第18章 勾股定理单元检测试卷（含解析）
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文档简介
沪科版八年级下第18章 勾股定理单元检测试卷
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题，每题3分，共36分)
1．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．当△ABP是直角三角形时，t的值为（ ）
A． B． C．1或 D．1或
3．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）
A． B． C． D．
4．若△ABC的三边a、b、c满足条件（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
5．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有(? )
（1）3，4，5???? （2）1，2，3??? （3）32，22，52?? （4）0.03，0.04，0.05．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）.
A．2 cm B．4 cm C．3 cm D．5 cm
7．若一个三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形最长边上的中线为( )
A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.5
8．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
9．如图，已知AB＝10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP、PB为边作等边三角形APC和等边三角形PBD，则CD的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图所示，有一块地ABCD，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（?? ）
A．60米2 B．48米2 C．30米2 D．24米2
11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为( )
A．5 B．6 C．9 D．13
12．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ.若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状（?? ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
二、填空题(6小题，每题3分，共18分)
13．如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：______________．
14．如图，△ABC中，D是AC边上的一点，AD＝9，BD＝12，BC＝13，CD＝5，那么△ABC的面积是______．
15．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需______米．
16．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2，斜边AB的长为2，则Rt△ABC的面积为_____．
17．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的面积＝________.
18．如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为_____．
三、解答题（8小题，共66分)
19．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
20．如图，△ABC，△AED是两个大小一样的三角形，已知∠ADE=90°，AE=5，AD=4，连接EB，求DE和EB的长．
21．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型(如图乙四边形ABCD)，AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3千米，AD＝12千米．
(1)求小溪流AC的长．
(2)求四边形ABCD的面积．(结果保留根号)
22．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；
(2)试求小虫爬行的最短路程．
23．如图，△ABC中，CD⊥AB于D．
（1）图中有几个直角三角形；
（2）若AD=12，AC=13，则CD等于多少；
（3）若CD2=AD·DB， 求证：△ABC是直角三角形．
24．在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
25．如图，已知AB=10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP、PB为边作等边三角形APC和等边三角形PBD，连结CD.
（1）当AP＝6时，求CD的长；
（2）当AP为多少时，CD的值最小，最小值是多少？
26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，联结EF．
(1)如图，当点D在线段CB上时，
①求证：△AEF≌△ADC；
②联结BE，设线段CD＝x，线段BE＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
(2)当∠DAB＝15°时，求△ADE的面积．
参考答案
1．【考点】角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理
【分析】先根据勾股定理求出PM的值，根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，从而得解．
解：∵PM⊥OB于点M，OM＝4，OP＝5，
∴PM＝3，
当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，
∴PM＝PN，
∵PM＝3，
∴PN的最小值为3．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理.
2．【考点】勾股定理, 含30度角的直角三角形
【分析】根据题意分三种情况考虑：当∠A=90°；当∠B=90°；当∠APB=90°，根据△ABP为直角三角形，分别求出t的值即可．
解：分三种情况考虑：
当∠A＝90°，即△ABP为直角三角形时，
∵∠BOC＞∠A，且∠BOC＝60°，
∴∠A≠90°，故此情况不存在；
当∠B＝90°，即△ABP为直角三角形时，如图所示：
∵∠BOC＝60°，
∴∠BPO＝30°，
∴OP＝2OB＝2，
∵OP＝2t，
∴t＝1；
当∠APB＝90°，即△ABP为直角三角形时，过P作PD⊥AB，
∴OD＝OP?cos∠BOC＝t，PD＝OP?sin∠BOC＝t，
∴AD＝AO+OD＝2+t，BD＝OB﹣OD＝1﹣t，即AB＝3，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得：
AP2+BP2＝AB2，即（2+t）2+（t）2+（t）2+（1﹣t）2＝32，
解得：t＝或（负值舍去），
综上，当t ＝1或t＝时，△ABP是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理, 含30度角的直角三角形，注意要分三种情况考虑.
3．【考点】勾股定理的证
【分析】把各图中每一部分的面积和整体的面积分别列式表示，根据每一部分的面积之和等于整体的面积，分别化简，再根据化简结果即可解答.
解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4× +（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵4× +c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.
