第8节 机械能守恒定律 （第2课时）
机械能守恒定律
1．内容
在只有____或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能________．
重力
保持不变
2．表达式
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2
知识回顾
例1．如图7－8－1所示装置中，木块与水平桌面间的接触面是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，则从子弹开始射木块到弹簧压缩至最短的整个过程中( )
A．子弹与木块组成的系统机械能守恒
B．子弹与木块组成的系统机械能不守恒
C．子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒
D．子弹、木块和弹簧组成的系统机械能不守恒
解析：选BD.从子弹射木块到木块压缩至最短的整个过程中，由于存在机械能与内能的相互转化，所以对整个系统机械能不守恒．对子弹和木块，除摩擦生热外，还要克服弹簧弹力做功，故机械能也不守恒．
机
械
能
是
否
守
恒
的
判
断
练习、下列运动中能满足机械能守恒的是( )
A．手榴弹从手中抛出后的运动(不计空气阻力)
B．子弹射穿木块
C．细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动
D．吊车将货物匀速吊起
E．物体沿光滑圆弧面从下向上滑动
F．降落伞在空中匀速下降
ACE
例2．如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m的小球，从轻弹簧的正上方某一高处自由落下，并将弹簧压缩，直到小球的速度变为零．对于小球、轻弹簧和地球组成的系统，在小球开始与弹簧接触时起到小球速度变为零的过程中，有( )
A．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越大
B．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越小
C．小球的动能和重力势能的总和越来越大，小球的动能和弹性势能的总和越来越大
D．小球的动能和重力势能的总和越来越大，小球的动能和弹性势能的总和越来越小
A
【例题 3】物体从高h处沿光滑轨道滑下后，在光滑环内做圆周运动.设圆环半径为R，要求物体能通过圆环最高点，且在最高点与轨道间的压力不能超过5mg，求h的取值范围?
null
h
R
解：从初始位置运动到圆轨道最高点过程，根据机械能守恒定律，以地面为势能参考平面1/2·mv2+mg·2R=mgh ①
在最高点轨道对物体弹力为FN ，由牛顿第二定律，
mg+FN=mv2/R ②
0≤FN≤5mg ③
联立①②③解得 2.5R ≤ h ≤5R
机械能守恒与圆周运动的综合
练习：如图所示，半径为R的半圆槽木块固定在水平地面上，质量为m的小球以某速度从A点无摩擦地滚上半圆槽，小球通过最高点B后落到水平地面上的C点，已知AC=AB=2R。
求：①小球在B点时的速度？
②小球对B点的压力
③小球在A点时的速度大小为多少？
N=m －mg=0
多个物体机械能守恒
例4.如图，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离时砝码未落地，木块仍在桌面上，这时砝码的速率为多少？
解析：对木块和砝码组成的系统内只有重力势能和动能的转化，故机械能守恒，以砝码末位置所在平面为参考平面，由机械能守恒定律得：
练习：如图所示，物体A和B系在跨过定滑轮的细绳两端，物体A的质量mA＝1.5 kg，物体B的质量mB＝1 kg.开始时把A托起来，使B刚好与地面接触，此时物体A离地面高度为h＝1 m，放手让A从静止开始下落，g取10 m/s2，求：
(1)当A着地时，A的速度多大？
(2)物体A落地后，B还能上升多高？
v＝2 m/s.
H＝0.2 m
例5．如图小球AB质量分别是m、2m.通过轻绳跨在半径为R光滑的半圆曲面上。由静止释放。求小球A刚到半圆顶端时的速度？
解析：对两球组成的系统，在运动过程中, 只有重力势能和动能转化，机械能守恒，选取初位置所在平面为参考平面，由机械能守恒定律得：
练习.一条长为L的均匀链条，放在光滑水平桌面上，链条的一半垂于桌边，如图所示?现由静止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度为多大?
