【鲁教版八下精美学案】9.2 平行线分线段成比例（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】9.2 平行线分线段成比例（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-05 19:57:48 | ||
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文档简介
第九章 图形的相似
第2节 平行线分线段成比例
知 识 梳 理
知识点1 平行线分线段成比例定理（重点）
平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
几何语言:如图所示，直线l1∥l2∥13，直线l4，13被l1，l4，l5所截，那么，，，，，。
注意 （1）对应线段是指两条平行线所截相同位置的线段，如AB与DE是对应线段，BC与EF是对应线段，AC与DF是对应线段。（2）对应线段的比相等是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。（3）为了便于记忆，上述6个比例式可使用一些简单的形象化的语言表示:“”。
知识点2 平行线分线段成比例的推论（重点）
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
几何语言如图所示，若DE∥BC，则有
注意 （1）此定理在今后证明线段成比例时应用广泛.
（2）注意对应线段成比例可形象记为等。
考 点 突 破
考点1:平行线分线段成比例及推论的直接应用
典例1 如图所示，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（ ）
A. B.2 C. D.
思路导析:求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果.
答案:A
友情提示 应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键在于认真地逐项分析找到对应的线段，可简记为:“”或“”。
变式1 如图所示，直线l1∥l2∥13，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点H，则下列式子不正确的是（ ）
A . B. C . D.
变式2 如图所示，直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥/l2∥13，已知EF:DF＝5:8，AC＝24.
（1）求AB的长；
（2）当，且AD＝12，BE＝3，OF＝13时，求OE的长.
考点2:用平行线分线段成比例及推论求线段长
典例2如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，DE∥AC，DF∥BC.如果BE＝6 cm， EC＝10 cm， AF-FC＝3 cm，求FC的长。
思路导析:由DE∥AC，根据平行线分线段成比例得到。
同理得，而AF - FC＝3cm，通过解方程即可得到FC的长。
解: DE∥AC，BE＝6cm，EC＝10cm，∴，
又∵DF∥BC，∴。∵AF - FC＝3cm，∴AF＝FC＋3。
∴，解得FC＝4.5.
友情提示 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例，在写比例式时，要注
意对应线段写在对应的位置上，不要写错位置。
变式3 如图所示:
（1）在图①中，若DE∥BC，DE＝____________。
（2）在图②中，若DE∥FG∥BC，则AE＝____________，GC＝__________。
（3）在图③中，若AD∥BC，AD＝_____________。
变式4 如图所示△ABC中，平分∠ABC，DE∥BC，若DE＝2AD，AE＝2，那么EC＝___________。
考点3:用平行线分线段成比例及推论证明线段成比例
典例3 如图所示，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证: 。
思路导析: 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理的推论得出对应边成比例即可得出结论.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC.
∴ （平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.
同理可得。∴。
友情提示 本题是证明比例式的典型题，要证明，经常要把它转化为证两个等式相等，从而求解.如证和。我们通常把叫做中间比，而找中间比的常见方法就是找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式。
变式5 如图所示，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，求证:。
变式6 如图所示，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，
DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于点P，
求证:。
考点4:用平行线分线段成比例的基本事实及推论证明线段相等
典例4 如图所示，△ABC中，DE∥BC，且BD＝CE.求证:AD＝AE.
思路导析: 根据平行线分线段成比例定理得出，
因为后项BD＝CE，所以前项AD＝AE，这是用比例证明线段相等的方法。
解:∵DE∥BC，∴ 。∵BD＝CE，∴AD＝AE.
友情提示 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意:用比例证明线段相等的思路有：
（1）若且a＝c，则b＝d。
（2）若且a＝b，则c＝d。
变式7 已知:如图所示，在△ABC中，AB＝AC，且，EG∥CD.证明:AE＝AF。
变式8 如图所示，在△ABC中，∠AB＝90o，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F。求证:DE＝EF。
巩 固 提 高
1.如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB 交AC于E，如果，那么等于（ ）
A. B. C. D.
4.如图所示，BD＝CD，AE:DE＝1:2，延长BE交AC于F，且AF＝4cm，则AC的长为（ ）
A.24 cm B.20 cm C.12 cm D.8 cm
5.如图所示，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD:DF:FB＝2:3:4，若EG＝4，则AC＝____________。
6.如图所示，FG∥DE∥BC，已知DF＝3，AG＝EC＝2，则DB·GE＝____________。
7.如图所示，已知a∥b∥c，试解决下列问题:
（1）若AC＝6cm，CE＝4cm，BD＝8cm，求线段DF的长；
（2）若AE:CE＝5:2，BD＝5cm，求线段DF的长。
8.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，求证:DF2＝EF·FP.
