【华师大版八年级下册进阶培优训练】第四讲 平面直角坐标系、变量与函数培优辅导（含答案）

第四讲 平面直角坐标系、变量与函数培优辅导
知识点一：
一、平面直角坐标系
在平面内画两条_ 的数轴，组成平面直角坐标系,水平的轴叫 ，竖直的轴叫 ， 是原点，通常规定向 或向 的方向为正方向.
1. 坐标平面上的点与 构成一一对应；
2. 各象限点的坐标的符号：1）已知点A(x,y).1)若xy=0，则点A在 ；
2)若xy>0，则点A在___________；3)若xy<0，则点A在_
3. 坐标轴上的点的坐标特征：x轴上的点 为0，y轴上的点 为0
4. 对称的点的特征：点P（a，b）关于 对称点的坐标
例：若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则的值分别是____
5、象限角平分线上的点的特征：一三象限角平分线上的点_________ ________；
二四象限角平分线上的点______________ ______。
6、 平行于坐标轴的点的特征：平行于轴的直线上的所有点的______坐标相同，平行于y轴的直线上的所有点的______坐标相同。
例：已知点，点，且直线轴，则的值为多少？
7、 点到坐标轴的距离：
点P到x轴的距离为_______，到y轴的距离为______，到原点的距离为___________；
8、两点之间的距离：
【思想方法】 数形结合
【典型例题】 例1已知：点P（2m+4，m-1）．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P在x轴上；
（3）点P的纵坐标比横坐标大3；
（4）点P在过A（2，-3）点，且与x轴平行的直线上．
【练一练】：
1、点在第二象限内，到轴的距离是4，到轴的距离是3，那么点的坐标为（　 　）
A．(-4,3) B．(-3,-4) C．(-3,4) D．(3,-4)
2、点P(2m-1,3)在第二象限，则的取值范围是（ ）
A．m>0.5 B．m≥0.5 C．m<0.5 D．m≤0.5
3、若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )
A．第一象限　　　　　B．第二象限　　　　　　
C．第三象限　　　 D．第四象限
4、若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )
A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)
5、如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( )
A．第一象限　　　　B．第二象限　　　　　　C．第三象限　　　 D．第四象限
6、已知点P（x, ），则点P一定 （ ）
A．在第一象限 B．在第一或第四象限 C．在x轴上方 D．不在x轴下方
7、在平面直角坐标系上点A（n,1-n）一定不在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8、在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是( )
A．原点 B．x轴上 C．y轴上 D．坐标轴上
9、已知点与点关于轴对称，则 ．
10、如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第 象限，
点Q（x-1，1-y）在第 象限。
11、如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2018次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2018的位置，则P2010的横坐标x2018＝___________?
12. 解答下列各题
（1）已知点P（a-1，3a+6）在y轴上，求点P的坐标；
（2）P（a-1，3a+6）在第二、四象限的角平分线上，求点P的坐标
（3）已知两点A（-3，m），B（n，4），若AB∥x轴，求m的值，并确定n的范围．
二、函数的概念
1.概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有 与它对应，那么就说 是自变量，y是x 的函数.
2.自变量的取值范围：要求（1） （2） ；
1)实际问题中的自变量取值范围 :按照实际问题是否有意义的要求来求。
2)用数学式子表示的函数的自变量取值范围
(1)解析式为整式的，x取全体实数；(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。
3.函数的三种表示方法：（1） （2） （3） ；
例1：①；②；③；④，具有函数关系（自变量为）的是 ．
【练一练】1、下列曲线中，表示y不是x的函数的是（ ）
2、下列函数中，与y＝x表示同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
例2.求下列函数中自变量x的取值范围：
⑴； ⑵； ⑶；
⑷； ⑸； ⑹；
⑺； ⑻.
