课件16张PPT。3 探索三角形全等的条件
第1课时【基础梳理】
三角形全等条件的探索
【思考】1.只给定一条边或只给定一个角时:
三角形___全等;
三角形___全等.不不2.给出的两个条件可能是:一边一内角、两内角、两边
时:
① 三角形___全等;
② 三角形___全等;
③ 三角形___全等.
按这些条件画出的三角形都_____保证全等.不不不不能3.给出的三个条件:如三条边时:
按上述条件画出的三角形___全等.
【总结】_____分别相等的两个三角形_____.简写为:
边边边或“SSS”.能三边全等【自我诊断】
1.(1)两个三角形中给定两个相等条件时,两个三角形
一定不全等. ( )
(2)两个三角形中有三条边分别相等,则这两个三角形
不一定全等. ( )××2.在下列给出的条件中,能判定两个三角形全等的是
( )
A.两边分别相等
B.三角分别相等
C.一角和一边分别相等
D.三边分别相等D3.如图,已知BA=CA,图中再补充一个条件后能说明
△ABD≌△ACD,则这个条件是______.DB=DC知识点一 利用“SSS”判定三角形全等
【示范题1】(8分)如图,在四边形ABCD中,AB=DC,延长线段CB到点E,使BE=AD,连接AE,AC,且AE=AC,求证:
(1)∠D+∠CBA=180°.
(2)若S△AEC=8,求四边形ABCD的面积.【规范答题】(1)在△ABE和△CDA中,
AE=CA,
AB=CD,
BE=DA,
所以△ABE≌△CDA(SSS),…2分
所以∠D=∠ABE,∠ABC+∠ABE=180°,所以∠D+∠CBA=180°.…4分
(2)因为△ABE≌△CDA,
所以S△AEB=S△ADC.…6分
所以S△AEB+S△ABC=S△ADC+S△ABC,
所以S四边形ABCD=S△AEC,
所以四边形ABCD的面积为8.…8分【微点拨】
利用“SSS”解决实际问题时的两点注意
1.添加辅助线:通过添加辅助线将问题转化为两个三角形全等的问题.
2.隐含条件:公共边是常见的隐含条件,在题目已知中一般是不会给出的,一定要认真读图分析.知识点二 三角形的稳定性
【示范题2】如图,盖房子时,房顶建成三角形或大门建好之后,工人师傅常常斜钉上木条,你知道这是为什么吗?你还能举出这样的生活实例吗?【思路点拨】三角形具有稳定性,大门是四边形,具有不稳定性,钉上木条可构成三角形.
【自主解答】房顶建成三角形或将大门钉上木条,构成三角形,根据三角形的稳定性,可使门框固定,不易变形、损坏,生活中这样的实例很多,如高压输电线下的铁塔中有很多三角形架子、自行车车架等都是利用三角形稳定性的例子. 【微点拨】
三角形的稳定性
根据三角形全等的判定方法(“SSS”)可知,只要三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性,它在生活中有着广泛的应用.【纠错园】
已知:如图AB=DE,AC=DF,BF=CE,△ABC与△DEF全等吗?
【错因】不理解SSS定理,两个三角形的三边对应相等时,这两个三角形全等,BF和CE不是两个三角形的边,不是三角形全等的条件.课件20张PPT。3 探索三角形全等的条件
第2课时【基础梳理】
1.两角及其_____分别相等的两个三角形_____,简写
为: ___________或________.
2.(1)两角分别相等且其中一组等角的_____相等的两
个三角形全等,简写成: ___________或________.夹边“角边角”“ASA”对边“角角边”“AAS”全等(2)在两个三角形中,有两角一边对应相等,则这两个三角形全等.【自我诊断】
1.(1)两角及一边相等的两个三角形全等. ( )
(2)已知两角及两角的夹边,画出的三角形全等. ( )×√2.已知:如图,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要说明△ABC≌△DEF:
(1)若以“ASA”为依据,还要添加的条件为________.
(2)若以“AAS”为依据,还要添加的条件为________.∠A=∠D∠C=∠F知识点一 利用“ASA”判定三角形全等
【示范题1】(8分)(2017·泸州中考)如图,点A,F,C,D在同一条直线上,已知AF=DC,∠A=∠D,BC∥EF.
求证:AB=DE.【自主解答】因为BC∥EF,
所以∠ACB=∠DFE,…2分
又因为AF=DC,
所以AF+FC=DC+FC,
即AC=DF.…4分
在△ABC与△DEF中,因为∠A=∠D,AC=DF,
∠ACB=∠DFE,
所以△ABC≌△DEF(ASA),…6分
所以AB=DE.…8分【微点拨】
利用“ASA”判定三角形全等的关键点
1.紧扣全等的条件,找出相对应的量.
