【鲁教版八下精美学案】9.1 成比例线段（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】9.1 成比例线段（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-05 19:54:25 | ||
图片预览
文档简介
第九章 图形的相似
第1节 成比例线段
知 识 梳 理
知识点1 两条线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB:CD＝m:n，或写成.其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k，那么＝k，或AB＝k·CD。
如:线段AB＝2cm，CD＝3cm，则AB:CD＝2:3。
注意 （1）求两条线段的比时，两条线段的长度单位要统一，长度单位不统一时，要先化成同一长度单位。
（2）两条线段的比是指两条线段长度的比，是关于线段比值的运算结果，是一个没有单位的正实数（3）两条线段的比与所选线段的长度单位无关，只要选用相同的长度单位即可。
知识点2 比例尺
在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为__________，即比例尺=.
比例尺通常写成前项为1的比，即1:a的形式，表示图上长度为1时，实际长度为a，1和a的长度单位是统一的。
知识点3 成比例线段
1.成比例线段:
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a:b＝c:d），那么这四条线段a，b，c，d叫做__________，简称比例线段。
两条线段的比实际上就是两个数的比；四条线段成比例实际上就是四个数成比例。
2.比例的项:
在比例（或a:b＝c:d）中，a，b，c，d叫做这个比例的项，a，d叫做比例的________，b，c叫做比例的__________。
当比例的两个内项相等时，即（或a:b＝b:c），b叫做a和c的_____________。
成比例线段是有顺序的，如a，b，c，d是成比例线段，则a:b＝c:d，不能写成其他形式。
知识点4 比例的性质
1.比例的基本性质:
如果＝，那么___________________。
如果ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），那么（或，，）。
注意 （1）由等积式ad＝bc可以得到八个比例式:①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦；⑧。
（2）特别地，对于，那么b2＝ac.如果a，b，c是数时，由b2＝ac，可得b＝±，如果a，b，c是线段长度时，由b2＝ac，得b＝。
2.比例的合比性质:
如果，那么___________________。
验证:设＝k，则a＝bk，c＝dk，所以＝k±1，＝k±1，所以。
3.比例的等比性质:
如果＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），那么=____________。
验证:设＝…＝＝k，则a＝bk，c＝dk，…，m＝nk，
所以=＝k，又因为，
所以=。
考 点 突 破
考点1:求两条线段的比
典例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，若AC＝5cm，BC＝13cm。
（1）求的值；（2）求的值。
思路导析: 在Rt△ABC中，已知AC和BC，利用勾股定理可求出另一条直角边AB的长，进而求出的值；利用三角形的面积公式，可求出斜边上的高AD，进而求出的值。
解:（1）由勾股定理得AB＝＝＝12（cm），则＝。
（2）∵△ABC的面积＝AB·AC＝BC·AD，∴AB·AC＝BC·AD即12×5＝13AD
解得AD＝，∴=÷13=。
友情提示 （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果长度单位不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数；（4）线段的比具有顺序性。
变式1 正方形的对角边的长与它的边长之比是（ ）
A.2:1 B.1:2 C.1: D.:1
变式2 如图所示，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，
AD＝6.5，BF＝2.
（1）求下列各线段的比: ，，；
（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）
考点2:比例尺的应用
典例2 在的平面图上，量得一块长方形操场的长是24厘米，宽是18厘米，这块长方形操场的实际周长是多少千米？
思路导析: 根据比例尺的定义，可得实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数值，分别求出长方形操场的实际的长与宽，进而求解即可。
解: 操场的长:24÷＝24000（厘米）＝0.24（千米），
操场的宽:18÷＝18000（厘米）＝0.18（千米），
操场的周长:（0.24＋0.18）×2＝0.84（千米）
答：操场的实际周长是0.84千米。
友情提示 本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题。
变式3 已知A，B两地的实际距离是300千米，量得两地的图上距离是5cm.则该图所用的比例尺是（ ）
A.1:60 B.60:1 C.6000000:1 D.1:6000000
变式4 在比例尺为1:5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（ ）
A.1250km B.125 km C.12.5km D.1.25km
考点3:成比例线段
典例3 已知四条线段a，b，c，d的长度如下:
（1）a＝8cm，b＝4cm，c＝2.5cm，d＝5cm，试判断它们是否是成比例线段；
（2）a＝8cm，b＝0.05dm，c＝0.6cm，d＝10cm，试判断它们是否是成比例线段。
思路导析: 判断四条线段是否成比例，关键是看是否有两条线段之比等于另外两条线段之比。
解: 解法一:（1）四条线段由小到大的顺序是c，b，d，a，∵c:b＝2.5:4＝5:8，d:a＝5:8，
∴.∴c，b，d，a是成比例线段；
（2）四条线段由小到大的顺序是b，c，a，d。b:c＝5:6，a:d＝4:5，∴b:c≠a:d.
