第二章 第3节+匀变速直线运动的位移与时间的关系+学案 Word版含答案

第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系
　　　　　　　　　　　　　　　　1.在v-t图像中图线与t轴所围的面积表示物体的位移。
2．匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2。
3．匀速直线运动的x-t图线是一条倾斜的直线，匀
变速直线运动的x-t图线是抛物线的一部分。
一、匀速直线运动的位移
1．做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt。
2．在速度图像中，位移在数值上等于v-t图像与对应的时间轴所围的面积。
二、匀变速直线运动的位移
1．在v-t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v-t图像中的图线和时间轴包围的面积。如图所示，在0～t时间内的位移大小等于梯形的面积。
2．位移公式x＝v0t＋at2。式中v0表示初速度，x表示物体在时间t内运动的位移。
三、用图像表示位移
1．定义：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像叫位移—时间图像。
2．匀速直线运动的x-t图像：是一条倾斜直线。
3．匀变速直线运动的x-t图像：是一条过原点的抛物线。
1．自主思考——判一判
(1)匀速直线运动表示任意相等的时间内，质点的位移都是相等的。(√)
(2)匀变速直线运动的位移与时间成正比。(×)
(3)由x-t图像能得出对应时刻物体所在的位置。(√)
(4)x-t图像中的图线就是物体的实际运动轨迹。(×)
(5)由x-t图像能得到某时间内物体的位移。(√)
2．合作探究——议一议
(1)如何利用速度图像求解物体运动的位移？
提示：速度图像中，图线与坐标轴所围图形的面积表示位移的大小，若面积处于时间轴上方，则说明位移为正；若面积处于时间轴下方，则位移为负。
(2)什么是微分思想与微元法？
提示：利用微分思想的分析方法称为微元法。它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出研究对象变化规律的一种思想方法。
匀变速直线运动的位移公式
1．位移公式x＝v0t＋at2的推导
如图甲所示，在匀变速直线运动中运用“无限分割、逐步逼近”的微分思想可得v-t图像与时间轴所围成的“面积”表示位移。
　　　　　
甲　　　　　　　　乙　　
如图乙所示，速度图线和时间轴所包围的梯形面积为S＝(OC＋AB)·OA。
与之对应的物体的位移x＝(v0＋v)t。
由速度公式v＝v0＋at，
代入上式得x＝v0t＋at2。
2．对位移公式x＝v0t＋at2的理解
(1)适用条件：匀变速直线运动。
(2)公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向：
①匀加速直线运动，a取正值；匀减速直线运动，a取负值。
②若位移为正值，位移的方向与规定的正方向相同；若位移为负值，位移的方向与规定的正方向相反。
(3)两种特殊形式：
①当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
②当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀变速直线运动)。
1．两物体都做匀变速直线运动，在给定的时间间隔t内(　　)
A．加速度大的，其位移一定大
B．初速度大的，其位移一定大
C．末速度大的，其位移一定大
D．平均速度大的，其位移一定大
解析：选D　根据x＝v0t＋at2知，加速度大，位移不一定大，还与初速度有关，故A错误。根据x＝v0t＋at2知，初速度大的，位移不一定大，还与加速度有关，故B错误。末速度大，位移不一定大，还与初速度有关，故C错误。根据x＝t，时间一定，平均速度大，位移一定大，故D正确。
2．一物体的位移函数式是x＝4t＋2t2＋5(m)，那么它的初速度和加速度分别是(　　)
A．2 m/s,0.4 m/s2　　　　 　B．4 m/s,2 m/s2
C．4 m/s,4 m/s2 D．4 m/s,1 m/s2
解析：选C　将公式x＝4t＋2t2＋5(m)和位移公式：x＝v0t＋at2进行类比可知物体的初速度v0＝4 m/s，加速度为4 m/s2，故A、B、D错误，C正确。
3．从静止开始做匀加速直线运动的物体，前10 s内的位移是10 m，则该物体运动30 s时的位移为(　　)
A．30 m B．60 mC．90 m D．120 m
解析：选C　由x＝at2得，a＝＝ m/s2＝0.2 m/s2。
则x′＝at′2＝×0.2×900 m＝90 m。故C正确，A、B、D错误。
