【华师大版八年级上册进阶培优训练】第三讲 勾股定理与逆定理及其应用（含答案）
文档属性
| 名称 | 【华师大版八年级上册进阶培优训练】第三讲 勾股定理与逆定理及其应用（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-08 11:29:46 | ||
图片预览
文档简介
第三讲 勾股定理及其应用培优辅导
一、
点击一：勾股定理
勾股定理： ．
如图2，在Rt中,0,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,
则c2= , a2= , b2= ．
勾股数：＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、…
特殊勾股数：连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，10
勾股定理的逆定理： ．
点击二：学会用拼图法验证勾股定理
如，利用四个如图1所示的直角三角形，拼出如图2所示的三个图形并证明．
证明图2或 3．
点击三：在数轴上表示无理数
例在数轴上作出表示的点．
点击四：直角三角形边与面积的关系及应用
例 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．
点击五：勾股定理的应用
（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；
（3）用于推导线段平方关系的问题等．
二、【精典题型】
考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为6，8，则斜边长为__________，斜边的高为__________．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
3．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．则①AD的长_____；
②ΔABC的面积_________．
考点二、利用列方程求线段的长
如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有_________________.
2.若三角形的三边是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是_________________.
3、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？
4、如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且．你能说明∠AFE是直角吗？
三、【思想方法】本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 例1（噪音问题）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
例2（用勾股定理求最短路径问题） 【例】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程为 ．
变式：
1、有一个长宽高分别为2cm，2cm，8cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点B处，则它爬行的最短路程为________cm.
2、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 （二）方程的思想方法 如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交AD于点E,AD=8，AB=4，求△BDE的面积是多少？
（三）分类讨论思想方法
例：若中，，高AD=12,则BC的长为（ ）
A：14 B：4 C：14或4 D：以上都不对
变式：1、在Rt△ABC中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ）
A、5 B、 C、5或 D、5或
2、如果△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，那么△ABC一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
培优学力训练
【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
【变式题组】
01．(安徽)如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.
02．(浙江省温州)在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______.
03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是( )
A． B． C． D．7
【例2】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点.
问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小.
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA＋PB＝A'B的值最小(不必证明).
模型应用：⑴如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P，则PB＋PE的最小值是__________；
如图2，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分
别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.
【变式题组】
1、（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为____________.
2、(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.
培优升级检测
1、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E在斜边BC上且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到△AFB，连接EF，则下列结论:①△AED≌AEF；②△ABE≌△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2其中正确的是( )
②④ B．①④ C．②③ D．①③
2、(北京竞赛)如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起、使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（）cm2
A．105.6 B．110.4 C．115.2 D．124.8
3、(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ＝6，PR＝S，PS＝10，则△ABC的面积等于( )
A． B． C． D．
4、(初二数学联赛)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动____秒时，PA与腰垂直.
5、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AB＝AD＝2，AC＝4，且BD:DC＝2:3则BC＝______.
6、（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为____________.
7、(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.
8、如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5.求（1）求证：EF2＝BE2＋CF2
(2)求△DEF的面积 .
第三讲 勾股定理及其应用培优辅导答案
一、
点击一：勾股定理
勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 ．
如图2，在Rt中,0,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,
则c2=a2 +b2 , a2=c2 -b2 , b2= c2 -a2 ．
勾股数：＿3，4，5＿、5，12，13、7，24，25＿、9，40，41＿、＿11，60，61＿、8，15，17…
特殊勾股数：连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，10
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. ．
点击二：学会用拼图法验证勾股定理
如，利用四个如图1所示的直角三角形，拼出如图2所示的三个图形并证明．
证明图2或 3．
图2：大正方形的面积可表示为：
还可表示为：c2
所以 c2=a2 +b2
点击三：在数轴上表示无理数
例在数轴上作出表示的点．
点击四：直角三角形边与面积的关系及应用
例 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．
解：设直角三角形的两直角边分别为a和b，可得
所以这个三角形的面积为0.5.
点击五：勾股定理的应用
（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；
（3）用于推导线段平方关系的问题等．
二、【精典题型】
考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为6，8，则斜边长为_10___，斜边的高为__4.8__．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
3．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．则①AD的长_____；②ΔABC的面积_________．
考点二、利用列方程求线段的长
如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
解：作AB⊥l于B点，则AB=300米．连接AC
∵AB=300，AD=500，∴BD=400．
∵CD=CA
设CD=x，则AC=x，BC=400-x．
在Rt中∴3002+（400-x）2=x2． 解得 x=312.5． 即 商店C与车站D之间的距离CD=312.5米．
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有_（1）____（2）____（3）________.
