3.4 互斥事件
第3章 概率
学习目标
1.理解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系；
2.掌握互斥事件的概率加法计算公式.
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
知识点一 互斥事件
思考
一粒骰子掷一次，记事件A：点数大于4；事件B：点数小于3，则事件A，B可能在一次试验中同时发生吗？
不可能.
答案
互斥事件的概念：
的两个事件称为互斥事件.
梳理
不能同时发生
知识点二 事件A＋B
思考
一粒骰子掷一次，A：点数为奇数；事件B：点数大于3，则A，B至少有一个发生包含哪些基本事件？
A，B至少有一个发生包含点数为1，3，4，5，6.
答案
一般地，事件“A，B至少有一个发生”记为A＋B.如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，
即P(A＋B)＝ .一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝ .
梳理
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
P(A)＋P(B)
知识点三 对立事件
思考
在“知识点一思考”中，一次试验里，A，B是否必有一个发生？你能定义一个事件C，使A，C必有一个发生吗？
不是，比如掷出点数为3，则A，B都不发生，定义C：点数不大于4，则A，C必有一个发生.
答案
对立事件及其概率公式：
如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件.事件A的对立事件记为 ；对立事件概率公式P( )＝ .
梳理
1－P(A)
题型探究
类型一 互斥、对立的判定
例1 判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
是互斥事件.
理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.
解答
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
不是互斥事件.
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果；“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.
解答
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；
不是互斥事件.
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.
解答
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.
是互斥事件.
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生.
解答
如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交.
反思与感悟
跟踪训练1 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？
事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环；
事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环.
A 与C 互斥(不可能同时发生)，B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件(至少一个发生).
解答
类型二 互斥、对立概率公式
(1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？
因为C＝A＋B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，根据概
率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝ .
解答
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？
事件C与事件D互斥，且C＋D为必然事件，因此事件C与事件D是对立事件，
P(D)＝1－P(C)＝ .
解答
事件C是事件A与事件B的并事件，且事件A与事件B互斥，因此可用互斥事件的概率加法公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)＝1－P(C).
反思与感悟
设得到黑球、黄球的概率分别为x，y，由题意得
解答
类型三 事件关系的简单应用
例3 某人外出去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，
所以P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
解答
(2)求他不乘轮船去的概率；
设他不乘轮船去的概率为P，则
P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
解答
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.
解答
反思与感悟
对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件.当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式.
(1)甲获胜的概率；
“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，
解答
(2)甲不输的概率.
方法一 设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，
解答
当堂训练
1.给出以下结论，其中正确命题的个数有___.
①互斥事件一定对立；
②对立事件一定互斥；
③互斥事件不一定对立；
④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；
⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B).
对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；
又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；
只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错.
2
答案
解析
2
3
4
5
1
2.投掷一枚质地均匀的骰子，若事件A为“向上的点数至少为5”.则事件
是指__________________.
2
3
4
5
1
向上的点数至多为4
答案
2
3
4
5
1
3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球、黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是_____.
0.30
答案
4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是____.
①至少有一个红球与都是红球；
②至少有一个红球与都是白球；
③至少有一个红球与至少有一个白球；
④恰有一个红球与恰有两个红球.
2
3
4
5
1
④
答案
解析
2
3
4
5
1
①中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以①不符合题意；
②中，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，所以②不符合题意；
③中，若取出的3个球是1个红球，2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以③不符合题意；
④中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以④符合题意.
设射中10环或7环的概率为P1，不够7环的概率为P2.
P1＝0.21＋0.28＝0.49；
5.某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
解答
P2＝1－0.21－0.23－0.25－0.28＝0.03.
(2)不够7环的概率.
解答
2
3
4
5
1
规律与方法
1.互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生.而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：(1)事件A发生事件B不发生；(2)事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形.
2.当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
3.若事件A与B为对立事件，则A＋B为必然事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，于是有P(A)＝1－P(B).
本课结束
3.3 几何概型
第3章 概率
学习目标
1.了解几何概型与古典概型的区别；
2.了解几何概型的定义及其特点；
3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
知识点一 几何概型的概念
思考
往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？
出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的.
答案
(1)几何概型的定义：
设D是一个可度量的区域(例如 、 、 等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会 ；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的_____________
.这时，事件A发生的概率与d的测度( 、 、 等)成正比，与d的形状和位置无关.我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型.
