即可解决问题．
（2）假设CnDn与点E间的距离能等于d，列出关于n的方程求解，发现n没有整数解，由22r÷2?24r=2+22≈4.8，求出n即可解决问题．
解：（1）在RT△D2EC2中，∵∠D2EC2=90°，EC2=ED2=r，EF⊥C2D2，∴EH1=22r，FH1=r﹣22r，∴d=12(r?22r)=2?24r；
（2）假设CnDn与点E间的距离能等于d，由题意1n?1?22r=2?24r，这个方程n没有整数解，所以假设不成立．
∵22r÷2?24r=2+22≈4.8，∴n=6，此时CnDn与点E间的距离=22r?4×2?24r=32?42r．
18.（2017?安徽）阅读理解 我们知道，1+2+3+…+n= n(n+1)2 ，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12 ， 第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22 ， …；第n行n个圆圈中数的和为 n+n+?+n︸n个n ，即n2 ， 这样，该三角形数阵中共有 n(n+1)2 个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2 ．
（1）将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）=________，因此，12+22+32+…+n2=________．
（2）根据以上发现，计算： 12+22+32+?+201721+2+3+?+2017 的结果为________．
【答案】（1）2n+1；n(n+1)(2n+1)2；n(n+1)(2n+1)6（2）12345
【解析】（1）解：由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为n﹣1+2+n=2n+1， 由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： 3（12+22+32+…+n2）=（2n+1）×（1+2+3+…+n）=（2n+1）× n(n+1)2 ， 因此，12+22+32+…+n2= n(2n+1)(n+1)6 ； 故答案为：2n+1， n(n+1)(2n+1)2 ， n(n+1)(2n+1)6 ； ⑵原式= 16×2017×(2017+1)×(2×2017+1)12×2017×(2017+1) = 13 ×（2017×2+1）=1345， 故答案为：1345． 【点评】（1）将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的 13 ，从而得出答案； ⑵运用以上结论，将原式变形为 16×2017×(2017+1)×(2×2017+1)12×2017×(2017+1) ，化简计算即可得．
19．（2018·河北）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．
尝试 （1）求前4个台阶上数的和是多少？
（2）求第5个台阶上的数x是多少？
应用 求从下到上前31个台阶上数的和．
发现 试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
【答案】（1）3；（2）第5个台阶上的数x是﹣5；应用：从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【解析】尝试：（1）将前4个数字相加可得；
（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；
应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；
发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k﹣1．
解：尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣2+1+9=3；
（2）由题意得﹣2+1+9+x=3，
解得：x=﹣5，
则第5个台阶上的数x是﹣5；
应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，
∵31÷4=7…3，
∴7×3+1﹣2﹣5=15，
即从下到上前31个台阶上数的和为15；
发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．
【点评】本题考查了规律题——数字（图形）的变化类，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．
20．（2018·安徽）观察以下等式：
第1个等式：11+02+11×02=1，
第2个等式：12+13+12×13=1，
第3个等式：13+24+13×24=1，
第4个等式：14+35+14×35=1，
第5个等式：15+46+15×46=1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.
【答案】（1）16+57+16×57=1；（2）1n+n?1n+1+1n?n?1n+1=1，证明见解析.
【解析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；
（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证.
解：（1）观察可知第6个等式为：16+57+16×57=1，
故答案为：16+57+16×57=1；
（2）猜想：1n+n-1n+1+1n×n-1n+1=1，
证明：左边=1n+n-1n+1+1n×n-1n+1=n+1+n（n-1）+n-1n（n+1）=n（n+1）n（n+1）=1，
右边=1，
∴左边=右边，
∴原等式成立，
∴第n个等式为：1n+n-1n+1+1n×n-1n+1=1，
故答案为：1n+n-1n+1+1n×n-1n+1=1.
【点评】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键.