2.若三角形的三边是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是__直角三角形_______________.
3、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？
解：∵AC=120×=12海里，BC=50×=5海里 ∵AC22+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形 ∵∠CBA=50° ∴∠CAB=40° ∴甲的航向为北偏东50°．
4、如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且．你能说明∠AFE是直角吗？
解：设四边形ABCD是正方形, CE=x, 则CF=DF=2x，BE=3x, AB=AD=4x. AE2=AB2+BE2=（4x）2+（3x）2=25x2 AF2=AD2+DF2=（4x）2+（2x）2=20x2 EF2=CE2+CF2=x2+（2x）2=5x2 所以AE2=AF2+EF2，∠AFE是直角
三、【思想方法】本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 例1（噪音问题）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
解：（1）学校受到噪音影响．理由如下： 作AB⊥MN于B，如图， ∵PA=160m，∠QPN=30°， ∴AB=80，而80m＜100m， ∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响，
以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于B、C，如图，∵AH⊥BD，∴CB=BD，
在Rt△ABC中，AC=100m，AD=80m， CB=60m，∴CD=2BC=120m， ∵拖拉机的速度5m/s， ∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间=12=120÷5=24（秒），∴学校受影响的时间为24秒．
例2（用勾股定理求最短路径问题） 【例】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程cm ．
变式：
1、有一个长宽高分别为2cm，2cm，8cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点B处，则它爬行的最短路程为________cm.
2、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了____4_____步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 （二）方程的思想方法 如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交AD于点E,AD=8，AB=4，求△BDE的面积是多少？
解：因为折叠 ∴FD=DC,∠F=∠C=90° 又∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=DC,∠A=∠C=90° ∴AB=FD,∠A=∠F（等量代换） 又∵∠AEB=∠FED（对顶角相等） ∴△AEB≌△FED（AAS） ∴AE=ED（全等三角形对应边相等） 设AE=X,则BE=ED=8-X ∴在RT△ABE中,由勾股定理得：AB2+AE2=BE2 即：42+X2=（8-X）2 解得：X=3 ∴AE=3,ED=8-3=5 ∴S△BED=（ED×AB）÷2=（5×4）÷2=10
（三）分类讨论思想方法
例：若中，，高AD=12,则BC的长为（ C ）
A：14 B：4 C：14或4 D：以上都不对
变式：1、在Rt△ABC中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ C ）
A、5 B、 C、5或 D、5或
2、如果△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，那么△ABC一定是（ D ）
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
培优学力训练
【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( C )
A．13 B．26 C．47 D．94
【变式题组】
01．(安徽)如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.
02．(浙江省温州)在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝__4____.
03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是( A )
A． B． C． D．7
【例2】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点.
问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小.
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA＋PB＝A'B的值最小(不必证明).
模型应用：⑴如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P，则PB＋PE的最小值是__________；
如图2，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分
别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.
答案：
【变式题组】
1、（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为_____15_______.
2、(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.
培优升级检测
1、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E在斜边BC上且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到△AFB，连接EF，则下列结论:①△AED≌AEF；②△ABE≌△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2其中正确的是( B )
②④ B．①④ C．②③ D．①③
2、(北京竞赛)如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起、使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（ C ）cm2
A．105.6 B．110.4 C．115.2 D．124.8
3、(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ＝6，PR＝S，PS＝10，则△ABC的面积等于( B )
A． B． C． D．
4、(初二数学联赛)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝cm一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动5或10_秒时，PA与腰垂直.
5、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AB＝AD＝2，AC＝4，且BD:DC＝2:3则BC＝______.
6、（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为___15_________.
7、(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_____4_____.
8、如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5.求（1）求证：EF2＝BE2＋CF2 (2)求△DEF的面积 .
