第19章 四边形单元检测试卷(含解析)
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沪科版八年级下第19章 四边形单元检测试卷
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题。每题3分，共36分)
1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．过某一个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成4个三角形，这个正多边形的每一个内角的度数是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
3．如图，在中，，分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形和，连结DE，CA的延长线交DE于点F，则与线段AF相等的是
A． B． C． D．
4．菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D． +1
5．如图，在中，CD是斜边AB上的中线，若，则的度数为
A． B． C． D．
6．如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB?BC=5，则四边形ABCD的面积是( ).
A．2.5 B． C．3.5 D．
7．下列说法错误的是（ ）.
A．对角线互相平分的四边形为平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形为平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处，且EG⊥AC，若CD=8，则FG的长为（?? ）
A．4 B．4 C．4 D．6
9．将一张五边形的纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
10．如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝( )
A．45° B．30° C．15° D．60°
11．如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：；；；；：，其中正确的结论有
A． B． C． D．
12．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在， 上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（6小题，每题3分，共18分)
13．多边形的每一个外角为45°，则这个多边形是_______边形。
14．已知在中，∠B和∠C的平分线分别交直线AD于点E、点F，AB=5，若EF＞4时，则AD的取值范围是____________.
15．用三块正多边形的大理石板铺地面，使拼在一起并交于一点的各边完全重合，其中两块大理石板均为正五边形，则第三块大理石板材应该是_____边形
16．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8m，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于_____厘米．
17．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若AB＝8，BC＝10，则CE＝____．
18．已知正方形中，点在边上，，，如图，把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处，则、两点间的距离为___．
三、解答题（8小题，共66分)
19．已知两个多边形的所有内角的和为1800°，且两个多边形的边数之比为2：5，求这两个多边形的边数．
20．如图，在△ABC中，D是BC上一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．
21．如图，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，AB=4，AC=6，BD=10．（1）求∠ACD的度数；（2）求BC的长.
22．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F.
（1）求证：OE=OF；
（2）连结DE、BF，试说明四边形BFDE是平行四边形.
23．如图,在□ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.
(1)求证:AE=CF.
(2)求证:四边形BFDE为矩形.
24．四边形ABCD中，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．且∠A＝∠C＝90°，
(1)说明：∠1+∠2= 90°，
(2)试猜想BE与DF有何位置关系？请说明理由．
25．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE∥AC，在BG上取点E，连接DE交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF=EF；
（2）如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于点C，AC=2CF，求BE的长．
26．直角三角形ABC中，，D是斜边BC上一点，且，过点C作，交AD的延长线于点E，交AB延长线于点F．
求证：；
若，，过点B作于点G，连接依题意补全图形，并求四边形ABGD的面积．
参考答案
1．【考点】矩形的性质，等边三角形的性质和判定
【分析】根据矩形性质得出AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，推出OA＝OB，得出△AOB是等边三角形，推出AB＝AO＝4即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
2．【考点】多边形的内角与外角，多边形的对角线
【分析】根据过多边形的一个顶点作对角线分成的三角形的个数公式（n﹣2）求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
解：∵过某一个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成4个三角形，
∴这个多边形的边数为4+2＝6，
∴这个正多边形的每一个内角的度数＝×（6﹣2）×180°＝120°．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的对角线，熟记公式并求出多边形的边数是解题的关键．
3．【考点】等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质
【分析】如图，作交CF的延长线于H，连接想办法证明≌，四边形ADHE是平行四边形，即可解决问题．
解：如图，作交CF的延长线于H，连接EH．
，
，，
，
，
≌，
，，
，，
，，
四边形ADHE是平行四边形，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．【考点】最短路径问题，菱形的性质
【分析】过点C作CE⊥AB，根据题意可求出AB，CD的距离即CE的长，由BD平分∠ABD，则作点P关于BD的对称点P'，则当P'，K，Q三点共线，且垂直于AB时，PK+QK有最小值，即最小值为CE的长．
