专题七 中考数学中的动点与二次函数综合题解题技巧
一直以来，多数省市的压轴题是动点和二次函数的综合题。因此，要求我们在中考复习中，对此类问题要高度重视。
解此类问题，特别要注意方法和技巧，把握好一般和特殊的关系，分析题目时，要关注题目的特点，就是动点变化时，会呈现什么样的特殊图形，比如特殊角度，直角三角形，等腰三角形，特殊四边形等等。在变化过程中，会呈现什么样的值（最大或最小值）。常用的方法有相似三角形的应用，折叠（翻折）的性质，勾股定理，应用特殊四边形的性质和二次函数的性质。这里介绍两种中考常考的类型题目的解题方法。
类型一：因动点产生的面积的问题
【例题展示】
例题1（2018深圳市）已知顶点为A抛物线经过点B（），点C()．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
【分析】（1）将点B坐标代入解析式求得a的值即可得；
（2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE得，即OP=FA，设点P（t，﹣2t﹣1），列出关于t的方程解之可得；
（3）分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得．
【解答】解：（1）把点B（）代入，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由知A（，﹣2），
设直线AB解析式为：y=kx+b，代入点A，B的坐标，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣1，
易求E（0，1），F（0，），M（），
若∠OPM=∠MAF，
∴OP∥AF，
∴△OPE∽△FAE，
∴，
∴，
设点P（t，﹣2t﹣1），则：
解得，，
由对称性知；当时，也满足∠OPM=∠MAF，
∴，都满足条件，
∵△POE的面积=，
∴△POE的面积为或．
（3）若点Q在AB上运动，如图1，
设Q（a，﹣2a﹣1），则NE=﹣a、QN=﹣2a，
由翻折知QN′=QN=﹣2a、N′E=NE=﹣a，
由∠QN′E=∠N=90°易知△QRN′∽△N′SE，
∴，即，
∴QR=2、ES=，
由NE+ES=NS=QR可得﹣a+=2，
解得：a=﹣，
∴Q（﹣）；
若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图2，
设NE=a，则N′E=a，
易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，
∴QR=、SE=﹣a，
在Rt△SEN′中，（﹣a）2+12=a2，
解得：a=，
∴Q（﹣，2）；
若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图3，
设NE=a，则N′E=a，
易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，
∴QR=、SE=﹣a，
在Rt△SEN′中，（﹣a）2+12=a2，
解得：a=，
∴Q（，2）．
综上，点Q的坐标为（﹣，）或（﹣，2）或（，2）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．
例题2（2017深圳市）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB=5，OC=2，
∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5，
∵S△ABC=S△ABD，
∴S△ABD=×5=，
设D（x，y），
∴AB?|y|=×5|y|=，解得|y|=3，
当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；
（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC==，BC==2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
由题意可知∠FBC=45°，
∴∠CFB=45°，
∴CF=BC=2，
∴=，即=，解得OM=2， =，即=，解得FM=6，
∴F（2，6），且B（4，0），
设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，
∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，﹣3），
∴BE==．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、分类讨论的思想，特殊角度，平行线分线段成比例和旋转等知识点．
例题3（2018甘肃省定西市）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，
解得，
二次函数的解析是为y=﹣x2+2x+3；
（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C（0，3），
∴E（0，），
∴点P的纵坐标，
当y=时，即﹣x2+2x+3=，
解得x1=，x2=（不合题意，舍），
∴点P的坐标为（，）；
（3）如图2，
P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得．
直线BC的解析为y=﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
OA=1，
AB=3﹣（﹣1）=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
=AB?OC+PQ?OF+PQ?FB
=×4×3+（﹣m2+3m）×3
=﹣（m﹣）2+，
当m=时，四边形ABPC的面积最大．
当m=时，﹣m2+2m+3=，即P点的坐标为（，）．
当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
例题4（2018湖南省常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（，），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=?4?t﹣?t?，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设Q（m，﹣m），根据相似三角形的判定方法，当，△PQO∽△COA，则|m2﹣m|=2|m|；当时，△PQO∽△CAO，则|m2﹣m|=|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a?8?2=4，解得a=，
∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y=x，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y=2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，
∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，
解方程组得，则N（，），
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
=?4?t﹣?t?t
=﹣t2+2t
=﹣（t﹣3）2+3，
当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
（3）设Q（m，m2﹣m），
∵∠OPQ=∠ACO，
∴当时，△PQO∽△COA，即，
∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，
解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；
解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；
∴当时，△PQO∽△CAO，即，
∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，
解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），
解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；
综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
【跟踪训练】
1.（2018湖北省黄石市）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
①求证：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面积的最小值．
2.（2018四川省泸州市）如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．
（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且?DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．
3.（2018湖北省武汉市）抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
4．（2018湖南省永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
5.（2018新疆维吾尔族）23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；
