2018~2019学年度天长市炳辉中学第二学期高一第一次月考
数学参考答案
1~5:ACABA 6~10:CDBCB 11~12:AB
13.3
14.
15.7
16.6
17．(1) ? 噸 ? ；(2)噸噸 ?
（1）∵C＝60°，可得：sinC?
，由 c? b，可得：
?
，
又∵由正弦定理
? 團?
團?噸
，可得：
團?噸
?
，解得：sinB?
，
∵由已知可得 b＜c，可得 B 为锐角，
∴可得：B＝45°，A＝180°﹣B﹣C＝75°．
（2）∵△BCD 的面积为 ，即：
a?CD?sinC?
噸
? ，解得：CD＝1，
∴由余弦定理可得：BD? 噸 噸 噸 噸 團 ?
? ．
18.（1）
；（2）
.
（1）因为 sin
是 cos噸与 cos 的等差中项.
所以 cos ? cos噸 cos .
由正弦定理得
sin cos ? sin cos噸 sin噸cos ，
从而可得 sin cos ? sin ，
又 为三角形的内角，所以 sin ，于是 cos ?
，
又 为三角形内角，因此 ?
.
（2）设 噸 的外接圆半径为 ，则 ? ，
? sin ? ，
由余弦定理得 ? cos
? ，
即 ? ，所以 ? .
所以 噸 的面积为 ?
sin ?
.
19.（1）
（2） max ?
（1）根据题意：当 是扇形弧上的四等分点（靠近 ）时，所以 垸 ?
，
的纵坐标为 ? sin
?
；
（2）设 垸 ? ，矩形的面积设为 ，
则 ? 噸 噸 ? 垸噸 垸 噸 ? cos
sin sin .
? cos
sin sin ? sin cos
sin
?
sin
cos
，
?
sin
.
max ?
，当且仅当 ?
取得最大值.
20.(1) ? ? ? ? ? ? (2) ? ? ?
?
（1）设等比数列 ? 的公比为
， ， 成等差数列 ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
（2） ? ?
?
log ? ?
?
log ? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
21.(1) ? ?
? ?
? ? ， ? ? ?
? (2)见证明
（1）根据观察可归纳得： ? ?
? ?
? ? ，
进一步： ? ? ? ? ；
（2）易知 ? ?
? ?
，
? ?
? ?
? ?
?
?
?
，
则 ?
?
?
?
?
.
22．(1) ? ? ? , ? ? n (2) ? ? ? ?
?
(1)设数列 ? 公比为 q,由已知 q ,由题意得：
?
?
得 ? ，又 q ，解得 q ? ， ? ，则 ? ? ?
设数列 ? 的公差为 d，由题意得：
?
?
解得 ? ，d ? ，则 ? ? n
(2)由(1)有 ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? n ，
故 ? ? ? ? ? ?
? （ n ）
? ? + ?
?
n ? ①
? ? n ? ②
①-②得- ? ?
? n ?
=
?
n ? ? ? ?
故 ? ? ? ?
?
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2018~2019学年度天长市炳辉中学第二学期高一第一次月考
数 学 试 卷
（试题卷）
一、选择题（每题 5分，共 60分）
1. 设△ABC内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c若∠A=
3
π
，a= 3，b=1，则 B=
A.30° B.45° C.60° D.150°
2. 如图,Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,AC=2 3，则 AB长为
A.4 B.2 C.4或 2 D.2 3
3.已知 ，则 的面积为
A. B. C. D.
4.2002年北京国际数学家大会会标，是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的，
弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，若大、小正方形的面积分
别为 25和 1，直角三角形中较大锐角为θ,则 cosθ等于
5. 两灯塔A. B与海洋观察站 C的距离都等于 2km,灯塔 A在 C北偏东 45? 处,灯塔 B在 C南偏东 15?
处，则 A. B之间的距离为
A.2 3 B.3 3 C.4 3 D.5 3
6. 已知θ为三角形△ABC内角，且 sinθ+cosθ=m，若 m∈(0,1)，则关于△ABC的形状的判断，正确的
是（?）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 三种形状都有可能
7.已知在等比数列 中， ??
??? ? ? ，则 ? ?的个位数字是（ ）
A． B．7 C．8 D．9
8.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识
起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九
儿问甲歌”就是其中一首: -一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，
借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第 n个儿子的年龄为 a,，则 q=( )
A.23 B.35 C.32 D. 38
9.在等差数列 中， ， ? ? ? ， 是数列 的前 项和， 则 ? ?
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A．4036 B．4038 C．2019 D．2009
10.将给定的 9个数排成如图所示的数表，若每行 3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的 3
个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数 a22=2，则表中所有数之和为（?）
A. 2 B. 18 C. 20 D. 512
11.已知数列 是 1为首项，2为公差的等差数列， 是 1为首项，2为公比的等比数列.设 ，
， ，则当 时， 的最大值是
A.9 B.10 C.11 D.12
12.函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< )的图象向左平移 个单位后为偶函数,设数列{an}的通项公式为
,则数列{an}的前 2019项之和为
A.0 B.1 C.
2
3 D.2
二、填空题（每题 5分，共 20分）
13.在△ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a，b，c， 3
c
b
b
c
bc
a 2
??? ，△ABC外接圆的半径为 3，则
a=
14.如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ，现测得
， ， ? 米，并在点 测得塔顶 的仰角为 ? ，则塔高 ______
米
15.已知等差数列 中，a1=13，S3=S11,当 n= 时，Sn取最大值
16.正项数列 满足 ? ,又 是以
为公比的等比数列,则使得不等式
? ?成立的最小整数 为__________.
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17.在 中，角 ? ? 的对边分别是 ? ? ， ? ， .
（1）求角 ? 的大小；
（2）若 为边 上一点，且 ， 的面积为 ，求 的长.
18.在 中，角 A，B，C对边分别为 ， ， ，且 sin
是 cos 与 cos 的等差中项.
（1）求角 A；
（2）若 ，且 的外接圆半径为 1，求 的面积.
19.如图所示，已知 ??是半径为 1，圆心角为
的扇形， 是坐标原点， ?落在 轴非负半轴上，
点 ?在第一象限， 是扇形弧上的一点， 是扇形的内接矩形.
（1）当 是扇形弧上的四等分点（靠近 ?）时，求点 的纵坐标；
（2）当 在扇形弧上运动时，求矩形 面积的最大值.
20.已知在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足：
log ，求数列 的前 项和 .
21.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图 1中的 1,3,6,10，…由
于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2中的 1,4,9,16,…，这样的数为正方
形数.
某同学模仿先贤用石子摆出了如下图 3的图形，图 3中的 2,5,7,9,…，这些数能够表示成梯形，将其
称为梯形数.
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（1）请写出梯形数的通项公式 （不要求证明），并求数列 的前 项和 ;
（2）若
，数列 的前 项和记为 ，求证： .
22.已知 是各项均为正数的等比数列，且 ? ，等差数列 的前 项和为 ，且
? .
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系中，有点? ?? 、? ?? ……? ?? 、? ?? ,? ? 、
? ? ……? ? ，若记 ? ? ? 的面积为 ,求数列 的前 项和 .
