12.3双曲线的标准方程
F
2
F
1
M
x
O
y
1.椭圆的定义：
一、复习引入
平面内到两个定点 的距离和等于常数
的点的轨迹叫做椭圆.
二.引入问题：
平面内到两个定点 的距离差等于常数
的点的轨迹是什么呢？
实验：
取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的一边上取其端点，在另一边的中间部分取一点，分别固定在 F1、F2 两点处，使一边比另一边多出|F2F|.
拉链画双曲线(xin).gsp
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=2a
上面 两条合起来叫做双曲线
由①②可得：
||MF1|-|MF2|| = 2a
（差的绝对值）
椭圆的定义
双曲线的定义
平面内到两个定点 的距离
和等于常数 的点
的轨迹叫做椭圆.
平面内到两个定点 的距
离差的绝对值等于常数
的点的轨迹叫做
双曲线.
定点 、 叫做椭圆的焦点;
叫做焦距，记作
定点 、 叫做双曲线的焦点;
叫做焦距，记作
F
2
F
1
M
M
思
考
？
为什么要
有
二、双曲线的定义
三、双曲线标准方程的推导
F
2
F
1
M
如图，以直线 为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系；
1、建系：
2、设点：
4、化简：
3、列式：
设 是双曲线上任一点，双曲线
的焦距为2c(c>0)，则
由 得
x
y
O
由双曲线定义知：
两边同除以 得：
方程②叫做双曲线的标准方程，
①
方程①可化为
它表示焦点在x 轴上的双曲线.
∴双曲线上任一点的坐标都是方程②的解.
反之，易证以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.
②
F
2
F
1
M
x
O
y
5、证明：
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
双曲线的标准方程
问如何由标准方程判断双曲线的焦点在哪个轴上？
巩固练习：写出以下双曲线的焦点坐标
正项定焦点
思考 (1)已知点M(x,y)到F1(-3，0)的距离减去它到
F2(3,0)的距离的差是4,求点M的轨迹方程.
四、知识运用
(2)已知点M(x,y)到F1(-3，0)的距离与它到F2(3,0)
的距离的差的绝对值等于6,求M的轨迹方程.
练习1：如果双曲线 的焦点在 轴上，焦
距为10，那么实数 的值为 .
练习2：已知F1(-5，0)、 F2(5,0)两点，根据下列条件，
写出动点M的轨迹方程.
变式：如果将6改成2a呢？
探究：双曲线 的两个焦点为F1、F2，点P在
双曲线上，若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离.
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
五、小结
六、课后作业
1、教材练习12.5第1、4题；
2、练习册12.5A组第1、2、3题.
双曲线的标准方程教学设计
课 题 12.3.双曲线的标准方程
基地学校 上海海事大学附属北蔡高级中学
聘任学校 上海民办尚德实验学校
见习教师 石新稳 学科带教导师 彭 晖
教学目标 1.理解双曲线的定义,会推导双曲线的标准方程； 2.培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力； 3.培养学生严谨的思维习惯，逐步让学生会用对称的美学思维来体现数学的和谐美.
教学重点 双曲线的定义及其标准方程
教学难点 双曲线的定义及其应用
教学资源 PPT、几何画板
课时安排 一课时
教学过程
环节 教学内容 教学活动 设计意图
一、复习引入 回顾椭圆的相关知识； 提问：平面内到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹是什么呢？ 通过拉链实验展示满足条件的动点的轨迹并分析实验结果. 学生思考并观看几何画板展示的曲线形状. 几何画板展示直观明了，有助于理解.
新 课 讲 解 二、双曲线的定义 请同学们根据双曲线的特点归纳双曲线的定义. 学生归纳，与书本上定义相比较找出不足. 双曲线定义： 我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 思考：为什么 三、双曲线的标准方程及推导 请同学们类比椭圆标准方程的求法，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程. 最后用PPT展示两种形式的标准方程，分析两种标准方程的异同点. 巩固练习：写出下列双曲线的焦点坐标 四、知识运用 思考、（1）已知点到点的距离减去它到点的距离的差是4，求点的轨迹方程； （2）已知点到点的距离减去它到点的距离的差的绝对值是，求点的轨迹方程. 如果将改成呢？ 练习1、如果双曲线的焦点在轴上，焦距为，那么实数的值为 ； 练习2、已知两点，根据下列条件，写出动点的轨迹方程. 探究、双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，求点到轴的距离. 学生归纳，个别学生展示自己归纳的结果.然后阅读教材完成学案第一部分空白. 提出问题，引发学生思考. 回顾求轨迹方程的步骤，类比椭圆标准方程的求法，学生自己尝试在学案上推导双曲线的标准方程. 教师课件展示两类双曲线的标准方程. 由学生口答完成 学生思考并动手完成，教师点拨. 学生思考并动手完成，教师点拨. 让学生尽可能用多种方法尝试解题 培养学生的归纳总结能力和语言组织能力. 培养学生的想象能力和分类讨论能力. 类似于椭圆标准方程的推导，就可以得到双曲线标准方程. 巩固双曲线的两类标准方程 双曲线定义的应用，培养学生分类讨论的意识品质和严谨的思维习惯. 进一步巩固双曲线的定义以及标准方程. 双曲线标准方程与向量的简单综合，培养学生分析问题的能力
小 结 共同回顾双曲线的标准方程及定义 . 回顾本节课所学 加深本节课的印象.
课 后 作 业 教材练习12.5第1、4题； 练习册12.5A组第1、2、3题. 学生课后独立完成，要求解题步骤工整规范. 通过课后作业来了解学生对本节课的掌握情况.
板书 设计 12.3双曲线的标准方程 一．双曲线的定义 二.双曲线的标准方程
12.3双曲线的标准方程学案
一、双曲线的定义
我们把 与两个定点的距离的 等于常数（ ）的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的 ；
两个焦点间的距离叫做双曲线的 ，记作.
思考：为什么
二、双曲线的标准方程的推导
巩固练习：写出下列双曲线的焦点坐标
三、知识运用
思考：
（1）已知点到点的距离减去它到点的距离的差是4，求点的轨迹方程；
（2）已知点到点的距离减去它到点的距离的差的绝对值是，求点的轨迹方程.
变式：如果将改成呢？
练习1、如果双曲线的焦点在轴上，焦距为，那么实数的值为 ；
练习2、已知两点，根据下列条件，写出动点的轨迹方程.
探究：双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，求点到轴的距离.
四、课堂小结
定义
图象
标准方程
焦点坐标
的关系
五、课后作业
1、教材练习12.5第1、4题；
2、练习册12.5A组第1、2、3题