（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二：动点产生的三角形问题
【例题展示】
1.（2018山东省东营市）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；
（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；
（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可．
【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3
∵△OCA∽△OBC，
∴OC：OB=OA：OC，
∴OC2=OA?OB=3，
则OC=；
（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，
∴OC=BC，
∴点C的横坐标为，
又OC=，点C在x轴下方，
∴C（，﹣），
设直线BM的解析式为y=kx+b，
把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，
解得：b=﹣，k=，
∴y=x﹣，
又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，
解得：a=，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；
（3）点P存在，
设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，
则Q（x，x﹣），
∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，
当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，
S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，
当x=﹣=时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为（，﹣）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2.（2018海南省）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）①连接CD，则可知CD∥x轴，由A、F的坐标可知F、A到CD的距离，利用三角形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积；②由题意可知点A处不可能是直角，则有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，当∠ADQ=90°时，可先求得直线AD解析式，则可求出直线DQ解析式，联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，则可用t表示出k′，设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可表示出k2，由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得Q点坐标．
【解答】解：
（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），
∵C（0，3），D（2，3），
∴CD=2，且CD∥x轴，
∵A（﹣1，0），
∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；
②∵点P在线段AB上，
∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，
i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y=x+1，
∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′=5，
∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，
把A、Q坐标代入可得，解得k1=﹣（t﹣3），
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，
∵AQ⊥DQ，
∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=，
当t=时，﹣t2+2t+3=，
当t=时，﹣t2+2t+3=，
∴Q点坐标为（，）或（，）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
3.（2018湖北省恩施市）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．
【分析】（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；
（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；
（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．
【解答】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；
（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，
∴D（1，），
当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；
当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；
当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；
（3）设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，2）代入得：，
解得：，
∴y=﹣x+2，
设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，
解得：b=，即y=﹣x+，
此时交点M1坐标为（，）；
可得出两平行线间的距离为，
同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+，
联立解得：M2（，﹣），M3（，﹣﹣），
此时S=1．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
4.（2018湖南省邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．
（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；
（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；
（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=，再根据三角形面积公式计算出MN=，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=﹣t，由②得AH=，利用勾股定理可计算出BH=，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到?（﹣t）?=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或．
【解答】解：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2．
把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，
∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；
（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴A（﹣1，0），
当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；
当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），
从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，
∵AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，
∴△BCD为等腰三角形，
∴构造的三角形是等腰三角形的概率=；
（3）存在．
易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=AC?OB=×3×4=6，
M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），
①当N点在AC上，如图1，
∴△AMN的面积为△ABC面积的，
∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，
当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，
∴tan∠MAC===4；
当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，
∴tan∠MAC==；
②当N点在BC上，如图2，
BC==2，
∵BC?AN=AC?BC，解得AN==，