∴b，c，a，d不是成比例线段.
解法二:（1）四条线段由小到大的顺序是c，b， d，a，
则有ac＝8×2.5＝20（cm2），bd＝4×5＝20（cm2），即ac＝bd，所以四条线段c，b，d，a成比例.（2）四条线段的长度化成同一单位cm后，由小到大的顺序是b，c，a，d.则有ac＝8×0.6＝4.8（cm2），bd＝0.5×10＝5（cm2），即ac≠bd，所以四条线段b，c，a，d不成比例.
友情提示 判断四条线段是否成比例的方法有两种:（1）将四条线段按大小顺序排列，计算前两条线段的比与后两条线段的比，若两个比值相等，则四条线段成比例；若两个比值不相等，则四条线段不成比例.（2）根据比例的基本性质，计算最长线段与最短线段的积以及另两条线段的积，若两积相等，则四条线段成比例，否则不成比例.
变式5 给出下列各组线段，其中成比例线段是（ ）
A.a＝2 cm， 6＝4 cm，c＝6 cm， d＝8 cm
B.a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝cm
C.a＝ cm，b＝ cm， c＝ cm，d＝2 cm
D.a＝2 cm，b＝cm，c＝2 cm，d＝ cm
变式6 （1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，求线段d的长.
（2）已知线段a，b，c中，a＝4cm，b＝9cm，线段c是线段a和b的比例中项.求线段c的长.
考点4：比例基本性质的应用
典例4 已知:3x＝4y，求下列各式的值。
（1）；（2）；（3）；（4）。
思路导析: 此题的思路比较多，思路一，应用比例的有关性质；思路二，代入消元法；思路三，设k法等。
解: 解法一:（利用比例的有关性质）
由3x＝4y →（1）＝＝，即（2）＝。
由3x＝4y → ＝ =①即（3）=。
由 ＝ ，得（4）＝。
解法二:（代入消元法）
由3x＝4y知x＝y。
（1）； （2）；
（3）； （4）。
解法三:（设k法）由3x＝4y，得，所以设x＝4k，y＝3k，得（1）＝；
分别代入（2），（3），（4）得
（2）；（3）；（4）。旧殇:
友情提示 关于比例的求值问题，以上介绍了三种方法，解题时可灵活运用。
变式7 由5a＝6b（a≠0），可得比例式（ ）
A. B. C. D.
变式8 已知a，b是不等于0的实数，2a＝3b，那么下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
考点5:等比性质的应用
典例5 已知a:b:c＝3:4:5，求的值.
解: 解法一：∵a:b:c＝3:4:5，即，
∴,即,∴=.
解法二:设＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k.
∴==.
解法三:由，得b＝a。由，得c＝a。
∴===。
友情提示 利用等比性质进行计算，解法较多，但利用设比例系数“k”的方法，表示出x，y，z的值是解决此类问题常用的方法。
变式9 已知＝，且b＋d≠0，则__________，________，
____________。
变式10 已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且a＋b＋c＝12。
（1）试求a，b，c的值；
（2）判断△ABC的形状。
考点6: 比例性质的综合应用
典例6 如图所示，已知AB＝10cm，AE＝5cm，EC＝3cm，且。
（1）求AD的长；
（2）成立吗？为什么？
思路导析:（1）设AD的长为x，则已知比例式即为等量关系，从而可以求出AD的长；（2）发现所探求的比例式中的分母分别是已知比例式中的各分子、分母之和，故可运用合比性质进行说明。
解:（1）设AD＝xcm，则BD＝（10-x）cm.
根据题意，得1。解得x＝。
因此，AD的长为cm.