例6、如图所示，质量不计的轻杆一端安装在水平轴O上，杆的中央和另一端分别固定一个质量均为m的小球A和B(可以当做质点)，杆长为l，将轻杆从静止开始释放，不计空气阻力．当轻杆通过竖直位置时，求：小球A、B的速度各是多少？
【思路点拨】 A球和B球单独随轻杆在空间转动时它们运动的快慢程度是不同的，即A、B球和轻杆一起转动的过程中，轻杆对A、B球做功，因此两球机械能均不守恒，但以A、B(包括轻杆)作为一个系统，只有小球的重力和系统弹力做功，系统机械能守恒．
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第七章 机械能守恒定律
7.8机械能守恒定律(第2课时）
一选择题
1．长为的细线一端固定，另一端系一质量为的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动（不计空气阻力），小球到最高点时恰好能使线不至松驰，当球位于圆周的最低点时其速率为（ ）
A． B． C． D．
2．在下列所描述的运动过程中，若物体所受的空气阻力均可忽略不计，则机械能守恒的是 （ ）
A．小孩沿滑梯匀速滑下
B．电梯中的货物随电梯一起匀速下降
C．被投掷出的铅球在空中运动
D．发射过程中的火箭加速上升
3．（多选）如图，在地面上以速度υ0抛出质量为m的物体，抛出后物体落在比地面低h的海平面上，若以地面为零势能参考面，且不计空气阻力，则（ ）
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为
D．物体在海平面上的机械能为
4．如图所示，一根跨过光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员（可视为质点），a站在滑轮正下方的地面上，b从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态，当演员b摆至最低点时，a刚好对地面无压力，则演员a的质量与演员b的质量之比为 （ ）
A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1
5．如图光滑轨道由半圆和一段竖直轨道构成，图中H=2R，其中R远大于轨道内径．比轨道内径略小的两小球A、B用轻绳连接，A在外力作用下静止于轨道右端口，B球静止在地面上，轻绳绷紧．现静止释放A小球，A落地后不反弹，此后B小球恰好可以到达轨道最高点．则A、B两小球的质量之比为 （ ）
A．3:1 B. 3:2 C.7:1 D.7:2
6．如图小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由a→b→c的运动过程中 （ ）
A.小球的机械能守恒
B.小球的重力势能随时间一直减少
C.小球的动能先从0增大，后减小到0，在b点时动能最大
D.到c点时小球重力势能为0，弹簧弹性势能最大。
计算题
7.如图所示,光滑的桌面上,有一条粗细均匀的链条,全长为L, 垂下桌边的部分长度为a,链条在上述位置静止释放,则链条的上端离开桌面时,链条的速度为多少？
8：如图所示，质量为20 kg的小明坐在秋千板上荡秋千，已知绳长2.5 m，秋千板的质量为5 kg，小明和秋千板运动到最低点时速度为5 m/s.不计空气阻力和绳的质量，小明可视为质点，g＝10 m/s2.求：
(1)小明的最大动能；
(2)秋千板上升的最大高度；
(3)运动到最低点时绳对秋千板的拉力．
9. 如图所示，在质量不计长为L 的不能弯曲的轻直杆的一端和中点分别固定两个质量均为m 的小球A、B，杆的另一端固定在水平轴O处，杆可以在竖直面内无摩擦地转动，让杆处于水平状态，从静止开始释放，当杆转到竖直位置时，两球速度vA、vB分别为多少？
10、如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M = km的小物块相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．（重力加速度为g）．
⑴ 求小物块下落过程中的加速度大小；
⑵ 求小球从管口抛出时的速度大小；
⑶ 试证明小球平抛运动的水平位移总小于L．
