易错专题6：圆
一、圆的相关概念
1、圆的定义
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
二、弦、弧等与圆有关的定义
（1）弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
（2）直径
经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）
直径等于半径的2倍。
（3）半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
考点三、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径 平分弦 知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
四、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
六、圆周角定理及其推论
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
七、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dd=r点P在⊙O上；
d>r点P在⊙O外。
八、过三点的圆
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）
圆内接四边形对角互补。
九、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交d直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d>r；
十、切线的判定和性质
1、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。
十一、切线长定理
1、切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
十二、三角形的内切圆
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
十三、正多边形和圆
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
十四、与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
十五、弧长和扇形面积
1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为
2、扇形面积公式
其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积
其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的半径。
一、选择题
例1：（2018山东省滨州市）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．
【解答】解：如图：连接AO，CO，
∵∠ABC=25°，
∴∠AOC=50°，
∴劣弧的长=，
故选：C．
【易错知识点提示】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答．
例2．（2018甘肃省）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．
【解答】解：连接DC，
∵C（，0），D（0，1），
∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，
∴∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选：B．
【易错知识点提示】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°．
例3．（2018杭州市）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．
【解答】解：设OA与BC相交于D点．
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD==3
所以BC=6．
故选：A．
【易错知识点提示】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．
例4．（2018菏泽市）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．
【解答】解：如图，
由OC⊥AB，得
=，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，
故选：D．
【易错知识点提示】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．
例5．（2018南充市）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ）
A．58° B．60° C．64° D．68°
【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC=32°，
∵BC是直径，
∴∠B=90°﹣32°=58°，
故选：A．
【易错知识点提示】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
例6.（2018青岛市）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB=∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，
故选：D．
【易错知识点提示】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
例7．（2018威海市）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（ ）
A．25π B．24π C．20π D．15π
【分析】求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积．
【解答】解：由题可得，圆锥的底面直径为8，高为3，
∴圆锥的底面周长为8π，
圆锥的母线长为=5，
∴圆锥的侧面积=×8π×5=20π，
故选：C．
【易错知识点提示】本题主要考查了由三视图判断几何体以及圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
例8．（2018武汉市）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．
【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD=AB=2，
在Rt△OBD中，OD==1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴=，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3．
故选：B．
【易错知识点提示】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．
例9．（2018襄阳市）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB?sin∠AOB=，
∴BC=2BH=2，
故选：D．
【易错知识点提示】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
例10．（2018宜昌市）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选：D．
【易错知识点提示】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
二．填空题
例1．（2018吉林省）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC= 度．
【分析】根据∠BDC=∠BOC求解即可；
【解答】解：连接OC．
∵=，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC=∠BOC=29°，
故答案为29．
【易错知识点提示】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
例2．（2018常州市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是 ．
【分析】连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；
【解答】解：连接OB、OC．
∵∠BOC=2∠BAC=120°，的长是，
∴=，
∴r=2，
故答案为2．
【易错知识点提示】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属于中考常考题型．
例3．（2018无锡市）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC= ．
【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，
∴OA=OB=AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°，
∴∠COA=90°﹣60°=30°，
∴∠ABC=15°，
故答案为：15°
【易错知识点提示】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
例4．（2018昆明市）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和π）．
【分析】正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH，得到正六边形ABCDEF的面积，求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积，结合图形计算即可．
【解答】解：正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，
∠DOE==60°，
∴OD=OE=DE=1，
∴OH=，
∴正六边形ABCDEF的面积=×1××6=，
∠A==120°，
∴扇形ABF的面积==，
∴图中阴影部分的面积=﹣，
故答案为：﹣．
【易错知识点提示】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
例5．（2018盘锦市）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【解答】解：如图所示：连接OA．
∵正六边形内接于⊙O，∴△OAB，△OBC都是等边三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴OC∥AB，∴S△ABC=S△OBC，∴S阴=S扇形OBC，则飞镖落在阴影部分的概率是；
故答案为：．
【易错知识点提示】】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，和概率的知识。掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
例6．（2018娄底市）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE?BE= ．
【分析】想办法证明△AEO∽△OEB，可得=，推出AE?BE=OE2=1．
【解答】解：如图连接OE．
∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，
∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠AOB=90°，
∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠EAO=∠EOB，
∵∠AEO=∠OEB=90°，
∴△AEO∽△OEB，
∴=，
∴AE?BE=OE2=1，
故答案为1．
【易错知识点提示】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
例7．（2018眉山市）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是________.
