第一章 三角形的证明复习学案（含答案）

第一章　三角形的证明
　　1.等腰三角形的性质与判定的应用
(1)应用等腰三角形的性质证明线段或角相等
【例1】如图，∠ABC=90°①，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE②.点F是AE的中点③，FD与AB相交于点M.
(1)求证：∠FMC=∠FCM.
(2)AD与MC垂直吗④?并说明理由⑤.
【信息解读·破译解题秘钥】
信息①直译为：△ABC是直角三角形，进而得到∠DCF与∠MAC互余；
信息②翻译为：△ADE是等腰直角三角形；
信息③直译为：AF=EF；
破译：整合条件②③，得到DF⊥AE，DF=AF=EF.
破译：整合条件①②③，得到∠AMF与∠MAC互余，结合①可得∠DCF=∠AMF，根据“AAS”定理判定△DFC≌△AFM，进而得到∠FMC=∠FCM.
信息④翻译为：猜想结论“AD⊥MC”.
信息⑤翻译为：根据已知条件，构建图形：延长AD交MC于点G，进而推理说明“AD⊥MC”.
破译：整合条件①②③④，得到∠FDE=∠FMC=45°，进而得到DE∥CM，说明AG⊥MC，即AD⊥MC.
【标准解答】(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF.
又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF.
又∵∠DFC=∠AFM=90°，∴△DFC≌△AFM(AAS).∴CF=MF.
∴∠FMC=∠FCM.
(2)AD⊥MC.
理由如下：如图，延长AD交MC于点G.
由(1)知∠MFC=90°，FD=FE，FM=FC.
∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM.∴∠AGC=∠ADE=90°，∴AG⊥MC，即AD⊥MC.
(2)判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们经常首先考虑等腰三角形的定义，其次考虑等腰三角形的判定定理.
【例2】已知：如图，在△ABC中，点D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC.
【标准解答】∵AD平分∠EDC，
∴∠ADE=∠ADC，∵DE=DC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠C=∠E，
∵∠E=∠B.∴∠C=∠B，∴AB=AC.
(3)等边三角形的性质与判定
等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具备“三线合一”的性质外，还能提供更多的边、角关系，特别是60°的角.
【例3】如图，点E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点①，且BE=AF②，CE，BF交于点P.
(1)求证：CE=BF.
(2)求∠BPC的度数.
条件①翻译为：AB=BC③=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°④；
条件②直译为：BE=AF⑤，
破译：整合条件①④，得到∠FAB=∠EBC⑥，
破译：整合条件②③⑥，应用“SAS”定理，判定△BCE≌△ABF⑦.
信息⑦翻译为：CE=BF，∠PCB=∠ABF⑧；
破译：读图、析图得，∠PBC+∠ABF=60°⑨，
∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°⑩，
破译：整合信息⑧⑨得∠PCB+∠PBC=∠ABF+∠PBC=60，
破译：整合信息⑩?得到：
∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)
=180°-60°=120°.
【标准解答】(1)∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
在△BCE与△ABF中，
∴△BCE≌△ABF(SAS)，∴CE=BF.
(2)由(1)知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°.
1.在等边△ABC中，点D是AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转
60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则下列结论错误的是(　　)
A.AE∥BC
B.∠ADE=∠BDC
C.△BDE是等边三角形
D.△ADE的周长是9
2.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，点M是BC的中点，点D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE，求证：MD=ME.
　　2.分类讨论思想在等腰三角形中的应用
等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在求解有关等腰三角形的问题时经常要注意分类讨论.
(1)已知等腰三角形的一角求另两角：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.
【例1】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数为(　　)
A.55°，55°　　　　　　　 B.70°，40°
C.55°，55°或70°，40° D.以上都不对
【标准解答】选C.70°角可能是顶角，也可能是底角.当70°角是底角时，则顶角的度数为180°-70°×2=40°；
当70°角是顶角时，则底角的度数为(180°-70°)÷2=55°.所以这个等腰三角形的另外两个内角的度数为55°，55°或70°，40°.
(2)已知等腰三角形的两边求周长：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
【例2】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是(　　)
A.9 cm B.12 cm
C.15 cm或12 cm D.15 cm
【标准解答】选D.当6为腰，3为底时，6-3<6<6+3，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形.
(3)已知等腰三角形的中线分周长成两部分，求一边长
【例3】在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为(　　)
A.7 B.11
C.7或11 D.7或10
【标准解答】选C.已知条件并没有指明哪一部分是15，哪一部分是12，因此，应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是x，底边长为y，可得或解得或∴底边长为7或11.
(4)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角，求顶角.
【例4】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°，求这个等腰三角形的顶角的度数.
【标准解答】依题意可画出图1和图2两种情形.图1中顶角为50°，图2中顶角为130°.
(5)已知等腰三角形腰的中垂线与另一腰所在直线所成的夹角，求底角.
【例5】在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为
50°，则底角∠B=________.
