11.2 简谐运动的描述+学案 Word版含答案

第2节简谐运动的描述
1.振幅A表示振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量。
2．振子完成一次全振动的时间总是相等的，一次全振动中通过的总路程为4A。
3．相位是描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
4．简谐运动的表达式为：x＝Asin(ωt＋φ)。位移随时间变化的关系满足x＝Asin(ωt＋φ)的运动是简谐运动。
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示。
(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。
2．全振动
类似于O→B→O→C→O的一个完整振动过程。
3．周期(T)和频率(f)
周期
频率
定义
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期
单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率
单位
秒(s)
赫兹(Hz)
物理含义
表示物体振动快慢的物理量
关系式
T＝
4.相位
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)
1．x表示振动物体相对于平衡位置的位移。
2．A表示简谐运动的振幅。
3．ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。
4．ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做初相。
1．自主思考——判一判
(1)振幅就是指振子的位移。(×)
(2)振幅就是指振子的路程。(×)
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。(×)
(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。(√)
(5)简谐运动表达式x＝Asin(ωt＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。(√)
2．合作探究——议一议
(1)两个简谐运动有相位差Δφ，说明了什么？甲、乙两个简谐运动的相位差为π，意味着什么？
提示：两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同。甲、乙两个简谐运动的相位差为π，意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后个周期或次全振动。
(2)简谐运动的表达式一般表示为x＝Asin(ωt＋φ)，那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？
提示：简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。
描述简谐运动的物理量及其关系的理解
1．对全振动的理解
(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。
(2)全振动的四个特征：
①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征：历时一个周期。
③路程特征：振幅的4倍。
④相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系
(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。振幅越大，振动系统的能量越大。
(2)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。
(3)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。
(4)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
[典例]　如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动。BC相距20 cm，某时刻振子处于B点。经过0.5 s，振子首次到达C点。求：
(1)振子振动的周期和频率；
(2)振子在5 s内通过的路程及位移大小；
(3)振子在B点的加速度的大小与它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值。
[解析]　(1)设振幅为A，由题意BC＝2A＝20 cm，所以A＝10 cm。振子从B到C所用时间t＝0.5 s，为周期T的一半，所以T＝1.0 s；f＝＝1.0 Hz。
(2)振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t′＝5 s＝5T内通过的路程s＝×4A＝200 cm。5 s内振子振动了5个周期，5 s末振子仍处在B点，所以它的位移大小为0。
(3)振子加速度a＝－x，a∝x。所以aB∶aP＝xB∶xP＝10∶4＝5∶2。
[答案]　(1)1.0 s　1.0 Hz　(2)200 cm　0　(3)5∶2
振动物体路程的计算方法
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A。
②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。
③振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于振幅。
(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。　
　　　
1．如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间为1 s，则下列说法正确的是(　　)
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析：选D　振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm，A、B错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动振子通过的路程为40 cm，C错误；3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm，D正确。
2．A、B两个完全一样的弹簧振子，把A振子移到A的平衡位置右边10 cm，把B振子移到B的平衡位置右边 5 cm，然后同时放手，那么(　　)
A．A、B运动的方向总是相同的
B．A、B运动的方向总是相反的
C．A、B运动的方向有时相同、有时相反
D．无法判断A、B运动的方向的关系
解析：选A　由题可知，两个振子同时开始做简谐运动，振幅分别为10 cm和5 cm，由于是完全相同的弹簧振子，它们振动的周期相同，所以A、B运动的方向总是相同的，故选项A正确，选项B、C、D错误。
3．一个质点做简谐运动，振幅是4 cm，频率为2.5 Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5 s，质点的位移和路程分别是(　　)
A．4 cm、24 cm　　　　　　 　B．－4 cm、100 cm
C．0、100 cm D．4 cm、100 cm
解析：选D　由f＝得T＝＝0.4 s，Δt＝2.5 s＝6T。每个周期质点通过的路程为4×4 cm＝16 cm，故质点的总路程s＝6×16 cm＝100 cm，质点0时刻从平衡位置向正向位移运动，经过周期运动到正向最大位移处，即位移x＝4 cm，故D项正确。
对简谐运动表达式的理解
做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式：
x＝Asin(ωt＋φ)
(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移。
(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。
(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝＝2πf。
可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。