利用v-t图像求物体的位移
[典例]　某一做直线运动的物体的图像如图所示，根据图像求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移；
(3)前4 s内物体通过的路程。
[审题指导]　
(1)t＝1 s时物体速度最大，t＝3 s时物体速度方向将发生改变，此时位移最大。
(2)利用v-t图像求位移一般采用“面积”法计算，即计算v-t图线与时间轴所围成的面积。
[解析]　(1)物体距出发点最远的距离xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m。
(2)前4 s内的位移
x＝x1－x2＝v1t1－v2t2＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m。
(3)前4 s内通过的路程
s＝x1＋x2＝v1t1＋v2t2＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m。
[答案]　(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m
(1)v-t图像与t轴所围的“面积”表示位移的大小。
(2)面积在t轴以上表示位移是正值，在t轴以下表示位移是负值。
(3)物体的总位移等于各部分位移(正负面积)的代数和。
(4)物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。
　　　　
1.一质点的v-t图像如图所示，求它在前2 s内和前4 s内的位移。
解析：位移大小等于图线与时间轴t所围成的面积，
在前2 s内的位移x1＝2×5× m＝5 m；
在后2 s内的位移x2＝(4－2)×(－5)× m＝－5 m，
所以质点在前4 s内的位移x＝x1＋x2＝5 m－5 m＝0。
答案：5 m　0
2．从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，共历时20 s，行进50 m，求其最大速度。
解析：法一：(基本公式法)设最大速度为vmax，由题意得
x＝x1＋x2＝a1t12＋vmaxt2－a2t22，
t＝t1＋t2，vmax＝a1t1,0＝vmax－a2t2，
解得vmax＝＝ m/s＝5 m/s。
法二：(平均速度法)由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半，即＝＝，
由x＝t得vmax＝＝5 m/s。
法三：(图像法)作出运动全过程的v-t图像如图所示，v-t图像与t轴围成的三角形的面积与位移等值，故x＝，则vmax＝＝5 m/s。
答案：5 m/s
两类匀减速直线运动
两类运动
区别
技巧点拨
刹车类问题
可看成反向的初速度为零的匀加速运动
双向可逆类
如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后返回，这类运动可对全程列式，注意x、v、a等矢量的正负号
[典例]　飞机着陆做匀减速直线运动可获得a＝6 m/s2的加速度，飞机着陆时的速度
为v0＝60 m/s，求它着陆后t＝12 s内滑行的距离。
[解析]　设飞机停止所需时间为t0，由速度公式v＝v0－at0得t0＝10 s。
可见，飞机在t＝12 s内的前10 s内做匀减速直线运动，后2 s内保持静止。
所以有x＝v0t0－at02＝300 m；或x＝＝300 m。
[答案]　300 m
本题的易错点在于不考虑实际情况，盲目套用位移公式x＝v0t－at2，将t＝12 s直接代入导致错解。解答该类问题时应先计算飞机多长时间停止运动，才能判断着陆后t＝12 s内
的运动情况。
　　　
　
1．一辆汽车以10 m/s的速度匀速行驶，遇到紧急情况，突然以大小为2 m/s2的加速度匀减速刹车，则从刹车开始计时，汽车在6 s内的位移是(　　)
A．24 m　　　　　　　　 　B．25 m
C．60 m D．96 m
解析：选B　汽车停止运动时间为t＝ s＝5 s，汽车在5 s末就已经停止运动，所以汽车在6 s内的位移等于在5 s内的位移，故有x＝ m＝25 m，B正确。
2.如图所示，小球以6 m/s的速度由足够长的斜面中部沿着斜面向上滑。已知小球在斜面上运动的加速度大小为2 m/s2。分别求出经过2 s、3 s、4 s、6 s、8 s小球的位移。(小球在光滑斜面上运动时，加速度的大小、方向都不变)
解析：以小球的初速度方向，即沿斜面向上为正方向，则小球的加速度沿斜面向下，为负值。将t2＝2 s，t3＝3 s，t4＝4 s，t6＝6 s，t8＝8 s代入x＝v0t＋at2
解得x2＝8 m，x3＝9 m，x4＝8 m，x6＝0，x8＝－16 m。
答案：8 m,9 m,8 m,0，－16 m，其中负号表示小球位移沿斜面向下。