【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，AB=AC=2，再根据旋转的性质得∠BAB′=∠CAC′=45°，则点B′、C、A共线，然后根据扇形门口计算，利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′-S扇形CAC′进行计算即可．
【解答】∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，AB=AC=2，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C，
∴∠BAB′=∠CAC′=45°，
∴点B′、C、A共线，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′+S△AB′C-S扇形CAC′-S△ABC
=S扇形BAB′-S扇形CAC′
=
故答案为．
【易错知识点提示】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
例8．（2018苏州市）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则的值为 ．
【分析】由2πr1=、2πr2=知r1=、r2=，据此可得=，利用勾股定理计算可得．
【解答】解：∵2πr1=、2πr2=，
∴r1=、r2=，
∴====，
故答案为：．
【易错知识点提示】本题主要考查圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥体底面周长与母线长间的关系式及勾股定理．
三．解答题
例1．（2018甘肃省泸州市）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．
（1）求证：CO2=OF?OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=4，PB=4，求GH的长．
【分析】（1）想办法证明△OFD∽△OCP，可得=，由OD=OC，可得结论；
（2）如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．在Rt△POC中，利用勾股定理求出r，再利用面积法求出CM，由四边形EFMC是矩形，求出EF，在Rt△EOF中，求出OF，再求出EC，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∵AB是直径，EF=FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD=∠OCP=90°，
∵∠FOD=∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴=，∵OD=OC，
∴OC2=OF?OP．
（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．
在Rt△POC中，∵PC2+OC2=PO2，
∴（4）2+r2=（r+4）2，
∴r=2，
∵CM==，
∵DC是直径，
∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF=CM=，
在Rt△OEF中，OF==，
∴EC=2OF=，
∵EC∥OB，
∴==，
∵GH∥CM，
∴==，
∴GH=．
【易错知识点提示】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
例2．（2018广东省）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．
【分析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；
（2）根据tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB==，证OE为中位线知OE=a、AE=CE=AC=a，进一步求得DE==2a，再△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；
（3）先证△AFD∽△BAD得DF?BD=AD2①，再证△AED∽△OAD得OD?DE=AD2②，由①②得DF?BD=OD?DE，即=，结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，据此可得=，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．
【解答】解：（1）连接OC，
在△OAD和△OCD中，
∵，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO=∠CDO，
又AD=CD，
∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC==2，
∴设BC=a、则AC=2a，
∴AD=AB==，
∵OE∥BC，且AO=BO，
∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，
在△AED中，DE==2a，
在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，
∴AO2+AD2=OD2，
∴∠OAD=90°，
则DA与⊙O相切；
（3）连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD=∠BAD=90°，
∵∠ADF=∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴=，即DF?BD=AD2①，
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴=，即OD?DE=AD2②，
由①②可得DF?BD=OD?DE，即=，
又∵∠EDF=∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC=1，
∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=，
∴=，即=，
解得：EF=．
【易错知识点提示】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．
例3．（2018菏泽市）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2=EF?ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MD：切线的判定．
【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；
（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；
（3）连接AO，求出∠OAD=90°即可．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=×（180°﹣∠BAC）=72°，
∴∠AFB=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=72°=36°，
∴∠D=∠CBD=36°，
∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，
∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；
（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，
∴∠FAC=36°=∠D，
∵∠AED=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴=，
∴AE2=EF×ED；
（3）证明：连接OA、OF，
∵∠ABF=36°，
∴∠AOF=2∠ABF=72°，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=×（180°﹣∠AOF）=54°，
由（1）知∠ADF=36°，
∴∠OAD=36°+54°=90°，
即OA⊥AD，
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线．
【易错知识点提示】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
例4．（2018湖南省）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）求证：BD=CF．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切线；
（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，
得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAF=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
【易错知识点提示】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．
例5．（2018荆门市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；
（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到=，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到=，从而解方程求出r即可；
②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DE，
又∵AD⊥DE，
∴OC∥AD．
∴∠1=∠3
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平方∠DAE；
（2）解：①∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
而DE⊥AD，
∴BF∥DE，
∴OC⊥BF，
∴=，
∴∠COE=∠FAB，
而∠FAB=∠M，
∴∠COE=∠M，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OCE中，cos∠COE==，即=，解得r=4，
即⊙O的半径为4；
②连接BF，如图，
在Rt△AFB中，cos∠FAB=，
∴AF=8×=
在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，
∴CE=3，
∵AB⊥FM，
∴，
∴∠5=∠4，
∵FB∥DE，
∴∠5=∠E=∠4，
∵=，
∴∠1=∠2，
∴△AFN∽△AEC，
∴=，即=，
∴FN=．
【易错知识点提示】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
例6．（2018南通市）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）求tan∠CAB的值．
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线
（2））AB是直径，得∠ACB=90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而，得出tan∠CAB=．
【解答】解：（1）如图，连接OC、BC
∵⊙O的半径为3，PB=2
∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5
∵PC=4