解：如图：过点C作CE⊥AB
∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°
∴∠ABC＝60°，BC＝2，BD平分∠ABD
∴BE＝，CE＝BE＝3
∵BD平分∠ABD
∴在AB上作点P关于BD的对称点P'
∴PK+QK＝P'K+KQ
∴当P'，K，Q三点共线且P'Q⊥AB时，PK+QK有最小值，
即最小值为平行线AB，CD的距离，则最小值为3
故选：B．
【点睛】本题考查了最短路径问题，菱形的性质，作点P关于BD的对称点P'是本题的关键．
5．【考点】直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质
【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出，求出，根据两角互余求出的度数即可．
解：，CD是斜边AB上的中线，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出和的度数是解此题的关键．
6．【考点】平行四边形的判定与性质
【分析】根据题意判定四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用面积法求得AB与BC的数量关系，从而求得该平行四边形的面积．
解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE=1，AF=2，
∴BC?AE=AB?AF，即BC=2AB．
又AB?BC=5，
∴AB=，
∴四边形ABCD的面积是：AB?AF=2AB=．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得BC=2AB是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法．
7．【考点】平行四边形的判定
【分析】由平行四边形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．
解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D不正确．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
8．【考点】翻折变换、等边三角形的判定和性质，菱形的性质
【分析】设AC与EG交于点O，FG交AC于H．只要证明FG⊥AD，即可FG是菱形的高，求出FG即可解决问题．
解：如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， 易证△ABC、△ACD是等边三角形， ∴∠CAD=∠B=60°， ∵EG⊥AC， ∴∠GOH=90°， ∵∠EGF=∠B=60°， ∴∠OHG=30°， ∴∠AGH=90°， ∴FG⊥AD， ∴FG是菱形的高，即等边三角形△ABC的高=×8=4． 故选：B．
【点睛】考查翻折变换、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明线段FG是菱形的高，记住等边三角形的高=a（a是等边三角形的边长）.
9．【考点】多边形的内角与外角
【分析】根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可．
解：①将五边形沿对角线剪开，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
②将五边形从一顶点剪向对边，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°，也可能得到一个三角形和一个五边形，两个多边形的和为180°+540°=720°
③将五边形沿一组对边剪开，得到一个四边形和一个五边形，两个多边形的内角和为：360°+540°=900°，
④将五边形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个六边形，其内角和为：180°+720°=900°；
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个五边形截一刀后得到的图形有多种情形，是解决本题的关键．
10．【考点】矩形的性质
【分析】长方形内角为90°，已知∠BAF=60°，所以可以得到∠DAF，又因为AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出．
解：在长方形ABCD中，∠BAD＝90°
∵∠BAF＝60°
∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°
又AE平分∠DAF
所以∠DAE＝∠DAF＝15°
故选C．
【点睛】运用了长方形的四个角都是直角以及角平分线的概念即可解决．
11．【考点】正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定性质
【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质就可以得出．
设，推出，由可得，即．
由条件就可以得出，，就可以得出≌，就可以得出，就可以得出，得出，由，就可以得出．
由O为BD中点可以得出，，，得出．
由：：CG，由设，就有，，由此即可解决问题．
解：四边形ABCD是正方形，
，，．
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
故正确；
，，
，
．
，，
，
．
在和中，
，
≌，
．
，
，
，
，
，
故正确；
为BD中点，
．
，
故错误；
作于M，于N，
，
，．
设，
，
．
，即故错误；
，设，
，．
，
，
．
：：GC，
：故正确．
综上所述，正确的有，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，平行线的判定的运用，解答时灵活运用正方形的性质求解是关键．
12．【考点】翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用
【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出最大值BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
解：①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
②∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
EF===，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
13．【考点】多边形的外角和
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
解：∵一个多边形的每个外角都等于45°，
∴多边形的边数为360°÷45°=8．
则这个多边形是八边形．
故答案为：八．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
14．【考点】平行四边形的性质，角平分线的定义，不等式的应用
【分析】根据平行四边形的性质与角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE=∠AEB，∠FCD=∠FCB=∠CFD，进而得到AB=AE=5，CD=DF=5，然后分情况讨论分别求得AD的取值范围即可.
