第二章 匀变速直线运动规律的应用+微专题培优（一）Word版含答案


匀变速直线运动基本公式的应用
1.两个基本公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2中包括五个物理量，原则上已知其中三个物理量可以求解另外两个物理量，可以解决所有的匀变速直线运动问题。但要注意公式的矢量性，解题时应先根据规定好的正方向确定好所有矢量的正负值。
2．解决运动学问题的基本思路是：审题→画过程草图→判断运动性质→选取正方向→选用公式列方程→解方程，必要时进行讨论(比如刹车问题)。
[例1]　(多选)一个物体以v0＝8 m/s的初速度沿光滑斜面向上滑，加速度的大小为
2 m/s2，冲上最高点之后，又以相同的加速度往回运动。则(　　)
A．1 s末的速度大小为6 m/s
B．3 s末的速度为零
C．2 s内的位移大小是12 m
D．5 s内的位移大小是15 m
[解析]　由t＝，物体冲上最高点的时间是4 s，又根据v＝v0＋at，物体1 s末的速度为6 m/s，A对，B错。根据x＝v0t＋at2，物体2 s内的位移是12 m，4 s内的位移是16 m，第5 s内的位移是沿斜面向下的1 m，所以5 s内的位移是15 m，C、D对。
[答案]　ACD
导出公式的应用
1.v2－v02＝2ax此式不涉及时间，若题目中已知量和未知量都不涉及时间，利用此式往往比较简单。
2．x＝t普遍适用于各种运动，而＝v＝只适用于匀变速直线运动，两者相结合可以轻松地求出中间时刻的瞬时速度或者初、末速度。
3．x2－x1＝aT2适用于匀变速直线运动，进一步的推论有xm－xn＝(m－n)aT2(其中T为连续相等的时间间隔，xm为第m个时间间隔内的位移，xn为第n个时间间隔内的位移)。
[例2]　一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，已知途中先后经过相距27 m的A、B两点所用时间为2 s，汽车经过B点时的速度为15 m/s。求：
(1)汽车经过A点时的速度大小和加速度大小；
(2)汽车从出发点到A点经过的距离；
(3)汽车经过B点后再经过2 s到达C点，则BC间距离为多少？
[解析]　(1)设汽车运动方向为正方向，过A点时速度为vA，
则AB段平均速度为AB＝
故由x＝t＝ABt＝t，解得vA＝12 m/s。
对AB段：a＝＝1.5 m/s2。
(2)对OA段(v0＝0)：由v2－v02＝2ax
得xOA＝＝48 m。
(3)汽车经过BC段的时间等于经过AB段的时间，
根据公式x2－x1＝aT2
对于AC段有：xBC－xAB＝aT2，
得xBC＝xAB＋aT2＝27 m＋1.5×22 m＝33 m。
[答案]　(1)12 m/s　1.5 m/s2　(2)48 m　(3)33 m
比例式的应用
1.初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)
(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
(2)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x)
(1)发生位移x、2x、3x、…、nx所达到的速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶
(2)发生位移x、2x、3x、…、nx所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
(3)通过连续相等的位移所用时间之比：
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
[特别提醒]　
(1)以上比例式只适用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化。
[例3]　 (多选)如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为(　　)
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
[解析]　把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动。子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶。则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确。子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－)。则子弹实际运动通过连续相等位移的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故D正确。
[答案]　BD
追及和相遇问题
两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及和相遇问题，讨论追及和相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。
1．抓住一个条件、用好两个关系
(1)一个条件：速度相等。这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。
(2)两个关系：时间关系和位移关系。通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。
2．常用方法
(1)物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。
(2)图像法：将两者的v-t图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解。
(3)数学极值法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰。
[例4]　火车从车站出发做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s2，此时恰好有一辆自行车(可视为质点)从火车头旁边驶过，自行车速度v0＝8 m/s，火车长l＝336 m。
(1)火车追上自行车以前落后于自行车的最大距离是多少？
(2)火车用多少时间可追上自行车？
(3)再过多长时间可超过自行车？
[解析]　(1)当火车速度等于v0时，二车相距最远v0＝at1
得t1＝＝ s＝16 s
最大距离xm＝v0t－at12＝8×16 m－×0.5×162 m＝64 m。
(2)设火车追上自行车所用时间为t2
追上时位移相等，则v0t2＝at22
得t2＝＝ s＝32 s。
(3)追上时火车的速度v＝at2＝0.5×32 m/s＝16 m/s
设再过t3时间超过自行车，则vt3＋at32－v0t3＝l
代入数据解得t3＝24 s。
[答案]　(1)64 m　(2)32 s　(3)24 s
运动图像问题
在运动学中，图像主要是指x-t图像和v-t图像。
1．x-t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的速度，图像上一个点对应物体某一时刻的位置。
2．v-t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的加速度，图像上一个点对应物体某一时刻的速度；某段时间，图线与时间轴围成图形的面积值表示该段时间内物体通过的位移的大小。
3．形状一样的图线，在不同图像中所表示的物理意义不同，因此在应用时要特别注意看清楚图像的纵、横轴所描述的是什么物理量。
[例5]　如图所示，表示一质点在6 s内的x-t图像，试据此分析质点的运动情况并画出它的v-t图像。
[解析]　x-t图像上直线的斜率表示速度，所以0～2 s的速度
v1＝＝3 m/s
2～4 s的速度v2＝0
4～6 s的速度v3＝＝－6 m/s
质点的运动情况：0～2 s内做匀速直线运动，速度大小为3 m/s,2 s末离开出发点6 m；2～4 s内物体静止于离出发点6 m处；4～5 s质点反方向做匀速直线运动，速度大小为6 m/s,5 s末回到出发点，5～6 s质点继续以6 m/s的速度反方向做匀速直线运动，6 s末位移为－6 m，v-t图像如图所示。
[答案]　见解析