4．【考点】三角形形状的判定
【分析】根据题意可知a﹣b=0，或a2+b2﹣c2=0，由此即可判断三角形的形状.
解：
∵△ABC的三边a、b、c满足条件（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，
∴a﹣b=0，或a2+b2﹣c2=0
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
【点睛】此题主要考查三角形形状的判定，解题的关键是根据等式的性质分类讨论.
5．【考点】勾股定理逆定理
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．由此判定即可．
解：（1）∵32+42=52，∴是直角三角形，故（1）正确， （2）∵12+22≠32，∴不是直角三角形，故（2）错误， （3）∵（32）2+（22）2≠（52）2，∴不是直角三角形，故（3）错误， （4）∵0.032+0.042=0.052，∴是直角三角形，故（4）正确． 根据勾股定理的逆定理，只有（1）和（4）正确． 故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
6．【考点】折叠的性质，勾股定理
【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD=DE=x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC=AE=6cm,CD=DE,
在Rt△ABC中,
∴AB=10，
∴BE=AB?AE=10?6=4，
设CD=DE=xcm，则DB=BC?CD=8?x，
在Rt△DEB中,由勾股定理,得
解得x=3，即CD=3cm.
故选：C.
【点睛】考查折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
7．【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理
【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
解： ，
该三角形是直角三角形，
.
故选：.
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，判断出直角三角形是解题的关键.
8．【考点】勾股定理
【分析】分边长为4的边是直角边与斜边两种情况，分别利用勾股定理求解即可.
解：当边长为4的边为直角边时，
第三边长是=5；
当边长为4的边为斜边时，
第三边长是=.
故选D.
【点睛】本题主要考查勾股定理，解此题的关键在于根据题意分情况讨论.
9．【考点】勾股定理的运用
【分析】过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G，根据勾股定理可以求得CD=，根据CG的取值范围可以求得CD的最小值，即可解题．
解：如图，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G．
显然DG=EF=AB=5，CD≥DG，
∴CD=，故CG=0时，CD有最小值，
当P为AB中点时，有CD=DG=5，
所以CD长度的最小值是5．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，等边三角形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算CD的值是解题的关键．
10．【考点】勾股定理以及其逆定理，三角形的面积公式
【分析】连接AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得AC的长，在△ABC中，利用勾股定理的逆定理证明其是直角三角形，然后用△ABC的面积﹣△ACD的面积即可得解.
解：如图，连接AC，
在Rt△ACD中，AC==5米，
在△ABC中，
∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
则这块地的面积=S△ABC﹣S△ACD=×5×12﹣×3×4=24米2.
故选：D.
【点睛】本题考查勾股定理以及其逆定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
11．【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】由ABCD为正方形得到AB=BC，∠ABC为直角，再由AE与CF都垂直于EF，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得出△ABE与△BCF全等，由全等三角形对应边相等得到AE=BF，EB=CF，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出正方形的面积．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF=2，CF=EB=3，
根据勾股定理得：AB==，
则正方形ABCD面积为13．
故选D.
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．
12．【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理
【分析】连接PQ，先通过“边角边”证明△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ，易证△BQP为等边三角形，得到PQ=BP，再利用勾股定理的逆定理证明△PQC为直角三角形即可.
解：如图，连接PQ，
∵∠ABP+∠PBC=60°，∠CBQ+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠CBQ，
在△ABP与△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，
∵∠PBQ=60°，BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，即BP=PQ，
又∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5，
可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
即CQ=3a，PQ=4a，
∴CQ2+PQ2=9a2+16a2=25a2=PC2，
则△PQC为直角三角形.
故选：A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
13． 【考点】勾股定理及其逆定理
【分析】可以设正方形小格的边长是1．根据勾股定理计算各个三角形的三边，看三边的平方是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方．
解：设正方形小格的边长是1，
（1）在A图中三角形的三个边的长为、、，由勾股定理的逆定理可知5+10≠17，故A不是直角三角形； （2）在B图中三角形的三个边的长为2，4，，由勾股定理的逆定理可知22+42=（）2，所以B是直角三角形； （3）根据（2）的计算方法，同理可求得C，D也是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
14．【考点】勾股定理的逆定理的应用
【分析】根据勾股定理的逆定理先判断三角形 是直角三角形，再根据三角形面积公式计算.