解：∵AD∥BC，∠B、∠C的平分线分别交AD于点E、F， ∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，∠FCD=∠FCB=∠CFD ∴AB=AE=5，CD=DF=5，
当BE与CF相交时，AD=AE+DF﹣EF，
∵EF＞4，
∴0＜AD＜6；
当BE与CF不想交时，AD= AE+DF+EF，
则AD＞14.
故答案为：0＜AD＜6或AD＞14.
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，不等式的应用，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据题意分情况讨论进行解答.
15．【考点】两种或两种以上几何图形镶嵌
【分析】分别求出正五边形每个内角度数，因为顶点处已经有2个内角，进而求出另一个多边形的内角度数，再求出边数即可．
解：正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，顶点处已经有2个内角，度数之和为：108×2=216°，
那么另一个多边形的内角度数为：360°-216°=144°，相邻的外角为：180°-144°=36°，
∴360°÷36°=10，应该是正十边形．
【点睛】两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
16．【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定
【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝12cm，AD∥BC，得出∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出CE的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝8cm，
∴CE＝BC﹣BE＝4cm；
故答案为：4
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17．【考点】矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，由折叠的性质可求BF＝BC＝10，EF＝CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，
∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴BF＝BC＝10，EF＝CE，
在Rt△ABF中，AF＝＝6,
∴DF＝AD﹣AF＝4,
在Rt△DEF中，DF2+DE2＝EF2＝CE2，
∴16+(8﹣CE)2＝CE2，
∴CE＝5.
故答案为：5.
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】分两种情况进行讨论，①当线段顺时针旋转时，利用题干条件得到，进而得到；②当线段逆时针旋转时，利用题干条件得到，进而得到．
解：①当线段顺时针旋转得到点，
在和中，
，
，
，
；
②逆时针旋转得到点，同理可得，
，
，
故答案为2或10．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是注意旋转的方向，此题难度不大．
19．【考点】多边形的内角和
【分析】根据题意可设一个多边形的边数为2x，另一个多边形的边数为5x，再根据多边形的内角和公式列出关于x的方程，然后求解方程即可.
解：设一个多边形的边数为2x，另一个多边形的边数为5x，
根据题意可得（2x﹣2）·180°+（5x﹣2）·180°=1800°，
解得x=2，
故这两个多边形的边数分别是4和10.
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，解此题的关键在于根据题意设出未知数，利用多边形的内角和公式列出方程求解.
20．【考点】三角形中位线定理, 平行四边形的判定与性质
【分析】根据三角形的中位线定理可判定四边形EFGH为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到EG、HF互相平分．
解：连结EH、FG.，
∵E、H分别是BD、AD的中点，
∴EH∥AB ，EH=AB.
同理，FG∥AB ，FG=AB.
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EG、HF互相平分．
【点睛】本题考查三角形中位线定理, 平行四边形的判定与性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键.
21． 【考点】平行四边形的性质，勾股定理的逆定理
【分析】（1）由平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC=6，BD=10，AB=4，易求得OA与OB的长，又由勾股定理的逆定理，可证得∠BAO=90°，由AB∥CD，可得∠ACD的度数；
（2）在直角△ABC中，利用勾股定理即可求BC的长．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=6，BD=10，AB=4， ∴OA=OC=AC=3，OB=OD=5， ∴OA2+AB2=OB2， ∴△OAB是直角三角形，且∠BAO=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAO=90°； （2）在直角△ABC中，BC= ． 故答案是：（1）90°；（2） ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与勾股定理的逆定理．解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
22．【考点】平行四边形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易证得△OAE≌△OCF，则可得OE=OF； （2）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=DF，BE∥DF，进而得出答案．
（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴OE=OF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
又∵△OAE≌△OCF，
∴AE=FC，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形.
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键.
23．【考点】矩形的判定, 全等三角形的判定与性质, 平行四边形的性质
【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS可得△ADE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可得AE=CF； （2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可．
解：(1)∵DE⊥AB,BF⊥CD,
∴∠AED=∠CFB=90°
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC, ∠A=∠C,
再在△ADE和△CBF中,
，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AE=CF.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴CD∥AB,
∴∠CDE+∠DEB=180°,
∵∠DEB=90°,
∴∠CDE=90°,
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°,
则四边形BFDE为矩形.