∴OC2+PC2=OP2
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∵OC⊥PC[
∴∠BCP+∠OCB=90°
∴∠BCP=∠ACO
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠BCP
在△PBC和△PCA中：
∠BCP=∠A，∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴
∴tan∠CAB=
【易错知识点提示】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容，能借助证明图中相似三角形可以是解决问题的关键．
例7．（2018内江市）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求证：2DE2=CD?OE；
（3）若tanC=，DE=，求AD的长．
【分析】（1）先判断出DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，进而判断出∠ODE=90°，即可得出结论；
（2）先判断出△BCD∽△ACB，得出BC2=CD?AC，再判断出DE=BC，AC=2OE，即可得出结论；
（3）先求出BC，进而求出BD，CD，再借助（2）的结论求出AC，即可得出结论．
【解答】解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，
连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵OE∥AC，OA=OB，
∴BE=CE，
∴DE=BE=CE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴BC2=CD?AC，
由（1）知DE=BE=CE=BC，
∴4DE2=CD?AC，
由（1）知，OE是△ABC是中位线，
∴AC=2OE，
∴4DE2=CD?2OE，
∴2DE2=CD?OE；
（3）∵DE=，
∴BC=5，
在Rt△BCD中，tanC==，
设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，
∴x=﹣1（舍）或x=1，
∴BD=4，CD=3，
由（2）知，BC2=CD?AC，
∴AC==，
∴AD=AC﹣CD=﹣3=．
【易错知识点提示】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BCD∽△ACB是解本题的关键．
例题8．（四川省泸州市）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．
（1）求证：CO2=OF?OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=4，PB=4，求GH的长．
【分析】（1）想办法证明△OFD∽△OCP，可得=，由OD=OC，可得结论；
（2）如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．在Rt△POC中，利用勾股定理求出r，再利用面积法求出CM，由四边形EFMC是矩形，求出EF，在Rt△EOF中，求出OF，再求出EC，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∵AB是直径，EF=FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD=∠OCP=90°，
∵∠FOD=∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴=，∵OD=OC，
∴OC2=OF?OP．
（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．
在Rt△POC中，∵PC2+OC2=PO2，
∴（4）2+r2=（r+4）2，
∴r=2，
∵CM==，
∵DC是直径，
∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF=CM=，
在Rt△OEF中，OF==，
∴EC=2OF=，
∵EC∥OB，
∴==，
∵GH∥CM，
∴==，
∴GH=．
【易错知识点提示】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
选择题
1．（2018山东省枣庄市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
2．（2018淄博市）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2π B． C． D．
3．（2018德州市） 如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
4．（2018宜宾市）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
5．（2018包头市）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．4﹣
6．（2018东营市）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
7．（2018贺州市）如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（ ）
A．9π B．10π C．11π D．12π
8．（2018柳州市）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（ ）
A．84° B．60° C．36° D．24°
9. （2018南宁市）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C．2 D．2
10．（2018贵州省）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．（2018哈尔滨市）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．9
12．（2018十堰市）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18 B．12π+36 C．6 D．6
填空题
1.（2018随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 度．
2.（2018台州市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D= 度．
3．（2018烟台市）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2= ．
4．（2018重庆市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）
5．（2018广东省）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
6．（2018甘肃省）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为 ．
7．（2018黄石市）在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为 ．
8．（2018南通市）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为 ．
9．（2018荆门市）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为 ．
10．（2018青岛市）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ．
解答题
1．（2018泰州市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．
2．（2018武汉市）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．
3．（2018湘潭市）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．
（1）若半圆的半径为10．
①当∠AOM=60°时，求DM的长；
②当AM=12时，求DM的长．
（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
4．（2018襄阳市）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．
5.（2018扬州市）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
6．（2018宜昌市）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
7．（2018枣庄市）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．
8．（2018淄博市）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．
（1）求证：PA?BD=PB?AE；
（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．
9．（2018永州市）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
10.（2018深圳市）如图在⊙O中，BC=2，AB=AC，点D为AC上的动点，且cosB=．
（1）求AB的长度；
（2）求AD?AE的值；
（3）过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH．
易错专题6：圆
一、圆的相关概念
1、圆的定义
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
二、弦、弧等与圆有关的定义
（1）弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
（2）直径
经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）
直径等于半径的2倍。
（3）半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
考点三、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径 平分弦 知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
四、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
六、圆周角定理及其推论
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
七、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dd=r点P在⊙O上；
d>r点P在⊙O外。
八、过三点的圆
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）
圆内接四边形对角互补。
九、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交d直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d>r；
十、切线的判定和性质
