【鲁教版八下精美学案】9.4.3 探索三角形相似的条件（知识构建+考点归纳+真题训练）
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| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】9.4.3 探索三角形相似的条件（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-10 08:04:27 | ||
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文档简介
第九章 图形的相似
第4节 探索三角形相似的条件
第3课时
知 识 梳 理
知识点1 相似三角形的判定定理三
1.定理：三边________的两个三角形相似。
2.符号语言
如图所示，如果，那么△ABC∽△A'B'C'。
注意（1）当已知条件中有三边时，可考虑此判定方法在判断三边是否成比例时，应先将三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定这两个三角形是否相似。（2）特别地，若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。
知识点2 三角形相似的判定方法
1.三角形相似的定义（一般不用）。
2.定理一:两角对应相等的两个三角形相似。
3.定理二:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
4.定理三:三边成比例的两个三角形相似。
知识点3 证明相似三角形的一般思路
（1）有一对等角，找
①另一对等角→两角分别相等的两个三角形相似；
②等角的两边成比例→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（2）有两边成比例，找
①夹角相等→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
②第三边与其对应成比例→三边成比例的两个三角形相似；
③有一对直角→利用勾股定理求得第三边，三边成比例的两个三角形相似。
（3）三角形是直角三角形，找
①一对锐角相等→两角分别相等的两个三角形相似；
②两组直角边成比例→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③斜边、直角边成比例→利用勾股定理求得第三边，三边成比例的两个三角形相似。
（4）三角形是等腰三角形，找
①顶角相等→求出底角，两角分别相等的两个三角形相似；
②一对底角相等→另一对底角也相等，两角分别相等的两个三角形相似；
③底和腰对应成比例→三边成比例的两个三角形相似。
考 点 突 破
考点1:三边对应成比例的两个三角形相似的应用
典例1 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题:
（1）试证明△ABC是直角三角形；
（2）判断△ABC 和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似（要求:用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）
思路导析:（1）利用网格借助勾股定理得出AB，AC，BC的长，再利用勾股定理的逆定理得出答案即可；（2）由AB，AC，BC以及DE，DF，EF的长，利用三角形三边比值关系得出即可；（3）根据△P2P4P5三边与△ABC三边长度，即可得出答案。
解:（1）根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，显然有AB2＋AC2＝BC2，
根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形。
（2）△ABC和△DEF相似理由如下:
根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2.
∵，∴△ABC∽△DEF。
（3）图中△P2P4P5即为所求。
友情提示 在格点三角形中，通常用勾股定理求出两个三角形的各边长，通过三边成比例，判定两个三角形相似，可通过以下步骤进行:
排序→将三角形的边按大小顺序排列
↓
计算→分别计算它们对应的比值
↓
判断→通过比值是否相等判断两个三角形是否相似
变式1 如图所示，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是（ ）
A.△PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C.△ABC∽△DBA D.△ABC∽△DCA
变式2 如图所示，在正方形网格上有6个三角形:①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，
⑤△HGF，⑥△EKF。在②-⑥中，与①相似的三角形的个数是__________。
考点2:利用相似三角形的判定定理三进行相关计算
典例2 如图所示，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为___________。
思路导析:
方法一：∵AB∥GH，∴△CGH∽△CAB。∴，即①.
∵GH∥CD，∴△BGH∽△BDC。∴，即②
∴①＋②，得＝1，解得GH＝，故填。
方法二∵AB∥CD，∴△ABG∽△CDG。∴.∴.
∵GH∥CD，∴△BCH∽△BDC.∴，即。∴GH=，故填。
答案:
友情提示 方法一，利用等式的性质，构造关于所求线段的方程求解，也是平常解题中经常用的方法之一。方法二，巧妙地利用比例性质寻找GH与CD的比例关系，也可轻松地求出GH的大小，无论哪种方法，都是利用相似三角形的判定与性质，“遇平行，想相似；用相似得比例”是相似图形的应用之一。
变式3 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB＝BD＝DE＝EC。
（1）求证:△ADE∽△CDA；
（2）求∠DEA＋∠DCA的度数。
变式4 如图所示，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N。
（1）求证:△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长。
考点3:利用相似三角形的判定定理证明比例式（或等积式）
典例3 如图所示，在△ABC中，AB＜AC，在AB，AC上分别截取BD＝CE，DE，BC的延长线相交于点F。求证:AB·DF＝AC·EF。
思路导析: 注意已知条件中的线段相等，寻找中间比是本题的关键，证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。等积式AB·DF＝AC·EF，可以化为，注意到这四条线段所在的两个三角形显然不相似，就需要通过相似三角形，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
证明:过点E作EM∥AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴,∴.
