湘教版2018-2019学年度八年级下学期期中考试数学试卷（含解析）

2018-2019湘教版八年级下中期试卷
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题，每题4分，共48分)
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则( )
A．AB=2AC B．AC=2AB C．AB=AC D．AB=3AC
2．以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（　　）
A．1cm，3cm，3cm B．2cm，2cm，2cm
C．4cm，2cm，2cm D．cm，cm，1cm
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB=14，S△ABD=14，则CD=（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，点O是∠BAC内一点，且O到AB、AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（　　）
A．SSS B．AAS C．HL D．ASA
6．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的为(　　)
A．AB∥CD，AD∥BC
B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AD＝BC
D．AB∥CD，AB＝CD
7．下列条件：(1)∠A=25°，∠B=65°；(2)3∠A=2∠B=∠C；(3)∠A=5∠B；(4)2∠A=3∠B=4∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知n边形的每个外角都等于60°，则它的内角和是( )
A．180° B．270° C．360° D．720°
9．课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的矩形形状的风筝，其面积为450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需( )．
A．30cm B．30cm C．60cm D．60
10．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（　　）
A．50° B．25° C．15° D．20
11．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题（6小题。每题4分，共24分)
13．在直角三角形中，最长边为10 cm，最短边为5 cm，则这个三角形中最小的内角为__________度.
14．如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要添加的条件是________或________．
15．如图，□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，EC与DF交于点H，若GH=3，则AD=______.
16．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，则AD：AB=_____.
17．如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是__________ cm.
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，边接EF，则EF的最小值为_cm．
三、解答题（8小题，共78分)
19．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点.
求证：CD⊥AB.
20．如图，将?ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD，求证：EC＝DF.
21．点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
(1)如图1，点O是△ABC内的动点，点O，F分别是OB，OC的中点，求证：DEFG是平行四边形；
(2)如图2，若BE交DC于点O，请问AO的延长线经过BC的中点吗？为什么？
22．如图，在矩形ABCD中，BD的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、O，连接DE、BF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝8cm，BC＝4cm，求四边形DEBF的面积．
23．如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，直线AE交BD于点M，交DC的延长线于点F，G是EF的中点，连接CG.求证：
(1)△ABM≌△CBM；
(2)CG⊥CM.
24．如图，△ABC中，CD⊥AB于D．
（1）图中有几个直角三角形；
（2）若AD=12，AC=13，则CD等于多少；
（3）若CD2=AD·DB， 求证：△ABC是直角三角形．
25．如图，△ABD、△BCE、△ACF均为等边三角形，请回答下列问题（不要求证明）
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
26．如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
参考答案
1．A
【考点】含30°角的直角三角形的性质
【分析】
根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
解：如图所示．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则AB=2AC．
故选A．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
2．【考点】勾股定理的逆定理
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可．
解：A、12+32≠32，故不能构成直角三角形；
B、22+22≠22，故不能构成直角三角形；
C、22+22≠42，故不能构成直角三角形；
D、12+（）2＝（）2，故能构成直角三角形；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理.
3．【考点】中心对称图形与轴对称图
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点即可解答．
解：选项A，是轴对称图形，也是中心对称图形；
选项B，是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项C，不是轴对称图形，是中心对称图形；
选项D，不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
4．【考点】角平分线上的性质
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∴S△ABD=AB?DE=×14?DE=14，解得DE=2，∴CD=2．故选C.
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，掌握性质是解题的关键．
5．【考点】直角三角形全等的判定
【分析】利用点O到AB，AC的距离OE=OF，可知△AEO和△AFO是直角三角形，然后可直接利用HL求证△AEO≌△AFO，即可得出答案．
解：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO(HL)故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是利用题目中给出的已知条件判定△AEO和△AFO是直角三角形．
6．【考点】平行四边形的判定
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对每个选项进行筛选可得答案．
解：如图所示：
∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是是平行四边形，∴A能判断；∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），∴B能判断；∵AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，∴C不能判断；∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴D能判断；
故选：C.
【点睛】考查平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
7．【考点】三角形的内角和定理，直角三角形的判定
【分析】根据三角形的内角和定理求出各小题中最大的角的度数即可进行判断．
解：（1）∵∠A=25°，∠B=65°，
∴∠A+∠B=25°+65°=90°，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵3∠A=2∠B=∠C，
∴∠A=∠C，∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠C+∠C+∠C=∠C=180°
∴∠C≠90°
∴△ABC不是直角三角形；
（3）∵∠A=5∠B
∴无法计算内角的度数，
因此无法判定△ABC的形状；
（4）∵2∠A=3∠B=4∠C，
∴∠A=2∠C，∠B=∠C，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C+∠C+∠C=∠C=180°，
∴∠C=
∴△ABC不是直角三角形.
故选A.