1、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。
十一、切线长定理
1、切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
十二、三角形的内切圆
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
十三、正多边形和圆
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
十四、与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
十五、弧长和扇形面积
1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为
2、扇形面积公式
其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积
其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的半径。
一、选择题
例1：（2018山东省滨州市）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．
【解答】解：如图：连接AO，CO，
∵∠ABC=25°，
∴∠AOC=50°，
∴劣弧的长=，
故选：C．
【易错知识点提示】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答．
例2．（2018甘肃省）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．
【解答】解：连接DC，
∵C（，0），D（0，1），
∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，
∴∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选：B．
【易错知识点提示】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°．
例3．（2018杭州市）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．
【解答】解：设OA与BC相交于D点．
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD==3
所以BC=6．
故选：A．
【易错知识点提示】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．
例4．（2018菏泽市）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ ）
A．64° B．58° C．32° D．26°
【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．
【解答】解：如图，
由OC⊥AB，得
=，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，
故选：D．
【易错知识点提示】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．
例5．（2018南充市）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ）
A．58° B．60° C．64° D．68°
【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC=32°，
∵BC是直径，
∴∠B=90°﹣32°=58°，
故选：A．
【易错知识点提示】此题考查了圆周角的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
例6.（2018青岛市）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【解答】解：连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB=∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，
故选：D．
【易错知识点提示】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
例7．（2018威海市）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（ ）
A．25π B．24π C．20π D．15π
【分析】求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积．
【解答】解：由题可得，圆锥的底面直径为8，高为3，
∴圆锥的底面周长为8π，
圆锥的母线长为=5，
∴圆锥的侧面积=×8π×5=20π，
故选：C．
【易错知识点提示】本题主要考查了由三视图判断几何体以及圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
例8．（2018武汉市）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．
【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD=AB=2，
在Rt△OBD中，OD==1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴=，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3．
故选：B．
【易错知识点提示】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．
例9．（2018襄阳市）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴CH=BH，=，
∴∠AOB=2∠CDA=60°，
∴BH=OB?sin∠AOB=，
∴BC=2BH=2，
故选：D．
【易错知识点提示】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
例10．（2018宜昌市）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选：D．
【易错知识点提示】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
二．填空题
例1．（2018吉林省）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC= 29 度．
【分析】根据∠BDC=∠BOC求解即可；
【解答】解：连接OC．
∵=，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC=∠BOC=29°，
故答案为29．
【易错知识点提示】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
例2．（2018常州市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是 2 ．
【分析】连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；
【解答】解：连接OB、OC．
∵∠BOC=2∠BAC=120°，的长是，
∴=，
∴r=2，
故答案为2．
【易错知识点提示】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属于中考常考题型．
例3．（2018无锡市）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC= 15° ．
【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，
∴OA=OB=AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°，
∴∠COA=90°﹣60°=30°，
∴∠ABC=15°，
故答案为：15°
【易错知识点提示】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
例4．（2018昆明市）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为 ﹣ （结果保留根号和π）．
【分析】正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH，得到正六边形ABCDEF的面积，求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积，结合图形计算即可．
【解答】解：正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，
∠DOE==60°，
∴OD=OE=DE=1，
∴OH=，
∴正六边形ABCDEF的面积=×1××6=，
∠A==120°，
∴扇形ABF的面积==，
∴图中阴影部分的面积=﹣，
故答案为：﹣．
【易错知识点提示】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
例5．（2018盘锦市）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【解答】解：如图所示：连接OA．
∵正六边形内接于⊙O，∴△OAB，△OBC都是等边三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴OC∥AB，∴S△ABC=S△OBC，∴S阴=S扇形OBC，则飞镖落在阴影部分的概率是；
故答案为：．
【易错知识点提示】】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，和概率的知识。掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
例6．（2018娄底市）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE?BE= 1 ．
【分析】想办法证明△AEO∽△OEB，可得=，推出AE?BE=OE2=1．
【解答】解：如图连接OE．
∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，
∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠AOB=90°，
∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠EAO=∠EOB，
∵∠AEO=∠OEB=90°，
∴△AEO∽△OEB，
∴=，
∴AE?BE=OE2=1，
故答案为1．
【易错知识点提示】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
例7．（2018眉山市）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是________.
【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°，AB=AC=2，再根据旋转的性质得∠BAB′=∠CAC′=45°，则点B′、C、A共线，然后根据扇形门口计算，利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′-S扇形CAC′进行计算即可．