同理△EMF∽△DBF，∴，又∵BD＝CE，
∴，∴.∴AB·DF＝AC·EF.
友情提示 利用相似三角形证明等积线段的基本思路是:先把等积线段转化为比例线段，再找出与比例线段中的线段有关的两个三角形，然后再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”即可推出结论.在此，寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法，具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”，若“横定”、“竖定”均不能解决问题，则需考虑等线段代换或进行等比代换了。
变式5 如图所示，AB∥EF∥CD.求证:。
变式6 如图所示，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
（1）求证:BE·AD＝CD·AE；
（2）根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比（只需写出图中已有线段的一组比即可），并说明理由。
考点4:相似三角形中的动点问题
典例4 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t＝________秒时，△CPQ与△ABC相似。
思路导析: 分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解。
解:CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以。即。解得t＝；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，即，解得t=。
综上所述，当t＝或时，△CPQ与△CBA相似。
答案:或。
友情提示 解决此类问题一般需构建三角形相似的模型，通过相似三角形的边角关系列出关于未知量的方程，然后进行求解.需注意的是要对解方程所得的解进行检验，不合题意的应舍去。
变式7 如图所示，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1厘米/秒的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2厘米/秒的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
变式8 如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90o，AC＝16cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？
巩 固 提 高
1.已知△BAC三边的长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长为下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A.2 cm， 3 cm B.5 cm， 6 cm C.4 cm，5 cm D.6cm，7 cm
2.已知△ABC，AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm，下列三条线段组成的三角形与△ABC相似的是（ ） A.4 em， 5 em， 6 cm B. 6 cm， 7 cm，8 em
C4cm， 6 cm， 8 cm D.8cm， 6 em，10 cm
如图所示，四个4×4的正方形网格（每个网格中的小正方形边长都是1），每个网格中均有一个“格点三角形”（三角形的顶点在小正方形的顶点上），是相似三角形的为（ ）
A.①③ B.①② C.②③ D.②④
4.△ABC的各边之比为2:5:6，△DEF的最大边为18cm，要使两个三角形相似，那么△DEF的最小边长为____________。
5.一个三角形的三边之比为3:4:5，另一个三角形的边长为8，另外两边长为______，______时，这两个三角形相似。
6.已知:在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE＝AD，连接CE交BD于点F，则EF:FC的值是___________。
7.如图所示，已知。求证:∠ABC＝∠ADE。
8.如图所示，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE，DE，DE与边AB交于点F，
FG∥BE且与AE交于点G。
（1）求证:GF＝BF；
（2）在BC边上取点M，使得BM＝BE，连接AM交DE于点O.
求证:FO·ED＝OD·EF。
9.如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且。
（1）试问:∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由。
10.边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE，当运动时间为多少秒时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似。
11.如图所示，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，P是线段AB上的一个动点。
（1）若AD＝2，BC＝6，AB＝8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；
（2）若AD＝a，BC＝b，AB＝m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由。
12.如图所示，先把一矩形纸片ABCD对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B折纸片使点D叠在直线AD上，得折痕PQ。
（1）求证:△PBE∽△QAB；
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由；
（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A能否叠在直线EC上？为什么？
真 题 训 练
1.（2018·香坊）如图所示，点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC上的点，若DE∥BC，
EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2018·新宾）如图所示，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为（ ）
A.1 B. C.2 D.
3.（2018·阜新）如图所示，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF＝2，那么线段BF的长度为___________。
4.（2018·安顺）如图所示，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，-1），（-2，0），则点P4的坐标为__________。
5.（2018·杭州）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E。
（1）求证:△BDE∽△CAD；
（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长.
