【鲁教版八下精美学案】9.4.1 探索三角形相似的条件（知识构建+考点归纳+真题训练）

第九章 图形的相似
第4节 探索三角形相似的条件
第1课时
知 识 梳 理
知识点1 相似三角形的定义
三角_________，三边__________的两个三角形叫做相似三角形。
△ABC与△A＇B＇C＇相似，记作_______________。
注意 （1）对应性:通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（2）相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定。
（3）表达式:
△ABC∽△A＇B＇C＇
（4）相似三角形具有传递性:若△ABC∽△A'B'C'，△A'B'C'∽△A''B''C''，则△ABC∽△A''B''C''。
知识点2 相似比
相似三角形__________的比，叫相似比。
注意（1）相似比是有顺序的，若△ABC与△A'B'C'的相似比为k，则△A'B'C'与△ABC的相似比为。若这两个相似比相等，即k＝，则相似比为1，此时，这两个三角形全等.也就是说，全等是一种特殊的相似，特殊在相似比为1.（2）全等一定相似，相似不一定全等。
知识点3 相似三角形的判定定理一
1.定理:两角_________的两个三角形相似。
2.符号语言:
如图所示，在△ABC与△A'B'C'中，
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B'，∴△ABC△A'B'C'。
注意（1）两种特殊情况:①有一个锐角相等的两A角三角形相似。②顶角相等的两个等腰三角形相似。（2）此判定方法的关键是寻找两对相等的角，在找相等的角的过程中，注意公共角、对顶角等隐含条件。
知识点4 三角形相似的常见图形
1.A形图:
图形
常见
条件
DE∥BC
或∠1＝∠C
或∠2＝∠B
∠1＝∠B
或∠2＝∠C
∠1＝∠B
或∠2＝∠ACB
得到
结论
△ADE∽△ABC，
△ADE∽△ABC，
△ADE∽△ABC，
注意 A形图中隐藏条件为公共角∠A。
2.X形图:
图形
常见条件
AB∥CD
或∠A＝∠D
或∠B＝∠C
∠B＝∠C
或∠A＝∠D
得到结论
△AOB∽△DOC，
△AOB∽△DOC，
注意 X形图中隐藏条件为对顶角相等，即∠AOB＝∠COD。
3.双垂直三角形：
图形
常见条件
∠ACB＝90°，CD⊥AB
AD⊥BC，BE⊥AC
得到结论
△ACB∽△ADC
△BCA∽△BDC
△ADC∽△CDB
△ADC∽△BEC
考 点 突 破
考点1:相似三角形的概念
典例1 如图所示，已知△ABC∽△ADE，AE＝5， EC＝3， BC＝7，∠BAC＝45°,∠ACB＝40°
求:（1）∠AED和∠ADE的度数；
（2）DE的长。
思路导析:（1）由△ABC∽△ADE可知，∠ADE与∠ABC是对应角，∠AED与∠ACB是对应角，由三角形内角和定理可求得∠ABC的度数，即可得∠ADE的度数.（2）由对应边成比例列出比例式可直接得DE的长。
解:（1）∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠ABC（相似三角形的对应角相等）
∵∠BAC＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°-45°-40°＝95°。∴∠ADE＝95°。
（2）∵△ABC∽△ADE，∴，又∵AC＝AE＋EC＝5＋3＝8，
∴。∴。
友情提示 相似三角形的定义具有两重性，既是最基本、最重要的判定方法，又是最本质的性质，本例正是利用了相似三角形的定义所揭示的本质属性，即对应角相等、对应边成比例来解决问题的。
变式1 下列说法正确的有（ ）
①两个全等的三角形一定相似；②两个锐角三角形一定相似；③两个不相似的三角形一定不是全等的三角形；④两个全等的三角形不一定是相似的三角形。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式2 如图所示，△ABC与△ADE相似，且∠ADE＝∠B，则下列比例式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
考点2:相似三角形的判定定理一的应用
典例2 如图所示，△ABC中，∠BCD＝∠A，DE∥BC，与△ABC相似的三角形（△ABC自身除外）的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
思路导析: 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可判断△AED∽△ABC，再由两角对应相等的两个三角形相似可判断△BCD∽△ABC.
答案:B
友情提示 考查相似三角形的判定定理:
（1）两角对应相等的两个三角形相似.
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
（3）三边对应成比例的两个三角形相似.
变式3 如图所示，在 ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
变式4 如图所示，D在BC上，△ABC和△ADE均为等边三角形，AC与DE相交于点F，则图中相似三角形有（ ）
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
考点3:判定定理一求线段长
典例3 如图所示，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一DEC点，且∠BFE＝∠C。
（1）求证:△ABF∽△EAD；
（2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长。
思路导析:（1）由平行的性质结合条件可得到∠AFB＝∠EDA和∠BAE＝∠AED，可证得结论；
（2）由平行可知∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，由直角三角形的性质结合股定理可求得AE。
解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C＋∠ADE＝180°。∵∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠EDA。
∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED.∴△ABF∽△EAD；
（2）∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE＝90°。
∵AB＝4，∠BAE＝30°，∴AE＝2BE，由勾股定理可求得AE＝。
友情提示 本题主要考查相似三角形的判定和平行线的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①有两组角对应相等、②两组边对应成比例且夹角相等、③三组边对应成比例的两个三角形相似。
变式5 如图所示，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝____________。
变式6 如图所示，已知点C，D在线段AB上，且AC＝4，BD＝9，△PCD是边长为6的等边三角形。（1）求证:△ACP△PDB；（2）求∠APB的度数。
考点4:利用判定定理一证明比例式或等积式
典例4 如图所示，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为点E，F，AE，AF分别交BD于点C，H，且AG＝AH.