∵S△AMN=AN?MN=2，
∴MN==，
∴∠MAC===；
③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=﹣t，
由②得AH=，则BH==，
∵∠NBG=∠HBA，
∴△BNM∽△BHA，
∴=，即=，
∴MN=，
∵AN?MN=2，
即?（﹣t）?=2，
整理得3t2﹣3t+14=0，△=（﹣3）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，
∴点N在AB上不符合条件，
综上所述，tan∠MAN的值为1或4或．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函数图象的图象变换规律，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
【跟踪训练】
1.（2018湖南省怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.（2018吉林省）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）当a=﹣1时，抛物线顶点D的坐标为 ，OE= ；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
3.（2018四川省达州市）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；
（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
4.（2018乌鲁木齐市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．
①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．
5.（2018山东省烟台市）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
6.（2018四川省资阳市）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
专题七 中考数学中的动点与二次函数综合题解题技巧
一直以来，多数省市的压轴题是动点和二次函数的综合题。因此，要求我们在中考复习中，对此类问题要高度重视。
解此类问题，特别要注意方法和技巧，把握好一般和特殊的关系，分析题目时，要关注题目的特点，就是动点变化时，会呈现什么样的特殊图形，比如特殊角度，直角三角形，等腰三角形，特殊四边形等等。在变化过程中，会呈现什么样的值（最大或最小值）。常用的方法有相似三角形的应用，折叠（翻折）的性质，勾股定理，应用特殊四边形的性质和二次函数的性质。这里介绍两种中考常考的类型题目的解题方法。
类型一：因动点产生的面积的问题
【例题展示】
例题1（2018深圳市）已知顶点为A抛物线经过点B（），点C()．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
【分析】（1）将点B坐标代入解析式求得a的值即可得；
（2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE得，即OP=FA，设点P（t，﹣2t﹣1），列出关于t的方程解之可得；
（3）分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得．
【解答】解：（1）把点B（）代入，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由知A（，﹣2），
设直线AB解析式为：y=kx+b，代入点A，B的坐标，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣1，
易求E（0，1），F（0，），M（），
若∠OPM=∠MAF，
∴OP∥AF，
∴△OPE∽△FAE，
∴，
∴，
设点P（t，﹣2t﹣1），则：
解得，，
由对称性知；当时，也满足∠OPM=∠MAF，
∴，都满足条件，
∵△POE的面积=，
∴△POE的面积为或．
（3）若点Q在AB上运动，如图1，
设Q（a，﹣2a﹣1），则NE=﹣a、QN=﹣2a，
由翻折知QN′=QN=﹣2a、N′E=NE=﹣a，
由∠QN′E=∠N=90°易知△QRN′∽△N′SE，
∴，即，
∴QR=2、ES=，
由NE+ES=NS=QR可得﹣a+=2，
解得：a=﹣，
∴Q（﹣）；
若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图2，
设NE=a，则N′E=a，
易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，
∴QR=、SE=﹣a，
在Rt△SEN′中，（﹣a）2+12=a2，
解得：a=，
∴Q（﹣，2）；
若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图3，
设NE=a，则N′E=a，
易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，
∴QR=、SE=﹣a，
在Rt△SEN′中，（﹣a）2+12=a2，
解得：a=，
∴Q（，2）．
综上，点Q的坐标为（﹣，）或（﹣，2）或（，2）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．
例题2（2017深圳市）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB=5，OC=2，
∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5，
∵S△ABC=S△ABD，
∴S△ABD=×5=，
设D（x，y），
∴AB?|y|=×5|y|=，解得|y|=3，
当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；
（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC==，BC==2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
由题意可知∠FBC=45°，
∴∠CFB=45°，
∴CF=BC=2，
∴=，即=，解得OM=2， =，即=，解得FM=6，
∴F（2，6），且B（4，0），
设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，
∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，﹣3），
∴BE==．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、分类讨论的思想，特殊角度，平行线分线段成比例和旋转等知识点．
例题3（2018甘肃省定西市）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得，
解得，
二次函数的解析是为y=﹣x2+2x+3；
（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，
∵C（0，3），
∴E（0，），
∴点P的纵坐标，
当y=时，即﹣x2+2x+3=，
解得x1=，x2=（不合题意，舍），
∴点P的坐标为（，）；
（3）如图2，
P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得．
直线BC的解析为y=﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
OA=1，
AB=3﹣（﹣1）=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
=AB?OC+PQ?OF+PQ?FB
=×4×3+（﹣m2+3m）×3
=﹣（m﹣）2+，
当m=时，四边形ABPC的面积最大．
当m=时，﹣m2+2m+3=，即P点的坐标为（，）．
当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
例题4（2018湖南省常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（，），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=?4?t﹣?t?，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设Q（m，﹣m），根据相似三角形的判定方法，当，△PQO∽△COA，则|m2﹣m|=2|m|；当时，△PQO∽△CAO，则|m2﹣m|=|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a?8?2=4，解得a=，
∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y=x，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y=2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，
∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，
解方程组得，则N（，），
∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM
=?4?t﹣?t?t
=﹣t2+2t
=﹣（t﹣3）2+3，