(2)几何概型的特点：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 .
②每个基本事件出现的可能性 .
梳理
相等
线段
平面图形
立体图形
都一样
某个指定区域
d中的点
长度
面积
体积
无限多个
知识点二 几何概型的概率公式
既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？
由定义知，事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成正比，故可用区域的测度代替基本事件数.
答案
思考
几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝
.
梳理
知识点三 用模拟方法估计概率
1.随机数的产生
(1)计算器上产生(0，1)的随机数的函数是 函数.
(2)Excel软件产生[0，1]区间上的随机数的函数为“ ”.
(3)[a，b]上随机数的产生
利用计算器或计算机产生[0，1]上的随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝ 就可以得到[a，b]内的随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的.
x1*(b－a)＋a
RAND
RAND ()
2.用模拟方法估计概率的步骤：
(1)把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.
(2)用计算机(或计算器)产生指定范围内的随机数.
(3)统计试验的结果，代入几何概型概率公式估得概率.
利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题.
题型探究
类型一 几何概型的概念
例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型.
(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
解答
抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
(2)下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.求甲获胜的概率.
解答
游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型.
判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：
(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；
(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性.当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型.
反思与感悟
跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：
(1)某月某日，某个市区降雨的概率；
解答
不是几何概型，因为它不具有等可能性；
(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率.
解答
是几何概型，因为它具有无限性与等可能性.
类型二 几何概型的计算
命题角度1 与长度有关的几何概型
例2 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率.
解答
如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.
设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.
则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生.
因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，
引申探究
1.本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率.
解答
2.本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率.
解答
若一次试验中所有可能的结果和某个事件A包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A发生的概率.
反思与感悟
跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径为r(r＜a)的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.
解答
命题角度2 与面积有关的几何概型
例3 设点M(x，y)在区域{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}上均匀分布出现，求：
(1)x＋y≥0的概率；
如图，满足|x|≤1，|y|≤1的点(x，y)组成一个边长为2
的正方形(ABCD)区域(含边界)，S正方形ABCD＝4.
解答
(2)x＋y＜1的概率；
解答
(3)x2＋y2≥1的概率.
满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，S⊙O＝π，
解答
如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解.
反思与感悟
跟踪训练3 欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿.若铜线是直径为3 cm的圆，中间有一个边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小
忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是 .
答案
解析
命题角度3 与体积有关的几何概型
例4 三棱锥D—ABC的体积为V，在其内部任取一点P，求三棱锥P—ABC
的体积小于 V的概率.
解答
则点P落在平面EFG与平面ABC之间时，
反思与感悟
解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.
跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，
则此点落在正方体内部的概率为 .
答案
解析
当堂训练
1.下列概率模型：
①从区间[－10，10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
②从区间[－10，10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；
③在一个边长为4 cm的正方形ABCD内取一点P，求点P离正方形的中心小于1 cm的概率.
其中，是几何概型的为 .
①③
答案
解析
2
3
4
1
①是，因为区间[－10，10]和[－1，1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；
②不是，因为区间[－10，10]内的整数只有21个，不满足无限性；
③是，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点被取到的可能性相同(等可能性).
2
3
4
1
2
3
4
1
2.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在
△ABD内的概率为 .
答案
解析
2
3
4
1
3.两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距
离都大于2 m的概率为 .
记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A，则P(A)＝ .
答案
解析
4.在装有5升纯净水的容器中不小心混入一个病毒，现从中随机取出1升水，
那么这1升水中含有病毒的概率是 .
2
3
4
1
答案
规律与方法
1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型.
2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积等有关的题目.
3.注意理解几何概型与古典概型的区别.
4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解.
本课结束
3.2 古典概型(二)
第3章 概率
学习目标
1.加深对基本事件与古典概型概念的理解；
2.进一步熟悉用列举法写出随机事件所包含的基本事件及个数；
3.能应用古典概型计算公式求复杂事件的概率.
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
知识点一 与顺序有关的古典概型
思考
同时掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率与“两枚正面”的概率哪个大？
答案
与顺序有关的古典概型：
一般地，有放回的抽样试验，会导致基本事件里有相同元素，如(正，正).此时罗列基本事件要把元素相同排列顺序不同的事件(如(正，反)与(反，正))区别对待，当成两个不同事件，这就是与顺序有关的古典概型.