11．如图所示，斜面的倾角＝30°，另一边与地面垂直，高为，斜面顶点有一定滑轮，物块A和B的质量分别为和，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮，开始时两物体与地面的垂直距离均为，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落，且落地后不反弹。若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求和的比值．（滑轮的质量、半径和摩擦均可忽略不计）
12．如图所示，半径=0.4m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A．一质量=0.1kg的小球，以初速度=8m/s在水平地面上向左作加速度=4m/s2的匀减速直线运动，运动4m后，冲上竖直半圆环，经过最高点B最后小球落在C点。取重力加速度=10m/s2。求：
（1）小球到达A点时速度大小；
（2）小球经过B点时对轨道的压力大小；
（3）A、C两点间的距离。
13．如图所示，半径R=0.6m的光滑圆弧轨道BCD与足够长的粗糙轨道DE在D处平滑连接，O为圆弧轨道BCD的圆心，C点为圆弧轨道的最低点，半径OB、OD与OC的夹角分别为53°和37°。将一个质量m=0.5kg的物体(视为质点)从B点左侧高为h=0.8m处的A点水平抛出，恰从B点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物体与轨道DE间的动摩擦因数=0.8，重力加速度g取10m/s2，sin37°=0. 6，cos37°=0.8。求：
（1）物体水平抛出时的初速度大小v0；
（2）物体在轨道DE上运动的路程s。
14．某水上游乐场举办了一场趣味水上比赛．如图所示，质量m=60kg的参赛者（可视为质点），在河岸上A点双手紧握一根长L=5.0m的不可伸长的轻绳，轻绳另一端系在距离水面高H=10.0m的O点，此时轻绳与竖直方向的夹角为θ=37°，C点是位于O点正下方水面上的一点，距离C点x=5.0m处的D点固定着一只救生圈，O、A、C、D各点均在同一竖直面内，若参赛者双手抓紧绳端点，从台阶上A点沿垂直于轻绳斜向下以一定的初速度跃出，当摆到O点正下方的B点时松开手，此后恰能落在救生圈内。（sin37°=0.6，cos37°=0.8， g=10m/s2）
（1）求参赛者经过B点时速度的大小v；
（2）求参赛者从台阶上A点跃出时的动能EK；
（3）若手与绳之间的动摩擦因数为0.6，参赛者要顺利完成比赛，则每只手对绳的最大握力不得小于多少？（设最大静摩擦等于滑动摩擦力）
答案
1．D
【解析】
试题分析：小球到最高点时恰好能使线不至松驰，小球的重力提供向心力，，从最高点运动到最低点运用动能定理，，可以的出最低点速率为，所以D项正确；A、B、C项错误。
考点：本题考查了竖直面内的圆周运动
2．C
【解析】
试题分析：小孩沿滑梯匀速滑下时，小孩要受到阻力的作用，故机械能减小；电梯中的货物随电梯一起匀速下降时，动能不变，重力势能减小，故机械能减小；被投掷出的铅球在空中运动中，只受重力作用，故机械能守恒；发射过程中的火箭加速上升中，动能和势能都增大，故机械能变大；故选C.
考点：机械能守恒.
3．AC
【解析】
试题分析：重力做功只与初末位置有关，而与实际路径无关，所以，重力对物体做的功为mgh,A正确；物体在海平面的重力势能为-mgh，B错误；根据动能定理，物体在海平面上的动能为，C正确；此过程机械能守恒，物体在海平面上的机械能为，D错误；故选AC。
考点：功能关系、机械能守恒、动能定理。
4．B
【解析】
试题分析：b摆动过程中满足机械能守恒有：，在最低点有：，可得.当a刚好对地面无压力时，有,同一根绳，所以，故A、C、D错误,B正确．故选B．
考点：本题考查机械能守恒定律、匀速圆周运动、平衡条件。
5．A
【解析】
试题分析：当A球刚好落地时，对AB系统由机械能守恒定律可得：，当A落地后B球上升到最高点时有；由于B小球恰好可以到达轨道最高点，则v1=0；解得：mA:mB=3:1，故选A.
考点：机械能守恒定律；牛顿第二定律。
6．B
【解析】
试题分析：由于小球在接触弹簧后受弹簧向上的弹力作用，且弹力对小球做负功，故小球的机械能减小，选项A错误；因小球位置不断降低，故小球的重力势能随时间一直减少，选项B正确；小球的速度从0开始增加，接触弹簧后做加速度逐渐减小的加速运动，当弹力和重力相等时，加速度为零，此时速度最大，然后小球再做减速运动到最低点，故小球的动能先从0增大，后减小到0，在b点以下的某位置时动能最大，选项C错误；小球到达c点时弹性势能最大，但是由于没规定零重力势能点，故c点的重力势能大小无法确定，故选项D错误；故选B.
考点：运动和力的关系；能量守恒关系.