当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
（3）设Q（m，m2﹣m），
∵∠OPQ=∠ACO，
∴当时，△PQO∽△COA，即，
∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，
解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，28）；
解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；
∴当时，△PQO∽△CAO，即，
∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，
解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），
解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，﹣1）；
综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
【跟踪训练】
1.（2018湖北省黄石市）已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
①求证：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面积的最小值．
【分析】（1）将点（3，1）代入解析式求得a的值即可；
（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0=（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得，即据此求得x0的值即可得；
（3）①设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式，化为关于x的方程可得，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）2、QN=y2=（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PM?QN=DM?DN=16，即，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=DG?MN列出关于k的等式求解可得．
【解答】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1，
解得：a=，
所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2；
（2）由（1）知点D坐标为（1，0），
设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），
则y0=（x0﹣1）2，
如图1，过点C作CF⊥x轴，
∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDO+∠CDF=90°，
∴∠BDO=∠DCF，
∴△BDO∽△DCF，
∴，
∴，
解得：x0=17，此时y0=64，
∴点C的坐标为（17，64）．
（3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），
由，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，
∴，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
则PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2，
DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1，
∴PM?QN=DM?DN=16，
∴=，
又∠PMD=∠DNQ=90°，
∴△PMD∽△DNQ，
∴∠MPD=∠NDQ，
而∠MPD+∠MDP=90°，
∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），
所以DG=4，
∴S△PDQ=DG?MN=×4×|x1﹣x2|=2=8，
∴当k=0时，S△PDQ取得最小值16．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．
2.（2018四川省泸州市）如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．
（1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且?DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．
【分析】（1）把点A坐标代入y=ax2﹣（2a﹣）x+3可求a，应用待定系数法可求直线AB的解析式；
（2）用m表示DE、AC，易证△DEF∽△AEC，S1=4S2，得到DE与AE的数量关系可以构造方程；
（3）用n表示GH，由平行四边形性质DE=GH，可得m，n之间数量关系，利用相似用GM表示EG，表示?DEGH周长，利用函数性质求出周长最大时的m值，可得n值，进而求G点坐标．
【解答】解：（1）把点A（4，0）代入，得
0=a?42﹣（2a﹣）×4+3
解得
a=﹣
∴函数解析式为：y=
设直线AB解析式为y=kx+b
把A（4，0），B（0，3）代入
解得
∴直线AB解析式为：y=﹣
（2）由已知，
点D坐标为（m，﹣）
点E坐标为（m，﹣）
∴AC=4﹣m
DE=（﹣）﹣（﹣）=﹣
∵BC∥y轴
∴
∴AE=
∵∠DFA=∠DCA=90°，∠FBD=∠CEA
∴△DEF∽△AEC
∵S1=4S2
∴AE=2DE
∴
解得m1=，m2=4（舍去）
故m值为
（3）如图，过点G做GM⊥DC于点M
由（2）DE=﹣
同理HG=﹣
∵四边形DEGH是平行四边形
∴﹣=﹣
整理得：（n﹣m）[]=0
∵m≠n
∴m+n=4，即n=4﹣m
∴MG=n﹣m=4﹣2m
由已知△EMG∽△BOA
∴
∴EG=
∴?DEGH周长L=2[﹣+]=﹣
∵a=﹣＜0
∴m=﹣时，L最大．
∴n=4﹣=
∴G点坐标为（，），此时点E坐标为（，）
当点G、E位置对调时，依然满足条件
∴点G坐标为（，）或（，）
【点评】本题以二次函数图象为背景，综合考查三角形相似、平行四边形性质、二次函数最值讨论以转化的数学思想．
3.（2018湖北省武汉市）抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）求解可得；
（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG?xN﹣BG?xM=1得出xN﹣xM=1，联立直线和抛物线解析式求得x=，根据xN﹣xM=1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，
解得：b=2、c=1，
∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；
（2）如图1，
∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），
∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，
∴点B（1，2），
则BG=2，
∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG?xN﹣BG?xM=1，
∴xN﹣xM=1，
由得x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，
解得：x==，
则xN=、xM=，
由xN﹣xM=1得=1，
∴k=±3，
∵k＜0，
∴k=﹣3；
（3）如图2，
设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，
∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），
设P（0，t），
①当△PCD∽△FOP时，=，
∴=，
∴t2﹣（1+m）t+2=0；
②当△PCD∽△POF时，=，
∴=，
∴t=（m+1）；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△=（1+m）2﹣8=0，
解得：m=2﹣1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1=t2=，
方程②有一个实数根t=，
∴m=2﹣1，
此时点P的坐标为（0，）和（0，）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，
解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，
方程①有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；
当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用割补法求三角形的面积建立关于k的方程及相似三角形的判定与性质等知识点．
4．（2018湖南省永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
【分析】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；
（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，
把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，