一、选择题
1.（2017·宜春模拟）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣ 2n+1n(n+1) x+ 1n(n+1) 与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值是（?? ）
A.?20152016????????????????????????????????????B.?20162017????????????????????????????????????C.?20172018????????????????????????????????????D.?1
【答案】C
【解析】解：令y=x2﹣ 2n+1n(n+1) x+ 1n(n+1) =0， 即x2﹣ 2n+1n(n+1) x+ 1n(n+1) =0， 解得x= 1n 或x= 1n+1 ， 故抛物线y=x2﹣ 2n+1n(n+1) x+ 1n(n+1) 与x轴的交点为（ 1n ，0），（ 1n+1 ，0）， 由题意得AnBn= 1n ﹣ 1n+1 ， 则A1B1+A2B2+…+A2017B2017=1﹣ 12 + 12 ﹣ 13 +…+ 12017 ﹣ 12018 =1﹣ 12018 = 20172018 ， 故选C． 【点评】首先求出抛物线与x轴两个交点坐标，然后由题意得到AnBn= 1n ﹣ 1n+1 ，进而求出A1B1+A2B2+…+A2017B2017的值．
2.（2017·台州模拟）农夫将苹果树种在正方形的果园内．为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数（n）和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n为（?? ）
A.?6??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????????D.?16
【答案】B
【解析】解：第1个图形中苹果树的棵树是1，针叶树的棵树是8， 第2个图形中苹果树的棵树是4=22 ， 针叶树的棵树是16=8×2， 第3个图形中苹果树的棵树是9=32 ， 针叶树的棵树是24=8×3， 第4个图形中苹果树的棵树是16=42 ， 针叶树的棵树是32=8×4， …， 所以，第n个图形中苹果树的棵树是n2 ， 针叶树的棵树是8n， ∵苹果树的棵数与针叶树的棵数相等， ∴n2=8n， 解得n1=0（舍去），n2=8． 故选B． 【点评】观察图形不难发现，苹果树的棵树为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，并找出规律写出第n个图形中的棵树的表达式，然后列出方程求解即可．
3.（2017·葫芦岛一模）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1 ， A3B3C3C2 ， …按如图所示放置，点A1 ， A2 ， A3 ， 和点C1 ， C2 ， C3 ， …，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1 ， B2 ， B3 ， B4的坐标分别为（1，1）（3，2），（7，4），（15，8），则Bn的坐标是（?? ）
A.?（2n﹣1，2n﹣1）????????B.?（2n ， 2n﹣1）????????C.?（2n﹣1 ， 2n）????????D.?（2n﹣1﹣1，2n﹣1）
【答案】A
【解析】解：设Bn的坐标为（xn ， yn）， ∵y1=1，y2=2，y3=4，y4=8， ∴yn=2n﹣1； ∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，7=2×4﹣1，15=2×8﹣1， ∴xn=2yn﹣1=2n﹣1． ∴Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）． 故选A． 【点评】设Bn的坐标为（xn ， yn），根据点B1 ， B2 ， B3 ， B4坐标的变化找出变化规律“Bn的坐标为（2n﹣1，2n﹣1）”，此题得解．
4.（2017·镇江二模）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（?? ）
A.?24329????????????????????????????????????B.?81329????????????????????????????????????C.?8129????????????????????????????????????D.?81328
【答案】D
【解析】解：连接OE1 ， OD1 ， OD2 ， 如图，
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形， ∴∠E1OD1=60°， ∴△E1OD1为等边三角形， ∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切， ∴OD2⊥E1D1 ， ∴OD2= 32 E1D1= 32 ×2， ∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长= 32 ×2， 同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（ 32 ）2×2， 则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（ 32 ）9×2= 81328 ． 故选D． 【点评】连接OE1 ， OD1 ， OD2 ， 如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1 ， 于是可得OD2= 32 E1D1= 32 ×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长= 32 ×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（ 32 ）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（ 32 ）9×2，然后化简即可．
5.（2017·淄博一模）如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律，（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注“？”的圆圈中的数应是（?? ）
A.?119??????????????????????????????????????B.?120??????????????????????????????????????C.?121??????????????????????????????????????D.?122
【答案】D
【解析】解：根据题意得： {2a+b=1010a+b=26 ， 解得a=2，b=6，则本题的转换规律为2n+6． 当n=26时，2n+6=2×26+6=58； 当n=58时，2n+6=2×58+6=122； 所以图中标注问号的圆圈中的数是122． 故D符合题意. 故答案为：D． 【点评】根据题意可得到关于a、b的方程组，从而求出a、b的值，从而可得到转换规律为2n+6．进而求得图中标注问号的圆圈中的数.