〖考点4〗机械能守恒定律的应用
8（1）设小明的质量为,秋千的质量为,运动到最低点时，小明的速度最大，对应的动能最大
（2）设秋千上升的最大高度为h，将小明和秋千看成一个整体,
由动能定理得，
解得：h=1.25m
（3）仍然将小明和秋千看成一个整体，在最低点属于圆周运动，向心力由绳的拉力和小明秋千的总重力提供如图所示，由圆周运动的向心力公式列方程：
解得：F=500N
F
9
由于两球转动时的角速度相同
解得：
【答案】
10 ⑴ 设细线中的张力大小为T，根据牛顿第二定律得Mg – T = Ma、T – mgsin 30° = ma 且M = km 解得a = g．
⑵ 设M落地时速度大小为v1，m射出管口时速度大小为v0，M落地前由机械能守恒定律得mg·Lsin 30° – mg·Lsin 30°·sin 30° = (M＋m) v12/2；对m，M落地后由机械能守恒定律得mv12/2 – mg(L – Lsin 30°)sin 30° = mv02/2 联立解得v0 = （k＞2）．
⑶ 小球做平抛运动，则x = v0t，Lsin 30°= gt2解得x = L
由＜，得x＝L＜L．
11．
【解析】
试题分析：B落地前瞬间，A、B组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律
B落地后，以A为研究对象，A上升到最高点过程中，根据动能定理
联立两方程可以得出：
考点：本题考查了机械能守恒定律和动能定理
12．（1）（2）3N（3）1.6m
【解析】
试题分析：（1）小球做匀减速运动，运动学公式
得出A点的速度为
（2）从A点到B点应用动能定理
得出
B点根据牛顿第二定律
得出支持力为
由牛顿第三定律小球对轨道的压力为
（3）通过B点小球做平抛运动
水平位移为
考点：本题考查了匀变速运动、圆周运动和平抛运动
13．（1）3m/s（2）1.1m
【解析】
试题分析：（1）由平抛运动规律知
竖直分速度m/s
初速度v0=m/s
（2）因，物体在DE向上匀减速到零后不会下滑
对从A至D点的过程，由机械能守恒有
从D到上滑至最高点的过程，由动能定理有
代入数据可解得在轨道DE上运动通过的路程m
考点：考查了机械能守恒定律，动能定理，平抛运动
14．（1）5m/s（2）150J（3）750N
【解析】
试题分析：（1）B到D作平抛运动，由，，得v=5m/s （4分）
(2)从A到B，应用动能定理，，得Ek=150J （3分）
(3)设绳子对手的作用力为F，得，得F=750N （2分）
根据牛顿第三定律每只手对绳子的握力为 （1分）
考点：本题考查了平抛运动和圆周运动
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第七章 机械能守恒定律
第8节机械能守恒定律导学案（第2课时）
【学习目标】
在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能列出机械能守恒的方程式
【重点难点】
机械能守恒定律的理解和应用。
【学法指导】
限时完成训练，体会机械能守恒的条件。
【教学过程】
1．重力势能：
⑴ 重力做功的特点：① 重力做功与 无关，只与始末位置的高度差有关；② 重力做功 引起物体机械能的变化．
⑵ 重力势能：物体由于被举高而具有的能，用Ep = 来表示；重力势能是标量，正负既表示其____________，也表示其 ________________．
⑶ 重力做功与重力势能变化的关系：① 定性关系：重力对物体做正功，重力势能就 ；重力对物体做负功，重力势能就 ．② 定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的 量，即WG = – (Ep2 – Ep1) = – ΔEp．
2．弹性势能：物体由于 而具有的能；弹簧的弹性势能的大小与 及 有关，弹簧的 越大， 越大，弹簧的弹性势能越大；弹力做功正功，弹性势能 ；弹力做负功，弹性势能 ，即WF = –ΔEp．
3．机械能： 和 统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能．
4．机械能守恒定律：在只有 力或 力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
⑴ 机械能守恒条件：只有 力或弹簧的 力做功．
⑵ 常用表达式：mgh1 + mv12 = mgh2 + mv22．
⑶ 几种观点：① 守恒观点：E1 = E2 需要选择零势能参考平面；② 转化观点：ΔEk = –ΔEp 不需要选择零势能参考平面；③ 转移观点：ΔEA = –ΔEB 不需要选择零势能参考平面．
5. 多物体机械能守恒问题的分析方法：
(1) 对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2) 注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系
(3) 列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk ＝－ΔEp 或 ΔEA＝ －ΔEB的形式。
6. 多物体机械能守恒问题的三点注意：
(1) 正确选取研究对象。
(2) 合理选取物理过程。
(3) 正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解。
例1、如图所示，一个斜面与竖直方向的夹角为30°，斜面的下端与第一个光滑圆形管道相切，第二个光滑圆形管道与第一个圆形管道也相切．两个光滑圆形管道粗细不计，其半径均为R，小物块可以看作质点．小物块与斜面的动摩擦因数为μ，物块由静止从某一高度沿斜面下滑，至圆形管道的最低点A时，对轨道的压力是重力的7倍．求：
⑴ 物块到达A点时的速度；
⑵ 物块到达最高点B时，对管道压力的大小与方向；
⑶ 物块在斜面上滑动的时间．
练习. (多选)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是( )
A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2