（2）成立。理由如下:
∵，根据比例的合比性质，得，即。
∴。
友情提示 （1）在已知比例式的条件下，求某一线段的值，一般都是通过比例式这一等量关系列出方程求解；（2）在已知比例式的前提下推证另一比例式，只要运用比例的有关性质变形就可以得证。
变式11 如图所示，在线段AB上取C，D两点。已知AB＝6cm，AC＝1cm，且四条线段AC，CD，DB，AB是成比例线段，求线段CD的长。
变式12 如图所示，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD于点F。
（1）AB，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式；
（2）若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长。
巩 固 提 高
1.若x，y为非零线段的长，则下列说法错误的是（ ）
A.若，则 B.若2x-5y＝0，则
C.若线段a:b＝c:d，则 D.若线段a:b＝c:d，则
2.下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A.a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B.a＝1，b＝，c＝2，d＝4
C.a＝4，b＝5，c＝8，d＝10 D.a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
3.若a，b，c，d是互不相等的正数，且，则下列式子中错误的是（ ）
A. B. C. D.
4.如果，那么的值为______________。
5.已知三个数2，4，8，请你再添上一个数，使它们成比例，写出所有符合条件的数为__________。
6.若a:b＝2:3，b:c＝4:5，则a:c＝____________。
7.（1）已知，求的值。
（2）已知，求的。
8.如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试求AB:BC的值。
9.如图所示，已知A（0，-2），B（-2，1），C（3，2）。
（1）求线段AB，AC的长。
（2）把A，B，C三点的横坐标、纵坐标都乘以2得到A1，B1，C1的坐标.求A1B1，A1C1的长。
（3）在（1）（2）中所求的四条线段成比例吗？说明理由。
10.已知a，b，c为△ABC的三边，并且a＋b＋c＝60，，试求△ABC的面积。
11.计算:
（1）若＝k，求k的值；
（2）已知2x2-7xy＋6y2＝0，则的值。
如图所示，直线y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B.过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA，OB，OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，求P点的坐标。
真 题 训 练
1.（2018·白银）已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A. B.2a＝3b C. D.3a＝2b
2.（2018·锦江）已知点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.（2018·宁夏）已知:，则的值是______________。
4.（2018·成都）已知，且a＋b-2c＝6，则a的值为_____________。
5.（2017·义鸟）已知:线段a，b，c，且。
（1）求的值。
（2）如线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a-b＋c的值。
参考答案及解析
知识梳理
知识点2: 比例尺
知识点3: 1.成比例线段 2.外项 内项 比例中项
知识点4: 1.ad＝bc 2. 3.
考点突破
1.D
2.解:（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，
∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD = 6.5，CF＝ BC - BF＝4.5.
∴，，。
（2）成比例线段有。（答案不唯一）
3.D 4.D 5.D
6.解:（1）∵a，b，c，d是成比例线段， a＝3 cm， b＝2 cm，c = 6 cm，
∴，即.∴d＝4cm.
（2）∵线段c是线段a和线段b的比例中项， a＝4 cm， 6＝9 cm，
∴,即。∴c＝6cm.
7.D 8.B 9.
10.解:（1）∵，∴。即。
又∵a＋b＋c＝12，∴，即，∴a＝5。
同理，，解得b＝3，c＝4。
（2）∵32＋42＝52，∴b2＋c2＝a2.