6．（2018·晋中模拟）在庆祝党的十九大召开期间，学校用了若干盆花摆成如图所示的三角形花阵（图中的数表示花盆的编号），如果我们把这个花阵看作是一个三角形数阵，则第10行的第一盆花的编号是（ ）
第一行
1
第二行
2
3
4
第三行
5
6
7
8
9
第四行
10
11
12
13
14
15
16
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
A．80 B．81 C．82 D．83
【答案】C
【解析】由表格得出第n行的最后一个数为n2，据此可得第9行的最后一个数，据此可得．
解：因为第n行的最后一个数为n2， 所以第9行的最后一个数为92=81， 则第10行第1个数为82， 故选：C．
【点评】考查数字的变化规律，解题的关键是得出第n行的最后一个数为n2．
7．（2018?重庆二模）如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（?? ）和黑子．
A．37 B．42 C．73 D．121
【答案】C
【解析】解：第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2×6=13个，第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6=37个，第7、8图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6=73个．故选C．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
8．（2018?武汉模拟）按照一定规律排列的n个数：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64 …若最后两个数的差为﹣1536，则n为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】解：观察数列，可知：第n个数为（﹣2）n﹣1．
设倒数第二个数为x，则最后一个数为﹣2x，根据题意得：x﹣（﹣2x）=﹣1536，解得：x=﹣512，∴﹣2x=1024，∴（﹣2）n﹣1=1024，∴n=11．故选C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，列出一元一次方程求出该数列的最后一个数是解题的关键．
9．（2018?湖北模拟）如图，10个不同正整数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和．如表示a1＝a2＋a3，则a1的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．40
【答案】D
【解析】由a1=a7+3(a8+a9)+a10，知要使a1取得最小值，则a8+a9应尽可能的小，取a8=2、a9=4，根据a5=a8+a9=6，则a7、a10中不能有6，据此对应于a7、a10，分别取8、10、12、14检验可得，进而得出结果.
解由题得
=a7+3(a8+a9)+a10,
要a1使取得最小值,则a8+a9应尽可能的小,取a8=2 ，a9=4,所以a5=a8+a9=6 ，则a7，a10中不能有6
若a7=8，a10=1`4，则,不符合题意,舍去；
若a7=8 ，a10=14，则,,不符合题意,舍去；
若a7=8，a10=14，则，，，，，符合题意；
综上, a1的最小值为40。
故选D.
【点评】本题考查了数字的变化类，根据题目要求得出a1取得最小值的切入点是解答本题的关键.