参考答案及解析
知识梳理
知识点1:1.成比例
考点突破
1.C 2.3
3.解:（1）证明:设AB＝BD＝DE＝EC＝a，则CD＝2a，AD＝a，AE＝a，AC＝a 。
∴.∴△ADE∽△CDA.
（2）由（1）知△ADE∽△CDA，∴∠DCA＝∠DAE.
∴∠DEA＋∠DCA＝∠DEA＋∠DAE＝∠ADB＝45°。
4.解:（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC。
∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°。
∴∠B＝∠AFE。∴△ABM∽△EFA。
（2）∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝＝13，AD＝12。
∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5.∵△ABM∽△EFA，
∴，即。∴AE＝16.9.∴DE＝AE-AD＝4.9.
5.证明:∵EF∥AB，∴.∵AB∥CD，∴∠1＝∠D，∠A＝∠2.
∴△ABE∽△CDE。∴，∴。
6.解:（1）证明:∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAC＝∠BAE.
又∵∠BDC＝∠BAC，∠DOC＝∠AOB，∴∠DCA＝∠EBA.
∴△ABE∽△ACD，∴,∴BE·AD＝CD·AE
（2）猜想.（答案不唯一）
理由:由△ABE∽△ACD，得。又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ABC△AED.故有。
7.解:设经过x秒，两个三角形相似，则CP＝AC-AP＝8-x， CQ＝2x，
（1）当CP与CA是对应边时，，即，解得x＝4；
（2）当CP与BC是对应边时，，即，解得x＝。
故经过4秒或秒，两个三角形相似。
8.解:设同时运动ts时两个三角形相似，当△PCQ∽△BCA，则,，t = 0.8；
当△PCQ∽△ACB，则，，t＝2。
答:同时运动0.8s或2s时两个三角形相似。
巩固提高
1.B 2.D 3.A 4.6cm 5. 6.或
7.证明：∵.∴△ABD∽△ACE.∴∠BAD＝∠CAE.
∴∠DAE＝∠BAC.又∵.∴△ABC∽△ADE.∴∠ABC＝∠ADE.
8.证明:（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD.
∵GF∥BE，∴GF∥BC.∴GF∥AD,∴.∵AB∥CD，∴.
∵AD＝CD，∴GF＝BF；
（2）延GF交AM于H，∵GF∥BC，∴FH∥BC，∴。
∴。
∵BM＝BE，∴GF＝FH.∵GF∥AD，∴.∴,∴FO·ED＝OD·EF。
9.解:（1）∠BAE与∠CAD相等。理由:∴，∴△ABC∽△AED。
∴∠BAC＝∠EAD，∴∠BAE＝∠CAD；
（2）△ABE与△ACD相似.∵，∴。
在△ABE与△ACD中，∵，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD.
10.解:①如图1，当△PFE∽△EAD时，可知此时PE⊥CD，t＝DP＝1；
②如图2，当△EFP∽△EAD时，可知，此时F为DE中点，
EF＝DF＝DE＝，∵PF⊥DE，∴∠PFE＝∠PFD＝90°。
∵DF＝EF，PF＝PF，∴△PFD≌△PFE，∴PD＝PE.
∵，即，解得t＝DP＝。
综上所述，当运动时间为1s或s时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似。
11.解:（1）设AP＝x.∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得x＝2或6.
②当时，，解得x＝2，
∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或6；
（2）设PA＝x，∵△ADP∽△BPC，∴，∴。
整理得:x2-mx＋ab＝0，由题意△≥0，∴m2-4ab≥0.
∴当a，b，m满足m2-4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC.
12.解:（1）证明:根据题意，得PQ⊥AD。
∵∠PBE＋∠ABQ＝180°-90°＝90° ，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.
又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE∽△QAB.
（2）相似
证明如下:∵△PBE∽△QAB，∴。由折叠可知BQ＝PB，
∴,即。又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE∽△BAE。
（3）点A能叠在直线EC上，由（2）得△PBE∽△BAE，
∴∠AEB＝∠CEB∴沿直线EB折叠纸片，点A能叠在直线EC上。
真题训练
1.C 2.C 3.4 4.（8，0）
5.解:（1）证明:∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C。
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC.∴△BDE∽△CAD.