∴△ABC是直角三角形。
11.解:设CD＝xcm， 则DB＝AB-AC-CD=6 -1- x＝（5- x）cm，
∵AC，CD，DB，AB是成比例线段，即,∴.解得x＝2或3
故CD的长是2cm或3cm。
12.解：（1）能成比例，比例式是，
证明，:在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥AD，S ABCD＝AB?DE＝AD?BF。
∴。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC。∴。
（2）∵，∴AB?DE＝BC?BF，
即10×2.5＝5BC，∴BC = 5。
巩固提高
1.D 2.D 3.C 4. 5.1，4，16 6.8:15
7.解（1）∵，∴b＝a.则；
（2）设，则x＝2a，y＝3a，x＝4a
∴。
8.解:如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB = AC，∠BAC＝120o，∴∠B＝∠C = 30o，BC = 2BD。
设AD＝x，则AB＝2AD＝2x，根据勾股定理，BD＝＝＝x，
∴BC = 2x。∴AB:BC＝2x:2x＝1:。
9.解:（1）∵A（0，-2），B（-2，1），C（3，2），
∴由勾股定理得:AB =＝，AC＝；
（2）由已知得A1（0，-4），B1（-4，2），C2（6，4），
由勾股定理得:A1B1＝，A1C1＝＝10；
（3）以上四条线段成比例，理由如下:
∵，，∴，∴四条线段成比例。
10.解:由比例性质，得，
∴a＝15，b＝20，c＝25。又∵152＋202＝252，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝15×20÷2＝150。
11.解:（1），得b+c=ka①，c＋a＝kb②、a＋b＝ck③；
①＋②＋③，得b＋c＋c＋a＋a＋b = k（a＋b＋c）,
当 a＋b＋c≠0时，，
当a＋b＋c＝0时，（b＋c）＝－a,,
k的值为2或-1；
（2）两边都除以y2，得，
因式分解，得＝0解得＝，＝2.
12.解:∵直线y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（0，3）。
∴｜OA｜＝1，OB＝3。∵点P在x轴正平轴上，∴设点P的坐标是（x，0）。
∵当线段OA的长是其他两条线段长度的比例中项时，∴OA2＝OB·OP，∴1＝3·x.解得x＝，
∴点P的坐标是（，0）；
当线段OB的长是其他两条线段长度的比例中项时，
∴OB2＝OA·OP.∴9＝1·x.解得x＝9.∴点P的坐标是（9，0）；
当线段OP的长是其他两条线段长度的比例中项时，
∴OP2＝OB·OA.∴x2＝3×1.解得x＝.∴点P的坐标是（，0）.
综上所述，点P的坐标是（，0），（9，0），（，0）.
真题训练
1.B 2.D 3. 4.12
5.解:（1）∵，∴。∴ 。
（2）设＝k，则a＝2k，b＝3k，＝4k.
∵a＋b＋c＝27，∴2k＋3k＋4k＝27.∴k＝3.
∴a＝6，b＝9，c＝12.∴a－b+c=6－9+12=9.
第1节 成比例线段
知 识 梳 理
知识点1 两条线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB:CD＝m:n，或写成.其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k，那么＝k，或AB＝k·CD。
如:线段AB＝2cm，CD＝3cm，则AB:CD＝2:3。
注意 （1）求两条线段的比时，两条线段的长度单位要统一，长度单位不统一时，要先化成同一长度单位。
（2）两条线段的比是指两条线段长度的比，是关于线段比值的运算结果，是一个没有单位的正实数（3）两条线段的比与所选线段的长度单位无关，只要选用相同的长度单位即可。
知识点2 比例尺
在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为__________，即比例尺=.
比例尺通常写成前项为1的比，即1:a的形式，表示图上长度为1时，实际长度为a，1和a的长度单位是统一的。
知识点3 成比例线段
1.成比例线段:
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a:b＝c:d），那么这四条线段a，b，c，d叫做__________，简称比例线段。
两条线段的比实际上就是两个数的比；四条线段成比例实际上就是四个数成比例。
2.比例的项:
在比例（或a:b＝c:d）中，a，b，c，d叫做这个比例的项，a，d叫做比例的________，b，c叫做比例的__________。
当比例的两个内项相等时，即（或a:b＝b:c），b叫做a和c的_____________。
成比例线段是有顺序的，如a，b，c，d是成比例线段，则a:b＝c:d，不能写成其他形式。
知识点4 比例的性质
1.比例的基本性质:
如果＝，那么___________________。
如果ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），那么（或，，）。
注意 （1）由等积式ad＝bc可以得到八个比例式:①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦；⑧。
（2）特别地，对于，那么b2＝ac.如果a，b，c是数时，由b2＝ac，可得b＝±，如果a，b，c是线段长度时，由b2＝ac，得b＝。
2.比例的合比性质:
如果，那么___________________。
验证:设＝k，则a＝bk，c＝dk，所以＝k±1，＝k±1，所以。
3.比例的等比性质:
如果＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），那么=____________。
验证:设＝…＝＝k，则a＝bk，c＝dk，…，m＝nk，
所以=＝k，又因为，
所以=。
考 点 突 破
考点1:求两条线段的比
典例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，若AC＝5cm，BC＝13cm。
（1）求的值；（2）求的值。
思路导析: 在Rt△ABC中，已知AC和BC，利用勾股定理可求出另一条直角边AB的长，进而求出的值；利用三角形的面积公式，可求出斜边上的高AD，进而求出的值。
解:（1）由勾股定理得AB＝＝＝12（cm），则＝。
（2）∵△ABC的面积＝AB·AC＝BC·AD，∴AB·AC＝BC·AD即12×5＝13AD
解得AD＝，∴=÷13=。
友情提示 （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果长度单位不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数；（4）线段的比具有顺序性。
变式1 正方形的对角边的长与它的边长之比是（ ）
A.2:1 B.1:2 C.1: D.:1
变式2 如图所示，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，
AD＝6.5，BF＝2.
