【鲁教版八下精美学案】9.5 相似三角形判定定理的证明（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】9.5 相似三角形判定定理的证明（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-10 08:08:12 | ||
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文档简介
第九章 图形的相似
第5节 相似三角形判定定理的证明
知 识 梳 理
知识点1 相似三角形的判定定理一（重点）
两角分别相等的两个三角形相似.如图所示，如果∠A＝∠A'，
∠B＝∠B'，那么△ABC∽△A'B'C'。
注意 在两个直角三角形中，若有一个锐角相等，则这两个直角三角形相似。
知识点2 相似三角形的判定定理二（重点）
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如图所示，在△ABC与△DEF中，∠B＝∠E，，可判定△ABC∽△DEF.
注意 （1）在利用该定理时，相等的角必须是已知两成比例边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角相等，两个三角形就相似（2）在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似.
知识点3 相似三角形的判定定理三
三边成比例的两个三角形相似.
如图所示，如果，那么△ABC∽△DEF。
注意 在两个直角三角形中，若斜边的比等于一组直角边的比，则这两个直角三角形相似，但这一结论不可以当定理使用。
考 点 突 破
考点1:确定图中的相似三角形
典例1 如图所示，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
思路导析：因为∠A＝∠CPD，∠D＝∠D，所以∠ADP∽∠PDC，所以∠APD＝∠DCP，所以∠FPB＝∠ACP。因为∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，所以∠CPF∽△CBP，所以∠CFP＝∠CPB，所以∠PFB＝∠APC。在△ACP和∠BPF中，∠AGP＝∠FPB，∠APG＝∠PFB，所以△AGP∽△BPF。
答案:C
友情提示 借助图形找相似三角形的方法是:①有平行线的可围绕平行线找相似；②有公共角或相等角的可围绕角考虑，再找其他相等角或边成比例；③有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的边。
变式1 如图所示，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且EF∥CD，G为边AD延长线上一点，连接BG，交CD于点M，交EF于点N，则图中与△ABG相似的三角形有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式2 如图所示，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点2:利用相似三角形的性质和判定进行计算
典例2 如图所示，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F.若PE＝4，EF＝5，则线段PC的长为_______ 。
思路导析: 利用正方形的性质结合条件可证明△APD≌△CPD，根据全等三角形的性质得到PA＝PC，通过△APE∽△FPA，结合PA＝PC，可得到PC，PE，PF之间的关系，于是得到结论。
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP。
又∵DP＝DP，∴△APD≌△CPD。∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP。
∵CD∥BF，∴∠DCP＝∠F。∴∠DAP＝∠F。又∵∠APE＝∠FPA，∴△APE∽△FPA。
∴，∴PA2＝PE·PF。
由△APD≌△CPD，PA＝PC。∴PC2＝PE·PF＝4×9＝36.∴PC＝6。
答案:6
友情提示 本题主要考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明△APE∽△FPA是解题的关键。
变式3 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G。
（1）求证:＝；
（2）若EF＝2，BF＝5，求线段GE的长。
变式4 如图所示，∠B＝∠CAD，CD2＝CE·AC，AE＝4，AD＝9，BD＝5.求AB的长.
考点3:利用相似三角形的性质和判定证明比例式或等积式
典例3 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，CF∥AB，BF交AD于P，交AC于E。求证:BP2＝PE·PF。
思路导析:要证BP2＝PE·PF，可证，又由AB＝AC，AD为BC边上的中线，连接CP，则CP＝BP，因此需证，所以只要证明△CPE∽△FPC即可。
证明:连接PC.∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAP＝∠CAP.
∵AP＝AP，∴△ABP≌△ACP.∴∠ABP＝∠ACP，CP＝BP.
∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F。∴∠ACP＝∠F。又∠FPC＝∠EPC.
∴△CPE∽△FPC。∴，即.∴BP2＝PE·PF.
解题技巧 证等积式或比例式的方法:
优先考虑用相似，一般使用“三点定型”法.
（1）横向定型:等积化等比，横向来观察，上下两线段，能否成三角，若成证相似，问题自消解；
（2）纵向定型:等积化等比，纵向来观察，左右两线段，能否成三角，若成证相似，问题自消解；
（3）以上不生效，考虑等量（等线、等比、等积）来代换，然后回归“三点定型”法。
变式5 如图所示，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB，AC于E，F。求证:.
