第四节 电势和电势差
学 习 目 标
知 识 脉 络(教师用书独具)
1.知道电场力做功的特点及电场力做功与电势能改变的关系．(重点)
2.理解电势差的概念及意义，会用公式UAB＝进行计算．(难点)
3.理解电势的定义及其相对性．(难点)
4.知道等势面的概念，知道在等势面上移动电荷时电场力不做功.
[自 主 预 习·探 新 知]
[知识梳理]
一、电势差
1．电场力做功特点：电场力做功跟电荷移动的路径无关，只与电荷的始末位置有关．
2．电场力做功与电势能的关系
(1)电场力所做的功等于电势能的减少量．
(2)公式：WAB＝EpA－EpB.
3．电势差
(1)定义：电场力做功与所移动电荷的电荷量的比值．
(2)公式：UAB＝.
(3)单位：伏特，简称：伏，符号：V,1伏＝1焦耳/库仑．
二、电势
1．定义：单位正电荷从电场中的某点A移到参考点P时电场力做的功，就表示A点的电势，符号为φ.
2．公式和单位：电势的定义公式φA＝.单位是伏特，符号是V.
3．电势差与电势：UAB＝φA－φB.
三、等势面
1．定义：电场中电势相等的点构成的曲面．
2．等势面与电场强弱的关系：等势面密的地方电场较强，等势面疏的地方电场较弱．
[基础自测]
1．思考判断
(1)沿不同路径将电荷由A移至B，电场力做功不同．( )
(2)电场力做正功，电势能增加，电场力做负功，电势能减小．( )
(3)电势差有正、负，因此电势差是矢量．( )
(4)电势差可描述电场本身性质．( )
(5)电势具有相对性，选不同的零电势参考点，电势的值不同．( )
(6)电势具有相对性，通常选无限远处或大地的电势为零．( )
(7)电势有正负，所以是矢量．( )
(8)点电荷的等势面是球面．( )
(9)由UAB＝可知，沿等势面移动电荷，电场力不做功．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√ (7)× (8)√ (9)√
2．某电场区域的电场线如图1-4-1所示，把一个电子从A点移到B点时( )
图1-4-1
A．电子所受电场力增大，电子克服电场力做功
B．电子所受的电场力减小，电场力对电子做正功
C．电子所受的电场力增大，电势能减少
D．电子所受的电场力增大，电势能增大
C [电子从A点向B点移动，电子受力方向与运动方向相同，所以电场力做正功，电势能减少．又因为电场线密处场强大，同时粒子的受力也大，所以电子在B点受力要大于A点．]
3．(多选)下列关于电势高低的判断，正确的是( )
A．负电荷从A移到B时，电场力做正功，A点的电势一定较高
B．负电荷从A移到B时，电势能增加，A点的电势一定较低
C．正电荷从A移到B时，电势能增加，A点的电势一定较低
D．正电荷只在电场力作用下从静止开始，由A移到B，A点的电势一定较高
CD [根据电场力做功和电势能变化的关系，不管是对正电荷做功还是对负电荷做功，只要做正功电势能就减少，只要做负功电势能就增加．正、负电荷在电势高低不同的位置具有的电势能不同，正电荷在电势高处具有的电势能多；负电荷在电势低处具有的电势能多．所以C、D正确．]
4．(多选)下列关于等势面的说法正确的是( )
A．沿电场线方向，电势降低；电势降低的方向就是电场的方向
B．在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功
C．在电场中将电荷由a点移到b点，电场力做功为零，则该电荷一定是在等势面上运动
D．某等势面上各点的场强方向与该等势面垂直
BD [电场线的方向就是电势降低最快的方向，但电势降低的方向不一定沿电场线，等势面上各点的场强方向与等势面垂直．故A错误，D正确．电场力做功为零，说明始末位置的电势差为零，但物体不一定在等势面上移动，故B正确，C错误．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
电场力做功与电势差
1．电场力做功的特点
电场力对电荷所做的功，与重力做功相似，只与电荷的初末位置有关，与电荷经过的路径无关．
2．电场力做功正负的判定
(1)若电场力是恒力，当电场力方向与电荷位移方向夹角为锐角时，电场力做正功；夹角为钝角时，电场力做负功；夹角为直角时，电场力不做功．
(2)根据电场力与瞬时速度方向的夹角判断．此法常用于判断曲线运动中变化电场力的做功情况．夹角是锐角时，电场力做正功；夹角是钝角时，电场力做负功；电场力和瞬时速度方向垂直时，电场力不做功．