（1）求证:四边形ABCD是菱形；
（2）延长AF，BC相交于点P，求证:BC2＝DF·BP。
思路导析:（1）根据等腰三角形的性质得到∠AGH＝∠AHG，等量代换得到∠BGE＝∠DHF，得到∠CBD＝∠CDB，于是得到BC＝CD，即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AD∥PB，AB∥CD，根据相似三角形的性质得到，等量代换即可得到结论。
解:（1）证明:∵AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG。
∵∠AGH＝∠BGE，∠DHF＝∠AHG，∴∠BGE＝∠DHF.
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，BD与AE，AF分别相交于点G，H，
∴∠BEG＝∠DFH.∴∠EBG＝∠FDH，即∠CBD＝∠CDB。
∴BC＝CD。∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥PB，AB∥CD
∴∠DAP＝∠P，∠ADH＝∠PBH，∠ABH＝∠FDH，∠BAH＝∠DFH。
∴△ADH∽△PBH，△ABH∽△FDH。∴∴
∵平行四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝AD.∴∴BC2＝DF·BP。
友情提示 本题考查了相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质及正确识图是解题的关键。
变式7 已知，如图所示，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD，BC相交于点E.求证:（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE·DC＝AB·DE.
变式8 如图所示，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E。
（1）求证:AG＝CG；
（2）求证:AG2＝GE·GF
考点5:判定定理一解决分类讨论问题
典例5如图所示，点D在△ABC的边AC上，过点D画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D，E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似。尽能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法。
思路导析:已知一个公共角，可以通过作平行线或作一个角等于已知角，得到两角对应相等，注意公共角和平行线的画法分两种情况。
解:如下图所示：
图①中，DE1∥BC，图②中，DE2∥AB，图③中∠ADE3＝∠B，图④中，∠CDE4＝∠B。
变式9 如图所示，点P是Rt△ABC的斜边上异于点B，C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这种条件的直线共有多少条？分别在什么位置？
变式10 在△ABC中，AB＝9，AC＝6.点M在边AB上，且AM＝3，点N在AC边上当AN＝_______时，△AMN与原三角形相似。
巩 固 提 高
1.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ）
A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角
2.如所，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（ ）
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
3.如图所示，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（ ）
A.100° B.120° C.115° D.135°
4.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示，AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB＝4，CD＝7，AD＝10，则AP的长等于__________。
6.如图所示，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为____________。
7.如图所示， ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE。
（1）求证:△BDE是直角三角形；
（2）如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由。
8.如图所示，将一个Rt△BPE与正方形ABCD叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段CD上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段AB重合。
（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有_______个，分别是____________；
（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP相似的证明.
9.如图所示，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，连接DE，交AC于点G，且∠E＝∠C.
（1）求证:AD2＝AF·AB；
（2）求证:AD·BE＝DE·AB.
10.如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证:△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD，AB，CD之间数量关系，并说明理由。
11.如图所示，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，求当DP的长为多少时△ADP与△BCP相似？
12.已知:如图所示，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，E是边AD上一点，BE⊥AC交AC于点F，BE，CD的延长线交于点G，且∠ABE＝∠CAD。
（1）求证:四边形ABCD是矩形；
（2）如果AE＝EG，求证:AC2＝BC·BG。
真 题 训 练
1.（2018·临安）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD＝4，DB＝2，则DE:BC的值为（ ）
A. B. C. D.
2.（2018·恩施）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点.已知FG＝2，则线段AE的长度为（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
3.（2018·荆门）如图所示，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长是（ ）
A. B. C. D.
4.（2018·邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形:_______________。
5.（2018·江西）如图所示，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1:对应相等 对应成比例 △ABC∽△A'B'C'
知识点2:对应边
知识点3:1.分别相等
考点突破
1.B 2.D 3.B 4.C 5.4
6.解:（1）证明::等边三角形PCD的边长为6，
∴PC＝PD＝6，∠PCD＝∠PDC＝60o。∴ ∠PCA＝∠PDB＝120°。
又∵AC＝4，BD＝9∴∴。
∴△ACP∽△PDB。
（2）∵△ACPC∽△PDB，∴∠APC＝∠B。∵∠PDB＝120°，∴∠DPB＋∠B＝60°。
∴∠APC＋∠DPB＝60°，∴∠APB＝∠CPD＋∠APC＋∠DPB＝120°。
7.证明:（1）∵∠ADB＝∠ACB，∴∠BDE＝∠ACE。∴△ACEC∽△BDE；
（2）∵△ACE∽△BDE，∴。
∴。∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EAB.∴。
∴。∴BE?DC＝AB·DE.
