2019年上海市虹口区高考数学二模试卷

上海市虹口区 2019 届高三二模数学试卷
2019.4

一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1. 设全集U ? R，若 { || 3 | 1}A x x? ? ? ，则 U A ?
2. 若复数 i(2 i)z ? ? （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 z ?
3. 已知
1
cos
3
? ? ，? 在第四象限，则cos( )
2
?
?? ?
4. 行列式
2019 4 9
sin cos
5 sin cos
2 3
? ? ?
? ?
?
的元素? 的代数余子式的值等于
5. 5 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公
益活动的概率为
6. 已知 1F 、 2F 是椭圆
2 2
: 1
36 27
x y
C ? ? 的两个焦点，点P为椭圆C 上的点， 1| | 8PF ? ，若M
为线段 1PF 的中点，则线段OM 的长为
7. 若函数 ( ) | | 4f x x x a? ? ? （ a?R ）有 3 个零点，则实数a 的取值范围是
8. 若函数 3( ) log (9 1)
xf x kx? ? ? （ k?R ）为偶函数，则 k 的值为
9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

10. 在平面直角坐标系 xOy中，边长为 1 的正六边形 ABCDEF 的中心为坐标原点O ，如图
所示，双曲线?是以C 、F 为焦点的，且经过正六边形的顶点 A、B、D 、E ，则双曲线
?的方程为
11. 若函数
2 0
( )
( 1) ( 2) 0
x x
f x
f x f x x
?? ?
? ?
? ? ? ??
，则 (2019)f 的值为
12. 过点
1
( , 2)
2
P ? 作圆 2 2
4
: ( ) ( 1) 1
3
C x m y m? ? ? ? ? （m?R）的切线，切点分别为 A、
B，则PA PB? 的最小值为

二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13. 已知?、? 是两个不同平面，m为?内的一条直线，则“m∥ ? ”是“?∥? ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
14. 钝角三角形 ABC 的面积是
1
2
， 1AB ? ， 2BC ? ，则 AC 等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 5
15. 已知直线 l 经过不等式组
2 1 0
3 4 0
2 0
x y
x y
y
? ? ??
?
? ? ??
? ? ??
表示的平面区域，且与圆 2 2: 16O x y? ? 相交
于 A、B两点，则当 | |AB 最小时，直线 l 的方程为（ ）
A. 2 0y ? ? B. 4 0x y? ? ? C. 2 0x y? ? ? D. 3 2 13 0x y? ? ?
16. 已知等比数列{ }na 的首项为 2，公比为
1
3
? ，其前n 项和记为 nS ，若对任意的
*n?N ，
均有
1
3 n
n
A S B
S
? ? ? 恒成立，则B A? 的最小值为（ ）
A.
7
2
B.
9
4
C.
11
4
D.
13
6

三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
17. 已知函数 ( ) log (9 3 )xaf x ? ? （ 0a ? ， 1a ? ）.
（1）若函数 ( )f x 的反函数是其本身，求a 的值；
（2）当
1
4
a ? 时，求函数 ( ) ( )y f x f x? ? ? 的最小值.















18. 如图，在多面体
1 1 1ABCA BC 中， 1AA 、 1BB 、 1CC 均垂直于平面 ABC ， 1 4AA ? ， 1 3CC ? ，
1 2BB AB AC? ? ? ， 120BAC? ? ? .
（1）求
1AB 与 1 1 1A B C 所成角的大小；
（2）求二面角
1 1 1A A B C? ? 的大小.










19. 如图，一块长方形区域 ABCD， 1AB ? ， 2AD ? ，在边 AD的中点O 处有一个可转动
的探照灯，其照射角 EOF? 始终为
4
?
，设 AOE ?? ? ，探照灯照射在长方形 ABCD内部
区域的面积为 S .
（1）求 S 关于?的函数关系式；
（2）当0
4
?
?? ? 时，求 S 的最大值.

















20. 设F 为抛物线 2: 4C y x? 的焦点，过点F 的直线 l 与抛物线C 相交于 A、 B两点.
（1）若 2AF FB? ，求此时直线 l 的方程；
（2）若与直线 l 垂直的直线 1l 过点 F ，且与抛物线C 相交于点M 、N ，设线段 AB、MN
的中点分别为P、Q ，如图 1，求证：直线PQ 过定点；
（3）设抛物线C 上的点 S 、T 在其准线上的射影分别为 1S 、 1T ，若△ 1 1S T F 的面积是△STF
的面积的两倍，如图 2，求线段 ST 中点的轨迹方程.
























21. 设各项均为正数的数列{ }na 的前n 项和为 nS ，且 1 1a ? ，
2
1n n na S S ?? ? （
*n?N ，
2n ? ），数列{ }nb 满足
( 1)
2
1 2 2
n n
nb b b
?
? ? ? ? ? ? ? （ *n?N ）.
（1）求数列{ }na 、{ }nb 的通项公式；
（2）设
1
1 1
2 n
n a
n n
c
a a ?
? ?
?
，
nT 是{ }nc 的前n 项和，求正整数m，使得对任意的
*n?N ，
均有
m nT T? ；
（3）设
1 1 2 2{ | n nB x x k b k b k b? ? ? ????? ，且 0x ? ，其中 1 2, , , { 1,1}}nk k k??? ? ? （
*n?N ，
2n ? ），求集合B中所有元素的和.





























参考答案

一. 填空题
1. [2,4] 2. 1 2i? 3.
2 2
3
4. 7
5.
15
16
6. 2 7. (4, )?? 8. 1a ? ?
9.
4
3
10.
2 2
1
2 3 3
2 2
x y
? ?
?
11. 1? 12. 2 2 3?

二. 选择题
13. B 14. C 15. D 16. B

三. 解答题
17.（1） 3a ? ；（2） 3?
18.（1）
15
arcsin
5
；（2）
10
arccos
5

19.（1） [0, )
4
?
? ? ，
tan 1
1 tan( )
2 2 4
S
? ?
?? ? ? ? ；
[ , )
4 2
? ?
? ? ，
1 1 1
( )
32 tan
tan( )
4
S
?? ?
? ?
?
；
3
[ , ]
2 4
? ?
? ? ，
1 1 3
1 tan( ) tan( )
2 2 2 4
S
? ?
? ?? ? ? ? ? ；
（2）
1 2
2 (1 tan ) 2 2
2 1 tan
S ?
?
? ? ? ? ? ?
?

20.（1） 2 2( 1)y x? ? ? ；（2） (3,0)；（3） 2 2( 2)y x? ?
21.（1） na n? ， 2
n
nb ? ；（2）
1 1
2 1
n n
T
n
? ? ?
?
， 4m ? ；（3）0