解：∵BD=12，BC=13，CD=5， CD2+BD2=25+144=169，BC2=169， ∴CD2+BD2=BC2， ∴BD⊥AC（勾股定理的逆定理）， ∴△ABC的面积=AC?BD=×（9+5）×12=84． 故答案为：84．
【点睛】此题重点考察学生对勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
15．【考点】勾股定理的应用
【分析】地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC）．
解：
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°， ∴AB=2BC=4m， ∴AC=m， ∴AC+BC=2+2（m）.
故答案为：2+2.
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于准确理解题中地毯的长度为水平与竖直的线段的和.
16．【考点】勾股定理的应用
【分析】设AC=a，BC=b，根据题意列出关于a、b的方程组，然后解方程得到ab的值，再利用三角形的面积公式求解即可.
解：设AC=a，BC=b， 由题意得，
∴，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16，
∴ab=2，
则Rt△ABC的面积为ab=1.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查勾股定理，解此题的关键在于利用勾股定理列出方程组，然后求得ab的值.
17．【考点】勾股定理的应用
【分析】先判断△AEF≌△DHE，得出AF=DE，这样可求出AE、EF的长度，利用勾股定理可求出正方形EFGH的面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=FE，∠FEH=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，∠AEF+∠DEH=90°，
∴∠AFE=∠DEH，
∴△AEF≌△DHE（AAS），
∴AF=DE，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=BC=CD=DE=4，
∴AF=DE=AD-AE=4-1=3，
在Rt△AEF中，EF=，
故正方形EFGH的面积=×=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，属于基础题，解答本题的关键在于通过全等三角形的判定得出AF=DE，求出AF的长度.
18．【考点】勾股定理以及其逆定理的运用
【分析】首先利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S1、S2、S3之间的数量关系．
解：∵AB=m2-n2，AC=2mn，BC=m2+n2， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形， 设Rt△ABC的三边分别为a、b、c， ∴S1=c2，S2=b2，S3=a2， ∵△ABC是直角三角形， ∴b2+c2=a2，即S1+S2=S3． 故答案为：S1+S2=S3．
【点睛】本题考查勾股定理以及其逆定理的运用和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
19．【考点】勾股定理的应用.
【分析】利用勾股定理求出盒子的对角线长即可.
解：盒子底面的对角线长为=10cm，
∴盒子的对角线长为=20cm，
则细木棒露在盒外面的最短长度是25﹣20=5cm.
【点睛】本题考点：勾股定理的应用.
20．【考点】全等三角形的性质，勾股定理
【分析】直接利用勾股定理得出DE的长，再利用全等三角形的性质结合勾股定理得出BE的长．
解：∵∠ADE=90°，AE=5，AD=4，
∴
∵△ABC，△AED是两个大小一样的三角形，
∴AB=AE=5，
∴BD=1，
∴
【点睛】考查全等三角形的性质以及勾股定理，比较基础，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
21．【考点】勾股定理的应用，勾股定理的逆定理
【分析】（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）先利用勾股定理逆定理求出∠D=90°，由S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，利用直角三角形的面积公式进行求解即可.
解：(1)∵∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，
∴AC＝千米，
答：小溪流AC长15千米；
(2)∵AC2＝(15)2＝450，CD2＋AD2＝(3)2＋(12)2＝450，
∴AC2＝CD2＋AD2，
则∠D＝90°，
S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×15×15＋×3×12＝.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
22．【考点】对称性质，勾股定理的应用
【分析】(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.
(2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.
解：(1)如图所示,AQ→QG为最短路线,
(2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),
因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,
所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,
所以小虫爬行的最短路程为100cm.
【点睛】本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法.
23．【考点】勾股定理及其逆定理
【分析】（1）根据CD⊥AB即可进行判断；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）根据勾股定理可得BD2=BC2﹣CD2，AD2=AC2﹣CD2，再利用完全平方公式（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2，代入整理，根据勾股定理的逆定理即可得证.