C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R
D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R
例2、如图所示，质量均为m的物体A和B，通过轻绳跨过定滑轮相连．斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦．开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，使A、B两物体均静止。现将手撤去。
(1) 求A 物体将要落地时的速度为多大？
(2) A 物体落地后，B 物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，则B 物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大？
练习1、 如图所示，质量分别为2m 和m 的可视为质点的小球A、B，用质量不计且不可伸长的细线相连，跨在固定的底面半径为R 的光滑圆柱体两侧。开始时A 球和B 球均与圆柱体轴心O 等高，然后释放两球，则B 球到达圆柱体最高点时的速度为多大？
练习2. 如图所示，物体A 和B 系在跨过定滑轮的细绳两端，物体A 的质量为1.5 kg，物体 B 的质量为1 kg，开始时把物体A 托起，使B 刚好与地接触，这时物体A 离地面的高度为1 m，放手后让A 由静止开始下落，当A 着地时，物体A的速度为多少？(取g＝10 N/kg)
重力势能的变化与运动的过程无关，只与初、末状态有关，对于不可视为质点的物体(常见于“链条、液柱”模型)，可对物体分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化，只要研究对象在变化过程中符合机械能守恒条件，即可用机械能守恒定律进行求解。这种思想也是解决变力做功过程中势能变化的基本方法。
例3、 如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，斜面倾角为θ，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大？
关于绳索、链条之类的问题，由于在运动过程中物体的重心位置并不是固定不变的，正确确定重心的位置，是解决该类问题的关键.一般情况下，先分段考虑各部分的重力势能，然后将各部分的重力势能之和作为整体的重力势能。
练习1. 如图所示，在光滑的水平桌面上放置一根长为l的链条，链条沿桌边挂在桌外的长度为a，链条由静止开始释放，求链条全部离开桌面时的速度是多少？
例4. 质量分别为m 和2m 的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球 处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q 球顺时针摆动到最低位置时，求：
(1) 小球P 的速度大小；
(2) 在此过程中小球P 机械能的变化量。
练习. 如图所示，在质量不计长为L 的不能弯曲的轻直杆的一端和中点分别固定两个质量均为m 的小球A、B，杆的另一端固定在水平轴O处，杆可以在竖直面内无摩擦地转动，让杆处于水平状态，从静止开始释放，当杆转到竖直位置时，两球速度vA、vB分别为多少？
答案：1．路径 不 mgh 相对零势能面的高低，也表示势能的大小 减少 增加
2．发生弹性形变 形变量 劲度系数 形变量 劲度系数 减少 增加
3．动能 势能
4．重 弹 重 弹
例1 ⑴ 设小物块在A点时速度为vA，由牛顿第二定律得7mg – mg = mvA2/R ①
解 ① 式得vA = ②
⑵ 设小物块在B点时速度为vB，从A到B，小物块机械能守恒，有mvA2 = mg·2R + mvB2 ③ 解得vB = > ，所以小物块对上管壁有压力．由牛顿第二定律得FN + mg = mvB2/R ④ 解得FN = mg ⑤ 由牛顿第三定律知，物块对轨道压力的大小为mg，方向竖直向上．
⑶ 如图所示，设斜面末端为C，物块在此点的速度为vC，从C到A过程机械能守恒，有mvC2 + mgh = mvA2 ⑥ 由几何关系得h = R(1 – sin 30°) ⑦ 物块在斜面上运动，由牛顿第二定律得mgcos 30° – μmgsin 30° = ma ⑧ 由运动规律得vC = at ⑨ 解②⑥⑦⑧⑨ 式得t = ．
练习. 解析 要使小球从A点水平抛出，则小球到达A点时的速度v>0，根据机械能守恒定律，有mgH－mg·2R＝mv2，所以H>2R，故选项C正确，选项D错误；小球从A点水平抛出时的速度v＝，小球离开A点后做平抛运动，则有2R＝gt2，水平位移x＝vt，联立以上各式可得水平位移x＝2 ，选项A错误，选项B正确。
例2、
(2)A 物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没有拉力，对B物体而言，只有重力做功，故机械能守恒，设其到达的最高点离地高度为H，由机械能守恒定律得
mv2 ＝ mg(H－hsinθ)
解得H＝.
【答案】 (1) (2)
练习1、
【答案】
练习2.
【答案】2 m/s
例3、 【审题指导】
解答本题时可按以下思路进行分析：
???
因为只有重力做功，所以系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得E1＝E2，
即 －(1＋sinθ)＝mv2－mgL
解得v ＝.
【答案】
练习1.
【答案】
例4.【解析】 (1) 两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v。由机械能守恒定律得
2mg·L－mg·L＝mv2＋·2m·(2v)2，
解得v＝。
(2) 小球P 机械能增加量
ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL
【答案】 (1) (2) 增加了 mgL
练习.
由于两球转动时的角速度相同
解得：
【答案】
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