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，判断三角形的形状只要求出最大的角的度数即可进行判断．
8．【考点】n边形的内角和定理
【分析】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．
的边数为n，
∵多边形的每个外角都等于60°，
∴n=360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=（6-2）×180°=720°．
故选：D．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和=（n-2）?180°；也考查了n边形的外角和为360°．
9．【考点】
【分析】因为矩形的对角线相等,现在又互相垂直,已经是正方形,所以设矩形的对角线长为x，则S矩形=x2，再根据面积为450cm2求出x的值即可．
解：设矩形的对角线长为x，∵矩形的两条对角线互相垂直，∴S矩形=x2=450cm2，解得x=30cm，∴2x=60cm．故选：C．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，解题关键是熟练掌握矩形的两条对角线相等，当对角线互相垂直时，则其面积又等于两条对角线积的一半．
10．【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．
解：在四边形ABCD中，∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PMAB，PNDC，PM∥AB，PN∥DC．
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∴∠PMN=∠PNM．
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，
∴∠PMN25°．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
11．【考点】平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，中位线定理，平行线的性质
【分析】证明△BCO是等腰三角形即可证明①正确；由EG=AB，EF=AB可证②成立；由中点的性质可得出EF∥CD，且EF=CD=BG，结合平行即可证得③结论成立；由三线合一可证明④成立；无法证明⑤成立；此题得解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2BO，AD=BC，
∵BD＝2AD，
∴BD＝2BC，
∴BO=BC,
∵E为OC中点，
∴BE⊥AC，故①成立；
∵BE⊥AC，G是AB中点，
∴EG=AB，
∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，
∴EF=AB，
∴EF=EG，故②成立；
∵AB∥CD，EF∥CD，
∴EF∥AB,
∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），
在△EFG和△GBE中，
∵BG=FE，∠FEG=∠BGE，GE=EG，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即③成立；
∵BG=FE，EF∥AB,
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵BE⊥AC，
∴GF⊥AC，
∵EF=EG，
∴∠AEG=∠AEF,
即EA平分∠GEF
故④正确，
若四边形BEFG是菱形
∴BE＝BG＝AB，
∴∠BAC＝30°
与题意不符合
故⑤错误
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、中位线定理以及平行线的性质定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
12．【考点】正方形的性质，轴对称，勾股定理
【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，
∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8?2＝6，BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故选：C．
【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
13．【考点】含30°角的直角三角形
【分析】根据含30°角的直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半求出即可．
解：直角三角形中，最长边为10 cm，最短边为5 cm，∴最短边=最长边的一半，∴最短边所对的角为30°，∴三角形中最小的内角为30°．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，解答此题的关键是先确定30°角所对的边和斜边．
14．【考点】三角形全等的判定方法
【分析】本题要判定△ABC≌△ABD，已知∠C=∠D=90°，AB=AB，具备了一组边、一组角相等，故添加∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA，BD=BC或AD=AC后可分别根据AAS、HL判定三角形全等．
解：添加∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA，BD=BC或AD=AC．
∵∠C=∠D，∠CAB=∠DAB（∠CBA=∠DBA），AB=AB
∴△ABC≌△ABD（AAS）；
∵∠C=∠D=90°，AB=AB（AD=AC），BD=BC
∴△ABC≌△ABD（HL）．
故答案为:BC=BD或AC=AD．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定
【分析】连结EF，先分别证明四边形ABFE是平行四边形，四边形EFCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得H、G分别是DF、AF的中点，GH是△AFD的中位线，由GH=3即可求出AD的长.
解：连结EF，
∵□ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=AD,BF=BC，
∴AE∥BF，AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形。
∴AG=GF，
∴G是AF的中点，
∴同理可证： H是DF的中点，
∴GH是△AFD的中位线，
∴GH=AD，即AD=2GH=6.
故答案为：6.
【点睛】本题考查三角形中位线定义，三角形中位线定理.
16．【考点】角平分线的性质，等腰三角形的性质
【分析】根据角平分线的性质和等腰三角形的性质可求证AD=CD，然后即可得出AD∶AB.
解：∵AB∥CD
∴∠DCA=∠CAB
∵AC平分∠DAB
∴∠CAB=∠CAD =∠DCA
∴AD = CD
∵DC∶AB=1∶1.5
∴AD∶AB=1∶1.5
【点睛】角平分线的性质和等腰三角形的性质是本题的考点，证明AD=CD是解题的关键.
17．【考点】菱形的性质
【分析】根据菱形的四边相等，菱形ABCD的周长是8 cm，即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AB+BC+CD+DA=8cm，∴AB=2cm，∴AB的长为2cm．故答案为2．
【点睛】本题考查菱形的性质，记住菱形的四边相等是解决问题的关键，属于基础题．
18．【考点】矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
解：如图，连接CD．
∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB5（cm）．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD．
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABCBC?ACAB?CD，即4×35?CD，解得：CD=2.4（cm），
∴EF=2.4cm．
故答案为：2.4．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
19．【考点】含30°的直角三角形的性质
【分析】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CMAB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CBAB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：∵∠ACB=90°，M为AB中点，
∴CMAB=BM．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴CBAB=BM，
∴CM=CB．
∵D为MB的中点，
∴CD⊥BM，即CD⊥AB．
【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．
20．【考点】平行四边形的判定与性质
【分析】欲证明EC＝DF，只要证明四边形DFCE是平行四边形即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝AD，CF＝BC，
∴DE＝CF，
∵DE∥CF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴EC＝DF.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关的定理内容是解题的关键.