2.从实际图形出发,弄清对应关系.“ASA”包含“边”和“角”两种元素,是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等,一定要注意元素的对应关系.运用其判定三角形全等时,注意边一定是两角所夹的边.知识点二 利用“AAS”判定三角形全等
【示范题2】如图,已知AB⊥AC,AB=AC,DE过点A,且CD⊥DE,BE⊥DE,垂足分别为点D,E.试说明:BE=AD.【思路点拨】由AB与AC垂直,CD与DE垂直,BE与DE垂直,利用同角的余角相等得出∠DCA=∠EAB,进而得出一对角相等,一对直角相等,以及AB=AC,利用AAS即可得证.【自主解答】因为AB⊥AC,CD⊥DE,BE⊥DE,
所以∠BAC=∠D=∠E=90°,
所以∠CAD+∠BAE=90°,∠DCA+∠CAD=90°,
所以∠DCA=∠EAB.
在△ADC和△BEA中,因为∠D=∠E=90°,
∠DCA=∠EAB,
AC=BA,
所以△ADC≌△BEA(AAS).
所以BE=AD.【备选例题】如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,
BE⊥CE,垂足分别为D,E.
试说明:DE=AD-BE.【解析】因为AD⊥CE,BE⊥CE,
所以∠ADC=∠E=90°,
因为∠ACB=90°,所以∠BCE+∠ACD=90°,
因为∠B+∠BCE=90°,
所以∠B=∠ACD,在△BEC和△CDA中,因为∠ADC=∠E,∠ACD=∠B,AC=BC,
所以△ACD≌△CBE(AAS).
所以BE=CD,EC=AD,
因为DE=CE-CD,所以DE=AD-BE.【微点拨】
说明三角形全等的三类条件
1.直接条件:即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角.
2.隐含条件:即已知没有给出,但通过读图很容易得到的条件,如公共边、公共角、对顶角等.3.间接条件:即已知中所给条件不是三角形的边和角,需要进一步推理.【纠错园】
如图,∠ACB=∠ADB=90°,∠ABC=∠ABD,试说明AB是∠CAD的平分线.
【错因】全等三角形的判定方法写错,是AAS而不是ASA.课件21张PPT。3 探索三角形全等的条件
第3课时【基础梳理】
1.已知一个三角形的两边及一角,有几种可能的情况?
答:________________________________________.
2.已知三角形的两边长及夹角的度数,所画的三角形
_____全等;而已知三角形的两边及其中一边的对角,所
画的三角形_______全等.两种,即两边及夹角和两边及其中一边的对角一定不一定【总结】_____________分别相等的两个三角形全等,
简写成:“边角边”或“____”.两边及其夹角SAS【自我诊断】
1.(1)两边及其一边的对角分别相等的两个三角形不
全等. ( )
(2)两边及其一角分别相等的两个三角形全等. ( )××2.如图,AE=BF,AD∥BC,AD=BC,则有△ADF≌ ______,依
据是____,则___=CE.△BCESASDF3.如图,AC,BD,EF相交于点O,若OA=OC,OB=OD,OE=OF,
则图中共有全等三角形______对. 3 知识点一 利用“SAS”判定三角形全等
【示范题1】(8分)(2017·聊城中考)如图,AB∥DE,BE=CF,AB=DE.
求证:AC∥DF.【规范答题】因为AB∥DE,
所以∠ABC=∠DEF,…2分
又因为BE=CF,
所以BE+EC=FC+EC,
即:BC=EF.…4分在△ABC与△DEF中,
BC=EF,∠ABC=∠DEF,AB=DE,
所以△ABC≌△DEF(SAS),…6分
所以∠ACB=∠DFE,
所以AC∥DF.…8分【备选例题】如图,已知AB∥CD
且AB=CD,试说明
(1)AD=CB.
(2)AD∥CB.【解析】(1)因为AB∥CD,
所以∠BAC=∠DCA,
在△ABC和△CDA中,
因为AB=CD,∠BAC=∠DCA,AC=CA,
所以△ABC≌△CDA(SAS),
所以AD=CB.(2)因为△ABC≌△CDA,
所以∠DAC=∠BCA,
所以AD∥CB.【微点拨】
利用“SAS”判定三角形全等的基本思路
1.分析条件,观察已经具备了什么条件.
2.然后以已具备的条件为基础根据“SAS”的判定方法,来确定还需要说明哪些边或角对应相等,再设法说明这些边和角相等.知识点二 三角形全等判定方法的综合应用
【示范题2】如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,AB=AC,BD=CE,BE与CD交于点O.
求证:△BCE≌△CBD.【思路点拨】结合已知条件和图形可以推知AE=AD,再加上条件“AB=AC”“公共角∠A”,利用全等三角形的判定方法SAS证得△ABE≌△ACD,可得DC=BE,再利用全等三角形的判定SSS证得△BCE≌△CBD.【自主解答】因为AB=AC,BD=CE,
所以AB-BD=AC-CE,即AD=AE.
在△ABE与△ACD中,
AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,
所以△ABE≌△ACD(SAS),所以DC=BE,
在△DBC与△ECB中,DB=EC,DC=EB,
BC=CB,
所以△BCE≌△CBD(SSS).【微点拨】
由已知说明两个三角形全等的一般思路【纠错园】
如图,AC,BD相交于点E,∠D=∠C,AD=BC,
试说明:△ABD≌△BAC.
【错因】根据条件不能直接利用SAS判定△ABD和△BAC全等,两边及其一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