【点睛】本题考查矩形的判定, 全等三角形的判定与性质, 平行四边形的性质.
24．【考点】四边形的内角和，平行线的判定与性质
【分析】(1)根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；
(2)由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．
解：(1)∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ADC=2∠2，
∵∠A=∠C=90°，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=(4-2)×180°=360°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
即2(∠1+∠2)=180°，
∴∠1+∠2=90°；
(2)BE∥DF，理由如下：
在△FCD中，∵∠C=90°，
∴∠DFC+∠2=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠DFC，
∴BE∥DF．
【点睛】本题考查了四边形的内角和，平行线的判定与性质，直角三角形两锐角互余等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
25．【考点】平行四边形的性质，三角形的中位线，含30°角的直角三角形
【分析】（1）连接BD交AC于点O．由平行四边形的性质可知O为BD中点，又因为BG∥AF，进而证明DF=EF．
（2）利用直角三角形的性质和三角形中位线性质定理以及平行四边形的性质即可求出BE的长．
（1）证明：连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵BG∥AF，
∴DF=EF．
（2）∵AC⊥DC，∠ADC=60°，AD=2，
∴AC=．?
∵OF是△DBE的中位线，
∴BE=2OF．
∵OF=OC+CF，
∴BE=2OC+2CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OC．
∵AC=2CF，
∴BE=2AC=2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理的运用．
26．【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质
【分析】根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据余角的性质即可得到结论；
根据平行线的判定定理得到AD∥BG，推出四边形ABGD是平行四边形，得到平行四边形ABGD是菱形，设AB=BG=GD=AD=x，解直角三角形得到 ，过点B作 于H，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
解：，
，
，
，
，
，
，
，
；
补全图形，如图所示：
，，
，，
，，
，
，，且，
，
，
，
四边形ABGD是平行四边形，
，
平行四边形ABGD是菱形，
设，
，
，
，
过点B作于H，
．
．
故答案为：（1）证明见解析；（2）补图见解析；．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题。每题3分，共36分)
1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．过某一个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成4个三角形，这个正多边形的每一个内角的度数是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
3．如图，在中，，分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形和，连结DE，CA的延长线交DE于点F，则与线段AF相等的是
A． B． C． D．
4．菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D． +1
5．如图，在中，CD是斜边AB上的中线，若，则的度数为
A． B． C． D．
6．如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB?BC=5，则四边形ABCD的面积是( ).
A．2.5 B． C．3.5 D．
7．下列说法错误的是（ ）.
A．对角线互相平分的四边形为平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形为平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处，且EG⊥AC，若CD=8，则FG的长为（?? ）
A．4 B．4 C．4 D．6
9．将一张五边形的纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
10．如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝( )
A．45° B．30° C．15° D．60°
11．如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：；；；；：，其中正确的结论有
A． B． C． D．
12．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在， 上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（6小题，每题3分，共18分)
13．多边形的每一个外角为45°，则这个多边形是_______边形。
14．已知在中，∠B和∠C的平分线分别交直线AD于点E、点F，AB=5，若EF＞4时，则AD的取值范围是____________.
15．用三块正多边形的大理石板铺地面，使拼在一起并交于一点的各边完全重合，其中两块大理石板均为正五边形，则第三块大理石板材应该是_____边形
16．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8m，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于_____厘米．
17．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若AB＝8，BC＝10，则CE＝____．
18．已知正方形中，点在边上，，，如图，把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处，则、两点间的距离为___．
三、解答题（8小题，共66分)
19．已知两个多边形的所有内角的和为1800°，且两个多边形的边数之比为2：5，求这两个多边形的边数．
20．如图，在△ABC中，D是BC上一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．
21．如图，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，AB=4，AC=6，BD=10．（1）求∠ACD的度数；（2）求BC的长.
22．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F.
（1）求证：OE=OF；
（2）连结DE、BF，试说明四边形BFDE是平行四边形.
23．如图,在□ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.
(1)求证:AE=CF.
(2)求证:四边形BFDE为矩形.