变式6 已知:如图所示，在△ABC中，点D，G分别在边AB，BC上，∠ACD＝∠B，AG与CD相交于点F。
（1）求证:AC2＝AD·AB；
（2）若A，求证:CG2＝DF·BG.
考点4:相似三角形中的动点问题
典例4 如图所示，矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm，某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动。是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。
思路导析: 点在移动的过程中，可能存在多种与△ACD相似的情况，因此，找准各情况下的对应边，写成比例的形式，即可求得不同情况下的t值。
解:假设存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似。
由矩形ABCD知∠CDA＝∠MAN＝90°。
①当时，△MAN∽△CDA，即，解得t＝1.5；
②当时，△MAN∽△ADC，即，解得t＝2.4。
由题意知，0＜t＜3，所以t＝1.5或t＝2.4均符合题意.所以存在时刻t为1.5s或2.4s，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似。
友情提示 解决此类问题一般需构建三角形相似的模型，通过相似三角形的边角关系列出关于未知量的方程，然后进行求解.需注意的是要对解方程所得的解进行检验，不合题意的舍去。
变式7 如图所示，在直角梯形 ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3，若在线段AB上取一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式8 在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P，Q两点同时出发，移动时间为t秒。
（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？
（2）几秒钟后△PQB的面积为5cm2？
（3）几秒钟后，以P，B，Q为顶点的三角形和△ABC相似？
考点5:相似三角形中的函数问题
典例5 如图所示，△ABC为正三角形，D，E分别是AC，BC上的点（不在顶点），∠BDE＝60°。
（1）求证:△DEC∽△BDA；
（2）若正三角形的边长为4，并设DC＝x，BE＝y，试求y与x之间的函数表达式。
思路导析；（1）∠A＝∠C＝60°，∠1＋∠3＝180°－ 60°＝120°，∠2＋∠3＝120°，从而得知∠1＝∠2，则△DEC∽△BDA。（2）由对应边成比例即可得到y与x之间的函数表达式。
解:（1）证明:∵∠BDE＝60°，∴∠2＋∠3＝120°。又∵∠A＝60°，
∴∠1＋∠3＝180°－60°＝120°。∴∠1＝∠2。
又∵△ABC为正三角形，∴∠A＝∠C＝60°。∴△DEC∽△BDA；
（2）∵AB＝BC＝CA＝4，BE＝y，DC＝x，∴EC＝4－y，AD＝4－x。
由（1）知△DEC∽△BDA，∴.∴。∴。
即y与x之间的函数表达式为（0＜x＜4）。
友情提示 解此类问题，先证明两个三角形相似，得到比例式，再把x，y转化到比例式中化简即可。变式9 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，点，E在直线BC上运动，设BD＝x，CE＝y，如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y与x的函数关系式。
变式10 如图所示，正方形ABCD中，AB＝2，P是BC边上与B，C不重合的任意一点，DQ⊥AP于点Q。
（1）求证:△DQA∽△ABP；
（2）当点P在BC上运动时，线段DQ也随之变化，设PA＝x，DQ＝y，求y与x之间的函数关系式。
巩 固 提 高
1.在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1。
（2）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1。
（3）若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1。
（4）若AC:A1C1＝CB:C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1。
其中真命题的个数为（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.如图所示，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF:FD＝1:3，则BE:EC＝（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止.记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A.y＝12x B.y＝ C.y＝x D.y＝x
4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE平分∠BDC交BC于点E，则___________。
5.如图所示，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1，EB1分别交边AC于点F，G.若∠ADF＝80°，则∠CGE＝____________。
6.如图所示，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，垂足为M，ME交AD的延长线于点E。
若AB＝12，BM＝5，则DE的长为________________。
7.如图所示，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论:
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH·PC
其中正确的是___________（填序号）
8.如图所示，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），过点A的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处.若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为____________________________________________。
9.如图所示，在矩形ABCD中，长BC＝12cm，宽AB＝8cm，P，Q分别是AB，BC上运动的两点.若点P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，点Q自点B出发，以2cm/s的速度沿BC方向运动，经过几秒，以P，B，Q为顶点的三角形与△BCD相似？（Q到达C点后，点P，Q同时停止运动）
10.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线。
（1）△ABC和△BCD相似吗？为什么？
（2）证明:AD2＝DC·AC.
11.已知:Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问:点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标。
12.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延长线于点F，连接BF，交AC于点G.
（1）求证:；
（2）若AH平分∠BAC，交BF于点H，求证:BH2＝HG·HF.