解：（1）∵CD⊥AB，
∴△ACD与△BCD都是直角三角形，
故图中有2个直角三角形；
（2）在Rt△ACD中，
CD==5；
（3）在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣CD2，
在Rt△BCD中，BD2=BC2﹣CD2，
∵CD2=AD·DB，
∴（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2
= AC2﹣CD2+2 CD2+BC2﹣CD2
= AC2+ BC2=AB2，
则△ABC是直角三角形．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解此题的关键在于利用完全平方公式进行变形整理，再根据勾股定理的逆定理进行判定即可.
24．【考点】勾股定理的逆定理, 全等三角形的判定与性质
【分析】根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．
解：∵AC=4，BC=2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，
∠ACB=90°．
分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
∵DE⊥CB，
∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠EBD.
在△ACB与△BED中，
∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2，
∴CE=6.根据勾股定理得
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°.
∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠CAB+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠ADE.在△ACB与△DEA中，
∵∠ACB=∠DEA，∠CAB=∠EDA， AB=DA，
∴△ACB≌△DEA（AAS），
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CE=6，根据勾股定理得
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°.
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF.
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，则ED=AF.
由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4.
设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF-DF=4-x，则2+x=4-x，解得x=1，
故EC=DE=3，
则
【点睛】考查勾股定理的逆定理, 全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想以及数形结合思想在解题中的应用，不要漏解.
25．【考点】勾股定理，等边三角形的性质
【分析】（1）如图，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G．即可得四边形DFEG为矩形.根据等边三角形的性质及矩形的性质求得EF=5，CG=，再利用勾股定理求得CD的长即可；（2）在（1）的基础上可得CD= ，当CG=0时，CD有最小值，由此求得CD的长即可.
解：（1）如图，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G．即可得四边形DFEG为矩形.
∵AB=10，AP=6，
∴PB=4，
∵△APC和△PBD是等边三角形，CE⊥AB ， DF⊥PB，
∴EP=AP=3，PF=PB=2，
∴EF=EP+FP=5.
在Rt△DPF中，DP=4，PF=2，
由勾股定理求得DF=.
在Rt△CEP中，PC=6，PE=3，
由勾股定理求得CE=.
由矩形的性质可得，DG=EF=5，EG=DF，
∴CG=.
在Rt△CGD中，DG=5，CG=，由勾股定理求得CD=2；
（2）如图， 由（1）得，DG=EF=AB=5，CD≥DG，
∴CD= ，故CG=0时，CD有最小值，
当P为AB中点时，有CD=DG=5，
所以CD长度的最小值是5．
【点睛】本题考查了勾股定理及等边三角形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形是解决问题的关键．
26． 【考点】勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【分析】（1）①在直角三角形中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再由为中点，得到，确定出三角形为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由,利用即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到为直角，，在三角形中，利用勾股定理即可列出关于的函数解析式及定义域；
（2）分两种情况考虑：①当点D在线段上时；②当点D在线段的延长线上时，分别求出三角形面积即可.
解：(1)①在Rt△ABC中，
∵∠B＝30°，AB＝10，
∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝5，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝AB＝5，
∴AC＝AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠EAD＝60°，
∵∠CAB＝∠EAD，即∠CAD+∠DAB＝∠FAE+∠DAB，
∴∠CAD＝∠FAE，
在△AEF和△ADC中，
，
∴△AEF≌△ADC(SAS)；
②∵△AEF≌△ADC，
∴∠AFE＝∠C＝90°，EF＝CD＝x，
又∵点F是AB的中点，
∴AE＝BE＝y，
在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2＝25+x2，
∴函数的解析式是，定义域是；
(2)①当点D在线段CB上时，
由∠DAB＝15°，可得∠CAD＝45°，△ADC是等腰直角三角形，
∴AD2＝50，
△ADE的面积为；
②当点D在线段CB的延长线上时，
由∠DAB＝15°，可得∠ADB＝15°，BD＝BA＝10，
∴在Rt△ACD中，勾股定理可得，
△ADE的面积为，
综上所述，△ADE的面积为或．
【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题，每题3分，共36分)
1．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．当△ABP是直角三角形时，t的值为（ ）
A． B． C．1或 D．1或
3．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）
A． B． C． D．
4．若△ABC的三边a、b、c满足条件（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
5．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有(? )
（1）3，4，5???? （2）1，2，3??? （3）32，22，52?? （4）0.03，0.04，0.05．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）.