a=﹣1，
∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）存在，
如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，
∵E（0，3），
∴E'（2，3），
易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，
当x=1时，y=3×1﹣3=0，
∴G（1，0）
（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），
易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），
∴NQ=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）=﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，
∴∠DAB=∠NQM，
∵∠ADB=∠QMN=90°，
∴△QMN∽△ADB，
∴，
∴，
∴MN=﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当m=2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°，
∴△NGP∽△ADB，
∴==，
∴PG=NG=m，
∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣m=﹣m2+m+3，
∴S△PON=OP?GN=（﹣m2+m+3）?m，
当m=2时，S△PON=×2（﹣4+3+3）=2．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题（3）的关键．
5.（2018新疆维吾尔族）23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；
（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）代入x=0可求出点C的纵坐标，代入y=0可求出点A、B的横坐标，此题得解；
（2）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），进而可得出PB、QE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBQ关于t的函数关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）根据（2）的结论找出点P、Q的坐标，假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），进而可得出MF的长度，利用三角形的面积结合△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当x=0时，y=x2﹣x﹣4=﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4）；
当y=0时，有x2﹣x﹣4=0，
解得：x1=﹣2，x2=3，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
将B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=x﹣4．
过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如图1所示，
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），
∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，
∴S△PBQ=PB?QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+．
∵﹣＜0，
∴当t=时，△PBQ的面积取最大值，最大值为．
（3）当△PBQ面积最大时，t=，
此时点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，﹣1）．
假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），
∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，
∴S△BMC=MF?OB=﹣m2+3m．
∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，
∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2．
∵0＜m＜3，
∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；（2）利用三角形的面积公式找出S△PBQ关于t的函数关系式；（3）利用三角形的面积结合△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，找出关于m的一元二次方程．
类型二：动点产生的三角形问题
【例题展示】
1.（2018山东省东营市）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；
（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；
（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可．
【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3
∵△OCA∽△OBC，
∴OC：OB=OA：OC，
∴OC2=OA?OB=3，
则OC=；
（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，
∴OC=BC，
∴点C的横坐标为，
又OC=，点C在x轴下方，
∴C（，﹣），
设直线BM的解析式为y=kx+b，
把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，
解得：b=﹣，k=，
∴y=x﹣，
又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，
解得：a=，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；
（3）点P存在，
设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，
则Q（x，x﹣），
∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，
当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，
S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，
当x=﹣=时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为（，﹣）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2.（2018海南省）24．（15.00分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）①连接CD，则可知CD∥x轴，由A、F的坐标可知F、A到CD的距离，利用三角形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积，则可求得四边形ACFD的面积；②由题意可知点A处不可能是直角，则有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，当∠ADQ=90°时，可先求得直线AD解析式，则可求出直线DQ解析式，联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，则可用t表示出k′，设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可表示出k2，由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程，可求得t的值，即可求得Q点坐标．
【解答】解：
（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），
∵C（0，3），D（2，3），
∴CD=2，且CD∥x轴，
∵A（﹣1，0），
∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；
②∵点P在线段AB上，
∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，
i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y=x+1，
∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′=5，
∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，
把A、Q坐标代入可得，解得k1=﹣（t﹣3），
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，
∵AQ⊥DQ，
∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=，