真 题 训 练
1.（2018·泸州）如图所示，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2.（2018·厦门）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝2，DB＝3，则
3.（2018·安徽）两个等腰直角三角板如图放置，点F为BC的中点，AG＝1，BG＝3，则CH的长为__________。
4.（2017·桂林）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为___________。
5.（2017·杭州）如图所示，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC。
（1）求证:△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝3，AB＝5，求的值
参考答案及解析
考点突破
1.D 2.C
3.解:（1）证明:∵AD∥BC，∴∠GED＝∠GBC.
∵∠G＝∠G，∴△GDE∽△GCB.∵.
∵点E是AD中点，∴DE＝AE.∴.
（2）∵AD∥BC，∴∠FAE＝∠FCB，∠FEA＝∠FBC.∴△AEF∽△BCF.
∴，∵，∴。
∵EF＝2，BF＝5，∴BE＝EF＋BF＝2＋5＝7.∴GB＝GE＋BE＝GE＋7
∴，2GE＋14＝5GE，3GE＝14，GE＝。.
4.解:∵CD2＝CE·AC，∴。∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD。
∴∠CDE＝∠CAD，∵∠B＝∠CAD，∴∠CDE＝∠B。∴DE∥AB.
∴∠EDA＝∠BAD.∵∠B＝∠CAD，∴△ABD∽△ADE.
∴.∵AE＝4，AD＝9，BD＝5，∴，
∴4AB＝45，∴AB＝。
5.证明:∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠B＋∠C＝90°，∠DAC＋∠C＝90°。
∴∠B＝∠DAC，同理∠C＝∠BAD.
∵DE⊥DF，∴∠ADE＋∠ADF＝90°，∠CDF＋∠ADF＝90°。
∴∠ADE＝∠CDF，又∵∠BED＝∠BAD＋∠ADE，∠AFD＝∠C＋∠CDF，
∴∠BED＝∠AFD.∴△BED∽△AFD.∴。
6.证明:（1）∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC。
∴AC:AB＝AD:AC.∴AC2＝AD·AB；
（2）∵△ACD∽△ABC，∴∠ADF＝∠ACG，∴，∴△ADF∽△ACG.
∴∠DAF＝∠CAF即∠BAG＝∠CAG，AG是∠BAC的平分线，
∴，∴，∴CG2＝DF·BG.
7.C
8.解:设t秒后，则BP＝6-t，BQ＝2t，
（1）△PBQ是等腰三角形，则BP＝BQ，即6-t＝2t，解得t＝2；
（2）△PQB的面积为BP·BQ＝（6-t）（2t）＝5，即（t-1）（t-5）＝0，解得t＝1或5.
（3）①△BPQ∽△BAC，则，即2t＝2（6-t），解得t＝3.
②△BPQ∽△BCA，则有BP:BC＝BQ:AB，∴（6-t）:12＝2t:6，解得t＝1.2.
∴当t＝3秒或t＝1.2秒时以P，B，Q为顶点的三角形和△ABC相似.
9.解:∵∠DAE＝105°，∠BAC＝30°，∴∠1＋∠2＝∠DAE－∠BAC＝105°－ 30°＝75°。
∵AB＝AC，∴∠3＝∠4＝。∴∠ABD＝∠ACE.
∵∠3＝∠5＋∠1，∴∠5＋∠1＝75o.∴∠2＝∠5.∴△ABD∽△ECA.∴.∵AB＝AC＝1，BD＝x，CE＝y，∴，∴。
10.解:（1）证明:∵DQ⊥AP，∴∠DAQ＋∠ADQ＝90°。
∵∠BAD＝90°，∴∠DAQ＋∠BAP＝90°。∴∠ADQ＝∠BAP.
又∵∠AQD＝∠B＝90°，∴△DQA∽△ABP；
（2）∵△DQAO△ABP，∴，即，∴y＝（2＜x＜2）.
巩固提高
1.B 2.A 3.B 4. 5.80° 6. 7.①②④
8.（4,4），（0,－4），（,1），（,－1）
9.解:设经过x s，△PBQ与△BCD相似，则 PB＝（8-x）cm， BQ＝2x cm， DC＝8 cm， BC-12 cm.
由于∠PBQ＝∠BCD＝90°
（1）当∠BPQ＝∠BDC时，有，即，解得x＝；
（2）当∠BPQ＝∠DBC时，有，即，解得x＝2.