24．四边形ABCD中，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．且∠A＝∠C＝90°，
(1)说明：∠1+∠2= 90°，
(2)试猜想BE与DF有何位置关系？请说明理由．
25．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE∥AC，在BG上取点E，连接DE交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF=EF；
（2）如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于点C，AC=2CF，求BE的长．
26．直角三角形ABC中，，D是斜边BC上一点，且，过点C作，交AD的延长线于点E，交AB延长线于点F．
求证：；
若，，过点B作于点G，连接依题意补全图形，并求四边形ABGD的面积．
参考答案
1．【考点】矩形的性质，等边三角形的性质和判定
【分析】根据矩形性质得出AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，推出OA＝OB，得出△AOB是等边三角形，推出AB＝AO＝4即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
2．【考点】多边形的内角与外角，多边形的对角线
【分析】根据过多边形的一个顶点作对角线分成的三角形的个数公式（n﹣2）求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
解：∵过某一个正多边形的一个顶点的所有对角线，将这个正多边形分成4个三角形，
∴这个多边形的边数为4+2＝6，
∴这个正多边形的每一个内角的度数＝×（6﹣2）×180°＝120°．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的对角线，熟记公式并求出多边形的边数是解题的关键．
3．【考点】等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质
【分析】如图，作交CF的延长线于H，连接想办法证明≌，四边形ADHE是平行四边形，即可解决问题．
解：如图，作交CF的延长线于H，连接EH．
，
，，
，
，
≌，
，，
，，
，，
四边形ADHE是平行四边形，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．【考点】最短路径问题，菱形的性质
【分析】过点C作CE⊥AB，根据题意可求出AB，CD的距离即CE的长，由BD平分∠ABD，则作点P关于BD的对称点P'，则当P'，K，Q三点共线，且垂直于AB时，PK+QK有最小值，即最小值为CE的长．
解：如图：过点C作CE⊥AB
∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°
∴∠ABC＝60°，BC＝2，BD平分∠ABD
∴BE＝，CE＝BE＝3
∵BD平分∠ABD
∴在AB上作点P关于BD的对称点P'
∴PK+QK＝P'K+KQ
∴当P'，K，Q三点共线且P'Q⊥AB时，PK+QK有最小值，
即最小值为平行线AB，CD的距离，则最小值为3
故选：B．
【点睛】本题考查了最短路径问题，菱形的性质，作点P关于BD的对称点P'是本题的关键．
5．【考点】直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质
【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出，求出，根据两角互余求出的度数即可．
解：，CD是斜边AB上的中线，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出和的度数是解此题的关键．
6．【考点】平行四边形的判定与性质
【分析】根据题意判定四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用面积法求得AB与BC的数量关系，从而求得该平行四边形的面积．
解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE=1，AF=2，
∴BC?AE=AB?AF，即BC=2AB．
又AB?BC=5，
∴AB=，
∴四边形ABCD的面积是：AB?AF=2AB=．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．根据面积法求得BC=2AB是解题的关键，另外，注意解题过程中辅助线的作法．
7．【考点】平行四边形的判定
【分析】由平行四边形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论．
解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴A正确；
∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴C正确；
∵一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，
∴D不正确．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
8．【考点】翻折变换、等边三角形的判定和性质，菱形的性质
【分析】设AC与EG交于点O，FG交AC于H．只要证明FG⊥AD，即可FG是菱形的高，求出FG即可解决问题．
解：如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， 易证△ABC、△ACD是等边三角形， ∴∠CAD=∠B=60°， ∵EG⊥AC， ∴∠GOH=90°， ∵∠EGF=∠B=60°， ∴∠OHG=30°， ∴∠AGH=90°， ∴FG⊥AD， ∴FG是菱形的高，即等边三角形△ABC的高=×8=4． 故选：B．
【点睛】考查翻折变换、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明线段FG是菱形的高，记住等边三角形的高=a（a是等边三角形的边长）.