【解答】∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，AB=AC=2，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C，
∴∠BAB′=∠CAC′=45°，
∴点B′、C、A共线，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′+S△AB′C-S扇形CAC′-S△ABC
=S扇形BAB′-S扇形CAC′
=
故答案为．
【易错知识点提示】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
例8．（2018苏州市）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则的值为 ．
【分析】由2πr1=、2πr2=知r1=、r2=，据此可得=，利用勾股定理计算可得．
【解答】解：∵2πr1=、2πr2=，
∴r1=、r2=，
∴====，
故答案为：．
【易错知识点提示】本题主要考查圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥体底面周长与母线长间的关系式及勾股定理．
三．解答题
例1．（2018甘肃省泸州市）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．
（1）求证：CO2=OF?OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=4，PB=4，求GH的长．
【分析】（1）想办法证明△OFD∽△OCP，可得=，由OD=OC，可得结论；
（2）如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．在Rt△POC中，利用勾股定理求出r，再利用面积法求出CM，由四边形EFMC是矩形，求出EF，在Rt△EOF中，求出OF，再求出EC，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∵AB是直径，EF=FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD=∠OCP=90°，
∵∠FOD=∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴=，∵OD=OC，
∴OC2=OF?OP．
（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．
在Rt△POC中，∵PC2+OC2=PO2，
∴（4）2+r2=（r+4）2，
∴r=2，
∵CM==，
∵DC是直径，
∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF=CM=，
在Rt△OEF中，OF==，
∴EC=2OF=，
∵EC∥OB，
∴==，
∵GH∥CM，
∴==，
∴GH=．
【易错知识点提示】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
例2．（2018广东省）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．
（1）证明：OD∥BC；
（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；
（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．
【分析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；
（2）根据tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB==，证OE为中位线知OE=a、AE=CE=AC=a，进一步求得DE==2a，再△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；
（3）先证△AFD∽△BAD得DF?BD=AD2①，再证△AED∽△OAD得OD?DE=AD2②，由①②得DF?BD=OD?DE，即=，结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，据此可得=，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．
【解答】解：（1）连接OC，
在△OAD和△OCD中，
∵，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠ADO=∠CDO，
又AD=CD，
∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）∵tan∠ABC==2，
∴设BC=a、则AC=2a，
∴AD=AB==，
∵OE∥BC，且AO=BO，
∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，
在△AED中，DE==2a，
在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，
∴AO2+AD2=OD2，
∴∠OAD=90°，
则DA与⊙O相切；
（3）连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD=∠BAD=90°，
∵∠ADF=∠BDA，
∴△AFD∽△BAD，
∴=，即DF?BD=AD2①，
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，
∴△AED∽△OAD，
∴=，即OD?DE=AD2②，
由①②可得DF?BD=OD?DE，即=，
又∵∠EDF=∠BDO，
∴△EDF∽△BDO，
∵BC=1，
∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=，
∴=，即=，
解得：EF=．
【易错知识点提示】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．
例3．（2018菏泽市）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2=EF?ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MD：切线的判定．
【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；
（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；
（3）连接AO，求出∠OAD=90°即可．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=×（180°﹣∠BAC）=72°，
∴∠AFB=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=72°=36°，
∴∠D=∠CBD=36°，
∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，
∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；
（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，
∴∠FAC=36°=∠D，
∵∠AED=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴=，
∴AE2=EF×ED；
（3）证明：连接OA、OF，
∵∠ABF=36°，
∴∠AOF=2∠ABF=72°，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=×（180°﹣∠AOF）=54°，
由（1）知∠ADF=36°，
∴∠OAD=36°+54°=90°，
即OA⊥AD，
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线．
【易错知识点提示】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
例4．（2018湖南省）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）求证：BD=CF．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切线；
（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，
得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAF=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
【易错知识点提示】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．
例5．（2018荆门市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；
（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到=，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到=，从而解方程求出r即可；
②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DE，
又∵AD⊥DE，
∴OC∥AD．
∴∠1=∠3
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平方∠DAE；
（2）解：①∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
而DE⊥AD，
∴BF∥DE，
∴OC⊥BF，
∴=，
∴∠COE=∠FAB，
而∠FAB=∠M，
∴∠COE=∠M，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OCE中，cos∠COE==，即=，解得r=4，
即⊙O的半径为4；
②连接BF，如图，
在Rt△AFB中，cos∠FAB=，
∴AF=8×=
在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，
∴CE=3，
∵AB⊥FM，
∴，
∴∠5=∠4，
∵FB∥DE，
∴∠5=∠E=∠4，
∵=，
∴∠1=∠2，
∴△AFN∽△AEC，
∴=，即=，
∴FN=．
【易错知识点提示】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
例6．（2018南通市）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）求tan∠CAB的值．
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线
（2））AB是直径，得∠ACB=90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而，得出tan∠CAB=．
【解答】解：（1）如图，连接OC、BC
∵⊙O的半径为3，PB=2
∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5
∵PC=4
∴OC2+PC2=OP2
∴△OCP是直角三角形，
∴OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACO+∠OCB=90°
∵OC⊥PC[
∴∠BCP+∠OCB=90°
∴∠BCP=∠ACO
