第二章第4节+匀变速直线运动的速度与位移的关系+学案Word版含答案

第4节匀变速直线运动的速度与位移的关系
　　　　　　　　　　　　　　　1.匀变速直线运动的速度—位移关系式：v2－v02＝2ax。
2．公式v2－v02＝2ax，在不涉及时间t时，解决问题
更方便。
3．匀变速直线运动某段位移中点位置的瞬时速度
v＝ 。
4．在匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时
速度等于该过程的平均速度，还等于该过程初、末速度的平均值，即v＝＝。
5．在匀变速直线运动中，连续相等时间内的位移差
为Δx＝aT2。
匀变速直线运动的速度与位移关系
1．关系式：v2－v02＝2ax。
2．推导：由匀变速直线运动的速度公式：v＝v0＋at和位移公式：x＝v0t＋at2消去时间即得。
3．若v0＝0，速度与位移的关系为：v2＝2ax。
合作探究——议一议
(1)应用v2－v02＝2ax分析匀变速直线运动有何优势？
提示：因公式v2－v02＝2ax不涉及物体运动的时间，故在不要求计算时间时，应用该式分析匀变速直线运动较简便，特别是求解刹车问题中的刹车距离时比较简便。
(2)建造滑梯时，若已知小孩在滑梯上下滑的加速度和在滑梯底端的安全速度，如何设计出滑梯的长度？
提示：因为v和a已知且小孩初速度为零，根据v2－v02＝2ax可知x＝，要想保证小孩安全，则滑梯长度x满足x≤。
速度—位移公式的理解及应用
1．适用条件：匀变速直线运动。
2．v2－v02＝2ax为矢量式，x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向。
(1)匀加速直线运动，a取正值；匀减速直线运动，a取负值。
(2)位移与正方向相同取正值；位移与正方向相反，取负值。
1．A、B、C三点在同一条直线上，某物体自A点从静止开始做匀加速直线运动，经过B点时速度为v，到C点时速度为2v，则AB和BC两段距离大小之比是(　　)
A．1∶4　　　　　　　 　B．1∶3
C．1∶2 D．1∶1
解析：选B　根据公式v2－v02＝2ax，可得AB两段距离为：x1＝，
BC段的距离为：x2＝＝，故x1∶x2＝1∶3，B正确。
2．滑块以某一初速度从斜面底端冲上斜面做匀减速直线运动，到达斜面顶端时的速度为零。已知滑块通过斜面中点时的速度为v，则滑块的初速度为(　　)
A.v B．(＋1)v
C.v D.v
解析：选C　运用逆向思维，设斜面的长度为2x，由v2－v02＝2ax得：v2＝2ax，
v02－v2＝2ax，解得初速度为v，C正确。
3．长100 m的火车以速度v做匀速直线运动，从车头距桥头200 m的地方开始以1 m/s2的加速度做匀减速直线运动，减速到列车头刚上桥头时立即做匀速直线运动，整列火车匀速通过桥的时间为25 s，桥长为150 m，求火车原来做匀速直线运动的速度v。
解析：火车匀速过桥时的速度v′＝＝ m/s＝10 m/s，火车开始减速时有v′2－v2＝2ax，所以v＝＝ m/s＝10 m/s，即火车原来做匀速直线运动的速度v为10 m/s。
答案：10 m/s
平均速度公式的应用
1．平均速度的一般表达式＝。
2．匀变速直线运动中，某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，即＝(v0＋v)。
证明：如图所示为匀变速直线运动的v-t图像，则t时间内的位移为x＝(v0＋v)t，故平均速度为＝＝(v0＋v)。
3．匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，
即v＝＝(v0＋v)。
证明：如图所示，对0～，有：v＝v0＋a·；
对～t有：v＝v＋a·；由两式可得v＝(v0＋v)＝。
[特别提醒]　＝适用于任意运动，而＝和＝v只适用于匀变速直线
运动。
[典例]　一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？
[解析]　方法一　利用速度公式和位移公式求解
由v＝v0＋at和x＝v0t＋at2，
代入数据解得a＝0.128 m/s2，t＝25 s。
方法二　利用位移与速度的关系式和速度公式求解
由v2－v02＝2ax得
a＝＝0.128 m/s2
由v＝v0＋at得t＝＝25 s。
方法三　利用平均速度公式求解
由x＝t得t＝＝ s＝25 s。
[答案]　25 s
解题时巧选公式的基本方法
(1)如果题目中无位移x，也不需求位移，一般选用速度公式v＝v0＋at；