9．【考点】多边形的内角与外角
【分析】根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可．
解：①将五边形沿对角线剪开，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
②将五边形从一顶点剪向对边，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°，也可能得到一个三角形和一个五边形，两个多边形的和为180°+540°=720°
③将五边形沿一组对边剪开，得到一个四边形和一个五边形，两个多边形的内角和为：360°+540°=900°，
④将五边形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个六边形，其内角和为：180°+720°=900°；
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个五边形截一刀后得到的图形有多种情形，是解决本题的关键．
10．【考点】矩形的性质
【分析】长方形内角为90°，已知∠BAF=60°，所以可以得到∠DAF，又因为AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出．
解：在长方形ABCD中，∠BAD＝90°
∵∠BAF＝60°
∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°
又AE平分∠DAF
所以∠DAE＝∠DAF＝15°
故选C．
【点睛】运用了长方形的四个角都是直角以及角平分线的概念即可解决．
11．【考点】正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定性质
【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质就可以得出．
设，推出，由可得，即．
由条件就可以得出，，就可以得出≌，就可以得出，就可以得出，得出，由，就可以得出．
由O为BD中点可以得出，，，得出．
由：：CG，由设，就有，，由此即可解决问题．
解：四边形ABCD是正方形，
，，．
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
故正确；
，，
，
．
，，
，
．
在和中，
，
≌，
．
，
，
，
，
，
故正确；
为BD中点，
．
，
故错误；
作于M，于N，
，
，．
设，
，
．
，即故错误；
，设，
，．
，
，
．
：：GC，
：故正确．
综上所述，正确的有，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，平行线的判定的运用，解答时灵活运用正方形的性质求解是关键．
12．【考点】翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用
【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；
③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出最大值BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；
④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．
解：①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
②∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
EF===，（故④正确）；
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
13．【考点】多边形的外角和
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
解：∵一个多边形的每个外角都等于45°，
∴多边形的边数为360°÷45°=8．
则这个多边形是八边形．
故答案为：八．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
14．【考点】平行四边形的性质，角平分线的定义，不等式的应用
【分析】根据平行四边形的性质与角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE=∠AEB，∠FCD=∠FCB=∠CFD，进而得到AB=AE=5，CD=DF=5，然后分情况讨论分别求得AD的取值范围即可.
解：∵AD∥BC，∠B、∠C的平分线分别交AD于点E、F， ∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，∠FCD=∠FCB=∠CFD ∴AB=AE=5，CD=DF=5，
当BE与CF相交时，AD=AE+DF﹣EF，
∵EF＞4，
∴0＜AD＜6；
当BE与CF不想交时，AD= AE+DF+EF，
则AD＞14.
故答案为：0＜AD＜6或AD＞14.
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，不等式的应用，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据题意分情况讨论进行解答.
15．【考点】两种或两种以上几何图形镶嵌
【分析】分别求出正五边形每个内角度数，因为顶点处已经有2个内角，进而求出另一个多边形的内角度数，再求出边数即可．
解：正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，顶点处已经有2个内角，度数之和为：108×2=216°，
那么另一个多边形的内角度数为：360°-216°=144°，相邻的外角为：180°-144°=36°，
∴360°÷36°=10，应该是正十边形．
【点睛】两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
16．【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定
【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝12cm，AD∥BC，得出∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出CE的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝8cm，
∴CE＝BC﹣BE＝4cm；
故答案为：4
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17．【考点】矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，由折叠的性质可求BF＝BC＝10，EF＝CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，
∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴BF＝BC＝10，EF＝CE，
在Rt△ABF中，AF＝＝6,
∴DF＝AD﹣AF＝4,
在Rt△DEF中，DF2+DE2＝EF2＝CE2，
∴16+(8﹣CE)2＝CE2，
∴CE＝5.
故答案为：5.
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】分两种情况进行讨论，①当线段顺时针旋转时，利用题干条件得到，进而得到；②当线段逆时针旋转时，利用题干条件得到，进而得到．
解：①当线段顺时针旋转得到点，
在和中，
，
，
，
；
②逆时针旋转得到点，同理可得，
，
，
故答案为2或10．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是注意旋转的方向，此题难度不大．
19．【考点】多边形的内角和
【分析】根据题意可设一个多边形的边数为2x，另一个多边形的边数为5x，再根据多边形的内角和公式列出关于x的方程，然后求解方程即可.