【标准解答】按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图.
如图1，当交点在腰AC上时，△ABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以
∠B=∠C=(180°-40°)=70°.
如图2，当交点在腰CA的延长线上时，△ABC为钝角三角形，此时可求得
∠BAC=140°，所以∠B=∠C=(180°-140°)=20°.
故这个等腰三角形的底角为70°或20°.
答案：70°或20°
1.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为________.
2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为________.
3.如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α=________.
3.直角三角形
　　(1)运用数学思想处理问题
①分类讨论思想：在一些求值计算中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况进行讨论，避免漏解.
【例1】已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm.第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为________cm2.
【标准解答】设AB=20cm，AC=30cm，AD=10cm.有两种情况：
一种：在直角三角形ABD中利用勾股定理BD===10cm，同理得CD=20cm，
则该三角形面积=×BC×AD
=×(10+20)×10
=(100+50)cm2，
二种：在直角三角形ABD中，BD===10cm，
在直角三角形ACD中，CD===20cm，
则BC=(20-10)cm，
所以三角形面积为(100-50)cm2.
答案：(100+50)或(100-50)
②方程思想：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时可由此列出方程，运用方程思想分析问题、解决问题，以便简化求解.
【例2】如图，长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为________.
【标准解答】∵∠CBD=∠DBE，∠CBD=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DE=BE.设DE的长为x，则AE=8-x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即：42+(8-x)2=x2，解得：x=5.
答案：5
1.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为________.
2.在长方形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，点E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为________.
3.如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF，如图2，展开再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为M，EM交AB于N，则tan∠ANE=________.
　　(2)折叠问题及最短路径问题
　　几何图形的折叠问题及最短路径问题是当前中考的热点，这两类问题都需要构造直角三角形，借助勾股定理解决.
　　①利用勾股定理解决图形折叠问题
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________.
【标准解答】∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10cm，∵将△BCD沿BD折叠，
使点C落在AB边的C′点，
∴DC=DC′，BC=BC′=6cm，
∴AC′=4cm，设DC=xcm，
则AD=(8-x)cm，
在Rt△ADC′中，AD2=AC′2+C′D2，
即(8-x)2=42+x2，解得x=3，
∴△ADC′的面积=×4×3=6(cm2).
答案：6cm2
【例2】如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【标准解答】选D.∵四边形ABCD是长方形，AD=8，
∴BC=8，∵△AEF由△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，
CF===4，
设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(x+4)2=x2+82，解得x=6.
②最短距离问题
求立体图形表面上两点之间最短距离问题，关键是把立体图形的侧面展开成平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用平面上“两点之间线段最短”的公理解题.把空间图形转化为平面图形是解数学题中的重要转化思想之一.
【例3】如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为(　　)
A.4dm B.2dm
C.2dm D.4dm
【标准解答】选A.如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.
∵圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，∴AB=2 dm，BC=BC′=2dm，
∴AC2=22+22=4+4=8，∴AC=2，∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4dm.
【例4】图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为________cm.
【标准解答】如图所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，
CD==6cm，
∴BE=CD=3cm，在Rt△ACE中，AE==3cm，∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(3+3)cm.
答案：(3+3)
1.如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(　　)
A. B. C.4 D.5
2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是(　　)
A.30° B.40° C.50° D.60°
　　4.线段的垂直平分线和角平分线的应用
(1)应用线段的垂直平分线和角平分线的性质证明线段相等或探究线段的大小关系.
(2)应用角平分线的性质证明角相等.
(3)应用线段的垂直平分线的性质求角的度数.
(4)应用线段的垂直平分线的性质求线段的长度或周长问题.
(5)利用角平分线的性质解决与三角形有关的面积计算问题.
【例1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和
△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为(　　)
A.11　　B.5.5　　C.7　　D.3.5
【标准解答】选B.
作DM=DE交AC于点M，作DN⊥AC交AC于点N，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，∴△DEF≌△DMN，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=50-39=11，
S△DNM=S△DEF=S△MDG=×11=5.5.
【例2】如图所示，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，BD=CD，连接AD并延长.
求证：AD平分∠BAC.
【标准解答】∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠BFD=∠CED=90°，
在△BFD与△CED中，
∴△BFD≌△CED(AAS)，∴DF=DE.
又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC.
【例3】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为(　　)
A.48° B.36° C.30° D.24°
【标准解答】选A.∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵EF是BC的垂直平分线，∴FB=FC，
∴∠FCB=∠DBC，∵∠ABD=24°，
∴∠FCB=∠DBC=∠ABD=24°，
又∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，即∠ABD+∠DBC+∠ACF+∠FCB=120°，
∴∠ACF=120°-24°-24°-24°=48°.
【例4】如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则△BDC的周长是(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
【标准解答】选C.∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD，
∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.
1.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是
(　　)
A.∠BAC=70°　　　 B.∠DOC=90°
C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3，则△ABD的面积为________.