10．（2018?河南模拟）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是（ ）
A．（12）2016 B．（12）2017 C．（33）2016 D．（33）2017
【答案】C
【解析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2===（）1，
同理可得：B3C3==（）2，
故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是：（）2016．
故选C．
“【点评】”此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
二、填空题
11.（2017·北京二模）小明在他家里的时钟上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在n点钟响起后，下一次则在（3n﹣1）小时后响起，例如钟声第一次在3点钟响起，那么第2次在（3×3﹣1=8）小时后，也就是11点响起，第3次在（3×11﹣1=32）小时后，即7点响起，以此类推…；现在第1次钟声响起时为2点钟，那么第3次响起时为________点，第2017次响起时为________点（如图钟表，时间为12小时制）．
【答案】3；11
【解析】解：∵第一次在2点钟响起， 第二次在3×2﹣1=5小时后响起，即7点响起； 第三次在3×7﹣1=20小时后响起，即3点响起； 第四次在3×3﹣1=8小时后响起，即11点响起； 第五次在3×11﹣1=32小时后响起，即7点响起； … ∴除了第一次之外，接下来每三次为一个周期循环， ∵（2017﹣1）÷3=607， ∴第2017次响起的时间与第四次时间一致，为11点， 故答案为：3，11． 【点评】根据题意分别列出第1、2、3、4、5次响起的时间发现：除了第一次之外，接下来每三次为一个周期循环，据此解答可得．
12.（2017·承德一模）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y= 33 x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y= 33 x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（ 3 ，1），则点A8的横坐标是________．
【答案】6 3 +6
【解析】解：由题意A2的横坐标 32 （ 3 +1）， 点A4的横坐标3（ 3 +1）， 点A6的横坐标 92 （ 3 +1）， 点A8的横坐标6（ 3 +1）． 故答案为6 3 +6． 【点评】根据已知点A、B的坐标易得到∠AOB=30°，然后分别求出点A2、点A4、?的坐标，探究规律即可解决问题。
13.（2017·唐山一模）如图，将顶点为P（1，﹣2），且过原点的抛物线y的一部分沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y1 ， 其顶点为P1 ， 然后将抛物线y1沿x轴翻折并向右平移2个单位长度，得到抛物线y2 ， 其顶点为P2；…，如此进行下去，直至得到抛物线y2016 ， 则点P2016坐标为________．
【答案】（4033，﹣2）
【解析】解：第一次变换平移点的坐标是（3，2）， 第二次变换平移点的坐标是（5，﹣2）， 第三次变换平移点的坐标是（7，2，） 第n次平移变换点的横坐标是2n+1，偶数次变换平移点的纵坐标是﹣2，奇数次变换平移点的坐标是2， 点P2016坐标为（4033，﹣2）， 故答案为：（4033，﹣2）． 【点评】根据图形的变换，可得规律：第n次平移变换点的横坐标是2n+1，偶数次变换平移点的纵坐标是﹣2，奇数次变换平移点的坐标是2，可得答案．
14．（2018?沈阳一模）已知a1＝32，a2＝55，a3＝710，a4＝917，a5＝1126，…，则an＝_____．（n为正整数）．
【答案】2n+1n2+1.
【解析】观察分母的变化为n的1次幂加1、2次幂加1、3次幂加1…，n次幂加1；分子的变化为：3、5、7、9…2n+1．
解：∵a1=32，a2=55，a3=710，a4=917，a5=1126，…，
∴an＝2n+1n2+1，
故答案为：2n+1n2+1．
【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
15．（2018?莆田模拟）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为______．
【答案】72．
【解析】试题先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数．
解：第①个图形一共有2个五角星，
第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星，
第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，
……
第n个图形一共有：
1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n-1）
=2[1+3+5+…+（26-1）] ，
=[1+（2n-1）]×n
=2n2，
则第（6）个图形一共有：h×62=72个五角星；
【点评】此题属于规律题，主要考察学生的观察和分析能力，此类型题目可以在平时的训练中加强。
16．（2018?北京模拟）如图，∠AOB=10°，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1 P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2 P3；……
请按照上面的要求继续操作并探究：
∠P3 P2 P4=_____°；按照上面的要求一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求点Pn+1了，则n=_____．
【答案】40，8
【解析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠P1PB，∠P2P1A，∠P3P2B，∠P4P3A，…，依次得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解.