8.证明:（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB。∴∠F＝∠FCD。
在△ADG与△CDG中∴△ADG≌△CDG.∴∠EAG＝∠DCG。∴AG＝CG；
（2）∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠F。
∵∠AGE＝∠AGE，∴△AEGC∽△FGA，∴。∴AG2＝GE?GF。
9.解:共有三条。
①如图，PD1⊥AB时∵∠PD1B＝∠BAC＝90°，∠B＝∠B。∴△ BPD1∽△BCA；
②如图，PD2⊥AC时，∵∠PD2C＝∠BAC＝90o。∠C＝∠C，∴△PCD2∽△BCA；
③如图，PD3⊥BC时，∵∠CPD3＝∠CAB＝90°，∠C = ∠C，∴△CPD3∽△CAB.
10.2或4.5
巩固提高
1.C 2.B 3.B 4.B 5.
6.7 解析:如图所示，∵在R△ABC中∠C＝90o，放置边长分别3，4，x的三个正方形，
∴△CEF∽△OME∽△PFN。∴OE: PN = OM: PF。
∵EF＝x， MO＝3，PN＝4，∴OE＝x－3，PF＝x－4.
∴（x－3）:4＝3:（x－4）∴（x-3)(x-4）＝12.
∴x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝7.故答案为7.
7.解:（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OE＝OB，∴OE＝OD。
∴∠OBE＝∠OEB，∠ODE＝∠OED。∵∠OBE＋∠OEB＋∠ODE＋∠OED = 180°，
∴∠BED＝∠OEB＋∠OED＝90o。∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；
（2）△BDE与△DCE相似，理由:∵OE⊥CD，∴∠CEO＋∠DCE＝∠CDE＋∠DCE = 90°。
∴∠CEO＝∠CDE。∵∠OBE＝∠OEB，∴∠DBE＝∠CDE.
∵∠BED＝∠DEC＝90°，∴△BDE∽△DCE。
8.解:（1）3 Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF
（2）答案不唯一，如:Rt△EPB∽ Rt△BCP.
证明:∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP＋∠PBC＝∠C＝90°。
∵∠PBC＋∠BPC＝90o，∴∠ABP＝∠BPC.
又∵∠BPE＝∠C＝90o，∴Rt△BCP∽Rt△EPB。
9.证明:（1）由题意得∠BAC＝2∠B，∠DAB∠DAC.∴∠B＝∠DAB。
∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠BAD。∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD。∴△FAD∽△DAB。
∴，∴AD2＝AF?AB.
（2）∵∠B＝∠DAB，∴DA＝DB。
∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，∴△CAD≌△EBD。
∴AC＝BE，∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，∴△EBD∽△CBA。
∴，∵BD＝AD，AC＝BE.∴AD?BE＝DE?AB。
10.解:（1）证明:∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90o，∠BAE＋∠AEB = 90o。
∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90o。
∴∠DEC＝∠BAE。∴△ABE∽△ECD；
（2）Rt△ABE中，AB＝4，AE＝5，∴BE＝3.
∵BC＝5，∴EC = 5 － 3＝2。
由（1）得:△ABE∽△ECD，∴。∴，∴CD = ；
（3）线段AD，AB，CD之间数量关系：AD = AB+CD；
理由是:过E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠ADE＝∠EDC。
∵DC⊥BC，EF＝EC。∵DE＝DE。∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL.）
∴DF＝DC.同理可得:△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB。∴AD＝AF＋DF＝AB＋CD。
11解:①当△APD∽△PBC时，，即，解得:PD＝1或PD＝4；
②当△PAD∽△PBC时，即，解得:DP＝2.5。
综上所述，DP的长度是1或4或2.5。
12.证明:（1）∵BE⊥AC，∴∠AFB＝90°。∴∠ABE＋∠BAF＝90°。
∵∠ABE＝∠CAD，∴∠CAD＋∠BAF＝90o。即∠BAD＝90o。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；
（2）连接AG。∵AE＝EG，∴∠EAG＝∠EGA.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC.∴∠ABG = ∠BGC.
∵∠ABG＝∠CAD，∴∠CAD = ∠BGC.
∴∠AGC＝∠GAC.∴ CA＝CG。∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB。
∴∠ACB＝∠BGC.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCG＝90°。
∴∠BCG＝∠ABC，∴△BCG∽△ABC.∴。
∵CA＝CG，∴。∴AC2＝BC?BG.
真题训练
1.A 2.D 3.C 4.△EFC∽△AFD（答案不唯一）
5.解:BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD。∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD＝∠CBD。∴BC＝CD。∵BC＝4，∴CD＝4。
∵AB∥CD，∴∠A＝∠ECD，∠ABE＝∠D。∴△ABE∽△CDE。
∴。∴。∴AE＝2CE。
∵AC = 6 = AE+CE，∴AE = 4.