2019版八年级数学下册第十六章二次根式复习+试题（新版）新人教版含答案

第十六章　二 次 根 式
　 1.二次根式的相关概念
(1)正确理解二次根式的概念要把握以下几点:
①二次根式是从形式上定义的,必须含有二次根号;
②在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,都必须满足被开方数(式)是非负数;
③根指数是2;
④形如b(a≥0)的式子也是二次根式.
【例1】要使二次根式有意义,x必须满足 (　　)
A.x≤2 B.x≥2
C.x<2 D.x>2
【标准解答】选B.根据题意,得x-2≥0,解得x≥2.
(2)正确理解最简二次根式:
①被开方数中不含分母,也就是被开方数必须是整数或整式;
②被开方数中每个因数或因式的指数都是1.
【例2】下列二次根式中的最简二次根式是 (　　)
A. B.
C. D.
【标准解答】选A.=2,=2,=,而是最简二次根式.
1.要使代数式有意义,则x的 (　　)
A.最大值是 B.最小值是
C.最大值是 D.最小值是
2.下列属于最简二次根式的是 (　　)
A. B.
C. D.
2.非负数性质的应用
在实数范围内,正数和零统称非负数.我们已学过的非负数有如下形式:
(1)任何一个数a的绝对值是非负数,即|a|≥0.
(2)任何一个数a的平方是非负数,即a2≥0.
(3)任何非负数的算术平方根是非负数,即≥0(a≥0).
即若a为实数,则a2,|a|,(a≥0)均为非负数.
非负数具有以下性质:
(1)非负数的最小值为零.
(2)有限个非负数的和仍是非负数.
(3)若几个非负数的和等于零,则每个非负数都等于零.
【例】若x,y为实数,且|x+2|+=0,则(x+y)2 016的值为　　　　.?
【标准解答】根据绝对值和算术平方根的意义可知,
|x+2|≥0,≥0,
又因为|x+2|+=0,
因此|x+2|=0,=0,
∴x+2=0,y-3=0,∴x=-2,y=3,
∴(x+y)2 016=1.
答案:1
1.已知实数x,y满足-1+|y+3|=0,则x+y的值为 (　　)
A.-2 B.2 C.4 D.-4
2.若+(y+2)2=0,则(x+y)2 014等于 (　　)
A.-1 B.1 C.32 014 D.-32 014
3.化简二次根式的技巧
(1)被开方数是带分数
先把带分数化成假分数,再把分子、分母乘以适当的数,把分母变成平方数,应用商的算术平方根的性质把分母中的数开出来.
【例1】化简:.
【标准解答】原式====.
(2)被开方数为单项式
先把单项式写成数或字母积的平方与另一因式积的形式,再把能开出来的数或字母开出来.
【例2】化简:.
【标准解答】=
=2ab2.
(3)被开方数为多项式
先把多项式分解因式成数或字母积的平方与另一因式积的形式,再把能开出来的数或字母开出来.
【例3】化简:.
【标准解答】原式=
=2x2y.
　　(4)被开方数是分式
把分式的分母和分子乘以适当的数或字母,把分母变成平方数(式),应用商的算术平方根的性质把分母中的数或字母开出来.
【例4】化简:.
【标准解答】原式=
==.
1.化简的结果是 (　　)
A.4 　 B.2 　C.3 　 D.2
2.化简:=　　　　.?
3.若=3-x,则x的取值范围是　　　　.?
4.二次根式的有关运算
(1)二次根式的乘除运算有两种策略:一是先把它们都化成最简二次根式,再乘除;二是先乘除,再逆用法则化简.要根据题目的特点灵活选择,单纯的乘除混合运算,一般采用第二种方法.
【例1】计算×的结果是 (　　)
A.　　 B.4　　 C.　　 D.2
【标准解答】选B.×==4.
(2)二次根式的加减运算,可以简记为“一化,二找,三合并”,即①把二次根式化成最简二次根式;②找出被开方数相同的根式;③合并被开方数相同的二次根式.(被开方数不同的不能合并)
【例2】计算-3=　　　　 .?