解由题意可知：PO=P1P，P1P=P2P1，…，
则∠POP1=∠OP1P，∠P1PP2=∠P1P2P，…，∵∠BOA=10°，
∴∠P1PB=20°，∠P2P1A=30°，∠P3P2B=40°，∠P4P3A=50°，…，
∴10°n＜90°，
解得n＜9．
由于n为整数，故n=8．
故答案为：40°；8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三、解答题
17.（2017·滁州一模）如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这样得到图②，图③，…
（1）观察图形并完成表格：
图形名称
基本图形的个数
菱形的个数
图①
1
1
图②
2
3
图③
3
7
图④
4
________
…
…
…
猜想：在图n中，菱形的个数为________?[用含有n（n≥3）的代数式表示]；
（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（x1 ， 1），则x1=________；第2017个基本图形的中心O2017的坐标为________
【答案】（1）11；4n﹣5（2）3；（2017 3 ，1）
【解析】（1）由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×（3﹣2）， 图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）=11， ∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形， ∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n﹣2）=4n﹣5， 故答案为：11，4n﹣5； ⑵过点O1作O1A⊥y轴，O1B⊥x轴，则OA=1， 由菱形的性质知∠BAO1=30°， ∴AO1= BO1tan30° = 133 = 3 ， 即x1= 3 ， 中心O2的坐标为（2 3 ，1）、O3的坐标为（3 3 ，1）…，O2017的坐标为（2017 3 ，1）， 故答案为： 3 ，（2017 3 ，1）． 【点评】（1）由题意可知，图③中菱形的个数7=3+4×（3﹣2），图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）=11，当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，得到规律，菱形的个数为3+4（n﹣2）=4n﹣5；（2）根据菱形的性质得出O1的坐标，依次得到O2、O3……的坐标，得出结论.
18.（2017·青岛二模）问题的提出：n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？ 问题的转化：由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题： n条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分； 如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分； 如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分； 平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…
（1）请你仿照前面的推导过程，写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
（2）根据递推规律用n的代数式填空：n条直线最多可以把平面分割成________个部分． 问题的解决：借助前面的研究，我们继续开头的问题；n个平面最多可以把空间分割成多少个部分？ 首先，很明显，空间中画出1个平面时，会得到1+1=2个部分；所以，1个平面最多可以把空间分割成2个部分； 空间中有2个平面时，新增的一个平面与已知的1个平面最多有1条交线，这1条交线会把新增的这个平面最多分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2个平面最多可以把空间分割成4个部分； 空间中有3个平面时，新增的一个平面与已知的2个平面最多有2条交线，这2条交线会把新增的这个平面最多分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+4=8个部分，所以，3个平面最多可以把空间分割成8个部分； 空间中有4个平面时，新增的一个平面与已知的3个平面最多有3条交线，这3条交线会把新增的这个平面最多分成7部分，从而多出7个部分，即总共会得到1+1+2+4+7=15个部分，所以，4个平面最多可以把空间分割成15个部分； 空间中有5个平面时，新增的一个平面与已知的4个平面最多有4条交线，这4条交线会把新增的这个平面最多分成11部分，而从多出11个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11=26个部分，所以，5个平面最多可以把空间分割成26个部分；…
（3）请你仿照前面的推导过程，写出“6个平面最多可以把空间分割成多少个部分？”的推导过程（只写推导过程，不画图）；
（4）根据递推规律填写结果：10个平面最多可以把空间分割成________个部分；
（5）设n个平面最多可以把空间分割成Sn个部分，设n﹣1个平面最多可以把空间分割成Sn﹣1个部分，前面的递推规律可以用Sn﹣1和n的代数式表示Sn；这个等式是Sn=________．