A．2 cm B．4 cm C．3 cm D．5 cm
7．若一个三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形最长边上的中线为( )
A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.5
8．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
9．如图，已知AB＝10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP、PB为边作等边三角形APC和等边三角形PBD，则CD的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图所示，有一块地ABCD，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（?? ）
A．60米2 B．48米2 C．30米2 D．24米2
11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为( )
A．5 B．6 C．9 D．13
12．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ.若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状（?? ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
二、填空题(6小题，每题3分，共18分)
13．如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：______________．
14．如图，△ABC中，D是AC边上的一点，AD＝9，BD＝12，BC＝13，CD＝5，那么△ABC的面积是______．
15．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需______米．
16．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2，斜边AB的长为2，则Rt△ABC的面积为_____．
17．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的面积＝________.
18．如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2，AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为_____．
三、解答题（8小题，共66分)
19．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
20．如图，△ABC，△AED是两个大小一样的三角形，已知∠ADE=90°，AE=5，AD=4，连接EB，求DE和EB的长．
21．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型(如图乙四边形ABCD)，AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝3千米，AD＝12千米．
(1)求小溪流AC的长．
(2)求四边形ABCD的面积．(结果保留根号)
22．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；
(2)试求小虫爬行的最短路程．
23．如图，△ABC中，CD⊥AB于D．
（1）图中有几个直角三角形；
（2）若AD=12，AC=13，则CD等于多少；
（3）若CD2=AD·DB， 求证：△ABC是直角三角形．
24．在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
25．如图，已知AB=10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP、PB为边作等边三角形APC和等边三角形PBD，连结CD.
（1）当AP＝6时，求CD的长；
（2）当AP为多少时，CD的值最小，最小值是多少？
26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，联结EF．
(1)如图，当点D在线段CB上时，
①求证：△AEF≌△ADC；
②联结BE，设线段CD＝x，线段BE＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
(2)当∠DAB＝15°时，求△ADE的面积．
参考答案
1．【考点】角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理
【分析】先根据勾股定理求出PM的值，根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，从而得解．
解：∵PM⊥OB于点M，OM＝4，OP＝5，
∴PM＝3，
当PN⊥OA时，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，
∴PM＝PN，
∵PM＝3，
∴PN的最小值为3．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理.
2．【考点】勾股定理, 含30度角的直角三角形
【分析】根据题意分三种情况考虑：当∠A=90°；当∠B=90°；当∠APB=90°，根据△ABP为直角三角形，分别求出t的值即可．
解：分三种情况考虑：
当∠A＝90°，即△ABP为直角三角形时，
∵∠BOC＞∠A，且∠BOC＝60°，
∴∠A≠90°，故此情况不存在；
当∠B＝90°，即△ABP为直角三角形时，如图所示：
∵∠BOC＝60°，
∴∠BPO＝30°，
∴OP＝2OB＝2，
∵OP＝2t，
∴t＝1；
当∠APB＝90°，即△ABP为直角三角形时，过P作PD⊥AB，
∴OD＝OP?cos∠BOC＝t，PD＝OP?sin∠BOC＝t，
∴AD＝AO+OD＝2+t，BD＝OB﹣OD＝1﹣t，即AB＝3，
在Rt△ABP中，根据勾股定理得：
AP2+BP2＝AB2，即（2+t）2+（t）2+（t）2+（1﹣t）2＝32，
解得：t＝或（负值舍去），
综上，当t ＝1或t＝时，△ABP是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理, 含30度角的直角三角形，注意要分三种情况考虑.
3．【考点】勾股定理的证
【分析】把各图中每一部分的面积和整体的面积分别列式表示，根据每一部分的面积之和等于整体的面积，分别化简，再根据化简结果即可解答.
解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4× +（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵4× +c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.
4．【考点】三角形形状的判定
【分析】根据题意可知a﹣b=0，或a2+b2﹣c2=0，由此即可判断三角形的形状.
解：
∵△ABC的三边a、b、c满足条件（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，
∴a﹣b=0，或a2+b2﹣c2=0
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
【点睛】此题主要考查三角形形状的判定，解题的关键是根据等式的性质分类讨论.