【练一练】函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥－2 B． x＞－2且x≠2 C．x≥0且x≠2 D．x≥－2且x≠2
例3、如图，反映的过程是小涛从家出发，去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小涛离家的距离．
（1）菜地离小涛家的距离是________km，小涛走到菜地用了_______min，小涛给菜地浇水用了_______min；
（2）菜地离玉米地的距离是________km，小涛给玉米地锄草用了________ min；
（3）玉米地离小涛家的距离是________km，小涛从玉米地走回家的平均速度是_____________．
．
【练一练】1、如右图，圆柱形开口杯的底部固定在长方体池底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中水面高度是h ，注水时间是t,则h与t之间的关系大致为下面图中的（ ）
2、（益阳）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，图中描述了他上学的情景，下列说法正确的是（ ）
A．修车时间为15分钟 B．学校离家的距离为2000米
C．到达学校时共用时间20分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米
3、（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降，若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．干旱开始时，蓄水量每天减少20万米3
B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3
C．干旱开始时，蓄水量为200万米3
D．干旱第50天时，蓄水量为1200万米3
例4、若等腰三角形的周长为20cm，求底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量的取值范围．
【练一练】、我市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费10元，超过的部分按每千米1．5元收费．已知某人乘坐出租车行驶了x千米，付车费y元，请写出所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的函数关系式．
【当堂检测】
1、若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2
3、如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．
4、若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第__________象限．
5、已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．
6、已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，则点A关于y轴对称的点的坐标为_____．
7、点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是__________．
8、函数中自变量x的取值范围是_________．
9、若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．
10、图中分给给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数是（ ）
11、
11、甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系式如图所示，那么你可知道：
⑴这是一次_________米的赛跑；
⑵甲、乙两人中先跑到终点的是_______
(3) 乙在这次赛跑中的速度为______米/秒
12、已知平面直角坐标系中有一点P（2m＋1，m－3）．
（1）若点P在第四象限，求m的取值范围；
（2）若点P在y轴上，求m的值；
（3）若点P到y轴的距离为3，求点P的坐标．
用40m长的绳子围成矩形ABCD，设AB＝xm，
矩形ABCD的面积为Sm2，
（1）求S与x的函数解析式及x的取值范围；
（2）写出下面表中与x相对应的S的值：
x
…
8
9
9.5
10
10.5
11
12
…
S
…
（3）猜一猜，当x为何值时，S的值最大？
（4）想一想，如果打算用这根绳子围成的面积比（3）中的还大，应围成么样的图形？并算出相应的面积．



第四讲 平面直角坐标系、变量与函数培优辅导答案
知识点一：
一、平面直角坐标系
在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系,水平的轴叫x轴或横轴，，竖直的轴叫 y轴或纵轴 ， 两条数轴的交点 是原点，通常规定向右 或向 上 的方向为正方向.
1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；
2. 各象限点的坐标的符号：1）已知点A(x,y).1)若xy=0，则点A在 坐标轴上 ；
2)若xy>0，则点A在_第一或三象限__________；3)若xy<0，则点A在_ 第二或四象限_
3. 坐标轴上的点的坐标特征：x轴上的点 横坐标 为0，y轴上的点 纵坐标 为0
4. 对称的点的特征：点P（a，b）关于 对称点的坐标
例：若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则的值分别是_-3，-2___
5、象限角平分线上的点的特征：一三象限角平分线上的点__横纵坐标相等_____；
二四象限角平分线上的点___横纵坐标互为相反数___。
6、 平行于坐标轴的点的特征：平行于轴的直线上的所有点的__纵____坐标相同，平行于y轴的直线上的所有点的_横坐标相同。
例：已知点，点，且直线轴，则的值为多少？（m-5=4，解之m=9）
7、 点到坐标轴的距离：
点P到x轴的距离为_______，到y轴的距离为______，到原点的距离为___________；
8、两点之间的距离：
【思想方法】 数形结合
【典型例题】 例1已知：点P（2m+4，m-1）．试分别根据下列条件，求出P点的坐标．
（1）点P在y轴上；
（2）点P在x轴上；
（3）点P的纵坐标比横坐标大3；
（4）点P在过A（2，-3）点，且与x轴平行的直线上．
解：（1）点P在y轴上，则2m-1=0解之m=0.5
（2）点P在x轴上，则m-1=0解之m=1
（3）点P的纵坐标比横坐标大3则m-1-（2m+4）=3解之m=-8
（4）m-1=-3解之m=-2
【练一练】：
1、点在第二象限内，到轴的距离是4，到轴的距离是3，那么点的坐标为（　C 　）
A．(-4,3) B．(-3,-4) C．(-3,4) D．(3,-4)
2、点P(2m-1,3)在第二象限，则的取值范围是（ C ）
A．m>0.5 B．m≥0.5 C．m<0.5 D．m≤0.5
3、若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( B )
A．第一象限　　　　　B．第二象限　　　　　　
C．第三象限　　　 D．第四象限
4、若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( C )
A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)
5、如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( B )
A．第一象限　　　　B．第二象限　　　　　　C．第三象限　　　 D．第四象限
6、已知点P（x, ），则点P一定 （ D ）
A．在第一象限 B．在第一或第四象限 C．在x轴上方 D．不在x轴下方
7、在平面直角坐标系上点A（n,1-n）一定不在 （ C ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8、在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是( D )
A．原点 B．x轴上 C．y轴上 D．坐标轴上
9、已知点与点关于轴对称，则 3 -4 ．
10、如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第 四 象限，
点Q（x-1，1-y）在第 一 象限。
11、如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2018次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2018的位置，则P2010的横坐标x2018＝____2018_______
12. 解答下列各题
（1）已知点P（a-1，3a+6）在y轴上，求点P的坐标；
（2）P（a-1，3a+6）在第二、四象限的角平分线上，求点P的坐标
（3）已知两点A（-3，m），B（n，4），若AB∥x轴，求m的值，并确定n的范围．
解：（1）点P的坐标（0，9）
（2）点P的坐标（
（3）m=4，n-3
二、函数的概念
1.概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值 与它对应，那么就说 x 是自变量，y是x 的函数.