∴经过s或2s，△PBQ与△BCD相似。
点拨:要使以P，B，Q为顶点的三角形与△BCD相似，则要分两种情况进行分析。
分别是△PBQ∽△DCB和△QBP∽△DCB，从而解得所经过的时间.
10.解:（1）相似.理由:∵∠A＝36°，AB＝ AC，∴∠ABC＝∠C＝72°。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠A＝∠CBD。
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC。
（2）证明:由（1）知△ABC∽△BDC，∴ ，∴BC·BD＝AB·DC.
由已知条件易知BC＝BD＝AD，又∵AB＝AC，∴AD2＝DC·AC.
11.解:∵点B的坐标为（4，2），∴OA＝4，AB＝2，OB＝＝2，OP＝.
如图所示，当△OPC∽△OBA时，∵，即，
∴PC＝1，OC＝2.∴C1（2，0）；
当△BPC∽△BOA时，∵，即，解得BC＝1，
∴AC＝2-1＝1.∴C2（4，1）；
当△OPC∽△OAB时，∴，即，解得OC＝2.5。∴C3（2.5，0）；
综上所述，C点坐标为:（2，0）或（4，1）或（2.5，0）
12.解:（1）证明:∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE＝BC。
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∠FEG＝∠BCG，∠EFG＝∠GBC。
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG.∴。
∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形BCFD是平行四边形。
∴BC＝DF＝DE＋EF，∴2DE＝DE＋EF.
∴DE＝EF，∴，∴。
（2）连接CH，在△ABH和△ACH中，AB＝AC，∠BAH＝∠CAH，AH＝AH，
∴△ABH≌△ACH.∴BH＝CH，∠ABH＝∠ACH.
∵CF∥AB，∴∠ABH＝∠CFB.∴∠ACH＋∠FCG＝∠CFB＋∠FCG，
即∠HCF＝∠HGC。∵∠FHC＝∠CHG，∴△FHC∽△CHG.
∴，∴CH2＝HG·HF。∵CH=BH，∴BH2=HG·HF。
真题训练
1.C 2. 3. 4.
5.解:（1）证明:∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°。
∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC.
（2）由（1）知:△ADE∽△ABC，∴。
由（1）知∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠CAG，∴△EAF∽△CAG.
∴，∴。
第5节 相似三角形判定定理的证明
知 识 梳 理
知识点1 相似三角形的判定定理一（重点）
两角分别相等的两个三角形相似.如图所示，如果∠A＝∠A'，
∠B＝∠B'，那么△ABC∽△A'B'C'。
注意 在两个直角三角形中，若有一个锐角相等，则这两个直角三角形相似。
知识点2 相似三角形的判定定理二（重点）
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
如图所示，在△ABC与△DEF中，∠B＝∠E，，可判定△ABC∽△DEF.
注意 （1）在利用该定理时，相等的角必须是已知两成比例边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角相等，两个三角形就相似（2）在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似.
知识点3 相似三角形的判定定理三
三边成比例的两个三角形相似.
如图所示，如果，那么△ABC∽△DEF。
注意 在两个直角三角形中，若斜边的比等于一组直角边的比，则这两个直角三角形相似，但这一结论不可以当定理使用。
考 点 突 破
考点1:确定图中的相似三角形
典例1 如图所示，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
思路导析：因为∠A＝∠CPD，∠D＝∠D，所以∠ADP∽∠PDC，所以∠APD＝∠DCP，所以∠FPB＝∠ACP。因为∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，所以∠CPF∽△CBP，所以∠CFP＝∠CPB，所以∠PFB＝∠APC。在△ACP和∠BPF中，∠AGP＝∠FPB，∠APG＝∠PFB，所以△AGP∽△BPF。
答案:C
友情提示 借助图形找相似三角形的方法是:①有平行线的可围绕平行线找相似；②有公共角或相等角的可围绕角考虑，再找其他相等角或边成比例；③有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的边。
变式1 如图所示，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且EF∥CD，G为边AD延长线上一点，连接BG，交CD于点M，交EF于点N，则图中与△ABG相似的三角形有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式2 如图所示，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点2:利用相似三角形的性质和判定进行计算
典例2 如图所示，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F.若PE＝4，EF＝5，则线段PC的长为_______ 。
思路导析: 利用正方形的性质结合条件可证明△APD≌△CPD，根据全等三角形的性质得到PA＝PC，通过△APE∽△FPA，结合PA＝PC，可得到PC，PE，PF之间的关系，于是得到结论。
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP。
又∵DP＝DP，∴△APD≌△CPD。∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP。
∵CD∥BF，∴∠DCP＝∠F。∴∠DAP＝∠F。又∵∠APE＝∠FPA，∴△APE∽△FPA。
∴，∴PA2＝PE·PF。
由△APD≌△CPD，PA＝PC。∴PC2＝PE·PF＝4×9＝36.∴PC＝6。
答案:6
友情提示 本题主要考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明△APE∽△FPA是解题的关键。
变式3 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G。
（1）求证:＝；
（2）若EF＝2，BF＝5，求线段GE的长。
变式4 如图所示，∠B＝∠CAD，CD2＝CE·AC，AE＝4，AD＝9，BD＝5.求AB的长.