（1）求下列各线段的比: ，，；
（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）
考点2:比例尺的应用
典例2 在的平面图上，量得一块长方形操场的长是24厘米，宽是18厘米，这块长方形操场的实际周长是多少千米？
思路导析: 根据比例尺的定义，可得实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数值，分别求出长方形操场的实际的长与宽，进而求解即可。
解: 操场的长:24÷＝24000（厘米）＝0.24（千米），
操场的宽:18÷＝18000（厘米）＝0.18（千米），
操场的周长:（0.24＋0.18）×2＝0.84（千米）
答：操场的实际周长是0.84千米。
友情提示 本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题。
变式3 已知A，B两地的实际距离是300千米，量得两地的图上距离是5cm.则该图所用的比例尺是（ ）
A.1:60 B.60:1 C.6000000:1 D.1:6000000
变式4 在比例尺为1:5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地的实际距离是（ ）
A.1250km B.125 km C.12.5km D.1.25km
考点3:成比例线段
典例3 已知四条线段a，b，c，d的长度如下:
（1）a＝8cm，b＝4cm，c＝2.5cm，d＝5cm，试判断它们是否是成比例线段；
（2）a＝8cm，b＝0.05dm，c＝0.6cm，d＝10cm，试判断它们是否是成比例线段。
思路导析: 判断四条线段是否成比例，关键是看是否有两条线段之比等于另外两条线段之比。
解: 解法一:（1）四条线段由小到大的顺序是c，b，d，a，∵c:b＝2.5:4＝5:8，d:a＝5:8，
∴.∴c，b，d，a是成比例线段；
（2）四条线段由小到大的顺序是b，c，a，d。b:c＝5:6，a:d＝4:5，∴b:c≠a:d.
∴b，c，a，d不是成比例线段.
解法二:（1）四条线段由小到大的顺序是c，b， d，a，
则有ac＝8×2.5＝20（cm2），bd＝4×5＝20（cm2），即ac＝bd，所以四条线段c，b，d，a成比例.（2）四条线段的长度化成同一单位cm后，由小到大的顺序是b，c，a，d.则有ac＝8×0.6＝4.8（cm2），bd＝0.5×10＝5（cm2），即ac≠bd，所以四条线段b，c，a，d不成比例.
友情提示 判断四条线段是否成比例的方法有两种:（1）将四条线段按大小顺序排列，计算前两条线段的比与后两条线段的比，若两个比值相等，则四条线段成比例；若两个比值不相等，则四条线段不成比例.（2）根据比例的基本性质，计算最长线段与最短线段的积以及另两条线段的积，若两积相等，则四条线段成比例，否则不成比例.
变式5 给出下列各组线段，其中成比例线段是（ ）
A.a＝2 cm， 6＝4 cm，c＝6 cm， d＝8 cm
B.a＝cm，b＝cm，c＝cm，d＝cm
C.a＝ cm，b＝ cm， c＝ cm，d＝2 cm
D.a＝2 cm，b＝cm，c＝2 cm，d＝ cm
变式6 （1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，求线段d的长.
（2）已知线段a，b，c中，a＝4cm，b＝9cm，线段c是线段a和b的比例中项.求线段c的长.