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=________cm.
4.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE，CD，点F为BE的中点，连接AF.
(1)如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF.
(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立?请结合图②说明理由.
跟踪训练答案解析
　　1.等腰三角形的性质与判定的应用
【跟踪训练】
1.【解析】选B.由旋转易知△DBC≌△EBA，∠DBE=60°，∴∠BAE=∠C=∠ABC=
60°，∴AE∥BC；△DBE是等边三角形；△ADE的周长=AE+AD+DE=CD+AD+BD=AC+BD =5+4=9.故A，C，D都正确.
2.【证明】∵AB=AC，∴∠B=∠C.
∵M是BC的中点，∴BM=CM.
在△BDM和△CEM中，
∴△BDM≌△CEM(SAS).∴MD=ME.
　　2.分类讨论思想在等腰三角形中的应用
【跟踪训练】
1.【解析】当腰是4时，则另两边是4，6，且4+4>6，满足三边关系定理，
当底边是4时，另两边长是5，5，5+4>5，5-4<5，满足三边关系定理，∴该等腰三角形的底边为4或6.
答案：4或6
2.【解析】首先准确画图，
如左图，当∠ABD=36°时，易得∠A=54°，从而运用等腰三角形的性质可以求得∠C=63°；如右图，当∠ABD=36°时，∠DAB=54°，从而可以求得∠C=27°.
答案：63°或27°
3.【解析】△ABC是等腰三角形，当AB=AC，则∠ACB=50°，其邻补角为130°，则∠α=130°；当CB=AC，则∠ACB=80°，其邻补角为100°，则∠α=100°；当AB=BC，则∠ACB=65°，其邻补角为115°，则∠α=115°，因此三种情况三个结果：100°或115°或130°.
答案：100°或115°或130°
3.直角三角形
(1)运用数学思想处理问题
【跟踪训练】
1.【解析】当3，4为直角边时，则第三边是斜边，其长为5；当长为4的边是斜边时，第三边是直角边，其长是.故第三边长为5或.
答案：5或
2.【解析】①∠EFC=90°时，如图1，
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点A，F，C共线，
∵长方形ABCD的边AD=8，∴BC=AD=8，
在Rt△ABC中，
AC===10，
设BE=x，则CE=BC-BE=8-x，
由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x，
∴CF=AC-AF=10-6=4，
在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，
即x2+42=(8-x)2，解得x=3，即BE=3；
②∠CEF=90°时，如图2，
由翻折的性质得，
∠AEB=∠AEF=×90°=45°，
∴四边形ABEF是正方形，∴BE=AB=6，
综上所述，BE的长为3或6.
答案：3或6
3.【解析】由题意得∠NEH=90°，所以∠DEH+∠AEN=90°，又因为∠A=90°，所以∠ANE+∠AEN=90°，所以∠ANE=∠DEH，在Rt△EDH中，设正方形边长为2a，则DE=a，设DH=x，则EH=HC=2a-x，所以由勾股定理得a2+x2=(2a-x)2，解得x=a，所以tan∠ANE=.
答案：
(2)折叠问题及最短路径问题
【跟踪训练】
1.【解析】选C.设BN=x，则依据折叠原理可得DN=AN=9-x，
又D为BC的中点，所以BD=3，
在Rt△BDN中，利用勾股定理，
可得BN2+BD2=DN2，
则有32+x2=(9-x)2，解得x=4，即BN=4.
2.【解析】选A.∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，∴AM=MC=BM，∴∠A=∠MCA，
∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，
∴CM平分∠ACD，∠A=∠D，∴∠ACM=∠MCD，
∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，
∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°，∴∠A=30°.
　　4.线段的垂直平分线和角平分线的应用
【跟踪训练】
1.【解析】选B.∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°，∴A正确；
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=25°，
∴∠BOC=180°-∠DBC-∠ACB=95°，∴∠DOC=180°-∠BOC=85°，故B错误；
∵∠ACE=180°-∠ACB=120°，CD平分∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE=60°，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=35°，C正确；
∵点D在∠ABC和∠ACE的角平分线上，∴点D到AB，BC，AC的距离相等，
∴点D在∠BAC外角的平分线上，∴∠DAC=55°，D正确.
2.【解析】过点D作DE⊥AB，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=3，∵AB=10，
∴△ABD的面积为×AB×DE=×10×3=15.
答案：15
3.【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周长-△EBC的周长=AB，
∴AB=40-24=16(cm).
答案：16
4.【解析】(1)如图①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，
在△ABE与△ACD中
∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴CD=BE，
∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，
∴BE=2AF，∴CD=2AF.
(2)成立.
如图②，延长EA交BC于点G，在AG上截取AH=AD，连接BH.
∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，
∵∠EAB+∠BAH=180°，∴∠BAH=∠DAC，
在△ABH与△ACD中
∴△ABH≌△ACD(SAS).∴BH=DC，
∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，
∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF.