【鲁教版八下精美学案】9.4.2 探索三角形相似的条件（知识构建+考点归纳+真题训练）

第九章 图形的相似
第4节 探索三角形相似的条件
第2课时
知 识 梳 理
知识点1 相似三角形的判定定理二
1.定理：两边__________且夹角_________的两个三角形相似。
2.符号语言:
如图所示，如果，且∠A＝∠A'，则△ABC∽△A′B′C′。
注意（1）当两边对应成比例时，只有具备“夹角”相等才能相似，并不是任意角相等；仅两边成比例，其中一边所对的角相等的两个三角形不一定相似。（2）找夹角相等的条件应充分考虑“对顶角”“公共角”。（3）当条件有两边的长度或已知两边对应成比例时，可考虑找两边的夹角对应相等来得到两三角形相似。（4）特别地，若两个直角三角形的两直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。
知识点2 证明相似三角形的一般思路
（1）有一对等角，找
①另一对等角→两角分别相等的两个三角形相似；
②等角的两边成比例→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（2）有两边成比例，找
夹角相等→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三角形是直角三角形，找
①一对锐角相等→两角分别相等的两个三角形相似；
②两组直角边成比例→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（4）三角形是等腰三角形，找
①顶角相等→求出底角，两角分别相等的两个三角形相似；
②一对底角相等→另一对底角也相等，两角分别相等的两个三角形相似。
考 点 突 破
考点1:相似三角形的判定定理二
典例1 在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
思路导析:根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案。
答案:D
友情提示 此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两个三角形相似是解题关键。
变式1 如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形.若OA:OC＝OB:OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似
变式2 如图所示，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A. B. C. D.
考点2:利用相似三角形的判定定理二进行计算
典例2已知:如图所示，O为△ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，OC上的点，且OA':AA′＝OB':BB'＝1:2，OC':CC′＝2:1，且OB＝6.
（1）求证:△OA'B'∽△OAB；
（2）以O，B'，C'为顶点的三角形是否可能与△OBC相似？如果可能，求OC的长；如果不可能，请说明理由。
思路导析:（1）根据两边成比例夹角相等即可证明；（2）要使以O，B'，C'为顶点的三角形与△OBC相似，只要满足，想办法构建方程即可解决问题.
解：（1）证明:∵OA':AA'＝OB':BB'＝1:2，∴OA＇:OA＝OB′:OB＝1:3.
∵∠A′OB′＝∠AOB，∴△OA＇B′∽△OAB；
（2）可能相似.理由如下:
∵OA':AA'＝OB＇:BB′＝1:2，OB＝6，∴OB'＝2.
∵OC':CC'＝2:1，∠COB＝∠C'OB'，设CC＇＝x，OC′＝2x，OC＝3x，
要使以O，B'，C'为顶点的三角形与△OBC相似，只要满足，
∴，∴x＝±，∵x＞0，∴x＝.∴OC＝3。
友情提示 本题考查相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会构建方程解决问题。
变式3 如图所示，在△ABC中，CD是边AB上的高，且。
（1）求证:△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小。
变式4 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，连接BE。
（1）求证:△ABE∽△DEF
（2）若正方形的边长为4，求BG的长。
考点3:利用相似三角形的判定定理二进行相关证明
典例3 如图所示，在正方形 ABCD中，P为CD的中点，Q为BC上一点，且PC＝2CQ.
求证:△PCQ∽△ADP.
证明:∵四边形ABCD是正方形，P为CD的中点，∴AD＝CD＝2PD，
∠C＝∠D＝90°，∵PC＝2CQ，∴，又∵∠C＝∠D＝90°，∴△PCQ∽△ADP。
友情提示 当条件有两边和长度或已知两边对应成比例时，可考虑找两边的夹角对应相等来证明两三角形相似。
变式5 如图所示，已知AC＝AB＝BE，AD＝DB，且点A，D，B，E在同一直线上。
求证:△ADC∽△ACE。
变式6 如图所示，在△ABC中，CD＝2BD，CG＝2FG.求证:DG∥AB。
考点4:利用相似三角形的判定定理二解决分类讨论问题
典例4 将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长度是_______。
思路导析:根据折叠得到FD＝CF，设CF＝x，则BF＝4 - x，以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况:①∠BFD＝∠C，②∠BFD＝∠A，由三角形相似的性质得出比例式，解方程即可求出x的长。
解:△ABC沿EF折叠使点C和点D重合，∴FD＝CF。设CF＝x，则BF＝4-x，
以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况:
①若∠BFD＝∠C，则，即，解得x＝；
②若∠BFD＝∠A，则，即＝1，解得x＝2.
综上所述，CF的长为或2。答案:或2。
友情提示 注意分类讨论问题的标志性语言是文字相似而非符号相似，因此其对应关系不确定，所以一定要分类讨论，如本题在有公共角∠B的条件下，还需分两种情况:①∠BFD＝∠C,②∠BFD＝∠A，由三角形相似的性质得出比例式，构造方程求解.