考点4：比例基本性质的应用
典例4 已知:3x＝4y，求下列各式的值。
（1）；（2）；（3）；（4）。
思路导析: 此题的思路比较多，思路一，应用比例的有关性质；思路二，代入消元法；思路三，设k法等。
解: 解法一:（利用比例的有关性质）
由3x＝4y →（1）＝＝，即（2）＝。
由3x＝4y → ＝ =①即（3）=。
由 ＝ ，得（4）＝。
解法二:（代入消元法）
由3x＝4y知x＝y。
（1）； （2）；
（3）； （4）。
解法三:（设k法）由3x＝4y，得，所以设x＝4k，y＝3k，得（1）＝；
分别代入（2），（3），（4）得
（2）；（3）；（4）。旧殇:
友情提示 关于比例的求值问题，以上介绍了三种方法，解题时可灵活运用。
变式7 由5a＝6b（a≠0），可得比例式（ ）
A. B. C. D.
变式8 已知a，b是不等于0的实数，2a＝3b，那么下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
考点5:等比性质的应用
典例5 已知a:b:c＝3:4:5，求的值.
解: 解法一：∵a:b:c＝3:4:5，即，
∴,即,∴=.
解法二:设＝k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k.
∴==.
解法三:由，得b＝a。由，得c＝a。
∴===。
友情提示 利用等比性质进行计算，解法较多，但利用设比例系数“k”的方法，表示出x，y，z的值是解决此类问题常用的方法。
变式9 已知＝，且b＋d≠0，则__________，________，
____________。
变式10 已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且a＋b＋c＝12。
（1）试求a，b，c的值；
（2）判断△ABC的形状。
考点6: 比例性质的综合应用
典例6 如图所示，已知AB＝10cm，AE＝5cm，EC＝3cm，且。
（1）求AD的长；
（2）成立吗？为什么？
思路导析:（1）设AD的长为x，则已知比例式即为等量关系，从而可以求出AD的长；（2）发现所探求的比例式中的分母分别是已知比例式中的各分子、分母之和，故可运用合比性质进行说明。
解:（1）设AD＝xcm，则BD＝（10-x）cm.
根据题意，得1。解得x＝。
因此，AD的长为cm.
（2）成立。理由如下:
∵，根据比例的合比性质，得，即。
∴。
友情提示 （1）在已知比例式的条件下，求某一线段的值，一般都是通过比例式这一等量关系列出方程求解；（2）在已知比例式的前提下推证另一比例式，只要运用比例的有关性质变形就可以得证。
变式11 如图所示，在线段AB上取C，D两点。已知AB＝6cm，AC＝1cm，且四条线段AC，CD，DB，AB是成比例线段，求线段CD的长。
变式12 如图所示，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD于点F。
（1）AB，BC，BF，DE这四条线段能否成比例？如不能，请说明理由；如能，请写出比例式；
（2）若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长。
巩 固 提 高
1.若x，y为非零线段的长，则下列说法错误的是（ ）
A.若，则 B.若2x-5y＝0，则
C.若线段a:b＝c:d，则 D.若线段a:b＝c:d，则
2.下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A.a＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B.a＝1，b＝，c＝2，d＝4
C.a＝4，b＝5，c＝8，d＝10 D.a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
3.若a，b，c，d是互不相等的正数，且，则下列式子中错误的是（ ）
A. B. C. D.
4.如果，那么的值为______________。
5.已知三个数2，4，8，请你再添上一个数，使它们成比例，写出所有符合条件的数为__________。
6.若a:b＝2:3，b:c＝4:5，则a:c＝____________。
7.（1）已知，求的值。
（2）已知，求的。
8.如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试求AB:BC的值。
9.如图所示，已知A（0，-2），B（-2，1），C（3，2）。
（1）求线段AB，AC的长。
（2）把A，B，C三点的横坐标、纵坐标都乘以2得到A1，B1，C1的坐标.求A1B1，A1C1的长。
（3）在（1）（2）中所求的四条线段成比例吗？说明理由。
10.已知a，b，c为△ABC的三边，并且a＋b＋c＝60，，试求△ABC的面积。
11.计算:
（1）若＝k，求k的值；
（2）已知2x2-7xy＋6y2＝0，则的值。
如图所示，直线y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B.过B点作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA，OB，OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，求P点的坐标。
真 题 训 练
1.（2018·白银）已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A. B.2a＝3b C. D.3a＝2b
2.（2018·锦江）已知点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.（2018·宁夏）已知:，则的值是______________。
4.（2018·成都）已知，且a＋b-2c＝6，则a的值为_____________。
5.（2017·义鸟）已知:线段a，b，c，且。
（1）求的值。
（2）如线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a-b＋c的值。
参考答案及解析
知识梳理
知识点2: 比例尺
知识点3: 1.成比例线段 2.外项 内项 比例中项
知识点4: 1.ad＝bc 2. 3.