（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC。
在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，
∵·AD·BD＝·AB·DE，∴DE＝。
第4节 探索三角形相似的条件
第3课时
知 识 梳 理
知识点1 相似三角形的判定定理三
1.定理：三边________的两个三角形相似。
2.符号语言
如图所示，如果，那么△ABC∽△A'B'C'。
注意（1）当已知条件中有三边时，可考虑此判定方法在判断三边是否成比例时，应先将三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定这两个三角形是否相似。（2）特别地，若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。
知识点2 三角形相似的判定方法
1.三角形相似的定义（一般不用）。
2.定理一:两角对应相等的两个三角形相似。
3.定理二:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
4.定理三:三边成比例的两个三角形相似。
知识点3 证明相似三角形的一般思路
（1）有一对等角，找
①另一对等角→两角分别相等的两个三角形相似；
②等角的两边成比例→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（2）有两边成比例，找
①夹角相等→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
②第三边与其对应成比例→三边成比例的两个三角形相似；
③有一对直角→利用勾股定理求得第三边，三边成比例的两个三角形相似。
（3）三角形是直角三角形，找
①一对锐角相等→两角分别相等的两个三角形相似；
②两组直角边成比例→两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③斜边、直角边成比例→利用勾股定理求得第三边，三边成比例的两个三角形相似。
（4）三角形是等腰三角形，找
①顶角相等→求出底角，两角分别相等的两个三角形相似；
②一对底角相等→另一对底角也相等，两角分别相等的两个三角形相似；
③底和腰对应成比例→三边成比例的两个三角形相似。
考 点 突 破
考点1:三边对应成比例的两个三角形相似的应用
典例1 如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题:
（1）试证明△ABC是直角三角形；
（2）判断△ABC 和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似（要求:用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）
思路导析:（1）利用网格借助勾股定理得出AB，AC，BC的长，再利用勾股定理的逆定理得出答案即可；（2）由AB，AC，BC以及DE，DF，EF的长，利用三角形三边比值关系得出即可；（3）根据△P2P4P5三边与△ABC三边长度，即可得出答案。
解:（1）根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，显然有AB2＋AC2＝BC2，
根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形。
（2）△ABC和△DEF相似理由如下:
根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2.
∵，∴△ABC∽△DEF。
（3）图中△P2P4P5即为所求。
友情提示 在格点三角形中，通常用勾股定理求出两个三角形的各边长，通过三边成比例，判定两个三角形相似，可通过以下步骤进行:
排序→将三角形的边按大小顺序排列
↓
计算→分别计算它们对应的比值
↓
判断→通过比值是否相等判断两个三角形是否相似
变式1 如图所示，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是（ ）
A.△PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C.△ABC∽△DBA D.△ABC∽△DCA
变式2 如图所示，在正方形网格上有6个三角形:①△ABC，②△CDB，③△DEB，④△FBG，
⑤△HGF，⑥△EKF。在②-⑥中，与①相似的三角形的个数是__________。
考点2:利用相似三角形的判定定理三进行相关计算
典例2 如图所示，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为___________。
思路导析:
方法一：∵AB∥GH，∴△CGH∽△CAB。∴，即①.
∵GH∥CD，∴△BGH∽△BDC。∴，即②
∴①＋②，得＝1，解得GH＝，故填。
方法二∵AB∥CD，∴△ABG∽△CDG。∴.∴.
∵GH∥CD，∴△BCH∽△BDC.∴，即。∴GH=，故填。
答案:
友情提示 方法一，利用等式的性质，构造关于所求线段的方程求解，也是平常解题中经常用的方法之一。方法二，巧妙地利用比例性质寻找GH与CD的比例关系，也可轻松地求出GH的大小，无论哪种方法，都是利用相似三角形的判定与性质，“遇平行，想相似；用相似得比例”是相似图形的应用之一。
变式3 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且AB＝BD＝DE＝EC。
（1）求证:△ADE∽△CDA；
（2）求∠DEA＋∠DCA的度数。
变式4 如图所示，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N。
（1）求证:△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长。
考点3:利用相似三角形的判定定理证明比例式（或等积式）
典例3 如图所示，在△ABC中，AB＜AC，在AB，AC上分别截取BD＝CE，DE，BC的延长线相交于点F。求证:AB·DF＝AC·EF。
思路导析: 注意已知条件中的线段相等，寻找中间比是本题的关键，证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。等积式AB·DF＝AC·EF，可以化为，注意到这四条线段所在的两个三角形显然不相似，就需要通过相似三角形，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。
证明:过点E作EM∥AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴,∴.