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠A=∠BCP
在△PBC和△PCA中：
∠BCP=∠A，∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴
∴tan∠CAB=
【易错知识点提示】该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理、三角函数等内容，能借助证明图中相似三角形可以是解决问题的关键．
例7．（2018内江市）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求证：2DE2=CD?OE；
（3）若tanC=，DE=，求AD的长．
【分析】（1）先判断出DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，进而判断出∠ODE=90°，即可得出结论；
（2）先判断出△BCD∽△ACB，得出BC2=CD?AC，再判断出DE=BC，AC=2OE，即可得出结论；
（3）先求出BC，进而求出BD，CD，再借助（2）的结论求出AC，即可得出结论．
【解答】解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，
连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵OE∥AC，OA=OB，
∴BE=CE，
∴DE=BE=CE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴BC2=CD?AC，
由（1）知DE=BE=CE=BC，
∴4DE2=CD?AC，
由（1）知，OE是△ABC是中位线，
∴AC=2OE，
∴4DE2=CD?2OE，
∴2DE2=CD?OE；
（3）∵DE=，
∴BC=5，
在Rt△BCD中，tanC==，
设CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，
∴x=﹣1（舍）或x=1，
∴BD=4，CD=3，
由（2）知，BC2=CD?AC，
∴AC==，
∴AD=AC﹣CD=﹣3=．
【易错知识点提示】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BCD∽△ACB是解本题的关键．
例题8．（四川省泸州市）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．
（1）求证：CO2=OF?OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=4，PB=4，求GH的长．
【分析】（1）想办法证明△OFD∽△OCP，可得=，由OD=OC，可得结论；
（2）如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．在Rt△POC中，利用勾股定理求出r，再利用面积法求出CM，由四边形EFMC是矩形，求出EF，在Rt△EOF中，求出OF，再求出EC，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∵AB是直径，EF=FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD=∠OCP=90°，
∵∠FOD=∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴=，∵OD=OC，
∴OC2=OF?OP．
（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．
在Rt△POC中，∵PC2+OC2=PO2，
∴（4）2+r2=（r+4）2，
∴r=2，
∵CM==，
∵DC是直径，
∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF=CM=，
在Rt△OEF中，OF==，
∴EC=2OF=，
∵EC∥OB，
∴==，
∵GH∥CM，
∴==，
∴GH=．
【易错知识点提示】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
选择题
1．（2018山东省枣庄市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH==，
∴CD=2CH=2．
故选：C．
【易错知识点提示】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
2．（2018淄博市）如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（ ）
A．2π B． C． D．
【考点】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理．
【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC的长为=．
【解答】解：如图，连接CO，
∵∠BAC=50°，AO=CO=3，
∴∠ACO=50°，
∴∠AOC=80°，
∴劣弧AC的长为=，
故选：D．
【易错知识点提示】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．
3．（2018德州市） 如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
【解答】连接AC．
∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．
∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是=（m2）． 故选A．
【易错知识点提示】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
4．（2018宜宾市）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．
【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选：D．
【易错知识点提示】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
5．（2018包头市）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．4﹣
【分析】过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=AB=1，再根据公式即可得到，阴影部分的面积是×4×1﹣=2﹣．
【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AE=AB=1，
又∵BC=4，
∴阴影部分的面积是×4×1﹣=2﹣，
故选：A．
【易错知识点提示】本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
6．（2018东营市）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，
所以AC=，
故选：C．
【易错知识点提示】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
7．（2018贺州市）如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（ ）
A．9π B．10π C．11π D．12π
【分析】由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案．
【解答】解：由题意可得此几何体是圆锥，
底面圆的半径为：2，母线长为：5，
故这个几何体的侧面积为：π×2×5=10π．
故选：B．
【易错知识点提示】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几何体的形状是解题关键．
8．（2018柳州市）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（ ）
A．84° B．60° C．36° D．24°
【分析】直接利用圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠B与∠C所对的弧都是，
∴∠C=∠B=24°，
故选：D．
【易错知识点提示】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9. （2018南宁市）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C．2 D．2
【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为=，
S扇形BAC==π，
∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2，
故选：D．
【易错知识点提示】本题考查了等边三角形的性质好扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
10．（2018贵州省）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，
∴AC=5
过点D作DF⊥AC于F，
∴∠AFD=∠CBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠ACB，
∴△ADF∽△CAB，
∴，
∴，
设DF=x，则AD=x，
在Rt△ABD中，BD==，
∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，
∴△DEF∽△DBA，
∴，
∴，
∴x=2，
∴AD=x=2，
故选：D．
【易错知识点提示】本题考查了勾股定理，相似三角形，圆的性质等知识点．
11．（2018哈尔滨市）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．9
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．
【解答】解：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6﹣3=3．
故选：A．
【易错知识点提示】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
12．（2018十堰市）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18 B．12π+36 C．6 D．6
【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白ADC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接OD，AD，
∵点C为OA的中点，
∴OC=OA=OD，
∵CD⊥OA，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△ADO为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，
∴CD=，6，
∴S扇形AOD==24π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）
=﹣﹣（24π﹣×6×6）
=18+6π．
故选：C．
【易错知识点提示】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．
填空题