考点3:利用相似三角形的性质和判定证明比例式或等积式
典例3 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，CF∥AB，BF交AD于P，交AC于E。求证:BP2＝PE·PF。
思路导析:要证BP2＝PE·PF，可证，又由AB＝AC，AD为BC边上的中线，连接CP，则CP＝BP，因此需证，所以只要证明△CPE∽△FPC即可。
证明:连接PC.∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAP＝∠CAP.
∵AP＝AP，∴△ABP≌△ACP.∴∠ABP＝∠ACP，CP＝BP.
∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F。∴∠ACP＝∠F。又∠FPC＝∠EPC.
∴△CPE∽△FPC。∴，即.∴BP2＝PE·PF.
解题技巧 证等积式或比例式的方法:
优先考虑用相似，一般使用“三点定型”法.
（1）横向定型:等积化等比，横向来观察，上下两线段，能否成三角，若成证相似，问题自消解；
（2）纵向定型:等积化等比，纵向来观察，左右两线段，能否成三角，若成证相似，问题自消解；
（3）以上不生效，考虑等量（等线、等比、等积）来代换，然后回归“三点定型”法。
变式5 如图所示，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB，AC于E，F。求证:.
变式6 已知:如图所示，在△ABC中，点D，G分别在边AB，BC上，∠ACD＝∠B，AG与CD相交于点F。
（1）求证:AC2＝AD·AB；
（2）若A，求证:CG2＝DF·BG.
考点4:相似三角形中的动点问题
典例4 如图所示，矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm，某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动。是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。
思路导析: 点在移动的过程中，可能存在多种与△ACD相似的情况，因此，找准各情况下的对应边，写成比例的形式，即可求得不同情况下的t值。
解:假设存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似。
由矩形ABCD知∠CDA＝∠MAN＝90°。
①当时，△MAN∽△CDA，即，解得t＝1.5；
②当时，△MAN∽△ADC，即，解得t＝2.4。
由题意知，0＜t＜3，所以t＝1.5或t＝2.4均符合题意.所以存在时刻t为1.5s或2.4s，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似。
友情提示 解决此类问题一般需构建三角形相似的模型，通过相似三角形的边角关系列出关于未知量的方程，然后进行求解.需注意的是要对解方程所得的解进行检验，不合题意的舍去。
变式7 如图所示，在直角梯形 ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3，若在线段AB上取一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式8 在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P，Q两点同时出发，移动时间为t秒。
（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？
（2）几秒钟后△PQB的面积为5cm2？
（3）几秒钟后，以P，B，Q为顶点的三角形和△ABC相似？
考点5:相似三角形中的函数问题
典例5 如图所示，△ABC为正三角形，D，E分别是AC，BC上的点（不在顶点），∠BDE＝60°。
（1）求证:△DEC∽△BDA；
（2）若正三角形的边长为4，并设DC＝x，BE＝y，试求y与x之间的函数表达式。
思路导析；（1）∠A＝∠C＝60°，∠1＋∠3＝180°－ 60°＝120°，∠2＋∠3＝120°，从而得知∠1＝∠2，则△DEC∽△BDA。（2）由对应边成比例即可得到y与x之间的函数表达式。
解:（1）证明:∵∠BDE＝60°，∴∠2＋∠3＝120°。又∵∠A＝60°，
∴∠1＋∠3＝180°－60°＝120°。∴∠1＝∠2。
又∵△ABC为正三角形，∴∠A＝∠C＝60°。∴△DEC∽△BDA；
（2）∵AB＝BC＝CA＝4，BE＝y，DC＝x，∴EC＝4－y，AD＝4－x。
由（1）知△DEC∽△BDA，∴.∴。∴。
即y与x之间的函数表达式为（0＜x＜4）。
友情提示 解此类问题，先证明两个三角形相似，得到比例式，再把x，y转化到比例式中化简即可。变式9 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，点，E在直线BC上运动，设BD＝x，CE＝y，如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y与x的函数关系式。
变式10 如图所示，正方形ABCD中，AB＝2，P是BC边上与B，C不重合的任意一点，DQ⊥AP于点Q。
（1）求证:△DQA∽△ABP；
（2）当点P在BC上运动时，线段DQ也随之变化，设PA＝x，DQ＝y，求y与x之间的函数关系式。
巩 固 提 高
1.在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1。
（2）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1。
（3）若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1。
（4）若AC:A1C1＝CB:C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1。