(2)如果题目中无末速度v，也不需求末速度，一般选用位移公式x＝v0t＋at2；
(3)如果题中无运动时间t，也不需要求运动时间，一般选用导出公式v2－v02＝2ax；
(4)如果题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题，用＝＝计算比较
方便。
　　　　
1．物体做匀减速直线运动，速度由v减到零所需时间为t，则t时间内物体运动的距离为(　　)
A. B．2vt
C．vt D．不能确定
解析：选A　物体做匀减速直线运动过程中的平均速度＝，则t时间内物体运动的距离x＝t＝。故选A。
2．一小球从斜面顶端由静止开始滚下，经4 s匀加速运动到达斜面底端，加速度的大小为a＝6 m/s2。求：
(1)到达斜面底端时的速度；
(2)斜面长度；
(3)整个过程中的平均速度；
(4)运动到斜面中点时的速度。
解析：(1)v＝at＝24 m/s。
(2)x＝at2＝48 m。
(3)＝＝12 m/s。
(4)v中2＝2a?v中＝＝12 m/s。
答案：(1)24 m/s　(2)48 m　(3)12 m/s　(4)12 m/s
重要推论Δx＝aT2的应用
1．推导：以初速度v0做匀加速直线运动的物体为例
时间T内的位移：x1＝v0T＋aT2
时间2T内的位移：x＝v0·2T＋a(2T)2
第2个时间T内的位移：x2＝x－x1＝v0T＋aT2
第2个和第1个时间T内的位移差为：
Δx＝x2－x1＝aT2
进一步推得：x3－x2＝x4－x3＝…＝xn－xn－1＝aT2
2．推论描述：做匀变速直线运动的物体，在连续相邻的相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δx＝aT2。
3．应用：一是用于判断物体是否是做匀变速直线运动；二是用于计算匀变速运动的加速度。
[典例]　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度、末速度及加速度。
[思路点拨]　画出该物体的运动过程如图所示，物体由A经B到C，其中B是中间时刻。根据题目要求可选用不同方法进行求解。
[解析]　方法一：基本公式法
由位移公式得x1＝vAT＋aT2，x2＝vA·2T＋a(2T)2－，vC＝vA＋a·2T，
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上各式，
联立解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
方法二：平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为
1＝＝ m/s＝6 m/s，2＝＝ m/s＝16 m/s。
由于B是A、C的中间时刻，则1＝，2＝，
又vB＝＝＝ m/s＝11 m/s。
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s，其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
方法三：位移差公式法
由Δx＝aT2可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2；
又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
[答案]　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2
“一题多解、优中选优”
运动学问题一般具有多种分析方法，在解题时应培养自己用多种方法进行分析及解答的能力，找出最优解法，以便快速解题。　
　　
　
1．一列做匀加速直线运动的火车，从某时刻开始计时，第1 min内火车前进了240 m，第6 min内火车前进了1 140 m，则该火车的加速度为(　　)
A．0.01 m/s2 B．0.03 m/s2
C．0.05 m/s2 D．0.1 m/s2
解析：选C　对于匀变速直线运动有Δx＝aT2。此题中T＝60 s，x1＝240 m，x6＝1 140 m，所以a＝＝0.05 m/s2。故C正确。
2.一质点沿AD直线做匀加速运动，如图所示，测得它通过AB、BC、CD三段的时间均为t，且位移AC＝L1，BD＝L2，求质点的加速度。
解析：设AB＝x1、BC＝x2、CD＝x3，
则x2－x1＝at2①，x3－x2＝at2②，
①②两式相加得x3－x1＝2at2，
由图可知L2－L1＝(x3＋x2)－(x2＋x1)＝x3－x1，
则a＝。
答案：