(4)ωt＋φ：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
(5)φ：表示t＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。
(6)相位差：即某一时刻的相位之差。两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1。
[典例]　[多选]某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x＝Asin ωt，振动图像如图所示，则(　　)
A．弹簧在第1 s末与第5 s末的长度相同
B．简谐运动的频率为 Hz
C．第3 s末，弹簧振子的位移大小为A
D．第3 s末与第5 s末弹簧振子的速度方向相同
E．第5 s末，振子的加速度与速度方向相同
[解析]　在水平方向上做简谐运动的弹簧振子，其位移x的正、负表示弹簧被拉伸或压缩，所以弹簧在第1 s末与第5 s末时，虽然位移大小相同，但方向不同，弹簧长度不同，选项A错误；由图像可知，T＝8 s，故频率f＝ Hz，选项B正确；ω＝＝ rad/s，则将t＝3 s代入x＝Asint，可得弹簧振子的位移大小x＝A，选项C正确；第3 s末至第5 s末弹簧振子沿同一方向经过关于平衡位置对称的两点，故速度方向相同，选项D正确；第5 s末加速度与速度反向，E错误。
[答案]　BCD
用简谐运动表达式解答振动问题的方法
应用简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)解答简谐运动问题时，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝＝2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题。　　　　
1．[多选]某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3sincm，则(　　)
A．质点的振幅为3 cm
B．质点振动的周期为3 s
C．质点振动的周期为 s
D．t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
解析：选ABD　由x＝3sincm可知，A＝3 cm，ω＝，T＝＝3 s，A、B正确，C错误；将t＝0.75 s代入表达式中可得x＝0，故t＝0.75 s时，质点回到平衡位置，D正确。
2．有一弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　)
A．x＝8×10－3sinm
B．x＝8×10－3sinm
C．x＝8×10－1sinm
D．x＝8×10－1sinm
解析：选A　由题意知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，ω＝＝4π，t＝0时，弹簧振子具有负方向的最大加速度，即t＝0时，x＝A＝8×10－3 m，故A选项正确。
3．[多选]某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点(　　)
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．第3 s末与第5 s末的位移相同
D．第3 s末与第5 s末的速度相同
解析：选AD　根据x＝Asint可求得该质点振动周期为T＝8 s，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确。
1．[多选]下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是(　　)
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
解析：选BD　振幅是标量，选项A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，选项B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短由系统本身决定，这就是固有周期，所以选项C错误，D正确。
2.
物体做简谐运动，其图像如图所示，在t1和t2两时刻，物体的(　　)
A．相位相同
B．位移相同
C．速度相同
D．加速度相同
解析：选C　由图可知物体做简谐运动的振动方程为x＝Asin ωt，其相位为ωt，故t1与t2的相位不同，A错；t1时刻位移大于零，t2时刻位移小于零，B、D错；由振动图像知t1、t2时刻物体所处位置关于平衡位置对称，速率相同，且均向下振动，方向相同，C对。
3．[多选]如图所示为质点的振动图像，下列判断中正确的是(　　)
A．质点振动周期是8 s
B．振幅是±2 cm
C．4 s末质点的速度为负，加速度为零
D．10 s末质点的加速度为正，速度为零
解析：选AC　由图可知，T＝8 s，A＝2 cm，A正确，B错误；4 s末质点在平衡位置，速度沿－x方向，加速度为零，C正确；10 s末同2 s末，质点正处在正向最大位移处，其速度为零，加速度方向为负，D错误。
4．[多选]一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中可能正确的是(包括一定正确的)(　　)
A．Δt＝2T，s＝8A　　　　 　B．Δt＝，s＝2A
C．Δt＝，s＝2A D．Δt＝，s>A
解析：选ABD　因每个全振动所通过的路程为4A，故A、B正确，C错误；又因振幅为振子的最大位移，而s为时的路程，故s有可能大于A，故D正确。
5．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)
A．1∶1　1∶1 B．1∶1　1∶2
C．1∶4　1∶4 D．1∶2　1∶2
解析：选B　弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1。振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关。
6.[多选]如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是(　　)
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．0.6 s内物块运动的路程是0.3 m
E．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
解析：选ABD　t＝0.6 s时，物块的位移为y＝0.1sin(2.5π×0.6)m＝－0.1 m；则对小球h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，选项C错误，D正确；t＝0.4 s＝，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项E错误。
7．[多选]如图所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是(　　)
A．振动周期为4 s，振幅为8 cm
B．第2 s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值
C．第3 s末振子的速度为正向的最大值
D．从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
E．第2 s末系统势能最大
解析：选ACE　由图像可知：T＝4 s，A＝8 cm，故A正确；第2 s末，振子的加速度正向最大，B错误；第3 s末，振子正向通过平衡位置速度为正向的最大值，C正确；从第1 s末到第2 s末，振子沿负向减速，D错误；第2 s末振子速度为零，动能最小，势能最大，故E正确。
8.有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度。
(1)求振子的振幅和周期；
(2)在图中作出该振子的位移—时间图像；
(3)写出振子的振动方程。
解析：(1)振幅A＝10 cm，T＝ s＝0.2 s。
(2)四分之一周期时具有正的最大加速度，故有负向最大位移，如图所示。
(3)设振动方程为y＝Asin(ωt＋φ)，当t＝0时，y＝0，则sin φ＝0，得φ＝0或φ＝π，当再过较短时间，y为负值，所以φ＝π，所以振动方程为y＝10sin(10πt＋π)cm。
答案：(1)10 cm　0.2 s　(2)图见解析
(3)y＝10sin(10πt＋π)cm