解：设一个多边形的边数为2x，另一个多边形的边数为5x，
根据题意可得（2x﹣2）·180°+（5x﹣2）·180°=1800°，
解得x=2，
故这两个多边形的边数分别是4和10.
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，解此题的关键在于根据题意设出未知数，利用多边形的内角和公式列出方程求解.
20．【考点】三角形中位线定理, 平行四边形的判定与性质
【分析】根据三角形的中位线定理可判定四边形EFGH为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到EG、HF互相平分．
解：连结EH、FG.，
∵E、H分别是BD、AD的中点，
∴EH∥AB ，EH=AB.
同理，FG∥AB ，FG=AB.
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EG、HF互相平分．
【点睛】本题考查三角形中位线定理, 平行四边形的判定与性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键.
21． 【考点】平行四边形的性质，勾股定理的逆定理
【分析】（1）由平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC=6，BD=10，AB=4，易求得OA与OB的长，又由勾股定理的逆定理，可证得∠BAO=90°，由AB∥CD，可得∠ACD的度数；
（2）在直角△ABC中，利用勾股定理即可求BC的长．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=6，BD=10，AB=4， ∴OA=OC=AC=3，OB=OD=5， ∴OA2+AB2=OB2， ∴△OAB是直角三角形，且∠BAO=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAO=90°； （2）在直角△ABC中，BC= ． 故答案是：（1）90°；（2） ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与勾股定理的逆定理．解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
22．【考点】平行四边形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易证得△OAE≌△OCF，则可得OE=OF； （2）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=DF，BE∥DF，进而得出答案．
（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴OE=OF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
又∵△OAE≌△OCF，
∴AE=FC，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形.
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键.
23．【考点】矩形的判定, 全等三角形的判定与性质, 平行四边形的性质
【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS可得△ADE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可得AE=CF； （2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可．
解：(1)∵DE⊥AB,BF⊥CD,
∴∠AED=∠CFB=90°
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC, ∠A=∠C,
再在△ADE和△CBF中,
，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AE=CF.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴CD∥AB,
∴∠CDE+∠DEB=180°,
∵∠DEB=90°,
∴∠CDE=90°,
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°,
则四边形BFDE为矩形.
【点睛】本题考查矩形的判定, 全等三角形的判定与性质, 平行四边形的性质.
24．【考点】四边形的内角和，平行线的判定与性质
【分析】(1)根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；
(2)由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．
解：(1)∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ADC=2∠2，
∵∠A=∠C=90°，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=(4-2)×180°=360°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
即2(∠1+∠2)=180°，
∴∠1+∠2=90°；
(2)BE∥DF，理由如下：
在△FCD中，∵∠C=90°，
∴∠DFC+∠2=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠DFC，
∴BE∥DF．
【点睛】本题考查了四边形的内角和，平行线的判定与性质，直角三角形两锐角互余等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
25．【考点】平行四边形的性质，三角形的中位线，含30°角的直角三角形
【分析】（1）连接BD交AC于点O．由平行四边形的性质可知O为BD中点，又因为BG∥AF，进而证明DF=EF．
（2）利用直角三角形的性质和三角形中位线性质定理以及平行四边形的性质即可求出BE的长．
（1）证明：连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵BG∥AF，
∴DF=EF．
（2）∵AC⊥DC，∠ADC=60°，AD=2，
∴AC=．?
∵OF是△DBE的中位线，
∴BE=2OF．
∵OF=OC+CF，
∴BE=2OC+2CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OC．
∵AC=2CF，
∴BE=2AC=2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理的运用．
26．【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质
【分析】根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据余角的性质即可得到结论；
根据平行线的判定定理得到AD∥BG，推出四边形ABGD是平行四边形，得到平行四边形ABGD是菱形，设AB=BG=GD=AD=x，解直角三角形得到 ，过点B作 于H，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
解：，
，
，
，
，
，
，
，
；
补全图形，如图所示：
，，
，，
，，
，
，，且，
，
，
，
四边形ABGD是平行四边形，
，
平行四边形ABGD是菱形，
设，
，
，
，
过点B作于H，
．
．
故答案为：（1）证明见解析；（2）补图见解析；．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．