(3)若物体只受电场力作用，可根据动能的变化情况判断．根据动能定理，若物体的动能增加，则电场力做正功，电势能减少；若物体的动能减少，则电场力做负功，电势能增加．
3．对电势差的理解
(1)定义式UAB＝，式中UAB为A、B两点间的电势差，WAB为q从初位置A运动到末位置B时电场力做的功，计算时W与U的角标要对应．
(2)决定因素：由电场本身性质决定，与WAB、q无关．
(3)物理意义：反映电场能的性质．
(4)绝对性：电场中两点间的电势差只与两点位置有关．
(5)标量性：电势差是标量，但有正负，其正负并不表示方向．
如图1-4-2所示，匀强电场的场强E＝1.2×102N/C，方向水平向右，一点电荷q＝4×10－8C沿半径为R＝20 cm的圆周，从A点移动到B点，已知∠AOB＝90°，求：
图1-4-2
(1)这一过程电场力做多少功？是正功还是负功？
(2)A、B两点间的电势差UAB为多大？
思路点拨：①从A点移动到B点，根据功的定义式求电场力做的功WAB.
②利用公式UAB＝求出电势差．
【解析】 (1)从A点移动到B点位移大小l＝R，方向与电场力的夹角θ＝135°.
故从A点移动到B点，电场力做功：
WAB＝qElcosθ＝4×10－8×1.2×102××0.2×cos135°J＝－9.6×10－7J.
(2)由公式UAB＝得A、B两点间的电势差：
UAB＝V＝－24 V.
【答案】 (1)9.6×10－7J 负功 (2)－24 V
公式UAB＝中正负号的含义
(1)WAB的正负由q及UAB的乘积决定．WAB>0，电场力做正功；WAB<0，电场力做负功．
(2)UAB的正负由A、B两点的电势决定．UAB>0，φA>φB；UAB<0，φA<φB.
[针对训练]
1．(多选)对于电场中A、B两点，下列说法正确的是( )
A．电势差的定义式UAB＝，说明两点间的电势差UAB与静电力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．A、B两点间的电势差等于将单位正电荷从A点移到B点静电力所做的功
C．将1 C电荷从A点移到B点，静电力做1 J的功，这两点间的电势差为1 V
D．若电荷由A点移到B点的过程，除受静电力外，还受其他力的作用，电荷电势能的变化就不再等于静电力所做的功
BC [根据电势差的定义，电场中两点间的电势差等于将单位正电荷从一点移到另一点时静电力所做的功，仅由电场及两点的位置决定，与移动的电荷量及做功的多少无关，即U＝是定义式，所以A错误，B、C正确．电势能的变化唯一决定于静电力做功，与其他力是否做功、做多少功无关，D错误．]
电势与电势差、电势能的区别
1.电势与电势差对比
电势φ
电势差U
区别
定义
电势能与电量的比值φA＝
电场力做功与电量比值UAB＝
决定因素
由电场和在电场中的位置决定
由电场和场内两点位置决定
相对性
有，与零电势点的选取有关
无，与零电势点的选取无关
联系
数值关系
UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA
单位
相同，均是伏特(V)，常用的还有kV、mV等
标矢性
都是标量，但均具有正负
物理意义
均是描述电场能的性质的物理量
2.电势能与电势的区别与联系
电势φ
电势能Ep
物理意义
反映电场的能的性质的物理量
反映电荷在电场中某点所具有的能量
相关因素
电场中某一点的电势φ的大小，只跟电场本身有关，跟点电荷q无关
电势能的大小是由点电荷q和该点电势φ共同决定的
大小
电势沿电场线逐渐降低，规定零电势点后，某点的电势高于零，则为正值；某点的电势低于零，则为负值
正点电荷(＋q)：电势能的正负跟电势的正负相同；负点电荷(－q)：电势能的正负跟电势的正负相反
单位
伏特(V)
焦耳(J)
联系
φ＝或Ep＝qφ，二者均是标量
有一带电荷量q＝－3×10－6C的点电荷，从电场中的A点移到B点时，克服电场力做功6×10－4J，从B点移到C点时电场力做功9×10－4J.求：
(1)AB、BC、CA间电势差各为多少？
(2)如以B点电势为零，则A、C两点的电势各为多少？电荷在A、C两点的电势能各为多少？
[思路点拨]①根据U＝计算UAB和UBC，再根据UCA＝UCB＋UBA计算UCA.