21．【考点】角形的中位线定理、平行四边形的判定、三角形的重心
【分析】(1)由三角形中位线定理得出DE∥GF，DE＝GF，即可得出结论；
(2)由三角形的重心定理即可得出结论．
解：(1)∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
同理：GF∥BC，BC＝2GF，
∴DE∥GF，DE＝GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
(2) AO的延长线经过BC的中点；理由如下：
∵BE、CD是△ABC的中线，BE交DC于点O，三角形的三条中线相交于一点，
∴AO的延长线经过BC的中点．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、三角形的重心定理；熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解决问题（1）的关键．
22．【考点】菱形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质
【分析】(1)先证明△BOE≌△DOF,得出EO＝FO，且OB＝OD,再根据EF垂直平分BD,可得出四边形BEDF为菱形;
(2) 由菱形的性质知BE＝DE，在Rt△ADE中，根据DE2＝AE2+DA2列式求解即可.
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，且OB＝OD
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF垂直平分BD
∴BE＝DE
∴四边形BEDF是菱形
（2）∵四边形BEDF是菱形
∴BE＝DE，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+DA2，
∴BE2＝（8﹣BE）2+16，
∴BE＝5
∴四边形DEBF的面积＝BE×AD＝20cm2．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质以及面积的求法等知识,熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键.
23．【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】(1)利用正方形的性质得出AB=CB，∠ABM=∠CBM，进而利用SAS得出答案；
(2)直接利用全等三角形的性质得出∠BAM=∠BCM，进而得出∠BAM=∠F，∠BCM=∠GCF进而求出答案．
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABM＝∠CBM，
在△ABM和△CBM中，
∴△ABM≌△CBM(SAS)，
(2)∵△ABM≌△CBM，
∴∠BAM＝∠BCM，
∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，
∴GC＝GF，
∴∠GCF＝∠F，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM＝∠F，
∴∠BCM＝∠GCF，
∴∠BCM＋∠GCE＝∠GCF＋∠GCE＝90°，
∴GC⊥CM.
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质.
24．【考点】勾股定理及其逆定理
【分析】（1）根据CD⊥AB即可进行判断；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）根据勾股定理可得BD2=BC2﹣CD2，AD2=AC2﹣CD2，再利用完全平方公式（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2，代入整理，根据勾股定理的逆定理即可得证.
解：（1）∵CD⊥AB，
∴△ACD与△BCD都是直角三角形，
故图中有2个直角三角形；
（2）在Rt△ACD中，
CD==5；
（3）在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣CD2，
在Rt△BCD中，BD2=BC2﹣CD2，
∵CD2=AD·DB，
∴（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2
= AC2﹣CD2+2 CD2+BC2﹣CD2
= AC2+ BC2=AB2，
则△ABC是直角三角形．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解此题的关键在于利用完全平方公式进行变形整理，再根据勾股定理的逆定理进行判定即可.
25．【考点】等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定和性质
【分析】（1）四边形ADEF是平行四边形，可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．
解：（1）四边形ADEF是平行四边形，理由如下：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．在△ABC与△DBE中，

∴△ABC≌△DBE（SAS）．∴DE=AC．又∵AC=AF，∴DE=AF．同理可得EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形．（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；（3）当△ABC满足角A=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．
【点睛】本题考查用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．
26．【考点】菱形的判定，三角形中位线定理，正方形的判定
【分析】（1）连接AD、BC，利用SAS可判定△APD≌△CPB，从而得到AD=BC，因为EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线，则可以得到EF=FG=GH=EH，根据四边都相等的四边形是菱形，可推出四边形EFGH是菱形；（2）成立，可以根据四边都相等的四边形是菱形判定；（3）先将图形补充完整，再通过角之间的关系得到∠EHG=90°，已证四边形EFGH是菱形，则四边形EFGH是正方形．
解：（1）四边形EFGH是菱形．
（2）成立．理由：连接AD，BC．
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．
即∠APD=∠CPB．
又∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS）
∴AD=CB．
∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，
∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．
∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．
∴EF=FG=GH=EH．
∴四边形EFGH是菱形．
（3）补全图形，如答图．
判断四边形EFGH是正方形．
理由：连接AD，BC．
∵（2）中已证△APD≌△CPB．
∴∠PAD=∠PCB．
∵∠APC=90°，
∴∠PAD+∠1=90°．
又∵∠1=∠2．
∴∠PCB+∠2=90°．
∴∠3=90°．
∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，
∴GH∥BC，EH∥AD．
∴∠EHG=90°．
又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．
【点睛】正方形、矩形、菱形、平行四边形之间的关系反映了几种特殊的平行四边形有特殊到一般的关系，可从概念、性质、判定三方面进行对比理解；各种特殊的四边形之间的联系及区别要掌握好，通常还会和三角形中位线、勾股定理想联系.