其中真命题的个数为（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.如图所示，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF:FD＝1:3，则BE:EC＝（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止.记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A.y＝12x B.y＝ C.y＝x D.y＝x
4.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE平分∠BDC交BC于点E，则___________。
5.如图所示，点D，E分别在等边△ABC的边AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1，EB1分别交边AC于点F，G.若∠ADF＝80°，则∠CGE＝____________。
6.如图所示，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，垂足为M，ME交AD的延长线于点E。
若AB＝12，BM＝5，则DE的长为________________。
7.如图所示，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论:
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH·PC
其中正确的是___________（填序号）
8.如图所示，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），过点A的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处.若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为____________________________________________。
9.如图所示，在矩形ABCD中，长BC＝12cm，宽AB＝8cm，P，Q分别是AB，BC上运动的两点.若点P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，点Q自点B出发，以2cm/s的速度沿BC方向运动，经过几秒，以P，B，Q为顶点的三角形与△BCD相似？（Q到达C点后，点P，Q同时停止运动）
10.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线。
（1）△ABC和△BCD相似吗？为什么？
（2）证明:AD2＝DC·AC.
11.已知:Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问:点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标。
12.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延长线于点F，连接BF，交AC于点G.
（1）求证:；
（2）若AH平分∠BAC，交BF于点H，求证:BH2＝HG·HF.
真 题 训 练
1.（2018·泸州）如图所示，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2.（2018·厦门）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝2，DB＝3，则
3.（2018·安徽）两个等腰直角三角板如图放置，点F为BC的中点，AG＝1，BG＝3，则CH的长为__________。
4.（2017·桂林）如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为___________。
5.（2017·杭州）如图所示，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC。
（1）求证:△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝3，AB＝5，求的值
参考答案及解析
考点突破
1.D 2.C
3.解:（1）证明:∵AD∥BC，∴∠GED＝∠GBC.
∵∠G＝∠G，∴△GDE∽△GCB.∵.
∵点E是AD中点，∴DE＝AE.∴.
（2）∵AD∥BC，∴∠FAE＝∠FCB，∠FEA＝∠FBC.∴△AEF∽△BCF.
∴，∵，∴。
∵EF＝2，BF＝5，∴BE＝EF＋BF＝2＋5＝7.∴GB＝GE＋BE＝GE＋7
∴，2GE＋14＝5GE，3GE＝14，GE＝。.
4.解:∵CD2＝CE·AC，∴。∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD。
∴∠CDE＝∠CAD，∵∠B＝∠CAD，∴∠CDE＝∠B。∴DE∥AB.
∴∠EDA＝∠BAD.∵∠B＝∠CAD，∴△ABD∽△ADE.
∴.∵AE＝4，AD＝9，BD＝5，∴，
∴4AB＝45，∴AB＝。
5.证明:∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠B＋∠C＝90°，∠DAC＋∠C＝90°。
∴∠B＝∠DAC，同理∠C＝∠BAD.
∵DE⊥DF，∴∠ADE＋∠ADF＝90°，∠CDF＋∠ADF＝90°。
∴∠ADE＝∠CDF，又∵∠BED＝∠BAD＋∠ADE，∠AFD＝∠C＋∠CDF，
∴∠BED＝∠AFD.∴△BED∽△AFD.∴。
6.证明:（1）∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC。
∴AC:AB＝AD:AC.∴AC2＝AD·AB；
（2）∵△ACD∽△ABC，∴∠ADF＝∠ACG，∴，∴△ADF∽△ACG.
∴∠DAF＝∠CAF即∠BAG＝∠CAG，AG是∠BAC的平分线，
∴，∴，∴CG2＝DF·BG.