梳理
知识点二 与顺序无关的古典概型
思考
口袋里有标号为1，2，3的3个球，从中不放回地摸取2个，两球都是奇数的概率是多少？
答案
与顺序无关的古典概型：
一般地，对于不放回的抽样试验，按有序、无序罗列基本事件均可，但无序简单.故可归为与顺序无关的古典概型.
梳理
知识点三 古典概型的解题步骤
1.求出总的 数；
2.求出事件A所包含的 数，然后利用公式
基本事件
基本事件
题型探究
类型一 树形图
例1 有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐，
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
解答
将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下列图形表示出来：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个.
设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基
本事件，所以P(A)＝ .
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
解答
设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件B包含9个
基本事件，所以P(B)＝ .
(3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率.
解答
设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本
事件，所以P(C)＝ .
借助树形图罗列基本事件，书写量小且不重不漏，是一个不错的方法.
反思与感悟
跟踪训练1 先后抛掷两枚大小相同的骰子.
(1)求点数之和出现7点的概率；
解答
用树形图列举基本事件如下：
基本事件的总数共36种.
(2)求出现两个4点的概率；
解答
记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4，4).
故P(B)＝ .
(3)求点数之和能被3整除的概率.
解答
记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6).
故P(C)＝ .
类型二 与顺序有关的古典概型
例2 同时掷两个骰子，计算：
(1)一共有多少种不同的结果？
解答
掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以便区分，由于1号骰子的结果都可以与2号骰子的任意一个结果配对，我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果(如下表)，其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果.(可由列表法得到)
由表中可知同时掷两个骰子的结果共有36种.
2号骰子
1号骰子 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1).
解答
(3)向上的点数之和是5的概率是多少？
解答
因为掷两粒骰子会出现相同元素(1，1)，(2，2)，…，故罗列事件要按有序罗列，把(1，2)，(2，1)当成不同事件，否则就不是古典概型了.
反思与感悟
跟踪训练2 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0，1，……，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他在自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？
解答
类型三 与顺序无关的古典概型
例3 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.
(1)求A1被选中的概率；
解答
从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}
事件M由6个基本事件组成，
(2)求B1和C1不全被选中的概率.
用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则N由15个基本事件组成：(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2).
解答
反思与感悟
本例相当于从8个不同元素中不放回地抽取3个，故可按无序罗列基本事件.
跟踪训练3 一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)共有多少个基本事件？
分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2个球，有如下基本事件(摸到1、2号球用(1，2)表示)：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).因此，共有10个基本事件.
解答
(2)摸出的2个球都是白球的概率是多少？
解答
当堂训练
1.下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为____.
10个数据落在区间[22，30)内的数据有22，22，27，29，共4个，因此，
所求的概率为 ＝0.4.
0.4
答案
解析
2
3
4
1
2
3
4
1
2.一只袋中已知有3个黑球，2个白球，第一次摸出1个球，然后放回去，
再摸第二次，则两次摸球都是白球的概率为____.
从5球中有放回地抽取两次，共有25种结果，其中两次都是白球的抽取
结果有：2×2＝4种，所以P＝ .
答案
解析
2
3
4
1
3.一袋中装有大小相同的八个球，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中有放回地每次取一个球，共取2次，记“取得两个球的编号和大
于或等于14”为事件A，则P(A)＝____.
事件A包括(6，8)，(7，7)，(7，8)，(8，6)，(8，7)，(8，8)这6个基本事件，
由于是有放回地取，基本事件总数为8×8＝64，所以P(A)＝ .
答案
解析
4.抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率.
在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1，2以便区分，由于2颗骰子各有6种可能的结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×6＝36种，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，
(6，2)，共5种，所以所求事件的概率为 .
解答
2
3
4
1
规律与方法
1.解决古典概型的概率问题，需从不同的背景材料中抽象出两个问题：
(1)所有基本事件的个数n.
(2)随机事件A包含的基本事件的个数m；最后套用公式P(A)＝ 求值.
2.在求概率时，通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示，以方便我们更直接、准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式，求出相应的概率即可.
本课结束
3.2 古典概型(一)
第3章 概率
学习目标
1.理解基本事件的概念并会罗列某一事件包含的所有基本事件；
2.理解古典概型的概念及特点；
3.会应用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
知识点一 基本事件
思考
一枚硬币抛一次，可能出现的基本结果都有哪些？它们发生的可能性相同吗？
正面向上，反面向上，它们发生的可能性相同.
