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8.4三元一次方程组的解法
学习目标：
1.理解三元一次方程组的定义；
2.掌握三元一次方程组的解法；
3.会解简单的三元一次方程组应用题.
学习重点:三元一次方程组的解法；三元一次方程组的应用.
学习难点:三元一次方程组的应用.
学习过程：
一、新知引入
你还记得二元一次方程组的解法吗？它们有什么联系与区别？
二、新知讲解
探索1 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
解：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，
根据题意，得方程组
请观察上面方程组的特点，归纳三元一次方程组的定义.
●归纳：含有________个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是 ___ ，像这样的方程组叫做三元一次方程组
巩固练习：
判断下列方程组是不是三元一次方程组?说明理由
探索2 解三元一次方程组
上例中，③分别代入①②,得只含_____、_____的二元一次方程组再消元，转化为____________方程.从而得到解三元一次方程组的思想方法是：
三、例题讲解
例1、解三元一次方程组
解：方程①只含_____、______，因此，可由②③消去，得到一个只含x，y的方程_____________，与①组成一个二元一次方程组解这个方程组得进而求得z=_____.因此，原方程组的解为
（鼓励学生先独立完成，再交流成果.）
巩固练习：
1、已知x+y=1，y+z=6，z+x=3,则x+y+z=_________.
2、解三元一次方程组
例2、在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值
巩固练习：
1、在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.
2、解方程组,则x＝_____，y＝______，z＝_______.
3、若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4、解下列方程：
已知方程组 的解适合x+y=8,求a的值.
四、课堂小结
1.什么叫三元一次方程组？
2.解三元一次方程组的思想方法是什么？
五、布置作业 教材106页，1、2题
当堂训练
1、运用加减法解方程组则应该( )
A.先消x得 B.先消z得
C.先消y得 D.得8x-2y+4z=11,再解
2、解方程组：
3、已知方程关于x、y的y=ax2+bx+c的三个解为求出此方程（即求出a、b、c，再将a、b、c代入原方程即可）
4、扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积.
5、若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
6、某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km、20km、40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
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8.4三元一次方程组的解法
教学目标：
1.理解三元一次方程组的定义；
2.掌握三元一次方程组的解法；
3.会解简单的三元一次方程组应用题.
教学重点:三元一次方程组的解法；三元一次方程组的应用.
教学难点:三元一次方程组的应用.
教学过程：
一、新知引入
你还记得二元一次方程组的解法吗？它们有什么联系与区别？
代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法。它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同，做题时应根据方程组的具体情况选择适合它的解法。生活中我们还会遇到更多的元，比如说：三元一次方程组，它的解法又会是怎样的我们今天一起来研究。
二、新知讲解
探索1 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
解：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，
根据题意，得方程组
请观察上面方程组的特点，归纳三元一次方程组的定义.
●归纳：含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是 1 ，像这样的方程组叫做三元一次方程组
巩固练习：
判断下列方程组是不是三元一次方程组?说明理由
方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；
探索2 解三元一次方程组
上例中，③分别代入①②,得只含_____、_____的二元一次方程组再消元，转化为____________方程.从而得到解三元一次方程组的思想方法是：
三、例题讲解
例1、解三元一次方程组
解：方程①只含_____、______，因此，可由②③消去，得到一个只含x，y的方程_____________，与①组成一个二元一次方程组解这个方程组得进而求得z=_____.因此，原方程组的解为
（鼓励学生先独立完成，再交流成果.）
巩固练习：
1、已知x+y=1，y+z=6，z+x=3,则x+y+z=_________. 答案：5
2、解三元一次方程组
答案：
方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．
例2、在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值
解：根据题意，得三元一次方程组：
解得：
巩固练习：
1、在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.答案：4
2、解方程组,则x＝_____，y＝______，z＝_______.答案：6、8、3
3、若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）D
A.2 B.3 C.4 D.5
4、解下列方程：
答案：
5、已知方程组 的解适合x+y=8,求a的值.（答案：a=10）
四、课堂小结
1.什么叫三元一次方程组？
2.解三元一次方程组的思想方法是什么？
【归纳结论】1.三元一次方程组：含有三个不相同的未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组.
五、布置作业 教材106页，1、2题
当堂训练
1、运用加减法解方程组则应该( )C
A.先消x得 B.先消z得
C.先消y得 D.得8x-2y+4z=11,再解
2、解方程组：
解：(1)由①+③，②+2×③消去z得
解得代入①得z=3.