当t=时，﹣t2+2t+3=，
当t=时，﹣t2+2t+3=，
∴Q点坐标为（，）或（，）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
3.（2018湖北省恩施市）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．
【分析】（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；
（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；
（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可．
【解答】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；
（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，
∴D（1，），
当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；
当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；
当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；
（3）设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（3，0），C（0，2）代入得：，
解得：，
∴y=﹣x+2，
设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，
当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，
解得：b=，即y=﹣x+，
此时交点M1坐标为（，）；
可得出两平行线间的距离为，
同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+，
联立解得：M2（，﹣），M3（，﹣﹣），
此时S=1．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
4.（2018湖南省邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．
（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；
（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；
（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=，再根据三角形面积公式计算出MN=，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=﹣t，由②得AH=，利用勾股定理可计算出BH=，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到?（﹣t）?=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或．
【解答】解：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2．
把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，
∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；
（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴A（﹣1，0），
当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；
当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），
从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，
∵AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，
∴△BCD为等腰三角形，
∴构造的三角形是等腰三角形的概率=；
（3）存在．
易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=AC?OB=×3×4=6，
M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），
①当N点在AC上，如图1，
∴△AMN的面积为△ABC面积的，
∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，
当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，
∴tan∠MAC===4；
当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，
∴tan∠MAC==；
②当N点在BC上，如图2，
BC==2，
∵BC?AN=AC?BC，解得AN==，
∵S△AMN=AN?MN=2，
∴MN==，
∴∠MAC===；
③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=﹣t，
由②得AH=，则BH==，
∵∠NBG=∠HBA，
∴△BNM∽△BHA，
∴=，即=，
∴MN=，
∵AN?MN=2，
即?（﹣t）?=2，
整理得3t2﹣3t+14=0，△=（﹣3）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，
∴点N在AB上不符合条件，
综上所述，tan∠MAN的值为1或4或．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函数图象的图象变换规律，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
【跟踪训练】
（2018湖南省怀化市）24．（14.00分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；
（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，
∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），
2.（2018吉林省）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）当a=﹣1时，抛物线顶点D的坐标为 （﹣1，4） ，OE= 3 ；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．
【分析】（1）求出直线CD的解析式即可解决问题；
（2）利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；
（3）求出落在特殊情形下的a的值即可判断；
（4）如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴顶点D（﹣1，4），C（0，3），
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
故答案为（﹣1，4），3．
（2）结论：OE的长与a值无关．
理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，
∴C（0，﹣3a），D（﹣1，﹣4a），
∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，
当y=0时，x=3，
∴E（3，0），
∴OE=3，
∴OE的长与a值无关．
（3）当β=45°时，OC=OE=3，
∴﹣3a=3，
∴a=﹣1，
当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=OE=3，
∴﹣3a=3，
∴a=﹣，
∴45°≤β≤60°，a的取值范围为﹣≤a≤﹣1．
（4）如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．
∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，
∴∠DPM=∠EPN，
∴△DPM≌△EPN，
∴PM=PN，PM=EN，
∵D（﹣1，﹣4a），E（3，0），
∴EN=4+n=3﹣m，
∴n=﹣m﹣1，
当顶点D在x轴上时，P（1，﹣2），此时m的值1，
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴m＜1．
∴n=﹣m﹣1（m＜1）．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
3.（2018四川省达州市）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；
（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设交点式y=ax（x﹣），然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）延长CA交y轴于D，如图1，易得OA=，∠DOA=45°，则可判断△AOD为等腰直角三角形，所以OD=OA=2，则D（0，2），利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=﹣x+2，再解方程组得C（5，﹣3），然后利用三角形面积公式，利用S△AOC=S△COD﹣S△AOD进行计算；