答案
(1)在1次试验中可能出现的 称为基本事件.
(2)若在1次试验中，每个基本事件发生的 ，则称这些基本事件为等可能基本事件.
梳理
可能性都相同
每一个基本结果
知识点二 古典概型
思考
一枚矿泉水瓶盖抛一次，出现正面向上与反面向上的概率相同吗？
因为瓶盖重心的原因，正面向上和反面向上的可能性是不一样的.由此可以看出基本事件不一定等可能.
答案
古典概型的定义：
如果某概率模型具有以下两个特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件 ；
(2)每个基本事件的发生都是 的；
那么我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概型.
一般地，对于任何事件A，
梳理
等可能
只有有限个
如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 .如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事
件A发生的概率为P(A)＝ .
题型探究
类型一 基本事件的罗列方法
例1 从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？
所求的基本事件有6个，A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d};
“取到字母a”是基本事件A、B、C的和，即A＋B＋C.
解答
罗列基本事件时首先要考虑元素间排列有无顺序，其次罗列时不能毫无规律，而要按照某种规律罗列，比如树状图.
反思与感悟
跟踪训练1 做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数.写出：
(1)试验的基本事件；
这个试验的基本事件共有36个，如下：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
解答
(2)事件“出现点数之和大于8”；
“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
解答
(3)事件“出现点数相等”；
“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).
解答
(4)事件“出现点数之和等于7”.
“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).
解答
类型二 古典概型的判定
例2 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？
不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.
解答
判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性.
反思与感悟
跟踪训练2 下列说法不是古典概型的是____.
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的概率；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④6个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性.
而③不适合等可能性，故不是古典概型.
③
答案
解析
类型三 古典概型概率的计算
例3 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？
由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A，B，C，D哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A，由于正确答案是
唯一的，所以事件A只包含一个基本事件，所以P(A)＝ .
解答
反思与感悟
解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出.
跟踪训练3 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)和(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A表示“取出的两件产品中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)]，事件A由4个基本
事件组成，因而P(A)＝ .
解答
当堂训练
1.某高二年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只能选报其中的2个，则基本事件共有___个.
基本事件有：(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个.
3
答案
解析
2
3
4
5
1
2.一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为___.
所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，
共3个.则所求概率为 .
答案
解析
2
3
4
5
1
3.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是___.
基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间
的概率为P＝ .
答案
解析
2
3
4
5
1
4.用1，2，3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是___.
用1，2，3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123，132，213，231，312，321，其中能被2整除的有132，312这2个数，故能被2整除的
概率为 .
答案
解析
2
3
4
5
1
记甲被选中为事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6个，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁，共3个，则P(A)＝
.
5.从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表.
求：(1)甲被选中的概率；
解答
记丙丁被选中为事件B，由(1)知，基本事件共6个，又因丙丁被选中只有
1种情况，所以P(B)＝ .
(2)丙丁被选中的概率.
解答
2
3
4
5
1
规律与方法
1.基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，试验中的事件A可以是基本事件，也可以是有几个基本事件组合而成的.
2.有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P(A)＝事件A所包含的等可能基本事件的个数÷等可能基本事件的总数，只对古典概型适用.
3.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是枚举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.
本课结束
3.1.1 随机现象
3.1.2 随机事件的概率
学习目标
1.了解随机现象、随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
2.理解概率的含义以及频率与概率的区别与联系；
3.能列举一些简单试验的所有可能结果.
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练
问题导学
知识点一 现象、试验、事件
2.试验、事件：对于某个现象，让其条件实现一次，即为进行了一次试验.试验的每一种结果都是一个事件.
1.现象
确定性现象：一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果.
随机现象：一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，
事先不能断定出现哪种结果.
知识点二 随机事件
思考
抛掷一粒骰子，下列事件，在发生与否上有什么特点？
(1)向上一面的点数小于7；
必然发生；
答案
(2)向上一面的点数为7；
必然不发生；
答案
(3)向上一面的点数为6.
可能发生也可能不发生.
答案
随机事件、确定事件的概念：
事件
确定事件
随机事件：在一定条件下， 的事件.
不可能事件：在一定条件下， 的事件.
必然事件：在一定条件下， 的事件.