即原方程组的解为
(2)原式可化为
由①+③，①+2×②消去y得
解得代入①得y=-2
即原方程组的解为
3、已知方程关于x、y的y=ax2+bx+c的三个解为求出此方程（即求出a、b、c，再将a、b、c代入原方程即可）
解：把原方程的三个解代入得三元一次方程组
解得
所以原方程为y=-x2+2x-3.
4、扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示.如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积.
.解：设药品包装盒的长为xcm，宽为ycm，高为zcm，依题意有
解得
则该药品包装盒的体积为V=9×5×2=90cm3.
5、若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组解得
方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．
6、某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km、20km、40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
解析：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是xkm，ykm和zkm.
由题意，得解得
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km.
方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．
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8.4三元一次方程组的解法
人教版 七年级下
新知导入
______ 消元法和 _消元法是二元一次方程组的两种解法。它们都是通过 ____ 使方程组转化为 ___ 方程，只是消元的 _____不同，做题时应根据方程组的具体情况选择适合它的解法。
代入
加减
消元
一元一次
方法
你还记得二元一次方程组的解法吗？它们有什么联系与区别？
新知讲解
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
分析： ①题目中有___个未知数，含有____个相等关系？
②设1元、2元、5元纸币分别为x张、y张、z张，根据题意的等量关系，可列得到出____个方程：
x+y+z=______ x+2y+5z=______ x=______y
新知讲解
3
3
12
22
4
3
组合在一起
这样就构成了
方程组
新知讲解
含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是 1 ，像这样的方程组叫做三元一次方程组
三元一次方程组如何定义?
巩固练习
判断下列方程组是不是三元一次方程组?
方程个数不一定是三个,但至少要有两个。
方程中含有未知数的个数是三个
√
×
新知讲解
讨论：怎样解三元一次方程组？
能不能类比二元一次方程组的解法,设法消去一个或两个未知数,把它化成二元一次方程组或二元一次方程呢?
①
②
③
仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程
这个方程组就是我们上节学过的二元一次方程组。
即
新知讲解
三元一次方程组
一元一次方程
二元一次方程组
1.化“三元”为“二元”
三元一次方程组求法步骤：
2.化“二元”为“一元”
怎样解三元一次方程组？
（也就是消去一个未知数）
例题讲解
例1、解三元一次方程组
3x＋4z=7， ①
2x＋3y＋z=9， ②
5x－9y＋7z=8. ③
分析：方程①中只含x,z,因此，
可以由②③消去y，得到一个只含
x，z的方程，与方程①组成一个二
元一次方程组.
消去某元，由三元变二元。
新知讲解
解：②×3＋③ ，得：11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝-2代入②，得y=
因此，这个三元一次方程组的解为
3x＋4z=7， ①
2x＋3y＋z=9， ②
5x－9y＋7z=8. ③
你还有其他解法吗？
注意：在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择最恰当、最简便的方法。
巩固练习
1、已知x+y=1，y+z=6，z+x=3,则x+y+z= .
5
x＋y－z＝6，
x－3y＋2z＝1，
3x＋2y－z＝4.
2、解三元一次方程组(1)
①
②
③
答案：
(2)
∴方程组的解为
缺某元，消某元
例题讲解
例2 、 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,
y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0 ①
4a＋2b＋c=3 ②
25a＋5b＋c=60 ③
｛
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1
4a＋b=10
｛
a=3
b=-2
解这个方程组，得
｛
把 代入①，得
a=3
b=-2
｛
C=-5
a=3
b=-2
c=-5
｛
因此
答：a=3, b=-2, c=-5.
巩固练习
1、在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝_______.
4
2、解方程组 ,则x＝_____，y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
分析：通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
6 8 3
巩固练习
你能说出解这个方程组的思想吗？
3、若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
分析：通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
D
巩固练习
4、解下列方程：
解：由①，得：y=5x. ④
由②，得 ⑤
把④、⑤代入③，得
解得:x=2
所以y=10，z=15.
所以原方程组的解为:
巩固练习
5、已知方程组 的解适合x+y=8,求a的值.
解：由题意,可得方程组
解得
即a=10
课堂小结
1、一个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组
2.基本思路:
②有表达式，用代入法。
③缺某元消某元
①消去某一元
3、解三元一次方程组有哪些方法？
作业布置
教材106页，1、2题
谢谢
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