②求电势和电势能时，要参考零电势点求解．
【解析】 (1)电荷由A移向B克服电场力做功，即电场力做负功．WAB＝－6×10－4J
UAB＝＝V＝200 V
同理，UBC＝＝V＝－300 V.
UCA＝UCB＋UBA＝－UBC＋(－UAB)
＝300 V－200 V＝100 V.
(2)若φB＝0，由UAB＝φA－φB得
φA＝UAB＝200 V
由UBC＝φB－φC得
φC＝φB－UBC＝0－(－300)V＝300 V
电荷在零电势处的电势能为零，由WAB＝EpA－EpB，
WBC＝EpB－EpC可得：EpA＝WAB＝－6×10－4J
EpC＝－WBC＝－9×10－4J.
【答案】 (1)200 V －300 V 100 V
(2)200 V 300 V －6×10－4J －9×10－4J
?1?电场力做的功、电势能、电势等物理量的正负号不要标错.,?2?求解电势差时，注意角标的排序不能去掉，例如UAB＝－UBA.,?3?只有规定了零电势点，才能确定电场中各点的电势、电势能.
[针对训练]
2．将一正电荷从无穷远处移到电场中M点，电势能减少了8.0×10－9J，若将另一等量的负电荷从无穷远处移入电场中的N点，电势能增加了9.0×10－9J，则下列判断中正确的是( )
A．φM<φN<0 B．φN>φM>0
C．φN<φM<0 D．φM>φN>0
C [根据电势的定义式φA＝，φM＝＝＝.
φN＝＝＝－.
因此φN<φM<0，故C正确．]
等势面的理解
1.等势面的特点
(1)等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直．
(2)在同一等势面上移动电荷时电场力不做功．
(3)电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面．
(4)任意两个等势面都不会相交．
(5)等势面越密的地方电场强度越大，即等差等势面的分布的疏密可以描述电场强弱．
2．几种常见电场的等势面
(1)点电荷电场的等势面是一系列以点电荷为球心的同心球面：如图1-4-3中虚线所示．
图1-4-3
(2)等量异种电荷的电场的等势面，如图1-4-4，过两点电荷连线中点的垂直平分面是一个等势面．
图1-4-4 图1-4-5
(3)等量同种正电荷的电场的等势面，如图1-4-5.
(4)匀强电场的等势面，是与电场线垂直的，间隔相等且相互平行的一簇平面，如图1-4-6.