2.自变量的取值范围：
要求（1） 使 实际问题有意义 （2） 使 解析式有意义
1)实际问题中的自变量取值范围 :按照实际问题是否有意义的要求来求。
2)用数学式子表示的函数的自变量取值范围
(1)解析式为整式的，x取全体实数；(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。
3.函数的三种表示方法：（1） 图像法 （2） 列表法 （3） 解析法
例1：①；②；③；④，具有函数关系（自变量为）的是 ① ② ．
【练一练】1、下列曲线中，表示y不是x的函数的是（B ）
2、下列函数中，与y＝x表示同一个函数的是（ D ）
A． B． C． D．
例2.求下列函数中自变量x的取值范围：
⑴； ⑵；⑶； ⑷；
⑸； ⑹；⑺； ⑻.
解：（1）x为全体实数
（2）x为全体实数
（3）x为1的全体实数
（4）
（5）x>-3
（6）
（7）x0且x5
（8）
【练一练】函数的自变量x的取值范围是（ D ）
A．x≥－2 B． x＞－2且x≠2 C．x≥0且x≠2 D．x≥－2且x≠2
例3、如图，反映的过程是小涛从家出发，去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小涛离家的距离．
（1）菜地离小涛家的距离是________km，小涛走到菜地用了_______min，小涛给菜地浇水用了_______min；
（2）菜地离玉米地的距离是________km，小涛给玉米地锄草用了________ min；
（3）玉米地离小涛家的距离是________km，小涛从玉米地走回家的平均速度是_____________．
答案：（1）1.1，15，10；（2）0.9，18；（3）2，0.08 km/ min．
【练一练】1、如右图，圆柱形开口杯的底部固定在长方体池底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中水面高度是h ，注水时间是t,则h与t之间的关系大致为下面图中的（B ）
2、（益阳）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，图中描述了他上学的情景，下列说法正确的是（ C ）
A．修车时间为15分钟 B．学校离家的距离为2000米
C．到达学校时共用时间20分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米
3、（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降，若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ A ）
A．干旱开始时，蓄水量每天减少20万米3
B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3
C．干旱开始时，蓄水量为200万米3
D．干旱第50天时，蓄水量为1200万米3
例4、若等腰三角形的周长为20cm，求底边长y与腰长x的函数关系式，并求自变量的取值范围．
解：底边长y与腰长x的函数关系式为：y=20-2x
但①x表示等腰三角形腰长：x≥0
②三角形中“两边之和大于第三边”：2x＞y， 即2x＞20-2x? ∴x＞5
③等腰三角形底边长y＞0，20-2x＞0，∴x＜10
∴自变量x的取值范围是：5＜x＜10
底边长y与腰长x的函数关系式y=20-2x（5＜x＜10）
【练一练】、我市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费10元，超过的部分按每千米1．5元收费．已知某人乘坐出租车行驶了x千米，付车费y元，请写出所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的函数关系式．
解：当x3时，y=10
当x＞3时，y=10+1.5（x-3）即y=1.5x+5.5
【当堂检测】
1、若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（ C ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（ B ）
A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2
3、如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是__x_＞___．
4、若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第_一或三_象限．
5、已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为__（-2，-1）_______．
6、已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，则点A关于y轴对称的点的坐标为(3，-4)_．
7、点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是__m_＞0.5_．
8、函数中自变量x的取值范围是_＜2________．
9、若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．
10、图中分给给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数是（ A ）
11、
11、甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系式如图所示，那么你可知道：
⑴这是一次____100_____米的赛跑；
⑵甲、乙两人中先跑到终点的是 甲______
(3) 乙在这次赛跑中的速度为___8___米/秒
12、 已知平面直角坐标系中有一点P（2m＋1，m－3）．
（1）若点P在第四象限，求m的取值范围；
（2）若点P在y轴上，求m的值；
（3）若点P到y轴的距离为3，求点P的坐标．
答案：（1）；（2）；（3）（3，－2）或（－3，－5）．
解：（1）由题意可得，解得：；
（2）∵点P在y轴上，∴2m＋1＝0，解得；
（3）由题意可知|2m＋1|＝3，解得m＝1或m＝－2．当m＝1时，得P（3，－2）；当m＝－2时，得P（－3，－5）．综上所述，点P的坐标为（3，－2）或（－3，－5）．
12、用40m长的绳子围成矩形ABCD，设AB＝xm，矩形ABCD的面积为Sm2，
（1）求S与x的函数解析式及x的取值范围；
（2）写出下面表中与x相对应的S的值：
x
…
8
9
9.5
10
10.5
11
12
…
S
96
99
99.75
100
99.75
99
96
…
（3）猜一猜，当x为何值时，S的值最大？
（4）想一想，如果打算用这根绳子围成的面积比（3）中的还大，应围成么样的图形？并算出相应的面积．
解：（1）(0当x=10时，s最大，最大为100.
围成圆时面积最大，最大为π=127.39m2.