变式7 如图所示，正方形ABCD的边长为2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端点在CD，AD上滑动，当DM为（ ）时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似。
A. B. C.或 D.或
巩 固 提 高
1.下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A.∠ABD＝∠ACB B.∠ADB＝∠ABC C.AB2＝AD·AC D.

2.如图所示，如果∠1＝∠2，那么添加下列任何一个条件:
（1），（2），（3）∠B＝∠D，（4）∠C＝∠AED，
其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图所示，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A.∠DAC＝∠ABC B.AC是∠BCD的平分线
C.AC2＝BC·CD D.
4.如图所示，在△ABC中，点P在边AB上，则在下个条件中:①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
5.如图所示，已知:∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝2，当AB的长为________时，△ACB与△ADC相似。
6.如图所示，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为______或______时，使得由点B，O，C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）。
7.已知:如图所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，且AD＝AE，连接DE.若AC＝6，AB＝10.求证:△ADE∽△ACB。
8.如图所示，已知:∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40。
求证:△ABC∽△AED。
9.如图所示，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。
（1）填空:∠ABC＝_______°，BC＝___________；
（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论。
10.如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB·AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点。（1）求证:△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值。
11.如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE·DF。
（1）求证:△BFD∽△CAD；
（2）求证:BF·DE＝AB·AD.
12.如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F。
（1）求证:DF是BF和CF的比例中项；
（2）在AB上取一点G，如果AE·AC＝AG·AD，求证:EG·CF＝ED·DF。
真 题 训 练
1.（2018·临安区）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
2.（2018·永州）如图所示，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
3.（2018·云南）如图所示，已知AB∥CD，若，则___________。
4.（2018·北京）如图所示，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为__________。
5.（2018·济宁节选）如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G。
猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论.
参考答案及解析
知识梳理
知识点1:1.成比例 相等
考点突破
1.B 2.C
3.解:（1）证明:∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90o。
又∵，∴△ACD∽△CBD。
（2）∵△ACDC∽△CBD，∴∠A＝∠BCD。
又∵∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°。
4.解:（1）证明:在正方形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD。
∵AE = ED ， DF =DC，∴AE＝ED＝AB， DF＝AB。
∴，∴△ABE∽△DEF；
（2）∵AD∥CG，∴∠DEF＝∠G，∠D＝∠DCG.∴△EFD∽△GFC.
∴。∵DE＝AB＝2.∴CG = 6。∴BG = 10。
5.证明:∵AD＝DB，AB＝AC，∴，
由于AB＝BE＝AC，故有，∴。
又∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACE。
6.证明:∵CD＝2BD，CG＝2FG，∴BC＝3BD， CF＝3CG。
∴，。∴。∵∠1＝∠1，∴△CDG∽△CBF。
∴∠2＝∠B，∴DG∥AB。
巩固提高
1.D 2.C 3.C 4.D 5.4 6.（-1，0） （1，0）
7.证明:∵AC＝6，AB＝10，∴，∵AD=AE，∴。
∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
8.证明:∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.
∴，。∴，∵∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED。
9.解:（1）135 2
（2）相似.理由如下：
∵BC＝2，EC＝。∴，。∴。
由图和题意可得:∠ABC＝∠CED＝135o，△ABC∽△DEC.
10.解（1）证明:AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB。∵AC2 = AB·AD，
∴，∴△ADC∽△ACB；
（2）CE∥AD。
理由如下:∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90o，
∵点E为AB的中点，∴CE = AE = AB。
∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA。∴CE∥AD。
（3）由（2）得，CE＝AB＝3，∵CE∥AD，
∴，∴。
11、证明:（1）:AD2＝DE?DF，∴。∵∠ADF＝∠EDA
∴△ADF∽△EDA，∴∠F＝∠DAE。又∵∠ADB＝∠CDE。
∴∠ADB＋∠ADF＝∠CDE＋∠ADF。即∠BDF＝∠CDA，∴△BFD∽△CAD；
（2）△BFD∽△CAD，∴，∵，∴。
∵△BFD∽△CAD，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC。
∴，∴BF?DE＝AB?AD。
12、证明:（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD＝∠A，∠ADC＝90°。
∵E是AC的中点，∴DE = AE＝CE。∴∠ADE＝∠A。
∴∠BCD＝∠ADE，又∠ADE＝∠FDB，∴∠FCD＝∠FDB.
∵∠CFD＝∠DFB，∴△CFD∽△DFB。∴DF2＝BF?CF。
（2）∵AE?AC＝AG?AD，∴，∵∠A＝∠A，∴△AEG∽△ADC.
∴EG∥BC。△EGD∽△FBD，∴.∴，∴.∴EG·CF = ED·DF。
由（1）知:△CFD∽△DFB，
∴，∴.∴EG·CF
真题训练
1.B 2.B 3. 4.
5.解:结论；CF＝2DG.
理由:四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝CD＝AB，∠ADC＝∠C＝90°。
∵DE＝AE，∴AD=CD=2DE.∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°。
∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°。
∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF.
∴，∴CF=2DG。