图1-4-6
如图1-4-7所示，三个同心圆是以点电荷Q为圆心的等势面，相邻等势面的电势差相等，则下列说法正确的是( )
图1-4-7
A．一个点电荷＋q在B点所受的电场力比在A点的大
B．一个点电荷＋q在B点具有的电势能比在A点的小
C．将同一个电荷由B点移到D点电场力做的功比由C点移到A点多
D．将电荷＋q由B点移到C点，电场力做正功
D [点电荷电场中，离点电荷越近场强越大，所以EA>EB，点电荷＋q在A点受的电场力比在B点受的电场力大，故A错误．从B向A移动＋q，电场力做正功，电势能减小，即＋q在B点电势能比在A点大，故B错误．从B到D移动电荷量为＋q的电荷，静电力做功WBD＝qUBD，从C到A所做的功是WCA＝qUCA，因为UBD＝UCA，故WBD＝WCA，即C错误．从B到C移动＋q，由于UBC>0，故对于正电荷，电场力做正功，WBC＝qUBC>0，D正确．]
等势面的四种应用
(1)由等势面可以判断电场中各点电势的高低及差值．
(2)由等势面可以判断电荷在电场中移动时电场力做功的情况．
(3)由于等势面和电场线垂直，已知等势面的形状分布，可以绘制电场线，从而确定电场的分布情况．
(4)由等差等势面的疏密，可以定性地确定某点场强的大小．
[针对训练]
3.如图1-4-8所示，是一个点电荷产生的电场的电场线(箭头线)和等势面(虚线)，两等势面之间的电势差大小为2 V．有一个带电荷量为q＝－1.0×108 C的电荷，从A点沿不规则曲线路径移到B点，电场力做功为( )
图1-4-8
A．2.0×108 J B．－2.0×108 J
C．1.60×107 J D．－4.0×108 J
B [由WAB＝qUAB得WAB＝－1.0×108×2 J＝－2.0×108 J，故B项对．]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是( )
A．UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA
B．UAB和UBA是不同的，它们的关系为UAB＝－UBA
C．φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量
D．电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点
BD [UAB表示A点相对于B点的电势差，UAB＝φA－φB，A错；UBA表示B点相对于A点的电势差，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，B对；电势是标量，正负号是相对于零电势点而言的，正号表示高于零电势点，负号表示低于零电势点，C错；零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，D对．]
2. (多选)一带电粒子沿着图1-4-9中曲线JK穿过一匀强电场，a、b、c、d为该电场的电势面，其中φa<φb<φc<φd，若不计粒子受的重力，可以确定( )
图1-4-9
A．该粒子带正电
B．该粒子带负电
C．从J到K粒子的电势能增加
D．粒子从J到K运动过程中的动能与电势能之和不变
BD [电场方向是由高电势指向低电势，所以电场方向水平向左，粒子受到的电场力指向轨迹的内侧，即电场力方向水平向右，所以粒子带负电，A错误，B正确；电场力方向和速度方向夹角为锐角，所以电场力做正功，电势能减小，动能增加，故C错误；粒子运动过程中只有电场力做功，所以电势能和动能之和保持不变，D正确．]
3. (多选)如图1-4-10所示，在点电荷电场中的一条电场线上依次有A、B、C三点，分别把＋q和－q的试探电荷依次放在三点上，关于它们所具有的电势能的正确说法是( )
图1-4-10
A．放上＋q时，它们的电势能EpA>EpB>EpC
B．放上＋q时，它们的电势能EpAC．放上－q时，它们的电势能EpA>EpB>EpC
D．放上－q时，它们的电势能EpAAD [为了比较电荷在不同位置上电势能的大小，只需根据电荷在这些位置间移动时电场力做功的情况来判断．当放上＋q时，电荷从位置A→B→C，都是电场力做正功，电势能应减小，故有EpA>EpB>EpC，所以A项正确；当放上－q时，电荷从位置A→B→C，电荷需克服电场力做功，电荷的电势能应增大，即EpA4．如图1-4-11所示，在匀强电场中，将一电荷量为2×10－5C的正电荷由A点移到B点，其电势能改变了0.2 J，已知A、B两点间距离为8 cm，两点连线与电场方向成60°角，求：
图1-4-11
(1)电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功WAB；
(2)A、B两点间的电势差UAB.
【解析】 (1)因正电荷由A移到B的过程中，正电荷的电势能减少了ΔE减＝0.2 J，所以这个过程中电场力对正电荷所做的功WAB＝ΔE减＝0.2 J.
(2)A、B两点间的电势差UAB＝＝1×104V.
