19.2.3 一次函数与方程、不等式课件
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人教版数学八年级下册
19.2.3一次函数与方程、不等式
(2) 当y=0时 ，即
(1)解方程2x+20=0
(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
解：(1) 2x+20=0
两个问题实际上是同一个问题．
2x +1=3 的解
y =2x+1
2x +1=0 的解
2x +1=-1 的解
这3个方程的等号左边都是2x+1,右边分别是3，0，-1。这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的值分别为3，0，-1时，求自变量x的值。
探究1：下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
用函数的观点看：
解一元一次方程 ax +b =k 就是求当一次函数y=ax +b 的函数值为k 时对应的自变量的值．由于b，k都是常数，所有的一元一次方程最终都能化为ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的形式，解这个方程就是求当一次函数y=ax+b的函数值为0时对应的自变量的值。
确定直线y= ax+b与x轴交点的横坐标
求ax+b=0
(a, b是常数，a≠0)的解
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
x为何值y= ax+b
的值为0
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
确定直线y= ax+b
与x轴交点的横坐标
从数的角度看
从形的角度看
当x为何值时，_______的值为0?
解方程 - 7x+2=0
8x-5=0
y=8x+3
当x为何值时，________ 的值为0?
y=8x-5
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
① 解方程 3x-2=0 当x为何值时，
y=3x-2的值为0?
② 解方程 8x+3=0
③ 当x为何值时，
y=-7x+2的值为0?
④ 解方程 8x-3=2
2.根据图象，你能直接说出一元一次方程 的解吗？
-2
x=-3
4.根据下列图象，你能说出哪些一元一次方程并说出相应方程的解？
5x=0
x=0
x+2=0
x=-2
-3x+6=0
x=2
x-1=0
x=1
5.已知直线 与 轴交于点A，与 轴交于点B，求△AOB的面积.
解：由已知可得：
当χ=0时，y=4，即：B（0，4）
当y=0时，χ=2，即：A（2，0）
则S △AOB=0.5 x OA x OB
=0.5 x 2 x 4
=4
6.直线 与 轴的交点的横坐标的值是方程 的解，求 的值.
解：由题意可得：
当直线y=3χ+ 6与χ轴相交时，y=0
则3χ+ 6=0, 解得：χ= -2,
当χ= -2 时，
2 x (-2) + a =0
解得：a = 4
探究2：下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
y =3x+2
y =2
y =0
y =-1
三个不等式相同的特点是：不等号左边都是 ；不同点是：不等号及不等号右边分别是 ， ， .
2
0
-1
结论：
解：化简，得3x-6<0。
用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10.
画出直线y=3x-6，可以看出，当x<2时，这条直线上的点在x轴的下方，即这时y=3x-6<0，所以原不等式的解集为x<2。
3x+6>0 ( x>- 2)
3x+6<0 ( x<- 2)
3x+6≥0 ( x ≥- 2)
3x+6≤0 ( x ≤ - 2)
根据下列一次函数的图象，你能求出哪些不等式及其解集？
C
A
＞ 3
＜ 3
B
8、利用函数图象解不等式：3x－4＜x+2
解法2：画出函数y＝3x－4和函数y＝x+2的图象，交点横坐标为3，当x＜3时，对于同一个x，直线y＝3x－4上的点在直线y＝x+2上相应点的下方，这表示3x－4＜x+2，所以不等式的解集为x ＜ 3。
解法1：化简不等式得2x－6＜0，画出函数y＝2x－6的图象，当x＜3时y＝2x－6＜0，所以不等式的解集为x＜3。
一次函数
二元一次方程
想一想：y=3x+1这是什么？
二元一次方程与一次函数的关系
（1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔（单位：米）关于上升时间（单位：分钟）的函数关系；
分析：气球上升时间满足 .
1号气球的函数解析式为 ；
2号气球的函数解析式为__________.
探究3：1号探测气球从海拔5米处出发，以1米/分的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发，以0.5米/分的速度上升.两个气球都上升了1小时.
0≤x ≤60
y=x+5
y=0.5x+15
（2）在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
分析：在某个时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（0≤x≤60），函数y=x+5和y=0.5x+15有 .则只需求出x和y的值.
相同的值y
由此得方程组：
解得
x=20
y=25
也就是说，当上升20min时，两个气球
都位于25米的高度。
画出一次函数y=x+5与y=0.5x+15的图象.
用函数的观点看解二元一次方程组
从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线的 交点坐标 。
从“数”的角度看：解方程组相当于考虑当 自变量 为何值时,两个 函数值相等以及这个函数值是何值。
1.如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
(0.5,1)
3.当自变量x取何值时，函数y=2.5x+1和y=5x +17的值相等？这个函数值是多少？
方法一 ：联立两个函数，得 2.5x+1=5x +17，解此方程；
方法二： 把两个函数转化为二元一次方程组，解方程组；
方法三： 画函数图象，求交点坐标.