9.如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为边BC一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F。求证:。
如图所示，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，AF:FD＝AD:DB，若AB＝15，AD:BD＝2:1，求DF的长。
11.如图所示，已知在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上。
（1）当点D，E，F分别为BC，AB，AC边的中点时，求证:△BED≌△DFC；
（2）若DE∥AC，DF∥AB，且AE＝2，BE＝3，求 的值。
12.如图所示，互相垂直的两条公路AM，AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米，现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C。
（1）DQ＝10米时，求△APQ的面积。
（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米。
真 题 训 练
1.（2018·乐山）如图所示，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A. EG＝4GC B.EG＝3GC C.EG＝GC D.EG＝2GC
2.（2018·梧州）如图所示，AG:GD＝4:1，BD:DC＝2:3，则AE:EC的值是（ ）
A.3:2 B.4:3 C.6:5 D.8:5
3.（2018·嘉兴）如图所示，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，则_____________。
4.（2016·锦州）如图所示，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F。若AB＝15，则EF = __________。
5.（滨州中考）如图所示，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，连接CF。
求证:（1）△ACE≌△BCD；（2） 。
参考答案及解析
考点突破
1.D
2.解:（1）∵l1∥l2∥l3，EF:DF＝5:8，AC＝24，
∴，∴，∴BC＝15.
∴AB＝AC－BC＝24-15＝9。
（2）由题意得 ，∴。
∴OB=3.∴OC=BC－OB=15－3=12.
∴，∴。∴OE=。
3.（1）6 （2）8 6 （3）14
4. 14
5.证明:∵EF∥CD，DE∥BC，∴∴。
6.证明:∵DE∥BC，∴。∴PD·PC＝PE·PB.
∵DF∥AC，∴。∴PD·PC＝PF·PA.
∴PE·PB＝PF·PA.∴。
7.证明:∵EG∥CD，∴ 。∵，∴，
∴，即 ，∵AB＝AC，∴AE＝AF。
8.证明:DE∥BC，∴。∵点D为AB的中点，∴AD＝DB，即。
∵CF∥BA，∴， ∴DE＝EF。
巩固提高
1.C 2.D 3.B 4.B 5.12 6.6
7.解:（1）∵a∥b∥c，∴。即，解得DF＝cm。
（2）∵a∥b∥c，∴，即，解得DF＝cm.
8.解:∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD .
∴。∴。∴DF2＝EF·FP.
9.证明:∵GF∥BC，∴。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD。
∴。∴。
10.解:∵AD；BD＝2:1，∴BD＝AD.∴AD＋AD＝15，∴AD＝10.
∵AF:FD＝AD:DB，∴AF:FD＝2:1，∴AF＝2DF。
∵AF＋DF＝10，∴2DF＋DF＝10.∴DF＝。
11.解:（1）证明:∵点D，E，F分别为BC，AB，AC边的中点，
∴DE和DF为△ABC的中位线，BD＝ DC.∴DE∥AC，DF∥AB。
∴∠BDE＝∠C，∠B＝∠CDF，∴△BED≌△DFC；
（2）DE∥AC，DF∥AB，∴∴。
12.解:（1）DC∥AP，∴。∵AQ＝AD＋DQ＝20＋10＝30（米）
∴。∴AP＝90米。
∴S△APQ＝AQ·AP＝×30×90 =1350（平方米）。
（2）设DQ＝x米，则AQ＝（x＋20）米，
∵DC∥AP，∴。∴。∴AP＝。
由题意得。化简得3x2-200x＋1200＝0，
解得x＝60或，经检验x＝60或是原方程的根，
∴DQ是长应设计为60米或米。
真题训练
1.B 2.D 3.2 4.
5.证明:（1）∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD.即∠BCD＝∠ACE.∴△ACE≌△BCD（SAS）。
（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC＝∠AEC.∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACF＝60°，∵∠GCD＝∠FCE＝60°，CD＝CE，∴△GCD≌△FCE（ASA）.