（1）证明：连接AD， ∵等腰直角三角形ABC，∴∠C=∠B=45°， ∵D为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B，∠ADC=90°， ∵DE⊥DF，∴∠EDF=90°， ∴∠ADF+∠FDC=90°，∠FDC+∠BDE=90°， ∴∠BDE=∠ADF， 在△BDE和△ADF中
∠B＝∠DAF
BD＝AD
∠BDE＝∠ADF
∴△BDE≌△ADF， ∴DE=DF，BE=AF， ∵∠EDF=∠ADC=90°， ∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°， ∴∠EDA=∠FDC， 在△ADE和△CDF中
∠EDA＝∠FDC
∠EAD＝∠C
DE＝DF
∴△ADE≌△CDF， ∴CF=AE， ∴EF=AE+AF=BE+CF， 即BE+CF=EF． （2）解：EF=BE+CF=169， ∴EF=13， 根据勾股定理DE=DF=
△DEF的面积是=DE×DF=××=
一、
点击一：勾股定理
勾股定理： ．
如图2，在Rt中,0,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,
则c2= , a2= , b2= ．
勾股数：＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、…
特殊勾股数：连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，10
勾股定理的逆定理： ．
点击二：学会用拼图法验证勾股定理
如，利用四个如图1所示的直角三角形，拼出如图2所示的三个图形并证明．
证明图2或 3．
点击三：在数轴上表示无理数
例在数轴上作出表示的点．
点击四：直角三角形边与面积的关系及应用
例 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．
点击五：勾股定理的应用
（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；
（3）用于推导线段平方关系的问题等．
二、【精典题型】
考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为6，8，则斜边长为__________，斜边的高为__________．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
3．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．则①AD的长_____；
②ΔABC的面积_________．
考点二、利用列方程求线段的长
如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有_________________.
2.若三角形的三边是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是_________________.
3、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？
4、如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且．你能说明∠AFE是直角吗？
三、【思想方法】本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 例1（噪音问题）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
例2（用勾股定理求最短路径问题） 【例】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程为 ．
变式：
1、有一个长宽高分别为2cm，2cm，8cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点B处，则它爬行的最短路程为________cm.
2、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 （二）方程的思想方法 如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交AD于点E,AD=8，AB=4，求△BDE的面积是多少？
（三）分类讨论思想方法
例：若中，，高AD=12,则BC的长为（ ）
A：14 B：4 C：14或4 D：以上都不对
变式：1、在Rt△ABC中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ）
A、5 B、 C、5或 D、5或
2、如果△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，那么△ABC一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
培优学力训练
【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
【变式题组】
01．(安徽)如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.
02．(浙江省温州)在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______.
03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是( )
A． B． C． D．7
【例2】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点.
问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小.
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA＋PB＝A'B的值最小(不必证明).
模型应用：⑴如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P，则PB＋PE的最小值是__________；
如图2，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分
别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.
【变式题组】
1、（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为____________.
2、(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.
培优升级检测
1、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E在斜边BC上且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到△AFB，连接EF，则下列结论:①△AED≌AEF；②△ABE≌△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2其中正确的是( )
②④ B．①④ C．②③ D．①③
2、(北京竞赛)如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起、使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（）cm2
A．105.6 B．110.4 C．115.2 D．124.8
3、(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ＝6，PR＝S，PS＝10，则△ABC的面积等于( )
A． B． C． D．
4、(初二数学联赛)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动____秒时，PA与腰垂直.
5、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AB＝AD＝2，AC＝4，且BD:DC＝2:3则BC＝______.
6、（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为____________.
7、(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.
8、如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5.求（1）求证：EF2＝BE2＋CF2
(2)求△DEF的面积 .
第三讲 勾股定理及其应用培优辅导答案
一、
点击一：勾股定理
勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 ．
如图2，在Rt中,0,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,
则c2=a2 +b2 , a2=c2 -b2 , b2= c2 -a2 ．
勾股数：＿3，4，5＿、5，12，13、7，24，25＿、9，40，41＿、＿11，60，61＿、8，15，17…
特殊勾股数：连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，10
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. ．
点击二：学会用拼图法验证勾股定理
如，利用四个如图1所示的直角三角形，拼出如图2所示的三个图形并证明．
证明图2或 3．
图2：大正方形的面积可表示为：
还可表示为：c2
所以 c2=a2 +b2
点击三：在数轴上表示无理数
例在数轴上作出表示的点．
点击四：直角三角形边与面积的关系及应用
例 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．
解：设直角三角形的两直角边分别为a和b，可得
所以这个三角形的面积为0.5.
点击五：勾股定理的应用
（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；
（3）用于推导线段平方关系的问题等．
二、【精典题型】
考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为6，8，则斜边长为_10___，斜边的高为__4.8__．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．
3．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．则①AD的长_____；②ΔABC的面积_________．
考点二、利用列方程求线段的长
如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．
解：作AB⊥l于B点，则AB=300米．连接AC
∵AB=300，AD=500，∴BD=400．
∵CD=CA
设CD=x，则AC=x，BC=400-x．
在Rt中∴3002+（400-x）2=x2． 解得 x=312.5． 即 商店C与车站D之间的距离CD=312.5米．
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有_（1）____（2）____（3）________.
2.若三角形的三边是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是__直角三角形_______________.