同理△EMF∽△DBF，∴，又∵BD＝CE，
∴，∴.∴AB·DF＝AC·EF.
友情提示 利用相似三角形证明等积线段的基本思路是:先把等积线段转化为比例线段，再找出与比例线段中的线段有关的两个三角形，然后再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”即可推出结论.在此，寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法，具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”，若“横定”、“竖定”均不能解决问题，则需考虑等线段代换或进行等比代换了。
变式5 如图所示，AB∥EF∥CD.求证:。
变式6 如图所示，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
（1）求证:BE·AD＝CD·AE；
（2）根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比（只需写出图中已有线段的一组比即可），并说明理由。
考点4:相似三角形中的动点问题
典例4 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t＝________秒时，△CPQ与△ABC相似。
思路导析: 分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解。
解:CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以。即。解得t＝；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，即，解得t=。
综上所述，当t＝或时，△CPQ与△CBA相似。
答案:或。
友情提示 解决此类问题一般需构建三角形相似的模型，通过相似三角形的边角关系列出关于未知量的方程，然后进行求解.需注意的是要对解方程所得的解进行检验，不合题意的应舍去。
变式7 如图所示，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1厘米/秒的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2厘米/秒的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
变式8 如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90o，AC＝16cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？
巩 固 提 高
1.已知△BAC三边的长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长为下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A.2 cm， 3 cm B.5 cm， 6 cm C.4 cm，5 cm D.6cm，7 cm
2.已知△ABC，AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm，下列三条线段组成的三角形与△ABC相似的是（ ） A.4 em， 5 em， 6 cm B. 6 cm， 7 cm，8 em
C4cm， 6 cm， 8 cm D.8cm， 6 em，10 cm
如图所示，四个4×4的正方形网格（每个网格中的小正方形边长都是1），每个网格中均有一个“格点三角形”（三角形的顶点在小正方形的顶点上），是相似三角形的为（ ）
A.①③ B.①② C.②③ D.②④
4.△ABC的各边之比为2:5:6，△DEF的最大边为18cm，要使两个三角形相似，那么△DEF的最小边长为____________。
5.一个三角形的三边之比为3:4:5，另一个三角形的边长为8，另外两边长为______，______时，这两个三角形相似。
6.已知:在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE＝AD，连接CE交BD于点F，则EF:FC的值是___________。
7.如图所示，已知。求证:∠ABC＝∠ADE。
8.如图所示，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE，DE，DE与边AB交于点F，
FG∥BE且与AE交于点G。
（1）求证:GF＝BF；
（2）在BC边上取点M，使得BM＝BE，连接AM交DE于点O.
求证:FO·ED＝OD·EF。
9.如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且。
（1）试问:∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由。
10.边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点，P在射线DC上从D出发以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE，当运动时间为多少秒时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似。
11.如图所示，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，P是线段AB上的一个动点。
（1）若AD＝2，BC＝6，AB＝8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；
（2）若AD＝a，BC＝b，AB＝m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由。
12.如图所示，先把一矩形纸片ABCD对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B折纸片使点D叠在直线AD上，得折痕PQ。
（1）求证:△PBE∽△QAB；
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由；
（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A能否叠在直线EC上？为什么？
真 题 训 练
1.（2018·香坊）如图所示，点D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC上的点，若DE∥BC，
EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2018·新宾）如图所示，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为（ ）
A.1 B. C.2 D.
3.（2018·阜新）如图所示，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF＝2，那么线段BF的长度为___________。
4.（2018·安顺）如图所示，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，-1），（-2，0），则点P4的坐标为__________。
5.（2018·杭州）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E。
（1）求证:△BDE∽△CAD；
（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长.
参考答案及解析
知识梳理
知识点1:1.成比例
考点突破
1.C 2.3
3.解:（1）证明:设AB＝BD＝DE＝EC＝a，则CD＝2a，AD＝a，AE＝a，AC＝a 。
∴.∴△ADE∽△CDA.