5．【考点】勾股定理逆定理
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．由此判定即可．
解：（1）∵32+42=52，∴是直角三角形，故（1）正确， （2）∵12+22≠32，∴不是直角三角形，故（2）错误， （3）∵（32）2+（22）2≠（52）2，∴不是直角三角形，故（3）错误， （4）∵0.032+0.042=0.052，∴是直角三角形，故（4）正确． 根据勾股定理的逆定理，只有（1）和（4）正确． 故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
6．【考点】折叠的性质，勾股定理
【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD=DE=x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC=AE=6cm,CD=DE,
在Rt△ABC中,
∴AB=10，
∴BE=AB?AE=10?6=4，
设CD=DE=xcm，则DB=BC?CD=8?x，
在Rt△DEB中,由勾股定理,得
解得x=3，即CD=3cm.
故选：C.
【点睛】考查折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
7．【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理
【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
解： ，
该三角形是直角三角形，
.
故选：.
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，判断出直角三角形是解题的关键.
8．【考点】勾股定理
【分析】分边长为4的边是直角边与斜边两种情况，分别利用勾股定理求解即可.
解：当边长为4的边为直角边时，
第三边长是=5；
当边长为4的边为斜边时，
第三边长是=.
故选D.
【点睛】本题主要考查勾股定理，解此题的关键在于根据题意分情况讨论.
9．【考点】勾股定理的运用
【分析】过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G，根据勾股定理可以求得CD=，根据CG的取值范围可以求得CD的最小值，即可解题．
解：如图，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G．
显然DG=EF=AB=5，CD≥DG，
∴CD=，故CG=0时，CD有最小值，
当P为AB中点时，有CD=DG=5，
所以CD长度的最小值是5．
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，等边三角形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算CD的值是解题的关键．
10．【考点】勾股定理以及其逆定理，三角形的面积公式
【分析】连接AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得AC的长，在△ABC中，利用勾股定理的逆定理证明其是直角三角形，然后用△ABC的面积﹣△ACD的面积即可得解.
解：如图，连接AC，
在Rt△ACD中，AC==5米，
在△ABC中，
∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
则这块地的面积=S△ABC﹣S△ACD=×5×12﹣×3×4=24米2.
故选：D.
【点睛】本题考查勾股定理以及其逆定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
11．【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】由ABCD为正方形得到AB=BC，∠ABC为直角，再由AE与CF都垂直于EF，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得出△ABE与△BCF全等，由全等三角形对应边相等得到AE=BF，EB=CF，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出正方形的面积．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF=2，CF=EB=3，
根据勾股定理得：AB==，
则正方形ABCD面积为13．
故选D.
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．
12．【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理
【分析】连接PQ，先通过“边角边”证明△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ，易证△BQP为等边三角形，得到PQ=BP，再利用勾股定理的逆定理证明△PQC为直角三角形即可.
解：如图，连接PQ，
∵∠ABP+∠PBC=60°，∠CBQ+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠CBQ，
在△ABP与△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，
∵∠PBQ=60°，BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，即BP=PQ，
又∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5，
可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
即CQ=3a，PQ=4a，
∴CQ2+PQ2=9a2+16a2=25a2=PC2，
则△PQC为直角三角形.
故选：A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
13． 【考点】勾股定理及其逆定理
【分析】可以设正方形小格的边长是1．根据勾股定理计算各个三角形的三边，看三边的平方是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方．
解：设正方形小格的边长是1，
（1）在A图中三角形的三个边的长为、、，由勾股定理的逆定理可知5+10≠17，故A不是直角三角形； （2）在B图中三角形的三个边的长为2，4，，由勾股定理的逆定理可知22+42=（）2，所以B是直角三角形； （3）根据（2）的计算方法，同理可求得C，D也是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
14．【考点】勾股定理的逆定理的应用
【分析】根据勾股定理的逆定理先判断三角形 是直角三角形，再根据三角形面积公式计算.