1.请用函数的观点，从数形两方面说说你对二元一 次方程有什么新的理解；
2.请用函数观点，从数和形两个角度说说对二元一次方程组的认识；
3.请用函数的观点，说说你对一元一次方程有什么新的认识；
4.请用函数的观点，说说一次函数与一元一次不等式的联系．
本节课你有什么收获？
1、当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8。
x=-4
x=-8
x=2
2
B
(3,1)
D
平行
无解
7、在同一坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问：
（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标．
（2）直接写出：当x取何值时y1>y2；y1教科书第99～100页第8，10，11，13，15 题．
谢谢
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19.2.3一次函数与方程、不等式
(2) 当y=0时 ，即
(1)解方程2x+20=0
(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
解：(1) 2x+20=0
两个问题实际上是同一个问题．
2x +1=3 的解
y =2x+1
2x +1=0 的解
2x +1=-1 的解
这3个方程的等号左边都是2x+1,右边分别是3，0，-1。这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的值分别为3，0，-1时，求自变量x的值。
探究1：下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
用函数的观点看：
解一元一次方程 ax +b =k 就是求当一次函数y=ax +b 的函数值为k 时对应的自变量的值．由于b，k都是常数，所有的一元一次方程最终都能化为ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的形式，解这个方程就是求当一次函数y=ax+b的函数值为0时对应的自变量的值。
确定直线y= ax+b与x轴交点的横坐标
求ax+b=0
(a, b是常数，a≠0)的解
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
x为何值y= ax+b
的值为0
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
确定直线y= ax+b
与x轴交点的横坐标
从数的角度看
从形的角度看
当x为何值时，_______的值为0?
解方程 - 7x+2=0
8x-5=0
y=8x+3
当x为何值时，________ 的值为0?
y=8x-5
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
① 解方程 3x-2=0 当x为何值时，
y=3x-2的值为0?
② 解方程 8x+3=0
③ 当x为何值时，
y=-7x+2的值为0?
④ 解方程 8x-3=2
2.根据图象，你能直接说出一元一次方程 的解吗？
-2
x=-3
4.根据下列图象，你能说出哪些一元一次方程并说出相应方程的解？
5x=0
x=0
x+2=0
x=-2
-3x+6=0
x=2
x-1=0
x=1
5.已知直线 与 轴交于点A，与 轴交于点B，求△AOB的面积.
解：由已知可得：
当χ=0时，y=4，即：B（0，4）
当y=0时，χ=2，即：A（2，0）
则S △AOB=0.5 x OA x OB
=0.5 x 2 x 4
=4
6.直线 与 轴的交点的横坐标的值是方程 的解，求 的值.
解：由题意可得：
当直线y=3χ+ 6与χ轴相交时，y=0
则3χ+ 6=0, 解得：χ= -2,
当χ= -2 时，
2 x (-2) + a =0
解得：a = 4
探究2：下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
y =3x+2
y =2
y =0
y =-1
三个不等式相同的特点是：不等号左边都是 ；不同点是：不等号及不等号右边分别是 ， ， .
2
0
-1
结论：
解：化简，得3x-6<0。
用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10.
画出直线y=3x-6，可以看出，当x<2时，这条直线上的点在x轴的下方，即这时y=3x-6<0，所以原不等式的解集为x<2。
3x+6>0 ( x>- 2)
3x+6<0 ( x<- 2)
3x+6≥0 ( x ≥- 2)
3x+6≤0 ( x ≤ - 2)
根据下列一次函数的图象，你能求出哪些不等式及其解集？
C
A
＞ 3
＜ 3
B
8、利用函数图象解不等式：3x－4＜x+2
解法2：画出函数y＝3x－4和函数y＝x+2的图象，交点横坐标为3，当x＜3时，对于同一个x，直线y＝3x－4上的点在直线y＝x+2上相应点的下方，这表示3x－4＜x+2，所以不等式的解集为x ＜ 3。
解法1：化简不等式得2x－6＜0，画出函数y＝2x－6的图象，当x＜3时y＝2x－6＜0，所以不等式的解集为x＜3。
一次函数
二元一次方程
想一想：y=3x+1这是什么？
二元一次方程与一次函数的关系
（1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔（单位：米）关于上升时间（单位：分钟）的函数关系；
分析：气球上升时间满足 .
1号气球的函数解析式为 ；
2号气球的函数解析式为__________.
探究3：1号探测气球从海拔5米处出发，以1米/分的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发，以0.5米/分的速度上升.两个气球都上升了1小时.
0≤x ≤60
y=x+5
y=0.5x+15
（2）在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
分析：在某个时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（0≤x≤60），函数y=x+5和y=0.5x+15有 .则只需求出x和y的值.
相同的值y
由此得方程组：
解得
x=20
y=25
也就是说，当上升20min时，两个气球
都位于25米的高度。
画出一次函数y=x+5与y=0.5x+15的图象.
用函数的观点看解二元一次方程组
从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线的 交点坐标 。
从“数”的角度看：解方程组相当于考虑当 自变量 为何值时,两个 函数值相等以及这个函数值是何值。
1.如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
(0.5,1)
3.当自变量x取何值时，函数y=2.5x+1和y=5x +17的值相等？这个函数值是多少？
方法一 ：联立两个函数，得 2.5x+1=5x +17，解此方程；
方法二： 把两个函数转化为二元一次方程组，解方程组；
方法三： 画函数图象，求交点坐标.
1.请用函数的观点，从数形两方面说说你对二元一 次方程有什么新的理解；
2.请用函数观点，从数和形两个角度说说对二元一次方程组的认识；
3.请用函数的观点，说说你对一元一次方程有什么新的认识；
4.请用函数的观点，说说一次函数与一元一次不等式的联系．
本节课你有什么收获？
1、当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8。
x=-4
x=-8
x=2
2
B
(3,1)
D
平行
无解
7、在同一坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问：
（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标．
（2）直接写出：当x取何值时y1>y2；y1
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