（2）由（1）知△ADE∽△CDA，∴∠DCA＝∠DAE.
∴∠DEA＋∠DCA＝∠DEA＋∠DAE＝∠ADB＝45°。
4.解:（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC。
∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°。
∴∠B＝∠AFE。∴△ABM∽△EFA。
（2）∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝＝13，AD＝12。
∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5.∵△ABM∽△EFA，
∴，即。∴AE＝16.9.∴DE＝AE-AD＝4.9.
5.证明:∵EF∥AB，∴.∵AB∥CD，∴∠1＝∠D，∠A＝∠2.
∴△ABE∽△CDE。∴，∴。
6.解:（1）证明:∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAC＝∠BAE.
又∵∠BDC＝∠BAC，∠DOC＝∠AOB，∴∠DCA＝∠EBA.
∴△ABE∽△ACD，∴,∴BE·AD＝CD·AE
（2）猜想.（答案不唯一）
理由:由△ABE∽△ACD，得。又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ABC△AED.故有。
7.解:设经过x秒，两个三角形相似，则CP＝AC-AP＝8-x， CQ＝2x，
（1）当CP与CA是对应边时，，即，解得x＝4；
（2）当CP与BC是对应边时，，即，解得x＝。
故经过4秒或秒，两个三角形相似。
8.解:设同时运动ts时两个三角形相似，当△PCQ∽△BCA，则,，t = 0.8；
当△PCQ∽△ACB，则，，t＝2。
答:同时运动0.8s或2s时两个三角形相似。
巩固提高
1.B 2.D 3.A 4.6cm 5. 6.或
7.证明：∵.∴△ABD∽△ACE.∴∠BAD＝∠CAE.
∴∠DAE＝∠BAC.又∵.∴△ABC∽△ADE.∴∠ABC＝∠ADE.
8.证明:（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD.
∵GF∥BE，∴GF∥BC.∴GF∥AD,∴.∵AB∥CD，∴.
∵AD＝CD，∴GF＝BF；
（2）延GF交AM于H，∵GF∥BC，∴FH∥BC，∴。
∴。
∵BM＝BE，∴GF＝FH.∵GF∥AD，∴.∴,∴FO·ED＝OD·EF。
9.解:（1）∠BAE与∠CAD相等。理由:∴，∴△ABC∽△AED。
∴∠BAC＝∠EAD，∴∠BAE＝∠CAD；
（2）△ABE与△ACD相似.∵，∴。
在△ABE与△ACD中，∵，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD.
10.解:①如图1，当△PFE∽△EAD时，可知此时PE⊥CD，t＝DP＝1；
②如图2，当△EFP∽△EAD时，可知，此时F为DE中点，
EF＝DF＝DE＝，∵PF⊥DE，∴∠PFE＝∠PFD＝90°。
∵DF＝EF，PF＝PF，∴△PFD≌△PFE，∴PD＝PE.
∵，即，解得t＝DP＝。
综上所述，当运动时间为1s或s时，以点P，F，E为顶点的三角形与△AED相似。
11.解:（1）设AP＝x.∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得x＝2或6.
②当时，，解得x＝2，
∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或6；
（2）设PA＝x，∵△ADP∽△BPC，∴，∴。
整理得:x2-mx＋ab＝0，由题意△≥0，∴m2-4ab≥0.
∴当a，b，m满足m2-4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC.
12.解:（1）证明:根据题意，得PQ⊥AD。
∵∠PBE＋∠ABQ＝180°-90°＝90° ，∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.
又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE∽△QAB.
（2）相似
证明如下:∵△PBE∽△QAB，∴。由折叠可知BQ＝PB，
∴,即。又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE∽△BAE。
（3）点A能叠在直线EC上，由（2）得△PBE∽△BAE，
∴∠AEB＝∠CEB∴沿直线EB折叠纸片，点A能叠在直线EC上。
真题训练
1.C 2.C 3.4 4.（8，0）
5.解:（1）证明:∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C。
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC.∴△BDE∽△CAD.
（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC。
在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，
∵·AD·BD＝·AB·DE，∴DE＝。