解：∵BD=12，BC=13，CD=5， CD2+BD2=25+144=169，BC2=169， ∴CD2+BD2=BC2， ∴BD⊥AC（勾股定理的逆定理）， ∴△ABC的面积=AC?BD=×（9+5）×12=84． 故答案为：84．
【点睛】此题重点考察学生对勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.
15．【考点】勾股定理的应用
【分析】地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC）．
解：
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°， ∴AB=2BC=4m， ∴AC=m， ∴AC+BC=2+2（m）.
故答案为：2+2.
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于准确理解题中地毯的长度为水平与竖直的线段的和.
16．【考点】勾股定理的应用
【分析】设AC=a，BC=b，根据题意列出关于a、b的方程组，然后解方程得到ab的值，再利用三角形的面积公式求解即可.
解：设AC=a，BC=b， 由题意得，
∴，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16，
∴ab=2，
则Rt△ABC的面积为ab=1.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查勾股定理，解此题的关键在于利用勾股定理列出方程组，然后求得ab的值.
17．【考点】勾股定理的应用
【分析】先判断△AEF≌△DHE，得出AF=DE，这样可求出AE、EF的长度，利用勾股定理可求出正方形EFGH的面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=FE，∠FEH=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，∠AEF+∠DEH=90°，
∴∠AFE=∠DEH，
∴△AEF≌△DHE（AAS），
∴AF=DE，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=BC=CD=DE=4，
∴AF=DE=AD-AE=4-1=3，
在Rt△AEF中，EF=，
故正方形EFGH的面积=×=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，属于基础题，解答本题的关键在于通过全等三角形的判定得出AF=DE，求出AF的长度.
18．【考点】勾股定理以及其逆定理的运用
【分析】首先利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S1、S2、S3之间的数量关系．
解：∵AB=m2-n2，AC=2mn，BC=m2+n2， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形， 设Rt△ABC的三边分别为a、b、c， ∴S1=c2，S2=b2，S3=a2， ∵△ABC是直角三角形， ∴b2+c2=a2，即S1+S2=S3． 故答案为：S1+S2=S3．
【点睛】本题考查勾股定理以及其逆定理的运用和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
19．【考点】勾股定理的应用.
【分析】利用勾股定理求出盒子的对角线长即可.
解：盒子底面的对角线长为=10cm，
∴盒子的对角线长为=20cm，
则细木棒露在盒外面的最短长度是25﹣20=5cm.
【点睛】本题考点：勾股定理的应用.
20．【考点】全等三角形的性质，勾股定理
【分析】直接利用勾股定理得出DE的长，再利用全等三角形的性质结合勾股定理得出BE的长．
解：∵∠ADE=90°，AE=5，AD=4，
∴
∵△ABC，△AED是两个大小一样的三角形，
∴AB=AE=5，
∴BD=1，
∴
【点睛】考查全等三角形的性质以及勾股定理，比较基础，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
21．【考点】勾股定理的应用，勾股定理的逆定理
【分析】（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）先利用勾股定理逆定理求出∠D=90°，由S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，利用直角三角形的面积公式进行求解即可.
解：(1)∵∠B＝90°，AB＝BC＝15千米，
∴AC＝千米，
答：小溪流AC长15千米；
(2)∵AC2＝(15)2＝450，CD2＋AD2＝(3)2＋(12)2＝450，
∴AC2＝CD2＋AD2，
则∠D＝90°，
S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×15×15＋×3×12＝.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
22．【考点】对称性质，勾股定理的应用
【分析】(1)根据轴对称性质,通过作对称点将折线转化成两点之间线段距离最短.
(2)根据AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根据EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,进而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.
解：(1)如图所示,AQ→QG为最短路线,
(2)因为AE＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),
因为EG＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,
所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,
所以小虫爬行的最短路程为100cm.
【点睛】本题主要对称性质和勾股定理的应用,解决本题的关键是要熟练掌握利用轴对称性质和勾股定理解决实际问题的方法.
23．【考点】勾股定理及其逆定理
【分析】（1）根据CD⊥AB即可进行判断；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）根据勾股定理可得BD2=BC2﹣CD2，AD2=AC2﹣CD2，再利用完全平方公式（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2，代入整理，根据勾股定理的逆定理即可得证.