可能发生也可能不发生
肯定不会发生
必然会发生
梳理
知识点三 频率与概率
思考
抛掷一枚硬币10次，正面向上出现了3次，则在这10次试验中，正面向上的频数与频率分别是多少？能说一枚硬币抛一次正面
向上的概率为 吗？
答案
一般地，
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝
为事件A出现的频率.
(2)事件A发生的 随着试验次数的增加稳定于 ，因此可以用 来估计 .
(3)对于任意一个随机事件A，P(A)的范围是 .
(4)用Ω和?表示必然事件和不可能事件，则P(Ω)＝ ，P(?)＝ .
梳理
事件A出现的次数nA
频率fn(A)
概率P(A)
频率fn(A)
概率P(A)
0≤P(A)≤1
1
0
题型探究
类型一 必然事件、不可能事件和随机事件的判定
例1 在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1，2，3，4，5，6的6张号签中任取一张，得到4号签；
(3)铁球浮在水中；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；
(6)同性电荷，相互排斥.
解答
由实数运算性质知(1)恒成立，是必然事件；(6)由物理知识知同性电荷相斥是必然事件，(1)(6)是必然事件.
铁球会沉入水中；标准大气压下，水的温度达到50℃时不沸腾，(3)(5)是不可能事件.
由于(2)(4)中的事件有可能发生，也有可能不发生，所以(2)(4)是随机事件.
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生.一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
反思与感悟
跟踪训练1 下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
①如果x，y均为实数，那么x·y＝y·x；
②三张奖券只有一张中奖，任取一张奖券中奖；
③掷骰子出现7点；
④某高速公路收费站在3分钟内至少经过8辆车；
⑤声音在真空中传播；
⑥地球绕太阳旋转.
解答
显然①中等式恒成立，是必然事件；⑥是自然常识，是必然事件，所以①⑥为必然事件.
掷骰子不可能出现7点，声音不能在真空中传播，所以③⑤为不可能事件.
三张奖券只有一张中奖，任取一张可能中奖也可能不中奖，收费站3分钟内经过的车辆可能多于8辆，也可能少于8辆，还有可能等于8辆，因此②④为随机事件.
类型二 列举试验结果
例2 某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y).
(1)写出这个试验的所有结果；
当x＝1时，y＝2，3，4；当x＝2时，y＝1，3，4；
当x＝3时，y＝1，2，4；当x＝4时，y＝1，2，3.因此，这个试验的所有结果是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3).
解答
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
解答
在写试验结果时，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏.
反思与感悟
跟踪训练2 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球；
条件为：从袋中任取1球，结果为：红、白、黄、黑4种.
解答
(2)从中任取2球.
条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种.
解答
类型三 用频率估计概率
例3 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，右表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率.(结果保留到小数点后三位)
(1)90分以上；
成绩 人数
90分以上 43
80分～89分 182
70分～79分 260
60分～69分 90
50分～59分 62
50分以下 8
解答
用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：
将“90分以上”记为事件A，则P(A)≈0.067；
(2)60分～69分；
将“60分～69分”记为事件B，则P(B)≈0.140；
解答
(3)60分以上.
将“60分以上”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.
解答
反思与感悟
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率.
跟踪训练3 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
解答
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率 ? ? ? ? ? ?
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解答
由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.
当堂训练
1.下面给出了三个事件：
①明天天晴；
②在常温下，铁熔化；
③自由下落的物体做匀速直线运动.
其中随机事件为____.
由事件的定义可判断①是随机事件，②③是不可能事件.
①
答案
解析
2
3
4
1
2.下面五个事件：
①某地明年2月3日将下雪；
②函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；
③实数的绝对值不小于0；
④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；
⑤a，b∈R，则ab＝ba.
其中必然事件是_____.
2
3
4
1
③⑤
答案
3.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面向上，设反面向上为事件A，则事件A出现的频数为___，事件A出现的频率为_____.
2
3
4
1
52
答案
解析
0.52
100次试验中，48次正面向上，则52次反面向上.
4.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽样50台中优等品40台，
同理可求得其他的频率依次为：0.92，0.96，0.95，0.956，0.954.
解答
2
3
4
1
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
(1)计算表中优等品的各个频率；
频率稳定在0.95附近，所以该厂生产的电视机优等品的概率约为0.95.
2
3
4
1
(2)该厂生产的电视机优等品的概率约为多少？
解答
规律与方法
1.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).
2.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率.
3.写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等.
本课结束