考点突破
1.D
2.解:（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，
∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD = 6.5，CF＝ BC - BF＝4.5.
∴，，。
（2）成比例线段有。（答案不唯一）
3.D 4.D 5.D
6.解:（1）∵a，b，c，d是成比例线段， a＝3 cm， b＝2 cm，c = 6 cm，
∴，即.∴d＝4cm.
（2）∵线段c是线段a和线段b的比例中项， a＝4 cm， 6＝9 cm，
∴,即。∴c＝6cm.
7.D 8.B 9.
10.解:（1）∵，∴。即。
又∵a＋b＋c＝12，∴，即，∴a＝5。
同理，，解得b＝3，c＝4。
（2）∵32＋42＝52，∴b2＋c2＝a2.
∴△ABC是直角三角形。
11.解:设CD＝xcm， 则DB＝AB-AC-CD=6 -1- x＝（5- x）cm，
∵AC，CD，DB，AB是成比例线段，即,∴.解得x＝2或3
故CD的长是2cm或3cm。
12.解：（1）能成比例，比例式是，
证明，:在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥AD，S ABCD＝AB?DE＝AD?BF。
∴。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC。∴。
（2）∵，∴AB?DE＝BC?BF，
即10×2.5＝5BC，∴BC = 5。
巩固提高
1.D 2.D 3.C 4. 5.1，4，16 6.8:15
7.解（1）∵，∴b＝a.则；
（2）设，则x＝2a，y＝3a，x＝4a
∴。
8.解:如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
∵AB = AC，∠BAC＝120o，∴∠B＝∠C = 30o，BC = 2BD。
设AD＝x，则AB＝2AD＝2x，根据勾股定理，BD＝＝＝x，
∴BC = 2x。∴AB:BC＝2x:2x＝1:。
9.解:（1）∵A（0，-2），B（-2，1），C（3，2），
∴由勾股定理得:AB =＝，AC＝；
（2）由已知得A1（0，-4），B1（-4，2），C2（6，4），
由勾股定理得:A1B1＝，A1C1＝＝10；
（3）以上四条线段成比例，理由如下:
∵，，∴，∴四条线段成比例。
10.解:由比例性质，得，
∴a＝15，b＝20，c＝25。又∵152＋202＝252，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝15×20÷2＝150。
11.解:（1），得b+c=ka①，c＋a＝kb②、a＋b＝ck③；
①＋②＋③，得b＋c＋c＋a＋a＋b = k（a＋b＋c）,
当 a＋b＋c≠0时，，
当a＋b＋c＝0时，（b＋c）＝－a,,
k的值为2或-1；
（2）两边都除以y2，得，
因式分解，得＝0解得＝，＝2.
12.解:∵直线y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（0，3）。
∴｜OA｜＝1，OB＝3。∵点P在x轴正平轴上，∴设点P的坐标是（x，0）。
∵当线段OA的长是其他两条线段长度的比例中项时，∴OA2＝OB·OP，∴1＝3·x.解得x＝，
∴点P的坐标是（，0）；
当线段OB的长是其他两条线段长度的比例中项时，
∴OB2＝OA·OP.∴9＝1·x.解得x＝9.∴点P的坐标是（9，0）；
当线段OP的长是其他两条线段长度的比例中项时，
∴OP2＝OB·OA.∴x2＝3×1.解得x＝.∴点P的坐标是（，0）.
综上所述，点P的坐标是（，0），（9，0），（，0）.
真题训练
1.B 2.D 3. 4.12
5.解:（1）∵，∴。∴ 。
（2）设＝k，则a＝2k，b＝3k，＝4k.
∵a＋b＋c＝27，∴2k＋3k＋4k＝27.∴k＝3.
∴a＝6，b＝9，c＝12.∴a－b+c=6－9+12=9.