（3）如图2，作MH⊥x轴于H，AC=4，OA=，设M（x，﹣x2+x）（x＞0），根据三角形相似的判定，由于∠OHM=∠OAC，则当=时，△OHM∽△OAC，即=；当=时，△OHM∽△CAO，即=，则分别解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标，由于△OMH∽△ONM，所以求得的M点能以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣），
把A（1，1）代入得a?1（1﹣）=1，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣），
即y=﹣x2+x；
（2）延长CA交y轴于D，如图1，
∵A（1，1），
∴OA=，∠DOA=45°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∵OA⊥AC，
∴OD=OA=2，
∴D（0，2），
易得直线AD的解析式为y=﹣x+2，
解方程组得或，则C（5，﹣3），
∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD
=×2×5﹣×2×1
=4；
（3）存在．
如图2，作MH⊥x轴于H，AC==4，OA=，
设M（x，﹣x2+x）（x＞0），
∵∠OHM=∠OAC，
∴当=时，△OHM∽△OAC，即=，
解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣（舍去），
解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=，此时M点坐标为（，﹣54）；
当=时，△OHM∽△CAO，即=，
解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=，此时M点的坐标为（，），
解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣，此时M点坐标为（，﹣）；
∵MN⊥OM，
∴∠OMN=90°，
∴∠MON=∠HOM，
∴△OMH∽△ONM，
∴当M点的坐标为（，﹣54）或（，）或（，﹣）时，以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
4.（2018乌鲁木齐市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．
①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．
【分析】（1）直接把点A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线的解析式中列二元一次方程组，解出可得结论；
（2）先得直线BC的解析式为：y=﹣x+4，
①如图1，作辅助线，先说明Rt△PDE中，PD=PE?sin∠PED=PE?sin∠OCB=PE，则当线段PE最长时，PD的长最大，设P（t，），则E（t，），表示PE的长，配方后可得PE的最大值，从而得PD的最大值；
②先根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，则△COA∽△BOC，
所以当△PDC与△COA相似时，就有△PDC与△BOC相似，分两种情况：
（I）若∠PCD=∠CBO时，即Rt△PDC∽Rt△COB，
（II）若∠PCD=∠BCO时，即Rt△PDC∽Rt△BOC，
分别求得P的坐标即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4；（3分）
（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），
易得直线BC的解析式为：y=﹣x+4，
①如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，
Rt△BOC中，OC=4，OB=8，
∴BC==4，
在Rt△PDE中，PD=PE?sin∠PED=PE?sin∠OCB=PE，
∴当线段PE最长时，PD的长最大，
设P（t，），则E（t，），
∴PG=﹣，EG=﹣t+4，
∴PE=PG﹣EG=（﹣）﹣（﹣t+4）=﹣t2+2t=﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），
当t=4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），
∴PD==，
即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；（7分）
②∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，
∴AC2=22+42=20，AB2=（2+8）2=100，BC2=42+82=80，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△COA∽△BOC，
当△PDC与△COA相似时，就有△PDC与△BOC相似，
∵相似三角形的对应角相等，
∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO，
（I）若∠PCD=∠CBO时，即Rt△PDC∽Rt△COB，
此时CP∥OB，
∵C（0，4），
∴yP=4，
∴）=4，
解得：x1=6，x2=0（舍），
即Rt△PDC∽Rt△COB时，P（6，4）；
（II）若∠PCD=∠BCO时，即Rt△PDC∽Rt△BOC，
如图2，过P作x轴的垂线PG，交直线BC于F，
∴PF∥OC，
∴∠PFC=∠BCO，
∴∠PCD=∠PFC，
∴PC=PF，
设P（n，+n+4），则PF=﹣+2n，
过P作PN⊥y轴于N，
Rt△PNC中，PC2=PN2+CN2=PF2，
∴n2+（+n+4﹣4）2=（﹣+2n）2，
解得：n=3，
即Rt△PDC∽Rt△BOC时，P（3，）；
综上所述，当△PDC与△COA相似时，点P的坐标为（6，4）或（3，）．（12分）
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理的逆定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会根据方程解决问题，属于中考压轴题．
5.（2018山东省烟台市）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）先求得点D的坐标，过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；
（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y=，
∵过点B的直线y=kx+，
∴代入（1，0），得：k=﹣，
∴BD解析式为y=﹣；
（2）由得交点坐标为D（﹣5，4），
如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，
当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，
则△DEP1∽△P1OC，
∴=，即=，
解得t=，
当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得=，
即=，
解得：t=；
当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，
∴=，即=，
解得：t=，
∴t的值为、、．
（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣x﹣，
在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M
过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为（a，﹣），
∴=，即=，
解得：a=﹣2，
则N点坐标为（﹣2，﹣2），
求得直线ND′的解析式为y=x+1，
当x=﹣时，y=﹣，
∴M点坐标为（﹣，﹣），
此时，DM+MN的值最小为==2．
【点评】本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．
6.（2018四川省资阳市）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN?AG+PN?BM=PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣，
所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
，
解得：，
则直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则N（t，﹣t+6），
∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=PN?AG+PN?BM
=PN?（AG+BM）
=PN?OB
=×（﹣t2+3t）×6
=﹣t2+9t
=﹣（t﹣3）2+，
∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）如图2，
∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，﹣x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．