∴CG＝CF.∴△CFG为等边三角形.∴∠CGF＝∠ACB＝60°。
∴GF∥CE.∴ 。
第2节 平行线分线段成比例
知 识 梳 理
知识点1 平行线分线段成比例定理（重点）
平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
几何语言:如图所示，直线l1∥l2∥13，直线l4，13被l1，l4，l5所截，那么，，，，，。
注意 （1）对应线段是指两条平行线所截相同位置的线段，如AB与DE是对应线段，BC与EF是对应线段，AC与DF是对应线段。（2）对应线段的比相等是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。（3）为了便于记忆，上述6个比例式可使用一些简单的形象化的语言表示:“”。
知识点2 平行线分线段成比例的推论（重点）
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
几何语言如图所示，若DE∥BC，则有
注意 （1）此定理在今后证明线段成比例时应用广泛.
（2）注意对应线段成比例可形象记为等。
考 点 突 破
考点1:平行线分线段成比例及推论的直接应用
典例1 如图所示，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（ ）
A. B.2 C. D.
思路导析:求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果.
答案:A
友情提示 应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键在于认真地逐项分析找到对应的线段，可简记为:“”或“”。
变式1 如图所示，直线l1∥l2∥13，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点H，则下列式子不正确的是（ ）
A . B. C . D.
变式2 如图所示，直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥/l2∥13，已知EF:DF＝5:8，AC＝24.
（1）求AB的长；
（2）当，且AD＝12，BE＝3，OF＝13时，求OE的长.
考点2:用平行线分线段成比例及推论求线段长
典例2如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，DE∥AC，DF∥BC.如果BE＝6 cm， EC＝10 cm， AF-FC＝3 cm，求FC的长。
思路导析:由DE∥AC，根据平行线分线段成比例得到。
同理得，而AF - FC＝3cm，通过解方程即可得到FC的长。
解: DE∥AC，BE＝6cm，EC＝10cm，∴，
又∵DF∥BC，∴。∵AF - FC＝3cm，∴AF＝FC＋3。
∴，解得FC＝4.5.
友情提示 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例，在写比例式时，要注
意对应线段写在对应的位置上，不要写错位置。
变式3 如图所示:
（1）在图①中，若DE∥BC，DE＝____________。
（2）在图②中，若DE∥FG∥BC，则AE＝____________，GC＝__________。
（3）在图③中，若AD∥BC，AD＝_____________。
变式4 如图所示△ABC中，平分∠ABC，DE∥BC，若DE＝2AD，AE＝2，那么EC＝___________。
考点3:用平行线分线段成比例及推论证明线段成比例
典例3 如图所示，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证: 。
思路导析: 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理的推论得出对应边成比例即可得出结论.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC.
∴ （平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.
同理可得。∴。
友情提示 本题是证明比例式的典型题，要证明，经常要把它转化为证两个等式相等，从而求解.如证和。我们通常把叫做中间比，而找中间比的常见方法就是找到平行线，然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式。
变式5 如图所示，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，求证:。
变式6 如图所示，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，
DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于点P，
求证:。
考点4:用平行线分线段成比例的基本事实及推论证明线段相等
典例4 如图所示，△ABC中，DE∥BC，且BD＝CE.求证:AD＝AE.
思路导析: 根据平行线分线段成比例定理得出，
因为后项BD＝CE，所以前项AD＝AE，这是用比例证明线段相等的方法。
解:∵DE∥BC，∴ 。∵BD＝CE，∴AD＝AE.
友情提示 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意:用比例证明线段相等的思路有：
（1）若且a＝c，则b＝d。
（2）若且a＝b，则c＝d。
变式7 已知:如图所示，在△ABC中，AB＝AC，且，EG∥CD.证明:AE＝AF。
变式8 如图所示，在△ABC中，∠AB＝90o，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F。求证:DE＝EF。
巩 固 提 高
1.如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB 交AC于E，如果，那么等于（ ）
A. B. C. D.
4.如图所示，BD＝CD，AE:DE＝1:2，延长BE交AC于F，且AF＝4cm，则AC的长为（ ）
A.24 cm B.20 cm C.12 cm D.8 cm
5.如图所示，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD:DF:FB＝2:3:4，若EG＝4，则AC＝____________。
6.如图所示，FG∥DE∥BC，已知DF＝3，AG＝EC＝2，则DB·GE＝____________。
7.如图所示，已知a∥b∥c，试解决下列问题:
（1）若AC＝6cm，CE＝4cm，BD＝8cm，求线段DF的长；
（2）若AE:CE＝5:2，BD＝5cm，求线段DF的长。
8.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，求证:DF2＝EF·FP.