【答案】 (1)0.2 J (2)1×104 V
1.4 电势和电势差
教学目标：
1.理解电势差的概念及期 定义式，会根据电荷q在电场中移动时电场力所做的功WAB计算UAB，会根据电势差UAB计算电荷Q在电场中移动时电场力所做的功WAB=qUAB
2.理解电势的概念，知道电势与电势差的关系UAB=A -B ，知道电势的值与零电势的选择有关。
3.知道在电场中沿着电场线的方向电势越来越低。
4.知道什么是电势能，知道电场力做功与电势能改变的关系。
能力目标：培养学生的分析能力、综合能力。
德育目标：使学生能从类似的事物中找出共性。
教学重点：电势、电势差的概念
教学难点：电势、电势差的概念的引入
教学方法：类比法、归纳法、问题解决法
教学过程：
一、复习引入
一个带正电的小球处于匀强电场中，会受到电场对它的力的作用，受力的方向如何呢？受力的大小呢？
（F＝Eq）。电荷在电场中受力的作用，我们引入了描述电场力的性质的物理量，场强E。它是与有无电荷q无关的物理量，是由电场本身决定的物理量。
如果将带电小球从Ａ点移动到Ｂ时，电场力对电荷做功吗？从本节课开始，我们从功和能的角度来研究电场。学习与电场能量有关的几个物理量（展示课题）
二、新课教学
电场力做功的问题我们不熟悉，但重力做功的问题。下面我们将从重力做功的问题出发来类比研究电场力做功。
（一）电场力做功与路径无关
（出示重力做功与路径无关的图）
物体在重力作用下，从Ａ沿不同的路径运动到Ｂ位置，重力做功匀为mgh，与路径无关。
与此类似，电荷在匀强电场中受力的作用，把电荷从Ａ移到电场中的Ｂ位置时，也可以沿不同的路径运动。类似重力做功，电场力做功也与运动路径无关。这个结论是从匀强电场得到的，对于非匀强电场也适用。所以我们在后面的课程中，研究电荷在电场中移动时，电场力做功的问题，可以认为电荷沿直线运动到另一位置。这是电场力做功的一个特点。
（二）电势差
1.引入（出示重力做功与重力成正比的图）
如果我们让不同的物体先后通过空间的Ａ、Ｂ两个固定的位置。
如：重力为Ｇ物体，做功为Ｗ１＝ＧhＡＢ
重力为Ｇ２＝２Ｇ……Ｗ２＝…２ＧhＡＢ……
则：ＷＧＧ成正比，其比值
也就是说重力场中确定的两点间的高度差是一定的。与重物Ｇ的大小无关与有无重物下落是无关的。
但让一重物在Ａ、Ｂ间落下时，则出Ｗ和Ｇ，可以用比值量度出hＡB。
类似地（出示电场力做功Ｑ与成正比的图）
我们在电场中Ａ、Ｂ两点间移动不同电量的带电体时：
如果q1=+ q，设电场力做功为Ｗ１＝Ｗ
则q２＝=+2q，则Ａ到Ｂ时，位移相等，在移动过程的任一位置处，q２＝=+2q，则q２所受电场为q１的２倍，即移动过程中电场力做的功Ｗ２＝２Ｗ……
则：Ｗ电q成正比，为一定值。
这个比值是由电场的Ａ、Ｂ两点的位置决定的量。
与在这两个位置间移动电荷的电量大小无关，与是正电荷、负电荷无关，与在无电荷q无关。只是让这个电荷在这两点间移动后，用功和电量的比值把它的大小量度出来。在物理学中，把这个比值叫做电场中Ａ、Ｂ两点间电势差。
2.电势差的概念：
板书：一、电势差
1.定义：电荷q在电场中由一点Ａ移动到另一点Ｂ时，电场力所做的功ＷＡＢ与电荷量q的比值ＷＡＢ／q，叫做Ａ、Ｂ两点间的电势差。用ＵＡＢ表示。
2.定义式：ＵAB=
同ＡＢ电荷在电场中不同位置间移动时，电场力做的功多，两点间的电势差大。但两点间电电势差由电场本身决定，与Wq无关的。板书五：（１）点
（１）物理意义：电势差是电场本身的性质，与Wq无关。