解：（1）∵CD⊥AB，
∴△ACD与△BCD都是直角三角形，
故图中有2个直角三角形；
（2）在Rt△ACD中，
CD==5；
（3）在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣CD2，
在Rt△BCD中，BD2=BC2﹣CD2，
∵CD2=AD·DB，
∴（AD+BD）2=AD2+2AD·BD+BD2
= AC2﹣CD2+2 CD2+BC2﹣CD2
= AC2+ BC2=AB2，
则△ABC是直角三角形．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解此题的关键在于利用完全平方公式进行变形整理，再根据勾股定理的逆定理进行判定即可.
24．【考点】勾股定理的逆定理, 全等三角形的判定与性质
【分析】根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．
解：∵AC=4，BC=2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB为直角三角形，
∠ACB=90°．
分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
∵DE⊥CB，
∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠EBD.
在△ACB与△BED中，
∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2，
∴CE=6.根据勾股定理得
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．
∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°.
∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠CAB+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠ADE.在△ACB与△DEA中，
∵∠ACB=∠DEA，∠CAB=∠EDA， AB=DA，
∴△ACB≌△DEA（AAS），
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CE=6，根据勾股定理得
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°.
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF.
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，则ED=AF.
由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4.
设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF-DF=4-x，则2+x=4-x，解得x=1，
故EC=DE=3，
则
【点睛】考查勾股定理的逆定理, 全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想以及数形结合思想在解题中的应用，不要漏解.
25．【考点】勾股定理，等边三角形的性质
【分析】（1）如图，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G．即可得四边形DFEG为矩形.根据等边三角形的性质及矩形的性质求得EF=5，CG=，再利用勾股定理求得CD的长即可；（2）在（1）的基础上可得CD= ，当CG=0时，CD有最小值，由此求得CD的长即可.
解：（1）如图，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥PB于F，过D作DG⊥CE于G．即可得四边形DFEG为矩形.
∵AB=10，AP=6，
∴PB=4，
∵△APC和△PBD是等边三角形，CE⊥AB ， DF⊥PB，
∴EP=AP=3，PF=PB=2，
∴EF=EP+FP=5.
在Rt△DPF中，DP=4，PF=2，
由勾股定理求得DF=.
在Rt△CEP中，PC=6，PE=3，
由勾股定理求得CE=.
由矩形的性质可得，DG=EF=5，EG=DF，
∴CG=.
在Rt△CGD中，DG=5，CG=，由勾股定理求得CD=2；
（2）如图， 由（1）得，DG=EF=AB=5，CD≥DG，
∴CD= ，故CG=0时，CD有最小值，
当P为AB中点时，有CD=DG=5，
所以CD长度的最小值是5．
【点睛】本题考查了勾股定理及等边三角形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形是解决问题的关键．
26． 【考点】勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【分析】（1）①在直角三角形中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再由为中点，得到，确定出三角形为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由,利用即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到为直角，，在三角形中，利用勾股定理即可列出关于的函数解析式及定义域；
（2）分两种情况考虑：①当点D在线段上时；②当点D在线段的延长线上时，分别求出三角形面积即可.
解：(1)①在Rt△ABC中，
∵∠B＝30°，AB＝10，
∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝5，
∵点F是AB的中点，
∴AF＝AB＝5，
∴AC＝AF，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠EAD＝60°，
∵∠CAB＝∠EAD，即∠CAD+∠DAB＝∠FAE+∠DAB，
∴∠CAD＝∠FAE，
在△AEF和△ADC中，
，
∴△AEF≌△ADC(SAS)；
②∵△AEF≌△ADC，
∴∠AFE＝∠C＝90°，EF＝CD＝x，
又∵点F是AB的中点，
∴AE＝BE＝y，
在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2＝25+x2，
∴函数的解析式是，定义域是；
(2)①当点D在线段CB上时，
由∠DAB＝15°，可得∠CAD＝45°，△ADC是等腰直角三角形，
∴AD2＝50，
△ADE的面积为；
②当点D在线段CB的延长线上时，
由∠DAB＝15°，可得∠ADB＝15°，BD＝BA＝10，
∴在Rt△ACD中，勾股定理可得，
△ADE的面积为，
综上所述，△ADE的面积为或．
【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.