9.如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为边BC一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F。求证:。
如图所示，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，AF:FD＝AD:DB，若AB＝15，AD:BD＝2:1，求DF的长。
11.如图所示，已知在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，AC边上。
（1）当点D，E，F分别为BC，AB，AC边的中点时，求证:△BED≌△DFC；
（2）若DE∥AC，DF∥AB，且AE＝2，BE＝3，求 的值。
12.如图所示，互相垂直的两条公路AM，AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米，现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C。
（1）DQ＝10米时，求△APQ的面积。
（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米。
真 题 训 练
1.（2018·乐山）如图所示，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A. EG＝4GC B.EG＝3GC C.EG＝GC D.EG＝2GC
2.（2018·梧州）如图所示，AG:GD＝4:1，BD:DC＝2:3，则AE:EC的值是（ ）
A.3:2 B.4:3 C.6:5 D.8:5
3.（2018·嘉兴）如图所示，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知，则_____________。
4.（2016·锦州）如图所示，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F。若AB＝15，则EF = __________。
5.（滨州中考）如图所示，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，连接CF。
求证:（1）△ACE≌△BCD；（2） 。
参考答案及解析
考点突破
1.D
2.解:（1）∵l1∥l2∥l3，EF:DF＝5:8，AC＝24，
∴，∴，∴BC＝15.
∴AB＝AC－BC＝24-15＝9。
（2）由题意得 ，∴。
∴OB=3.∴OC=BC－OB=15－3=12.
∴，∴。∴OE=。
3.（1）6 （2）8 6 （3）14
4. 14
5.证明:∵EF∥CD，DE∥BC，∴∴。
6.证明:∵DE∥BC，∴。∴PD·PC＝PE·PB.
∵DF∥AC，∴。∴PD·PC＝PF·PA.
∴PE·PB＝PF·PA.∴。
7.证明:∵EG∥CD，∴ 。∵，∴，
∴，即 ，∵AB＝AC，∴AE＝AF。
8.证明:DE∥BC，∴。∵点D为AB的中点，∴AD＝DB，即。
∵CF∥BA，∴， ∴DE＝EF。
巩固提高
1.C 2.D 3.B 4.B 5.12 6.6
7.解:（1）∵a∥b∥c，∴。即，解得DF＝cm。
（2）∵a∥b∥c，∴，即，解得DF＝cm.
8.解:∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD .
∴。∴。∴DF2＝EF·FP.
9.证明:∵GF∥BC，∴。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD。
∴。∴。
10.解:∵AD；BD＝2:1，∴BD＝AD.∴AD＋AD＝15，∴AD＝10.
∵AF:FD＝AD:DB，∴AF:FD＝2:1，∴AF＝2DF。
∵AF＋DF＝10，∴2DF＋DF＝10.∴DF＝。
11.解:（1）证明:∵点D，E，F分别为BC，AB，AC边的中点，
∴DE和DF为△ABC的中位线，BD＝ DC.∴DE∥AC，DF∥AB。
∴∠BDE＝∠C，∠B＝∠CDF，∴△BED≌△DFC；
（2）DE∥AC，DF∥AB，∴∴。
12.解:（1）DC∥AP，∴。∵AQ＝AD＋DQ＝20＋10＝30（米）
∴。∴AP＝90米。
∴S△APQ＝AQ·AP＝×30×90 =1350（平方米）。
（2）设DQ＝x米，则AQ＝（x＋20）米，
∵DC∥AP，∴。∴。∴AP＝。
由题意得。化简得3x2-200x＋1200＝0，
解得x＝60或，经检验x＝60或是原方程的根，
∴DQ是长应设计为60米或米。
真题训练
1.B 2.D 3.2 4.
5.证明:（1）∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD.即∠BCD＝∠ACE.∴△ACE≌△BCD（SAS）。
（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC＝∠AEC.∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACF＝60°，∵∠GCD＝∠FCE＝60°，CD＝CE，∴△GCD≌△FCE（ASA）.
∴CG＝CF.∴△CFG为等边三角形.∴∠CGF＝∠ACB＝60°。
∴GF∥CE.∴ 。