【答案】（1）解：根据规律得，平面中画出第5条直线时，新增的一条直线与已知的4条直线最多有4个交点，这4个交点会把新增的这条直线分成5部分，从而多出5个部分，即总共会得到1+1+2+3+4+5=16个部分，所以，5条直线最多可以把平面分割成16个部分 （2）1+ n(n+1)2 （3）解：根据规律得，空间中有6个平面时，新增的一个平面与已知的5个平面最多有5条交线，这5条交线会把新增的这个平面最多分成16部分，而从多出16个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11+16=42个部分，所以，6个平面最多可以把空间分割成42个部分 （4）176 （5）Sn﹣1+[1+ n(n?1)2 ]
【解析】解：（2）根据规律得，n条直线最多可以把平面分割成1+1+2+3+4+…+n=1+ n(n+1)2 ， 故答案为1+ n(n+1)2 ； ⑷根据规律得，空间中有10个平面时，新增的一个平面与已知的9个平面最多有9条交线，这9条交线会把新增的这个平面最多分成37部分，而从多出37个部分，即总共会得到1+1+2+4+7+11+16+…+37=176个部分，所以，10个平面最多可以把空间分割成176个部分； 故答案为：176； ⑸根据规律得，空间中有n个平面时，新增的一个平面与已知的（n﹣1）个平面最多有（n﹣1）条交线，这（n﹣1）条交线会把新增的这个平面最多分成[1+ n(n?1)2 ]部分， ∴Sn=Sn﹣1+[1+ n(n?1)2 ] 故答案为：Sn﹣1+[1+ n(n?1)2 ]． 【点评】①寻找规律，即可得出结论； ②寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论； ③同①的方法寻找出规律即可得出结论； ④同③的方法寻找出规律即可得出结论． ⑤同③的方法寻找出规律即可得出结论．
19．（2018?安徽模拟）如图，观察下列图形，它们是一些五角星按一定规律排列的，依照此规律，解决下列问题：
（1）第5个图形有__________个五角星，第6个图形有__________个五角星；
（2）第2018个图形有多少个五角星，第n个图形有多少个五角星？
【答案】（1）16；19；（2）3n+1．
【解析】（1）观察发现，第1个图形中五角星的个数是1+3=4，
第2个图形中五角星的个数是1+3×2=7，
第3个图形中五角星的个数是1+3×3=10，
第4个图形中五角星的个数是1+3×4=13，
……
∴第5个图形五角星的个数是1+3×5=16，第6个图形五角星的个数是1+3×6=19，
故答案为：16；19；
（2）由（1）中发现的规律可得第2018个图形★的个数是1+3×2018=6055，
第n个图形五角星的个数是3n+1．
20．（2018?滁州模拟）阅读下面材料：
小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的k个数：x1，x2，…，xk，称为数列Ak：x1，x2，…，xk，其中k为整数且k≥3．
定义V（Ak）=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+…+|xk﹣2﹣xk﹣1|+|xk﹣1﹣xk|．
例如，若数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）=|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|=4．
根据以上材料，回答下列问题：
（1）已知数列A3：3，5，﹣2，求V（A3）．
（2）已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个互不相等的整数，且x1=3，x4=7，V（A4）=4，直接写出满足条件的数列A4．
（3）已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5中的5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5=25，请直接写出V（A5）的最大值和最小值及对应的数列．
【答案】（1）9（2）数列A4为：3，4，5， 7；3，4，6，7；3，5，4，7；3，5，6，7；3，6，4，7；3，6，5，7（3）5，5，5，5，5
【解析】（1）根据定义V（Ak）=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+…+|xk﹣1﹣xk|，代入数据即可求出结论；（2）在数轴上标出x1、x4表示的点，利用数形结合可得出x2、x3在3到7之间，找出所有的搭配方式，即可求解；（3）由数列A5：x1，x2，x3，x4，x5中5个数均为非负数，结合绝对值即可得出0≤V（A5）≤25，由此即可求解．
解：（1）V（A3）=|3﹣5|+|5﹣（﹣2）|=2+7=9；
（2）V（A4）=|3﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣7|=4可看成3条线段的长度和，如图所示．
∵7﹣3=4，
∴x2、x3在3到7之间，
∵x1，x2，x3，x4为4个互不相等的整数，
∴数列A4为：3，4，5， 7；3，4，6，7；3，5，4，7；3，5，6，7；3，6，4，7；3，6，5，7．
（3）∵x1，x2，x3，x4，x5中5个数均为非负数，假设x1≥x2≥x3≥x4≥x5，
∴x1≥|x1﹣x2|，x2≥|x2﹣x3|，x3≥|x3﹣x4|，x4≥|x4﹣x5|，x5≥0，
∴0≤|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|≤x1+x2+x3+x4+x5，即0≤V（A5）≤25．
∴V（A5）的最大值为25，对应的数列为：25，0，0，0，0或0，0，0，0，25或0，25，0，0，0或0，0，25，0，0或0，0，0，25，0，
最小值为0，对应的数列为5，5，5，5，5．
【点评】本题是阅读型的数列问题，考查了有理数和绝对值，有一定的难度，读懂题意熟练掌握并运用新定义的运算法则是解题的关键．