3、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？
解：∵AC=120×=12海里，BC=50×=5海里 ∵AC22+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形 ∵∠CBA=50° ∴∠CAB=40° ∴甲的航向为北偏东50°．
4、如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且．你能说明∠AFE是直角吗？
解：设四边形ABCD是正方形, CE=x, 则CF=DF=2x，BE=3x, AB=AD=4x. AE2=AB2+BE2=（4x）2+（3x）2=25x2 AF2=AD2+DF2=（4x）2+（2x）2=20x2 EF2=CE2+CF2=x2+（2x）2=5x2 所以AE2=AF2+EF2，∠AFE是直角
三、【思想方法】本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 例1（噪音问题）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
解：（1）学校受到噪音影响．理由如下： 作AB⊥MN于B，如图， ∵PA=160m，∠QPN=30°， ∴AB=80，而80m＜100m， ∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响，
以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于B、C，如图，∵AH⊥BD，∴CB=BD，
在Rt△ABC中，AC=100m，AD=80m， CB=60m，∴CD=2BC=120m， ∵拖拉机的速度5m/s， ∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间=12=120÷5=24（秒），∴学校受影响的时间为24秒．
例2（用勾股定理求最短路径问题） 【例】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程cm ．
变式：
1、有一个长宽高分别为2cm，2cm，8cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点B处，则它爬行的最短路程为________cm.
2、如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了____4_____步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 （二）方程的思想方法 如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处,BF交AD于点E,AD=8，AB=4，求△BDE的面积是多少？
解：因为折叠 ∴FD=DC,∠F=∠C=90° 又∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=DC,∠A=∠C=90° ∴AB=FD,∠A=∠F（等量代换） 又∵∠AEB=∠FED（对顶角相等） ∴△AEB≌△FED（AAS） ∴AE=ED（全等三角形对应边相等） 设AE=X,则BE=ED=8-X ∴在RT△ABE中,由勾股定理得：AB2+AE2=BE2 即：42+X2=（8-X）2 解得：X=3 ∴AE=3,ED=8-3=5 ∴S△BED=（ED×AB）÷2=（5×4）÷2=10
（三）分类讨论思想方法
例：若中，，高AD=12,则BC的长为（ C ）
A：14 B：4 C：14或4 D：以上都不对
变式：1、在Rt△ABC中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ C ）
A、5 B、 C、5或 D、5或
2、如果△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，那么△ABC一定是（ D ）
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
培优学力训练
【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( C )
A．13 B．26 C．47 D．94
【变式题组】
01．(安徽)如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.
02．(浙江省温州)在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝__4____.
03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是( A )
A． B． C． D．7
【例2】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点.
问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小.
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA＋PB＝A'B的值最小(不必证明).
模型应用：⑴如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P，则PB＋PE的最小值是__________；
如图2，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分
别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.
答案：
【变式题组】
1、（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为_____15_______.
2、(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.
培优升级检测
1、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E在斜边BC上且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到△AFB，连接EF，则下列结论:①△AED≌AEF；②△ABE≌△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2其中正确的是( B )
②④ B．①④ C．②③ D．①③
2、(北京竞赛)如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起、使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（ C ）cm2
A．105.6 B．110.4 C．115.2 D．124.8
3、(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ＝6，PR＝S，PS＝10，则△ABC的面积等于( B )
A． B． C． D．
4、(初二数学联赛)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝cm一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动5或10_秒时，PA与腰垂直.
5、如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AB＝AD＝2，AC＝4，且BD:DC＝2:3则BC＝______.
6、（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为___15_________.
7、(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_____4_____.
8、如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5.求（1）求证：EF2＝BE2＋CF2 (2)求△DEF的面积 .
（1）证明：连接AD， ∵等腰直角三角形ABC，∴∠C=∠B=45°， ∵D为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B，∠ADC=90°， ∵DE⊥DF，∴∠EDF=90°， ∴∠ADF+∠FDC=90°，∠FDC+∠BDE=90°， ∴∠BDE=∠ADF， 在△BDE和△ADF中
∠B＝∠DAF
BD＝AD
∠BDE＝∠ADF
∴△BDE≌△ADF， ∴DE=DF，BE=AF， ∵∠EDF=∠ADC=90°， ∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°， ∴∠EDA=∠FDC， 在△ADE和△CDF中
∠EDA＝∠FDC
∠EAD＝∠C
DE＝DF
∴△ADE≌△CDF， ∴CF=AE， ∴EF=AE+AF=BE+CF， 即BE+CF=EF． （2）解：EF=BE+CF=169， ∴EF=13， 根据勾股定理DE=DF=
△DEF的面积是=DE×DF=××=