【标准解答】原式=2-3×=2-=.
答案:
(3)二次根式的混合运算,首先要搞清楚运算的顺序,其次是认真观察式子的结构特点,能利用运算律或公式的,要优先考虑使用运算律或公式(或公式的逆用),简化运算.在有理数范围内成立的运算律、运算法则、公式及因式分解、约分、通分等方法对二次根式同样适用.
【例3】计算:×=　　　　.?
【标准解答】原式=-=9-1=8.
答案:8
1.计算:-2等于　　　　.?
2.计算的结果是　　　　.?
3.计算:(+)2-=　　　　.?
　　5.数学思想在解答二次根式题目中的应用
(1)转化思想
转化思想是将不易解决的问题变成我们容易解决的问题,从而达到将抽象转化为具体,复杂转化为简单的一种数学思想.如例1中,将复杂的形式转化成积的乘方的形式,再利用平方差公式知识求解.
【例1】计算(1+)2 012(1-)2 013.
【标准解答】原式=
(1+)2 012(1-)2 012(1-)
=(1-)
=(-1)2 012(1-)=1-.
(2)分类讨论思想
有的数学问题可能有几种情况,在未具体指明哪种情况时,需要对各种情况进行讨论,确保“不重不漏”.
【例2】已知|a|=2,=4,且ab<0,则a+b的值为　　　　.?
【标准解答】|a|=2,则a=±2, =4,
则|b|=4,b=±4.
又ab<0,则当a=2时,b=-4.
当a=-2时,b=4.于是a+b=-2或2.
(3)整体思想
整体思想就是化零为整,化分散为集中的一种思想方法.有的题目直接代入计算比较繁琐,且比较容易出错.仔细观察所求的代数式发现可以变形,整体代入计算可起到化繁为简的目的.
【例3】当x=-,y=+时,求x2+xy+y2的值.
【标准解答】x2+xy+y2=(x+y)2-xy,
又x+y=2,xy=-1.
于是x2+xy+y2=(2)2-(-1)=9.
(4)数形结合思想
我国著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.” 本例利用数形结合思想,通过观察和分析可从数轴上获取一些信息,然后结合二次根式的性质解决问题.
【例4】实数a,b在数轴上的位置如图所示,
化简 --.
【标准解答】通过观察数轴可以看到a<0,b>0.
于是a-b<0,所以原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+(a-b)=-2b.
1.实数a在数轴上的位置如图所示,则+ 化简后为 (　　)
A.7 B.-7
C.2a-15 D.无法确定
2.已知x=1-,y=1+,求x2+y2-xy-2x+2y的值.
答案解析：
1.二次根式的相关概念
【跟踪训练】
1.【解析】选A.由二次根式有意义的条件得2-3x≥0,∴x≤,故选A.
2.【解析】选A.因为B.,被开方数中含有分母,C.==,D.=3.
2.非负数性质的应用
【跟踪训练】
1.【解析】选A.∵+|y+3|=0,
∴x-1=0,y+3=0;∴x=1,y=-3,
∴原式=1+(-3)=-2.
2.【解析】选B.∵+(y+2)2=0,
∴解得
∴(x+y)2 014=(1-2)2 014=1.
3.化简二次根式的技巧
【跟踪训练】
1.【解析】选B.=2.
2.【解析】==2.
答案:2
3.【解析】∵≥0,
∴3-x≥0,即x≤3.
答案:x≤3
4.二次根式的有关运算
【跟踪训练】
1.【解析】原式=3-2×=3-=2.
答案:2
2.【解析】原式=×=5.
答案:5
3.【解析】(+)2-=5+2-2=5.
答案:5
5.数学思想在解答二次根式题目中的应用
【跟踪训练】
1.【解析】选A.由数轴可知5∴+=a-4+11-a=7.
2.【解析】∵x=1-,y=1+,
∴x-y=(1-)-(1+)=-2,
xy=(1-)(1+)=-1.
x2+y2-xy-2x+2y
=(x-y)2-2(x-y)+xy
=(-2)2-2×(-2)+(-1)
=7+4.