1.（2018随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 60 度．
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=20°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=60°，
故答案为：60．
【易错知识点提示】本题考查的是圆周角定理的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．
2.（2018台州市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D= 26 度．
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
【解答】解：连接OC，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°﹣∠COD=26°，
故答案为：26．
【易错知识点提示】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
3．（2018烟台市）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2= ：2 ．
【分析】根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．
【解答】解：连OA
由已知，M为AF中点，则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠AOM=30°
设AM=a
∴AB=AO=2a，OM=
∵正六边形中心角为60°
∴∠MON=120°
∴扇形MON的弧长为：a
则r1=a
同理：扇形DEF的弧长为：
则r2=
r1：r2=
故答案为：：2
【易错知识点提示】本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的半径．
4．（2018重庆市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 8﹣2π （结果保留π）
【分析】根据S阴=S△ABD﹣S扇形BAE计算即可；
【解答】解：S阴=S△ABD﹣S扇形BAE=×4×4﹣=8﹣2π，
故答案为8﹣2π．
【易错知识点提示】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
5．（2018广东省）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD=2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE，如图，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD=2，OE⊥BC，
易得四边形OECD为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECD﹣S扇形EOD=22﹣=4﹣π，
∴阴影部分的面积=×2×4﹣（4﹣π）=π．
故答案为π．
【易错知识点提示】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．
6．（2018甘肃省）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为 πa ．
【分析】首先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，再利用弧长公式求出的长=的长=的长==，那么勒洛三角形的周长为×3=πa．
【解答】解：如图．∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，
∴的长=的长=的长==，
∴勒洛三角形的周长为×3=πa．
故答案为πa．
【易错知识点提示】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等边三角形的性质．
7．（2018黄石市）在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为 4π
【分析】先利用勾股定理计算出AB的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出△ABC的内切圆的半径，然后利用圆的面积公式求解．
【解答】解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6，
∴AB==10，
∴△ABC的内切圆的半径==2，
∴△ABC内切圆的周长=π?22=4π．
故答案为4π．
【易错知识点提示】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．记住直角三角形内切圆半径的计算方法．
8．（2018南通市）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为 2 ．
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC==4，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
而OB=OA，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD=AC=×4=2．
故答案为2．
【易错知识点提示】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
9．（2018荆门市）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为 ．
【分析】连接半径和弦AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，可得AE和BE的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差，因为OA=OB，所以△OBE的面积是△ABE面积的一半，可得结论．
【解答】解：连接OE、AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，
∴AE=AB=2，BE==2，
∵OA=OB=OE，
∴∠B=∠OEB=30°，
∴∠BOE=120°，
∴S阴影=S扇形OBE﹣S△BOE，
=﹣×，
=﹣，
=﹣，
故答案为：﹣．
【易错知识点提示】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，直角三角形中30度角等知识点，能求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解此题的关键．
10．（2018青岛市）如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ﹣π ．
【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠COF=120°，
∵OA=2，
∴扇形OGF的面积为：=
∵OA为半径的圆与CB相切于点E，
∴∠OEC=90°，
∴OC=2OE=4，
∴AC=OC+OA=6，
∴AB=AC=3，
∴由勾股定理可知：BC=3
∴△ABC的面积为：×3×3=
∵△OAF的面积为：×2×=，
∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π
故答案为：﹣π
【易错知识点提示】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．
解答题
1．（2018泰州市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3，
∴BD==6，
∵sin∠DBF==，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°===，
∴DO=2，
则FO=，
故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．
【易错知识点提示】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．
2．（2018武汉市）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．
【分析】（1）想办法证明△PAO≌△PBO．可得∠PAO=∠PBO=90°；
（2）首先证明BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，再证明BC=PB=PA=2a，由△PAK∽△POA，可得PA2=PK?PO，设PK=x，则有：x2+ax﹣4a2=0，解得x=a（负根已经舍弃），推出PK=a，由PK∥BC，可得==；
【解答】（1）证明：连接OP、OB．
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO=90°，
∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）设OP交AB于K．
∵AB是直径，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵PA、PB都是切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，
∵OA=OB，
∴OP垂直平分线段AB，
∴OK∥BC，
∵AO=OC，
∴AK=BK，
∴BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，
∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB，
∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，
∴BC=PB=PA=2a，
∵△PAK∽△POA，
∴PA2=PK?PO，设PK=x，
则有：x2+ax﹣4a2=0，
解得x=a（负根已经舍弃），
∴PK=a，
∵PK∥BC，
∴==．
【易错知识点提示】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
3．（2018湘潭市）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．
（1）若半圆的半径为10．
①当∠AOM=60°时，求DM的长；
②当AM=12时，求DM的长．
（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）①当∠AOM=60°时，所以△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；
②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，OF=10﹣x，利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．
（2）根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）①当∠AOM=60°时，
∵OM=OA，
∴△AMO是等边三角形，
∴∠A=∠MOA=60°，
∴∠MOD=30°，∠D=30°，
∴DM=OM=10
②过点M作MF⊥OA于点F，
设AF=x，
∴OF=10﹣x，
∵AM=12，OA=OM=10，
由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2
∴x=，
∴AF=，
∵MF∥OD，
∴△AMF∽△ADO，
∴，
∴，
∴AD=