7.C
8.解:设t秒后，则BP＝6-t，BQ＝2t，
（1）△PBQ是等腰三角形，则BP＝BQ，即6-t＝2t，解得t＝2；
（2）△PQB的面积为BP·BQ＝（6-t）（2t）＝5，即（t-1）（t-5）＝0，解得t＝1或5.
（3）①△BPQ∽△BAC，则，即2t＝2（6-t），解得t＝3.
②△BPQ∽△BCA，则有BP:BC＝BQ:AB，∴（6-t）:12＝2t:6，解得t＝1.2.
∴当t＝3秒或t＝1.2秒时以P，B，Q为顶点的三角形和△ABC相似.
9.解:∵∠DAE＝105°，∠BAC＝30°，∴∠1＋∠2＝∠DAE－∠BAC＝105°－ 30°＝75°。
∵AB＝AC，∴∠3＝∠4＝。∴∠ABD＝∠ACE.
∵∠3＝∠5＋∠1，∴∠5＋∠1＝75o.∴∠2＝∠5.∴△ABD∽△ECA.∴.∵AB＝AC＝1，BD＝x，CE＝y，∴，∴。
10.解:（1）证明:∵DQ⊥AP，∴∠DAQ＋∠ADQ＝90°。
∵∠BAD＝90°，∴∠DAQ＋∠BAP＝90°。∴∠ADQ＝∠BAP.
又∵∠AQD＝∠B＝90°，∴△DQA∽△ABP；
（2）∵△DQAO△ABP，∴，即，∴y＝（2＜x＜2）.
巩固提高
1.B 2.A 3.B 4. 5.80° 6. 7.①②④
8.（4,4），（0,－4），（,1），（,－1）
9.解:设经过x s，△PBQ与△BCD相似，则 PB＝（8-x）cm， BQ＝2x cm， DC＝8 cm， BC-12 cm.
由于∠PBQ＝∠BCD＝90°
（1）当∠BPQ＝∠BDC时，有，即，解得x＝；
（2）当∠BPQ＝∠DBC时，有，即，解得x＝2.
∴经过s或2s，△PBQ与△BCD相似。
点拨:要使以P，B，Q为顶点的三角形与△BCD相似，则要分两种情况进行分析。
分别是△PBQ∽△DCB和△QBP∽△DCB，从而解得所经过的时间.
10.解:（1）相似.理由:∵∠A＝36°，AB＝ AC，∴∠ABC＝∠C＝72°。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∴∠A＝∠CBD。
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC。
（2）证明:由（1）知△ABC∽△BDC，∴ ，∴BC·BD＝AB·DC.
由已知条件易知BC＝BD＝AD，又∵AB＝AC，∴AD2＝DC·AC.
11.解:∵点B的坐标为（4，2），∴OA＝4，AB＝2，OB＝＝2，OP＝.
如图所示，当△OPC∽△OBA时，∵，即，
∴PC＝1，OC＝2.∴C1（2，0）；
当△BPC∽△BOA时，∵，即，解得BC＝1，
∴AC＝2-1＝1.∴C2（4，1）；
当△OPC∽△OAB时，∴，即，解得OC＝2.5。∴C3（2.5，0）；
综上所述，C点坐标为:（2，0）或（4，1）或（2.5，0）
12.解:（1）证明:∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE＝BC。
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∠FEG＝∠BCG，∠EFG＝∠GBC。
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG.∴。
∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形BCFD是平行四边形。
∴BC＝DF＝DE＋EF，∴2DE＝DE＋EF.
∴DE＝EF，∴，∴。
（2）连接CH，在△ABH和△ACH中，AB＝AC，∠BAH＝∠CAH，AH＝AH，
∴△ABH≌△ACH.∴BH＝CH，∠ABH＝∠ACH.
∵CF∥AB，∴∠ABH＝∠CFB.∴∠ACH＋∠FCG＝∠CFB＋∠FCG，
即∠HCF＝∠HGC。∵∠FHC＝∠CHG，∴△FHC∽△CHG.
∴，∴CH2＝HG·HF。∵CH=BH，∴BH2=HG·HF。
真题训练
1.C 2. 3. 4.
5.解:（1）证明:∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°。
∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC.
（2）由（1）知:△ADE∽△ABC，∴。
由（1）知∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠CAG，∴△EAF∽△CAG.
∴，∴。