2019年北师大版九下数学《第3章 圆》单元测试卷（解析版）

2019年北师大版九下数学《第3章 圆》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　）

A．42° B．28° C．21° D．20°
2．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则BE为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．3.5
3．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）

A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
4．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＞2AM
B．AB＝2AM
C．AB＜2AM
D．AB与2AM的大小不能确定
5．如图，⊙O的弦AB等于它的半径，点C在优弧AB上，则（　　）

A．∠ACB＝30° B．∠ACB＝60° C．∠ABC＝110° D．∠CAB＝70°
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝80°，则∠ADC的度数是（　　）

A．60° B．80° C．90° D．100°
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（　　）

A． B． C． D．
8．已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
9．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．经过圆内一点有且仅有一条直径
D．半圆是弧
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是（　　）

A．120° B．80° C．60° D．30°
二．填空题（共5小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是　 　．

12．在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为　 　cm．
13．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为　 　米．

14．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为　 　．
15．如图，在⊙O中，AB为直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于D，则∠ABD＝　 　°．

三．解答题（共6小题）
16．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？

17．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为　 　；
（2）连结AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）．

18．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．

19．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝DC，AC与BD相等吗？为什么？

20．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．

21．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE＝∠DAC．求证：DB＝DC．




2019年北师大版九下数学《第3章 圆》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　）

A．42° B．28° C．21° D．20°
【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．
【解答】解：连结OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，
∴DO＝DE，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，
∴∠1＝2∠E，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，
∴∠E＝∠AOC＝×84°＝28°．
故选：B．

【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．
2．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10，CD＝8，则BE为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．3.5
【分析】连接OC构建Rt△COE．利用圆的直径与半径的数量关系、垂径定理求得OC＝5，CE＝4；然后根据勾股定理求得OE＝2；最后利用线段间的和差关系求得BE＝OB﹣OE求得BE的长度即可．
【解答】解：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OB＝AB＝5；
又∵AB⊥CD于E，CD＝8，
∴CE＝CD＝4（垂径定理）；
在Rt△COE中，OE＝3（勾股定理），
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，即BE＝2；
故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理的应用、垂径定理．解题时，根据垂径定理构造直角三角形，运用勾股定理求解是本题难点．
3．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）

A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD＝8，OD＝13，
∴OC＝5，
又∵OB＝13，
∴Rt△BCO中，BC＝＝12，
∴AB＝2BC＝24．
故选：C．

【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．
4．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＞2AM
B．AB＝2AM
C．AB＜2AM
D．AB与2AM的大小不能确定
【分析】以及等弧所对的弦相等，以及三角形中两边之和大于第三边，即可判断．
【解答】解：连接BM．
∵M为的中点，
∴AM＝BM，
∵AM+BM＞AB，
∴AB＜2AM．
故选：C．

【点评】本题考查了等弧所对的弦相等，以及三角形中两边之和大于第三边，正确理解定理是关键．
5．如图，⊙O的弦AB等于它的半径，点C在优弧AB上，则（　　）

A．∠ACB＝30° B．∠ACB＝60° C．∠ABC＝110° D．∠CAB＝70°
【分析】欲求∠ACB，又可求圆心角∠AOB＝60°，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：连接OA、OB，
∵AB＝OA＝OB，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝30°．
故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝80°，则∠ADC的度数是（　　）

A．60° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，又∠B＝80°，
∴∠ADC＝100°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．
【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA?QC＝QP?QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m?QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．

【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．
8．已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP＝＞3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
9．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．经过圆内一点有且仅有一条直径
D．半圆是弧
【分析】利用确定圆的条件及圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B、能够完全重合的两条弧是等弧，故错误；
C、经过圆内除圆心外的一点有且只有一条直线，故错误；
D、半圆是弧，正确，
故选：D．
【点评】本题考查了确定圆的条件及圆的认识，解题的关键是能够了解圆的有关定义，难度不大．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是（　　）

A．120° B．80° C．60° D．30°
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，根据圆周角定理可求得∠BAC的度数．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝∠BOC＝×120°＝60°．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理与三角形外接圆的知识．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
二．填空题（共5小题）
11．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是　60°　．

【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
【解答】解：连接OD，
∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°，
∴∠ODE＝2∠C＝40°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝40°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°，
故答案为：60°．

【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题．
12．在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为　13　cm．
【分析】先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC＝BC＝AB＝12，再利用勾股定理易求OA．
【解答】解：如图所示，O到弦AB的距离为OC，连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝12，
在Rt△AOC中，OA＝＝＝13．
故答案是13．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是求出AC（知道垂直于弦的直径平分弦）．
13．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为　8　米．

【分析】先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．
【解答】解：因为跨度AB＝24m，拱所在圆半径为13m，
延长CD到O，使得OC＝OA，则O为圆心，
则AD＝AB＝12（米），
则OA＝13米，
在Rt△AOD中，DO＝＝5，
进而得拱高CD＝CO﹣DO＝13﹣5＝8米．
故答案为：8．

【点评】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
14．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为　60°　．
【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．
【解答】解：如图，
∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
故答案为60°．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．
15．如图，在⊙O中，AB为直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于D，则∠ABD＝　45　°．

【分析】由AB为直径，得到∠ACB＝90°，由因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝45°，这样就可求出∠ABD．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°．
故答案为45．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了直径所对的圆周角为90度．
三．解答题（共6小题）
16．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？

【分析】连结OC、OD，由OA＝OB，AE＝BF，得到OE＝OF，由CE⊥AB，DF⊥AB得到∠OEC＝∠OFD＝90°，再根据“HL”可判断Rt△OEC≌Rt△OFD，则∠COE＝∠DOF，所以AC弧＝BD弧，AC＝BD．
【解答】解：AC与BD相等．理由如下：
连结OC、OD，如图，
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OE＝OF，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠COE＝∠DOF，
∴AC弧＝BD弧，
∴AC＝BD．

【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
17．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为　（2，﹣2）　；
（2）连结AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）．

【分析】（1）根据题意作出图形，根据坐标与图形性质解答；
（2）根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）如图1，∵圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），
∴圆心的横坐标为2，
作BC的垂直平分线与AB的垂直平分线交于D，
则D（2，﹣2）
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图2，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，
在Rt△ADE中，AE＝4，DE＝2，
则r＝＝2，
所以⊙D的半径为2．



【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
18．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．

【分析】先根据垂径定理求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，
∴EO垂直平分CD，DF＝4m，FO＝DO﹣2，
在Rt△DFO中，DO2＝FO2+DF2，则DO2＝（DO﹣2）2+42，解得：DO＝5；
答：所在⊙O的半径DO为5m．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，此类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
19．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝DC，AC与BD相等吗？为什么？

【分析】由AB＝DC，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到弧AB＝弧CD，即有弧AB+弧BC＝弧BC+弧CD，即弧AC＝弧BD，因此AC与BD相等．
【解答】解：AC与BD相等．
理由如下：∵AB＝DC，
∴弧AB＝弧CD，
∴弧AB+弧BC＝弧BC+弧CD，
即弧AC＝弧BD，
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化．
20．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．

【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．
（2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE＝DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；
连接CD，∵BC为直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°；
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴，∴；

（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，
∵DE是Rt△ADC的中线；
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD；
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD；
∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．

【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识．
21．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE＝∠DAC．求证：DB＝DC．

【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角得到∠DAE＝∠DCB，由圆周角定理得到∠DAC＝∠DBC，等量代换得到∠DCB＝∠DBC，根据等腰三角形的性质得到答案．
【解答】证明：∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，
∴∠DAE＝∠DCB，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴∠DCB＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．