∴MD=AD﹣AM=
（2）当点M位于之间时，
连接BC，
∵C是的重点，
∴∠B=45°，
∵四边形AMCB是圆内接四边形，
此时∠CMD=∠B=45°，
当点M位于之间时，
连接BC，
由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°
综上所述，∠CMD=45°
【易错知识点提示】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
4．（2018襄阳市）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．
（1）求证：DA=DE；
（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OE．推知CD为⊙O的切线，即可证明DA=DE；
（2）利用分割法求得阴影部分的面积．
【解答】 解：（1）证明：连接OE、OC．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC为⊙O的切线，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE为半径，
∴CD为⊙O的切线，
∵AD切⊙O于点A，
∴DA=DE；
（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，DF=AB=6，
∴DC=BC+AD=4．
∵BC==2，
∴BC﹣AD=2，
∴BC=3．
在直角△OBC中，tan∠BOE==，
∴∠BOC=60°．
在△OEC与△OBC中，
，
∴△OEC≌△OBC（SSS），
∴∠BOE=2∠BOC=120°．
∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC?OB﹣=9﹣3π．
【易错知识点提示】本题考查了切线的判定与性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，运用全等三角形的判定与性质进行计算．
5.（2018扬州市）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
【分析】（1）作OH⊥AC于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO平分∠BAC，再根据角平分线性质得OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先确定∠OAE=30°，∠AOE=60°，再计算出AE=3，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF进行计算；
（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小，通过证明∠F′=∠EAF′得到PE+PF最小值为3，然后计算出OP和OB得到此时PB的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB=AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH=OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO=2OF=3，
而OE=3，
∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，
∴AE=OE=3，
∴图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF=×3×3﹣=；
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF=PF′，
∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′=OF=OE，
∴∠F′=∠OEF′，
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°，
∴∠F′=30°，
∴∠F′=∠EAF′，
∴EF′=EA=3，
即PE+PF最小值为3，
在Rt△OPF′中，OP=OF′=，
在Rt△ABO中，OB=OA=×6=2，
∴BP=2﹣=，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为．
【易错知识点提示】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题．
6．（2018宜昌市）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵AE=EF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC=AB，
∴四边形ABFC是菱形．
（2）设CD=x．连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，
∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，
解得x=1或﹣8（舍弃）
∴AC=8，BD==，
∴S菱形ABFC=8．
【易错知识点提示】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．（2018枣庄市）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．
（2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；
连接CD，∵BC为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°；
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴，∴；
（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，
∵DE是Rt△ADC的中线；
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD；
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD；
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．
【易错知识点提示】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识．
8．（2018淄博市）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．
（1）求证：PA?BD=PB?AE；
（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案．
（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积．
【解答】解：（1）∵DP平分∠APB，
∴∠APE=∠BPD，
∵AP与⊙O相切，
∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°，
∴∠EAP=∠B，
∴△PAE∽△PBD，
∴，
∴PA?BD=PB?AE；
（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，
∵DP平分∠APB，
AD⊥AP，DF⊥PB，
∴AD=DF，
∵∠EAP=∠B，
∴∠APC=∠BAC，
易证：DF∥AC，
∴∠BDF=∠BAC，
由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0，
解得：AE=2，BD=3，
∴由（1）可知：，
∴cos∠APC==，
∴cos∠BDF=cos∠APC=，
∴，
∴DF=2，
∴DF=AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵AD=AE，
∴四边形ADFE是菱形，
此时点F即为M点，
∵cos∠BAC=cos∠APC=，
∴sin∠BAC=，
∴，
∴DG=，
∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形
其面积为：DG?AE=2×=
【易错知识点提示】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力．
9．（2018永州市）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
【分析】（1）延长CD交⊙O于G，如图，利用垂径定理得到=，则可证明=，然后根据圆周角定理得∠CBE=∠GCB，从而得到CF=BF；
（2）连接OC交BE于H，如图，先利用垂径定理得到OC⊥BE，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH=，OH=，接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM=∠OHB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，
∵CD⊥AB，
∴=，
∵=，
∴=，
∴∠CBE=∠GCB，
∴CF=BF；
（2）连接OC交BE于H，如图，
∵=，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH中，cos∠OBH==，
∴BH=×6=，
∴OH==，
∵==，==，
∴=，
而∠HOB=∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM=∠OHB=90°，
∴OC⊥CM，
∴直线CM是⊙O的切线．
【易错知识点提示】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
10.（2018深圳市）如图在⊙O中，BC=2，AB=AC，点D为AC上的动点，且cosB=．
（1）求AB的长度；
（2）求AD?AE的值；
（3）过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH．
【分析】（1）作AM垂直于BC，由AB=AC，利用三线合一得到CM等于BC的一半，求出CM的长，再由cosB的值，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可；
（2）连接DC，由等边对等角得到一对角相等，再由圆内接四边形的性质得到一对角相等，根据一对公共角，得到三角形EAC与三角形CAD相似，由相似得比例求出所求即可；
（3）在BD上取一点N，使得BN=CD，利用SAS得到三角形ACD与三角形ABN全等，由全等三角形对应边相等及等量代换即可得证．
【解答】解：（1）作AM⊥BC，
∵AB=AC，AM⊥BC，BC=2BM，
∴CM=BC=1，
∵cosB==，
在Rt△AMB中，BM=1，
∴AB==；
（2）连接DC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ACE+∠ACB=180°，
∴∠ADC=∠ACE，
∵∠CAE公共角，
∴△EAC∽△CAD，
∴=，
∴AD?AE=AC2=10；
（3）在BD上取一点N，使得BN=CD，
在△ABN和△ACD中
，
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴AN=AD，
∵AN=AD，AH⊥BD，
∴NH=HD，
∵BN=CD，NH=HD，
∴BN+NH=CD+HD=BH．
【易错知识点提示】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