（２）单位：1V＝1J/C
电量为１Ｃ的正荷，在电场中两点间移动时，电场力做的功如果为１Ｊ，则两点的电势差为１伏特。
3.小练习：下面请看例１：
动画演示过程，标出力和Ｖ的方向，指出Ａ到Ｂ的过程，电场力做正功，则
ＵＡＢ＝＝……＝２Ｖ。
如果从Ｂ到Ａ移动时，电场力做负功，其ＷＢＡ＝－ＷＡＢ
则ＵＢＡ＝＝－２Ｖ
由例题得到以下启示：
(1):ＵＡＢ＝－ＵＢＡ，(2)由于q有正负，ＷＡＢ有正、负功，则其比值有可能为正、负值。一般我们只关心其大小，且电势差的大小记为Ｕ电压。初中物理中某导体两端的电压，指两点间的电势差。
得到板书：
(3)ＵＡＢ＝－ＵＢＡ (4)｜ＵＡＢ｜＝｜ＵＢＡ｜＝Ｕ
根据电势差的定义式，得变形公式ＷＡＢ＝qUAB
板书：３：ＷＡＢ＝qUＡＢ
（三）电势
我们用重力场中的高度差类比得到了电场中两点的电势差。重力场中还有高度一词，表示什么意思呢？劈如说选择（室内）地面作为参考平面，吊灯与地面之间的高度差为hA0=3m，我们也说成吊灯的高度为３m。类似地，如果把电场中的某一点作为参考点，另一点Ａ与参考点之间的电势差就叫作Ａ点的电势。
电势的概念
板书：二、电势
定义：如果在电场中选择某一点为参考点（零电势点），则Ａ点与参考点Ｏ之间的电势差叫做Ａ点的电势，记为A，为特殊的电势差。
A＝UＡＯ＝
所以其单位也是伏特。
下面做一个练习，求电场中各点的电势
已知：q＝+1C
ＷＡＣ＝15Ｊ
ＷＢＣ＝５Ｊ UBC
ＷＤＣ＝-3Ｊ UＡＣ ＵCD
（边展示力分析为何正功、负功）
则以Ｃ点为零电势点，则：
类似地：ＵＢＣ＝５Ｖ，ＵＤＣ＝－３Ｖ（做成填空）
则A＝15V Ｂ＝5V D＝－3V
①从计算中得到：电势有正、负值，是表示该点电势比零电势点的电势低，不代表方向，是标量。
②此时：AB之间的电势差呢？
推导：
经观察，与A、B点的电势有何关系？
（UAB=A-B）
原来，AB点的电势差就是A、B点的电势之差，其值为负，表示A点电势比B点电势低是标量。不代表方向。
③如果以B点为零电势点，则A、C点的电势呢？
则A=UAB=10V B=0V
看来，取不同的零电势点，各点的电势不同.
④此时AC点的电势差呢？
UAC=A-c=10V-（-5V）=15V
与原来以C点为零电势点的电势差相等。所以电势差是绝对的，与零电势点的选择无关，电势是相对的
出示板书内容：
UAB= A-B
说明：电势是相对的，电势差是绝对的
⑤再看例题中各点的电势，沿着电场线的方向，电势逐渐降低。
３．练习：例２：
①注意分析ＵＡＢ＝－10V为什么？
正电荷由Ａ Ｂ点，Ｆ与位移的方向做什么功？
则WAB= qUAB＝4×10-8J
则电势能增加了4×10-8J，其它形式的能转化为电势能。
②如果电荷为负电荷，在同一电场由一点A移动到同一点B呢？
由于电场没关，两点的位置没有变，则AB间的电热差不变。
所以WAB= qUAB＝2×10-8J
电势能减少了，转化成了其它形式的能。
③此题还可由W=Uθ来计算，W的正负根据分析得出，正功为正，负功为负。
四、小结：
1.类比重力场的高度差引入电势差：
UAB= 与q无关
2.类比重力场的高度引入电势
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第一章 电场第四节 电势和电势差无关始末位置减少量EpA－EpB电荷量伏特单位正电荷电场力电势伏特V相等强弱电场力做功与电势差 电势与电势差、电势能的区别 等势面的理解 谢谢观看
