【华师大版八年级下册进阶培优训练】第六讲 反比例函数的图象与性质培优辅导（含答案）
文档属性
| 名称 | 【华师大版八年级下册进阶培优训练】第六讲 反比例函数的图象与性质培优辅导（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-11 21:22:19 | ||
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文档简介
第六讲 反比例函数的图象与性质培优辅导
知识点一、反比例函数的概念：
一般地，形如_______________ ( k是常数, _______ ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）___________ ， （B）___________ （C）__________
（3）求解析式的方法：___________
反比例函数的概念
例1、下列函数①②③④⑤⑥、⑦
⑧⑨其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。
已知函数(k为常数)，若它是反比例函数，则k的值是____，解析式为______；若它是正比例函数且函数图像y随x增大而减小，则k的值是_____．
【变式题组】
1已知函数，若它是反比例函数且函数图像在每一个象限内y随x增大而减小，则a的值是____；
例3求反比例函数的解析式及相关函数的表达式
1、反比例函数的图象经过（—2，5）和（2， ），
求（1）的值；（2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由。
2、 已知，与x成正比例，与x成反比例，当时，；当时，，求时，y的值．
【变式题组】
1、如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
2、已知y是x的反比例函数，x是z的正比例函数，那么y是z的______函数．
知识要点二、反比例函数的图象和性质：
反比例函数
的符号
图象
性质
①的取值范围是， 的取值范围是． ②当时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，随的增大而减小．
①的取值范围是， 的取值范围是． ②当时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，随的增大而增大．
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
例4：1、若反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是( )．
(A)k＜0 (B)k＞0 (C)k≤0 (D)k≥0
2、若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)都在反比例函数的图象上，则( )．
(A)y1＜y2＜y3 (B)y2＜y1＜y3 (C)y3＜y2＜y1 (D)y1＜y3＜y2
3、已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )．
(A)y1＜0＜y2 (B)y2＜0＜y1 (C)y1＜y2＜0 (D)y2＜y1＜0
例5：已知函数中，x＞0时，y随x增大而增大，则y＝kx－k的大致图象为（ ）
【变式题组】
1、已知反比例函数（a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随着x值增大而减小，则一次函数y＝－ax＋a的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）
3、若ab＜0,则正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标第中的大致图象可能是（ ）
知识要点三、反比例函数与三角形面积结合题型。
反比例函数的几何意义：在反比例函数中，k的几何意义为：点 B(x,y) 是双曲线上任意一点, 则矩形OABC的面积是BC *BA = ︳x︱︳y︱= ︳xy︱=︳k︱
S△OAB=OA* AB=︳x︱︳y︱ =︳xy︱=︳k︱即：，或.
例6：1、如上图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是______．
2、如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则( )．
A. S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 B．D.＞4
【变式题组】
1、如图所示正比例函数）与反比例函数的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC．若的面积为S，则：（ ）
A． B． C． D．S的值不确定
2、如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、B、C向x、y轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是、、，则、、的大小关系是 （ ）
A.＝＞ B.＜＜ C.＞＞ D.＝＝
【典型例题】
如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点，
⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
⑵并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?
⑶求不等式kx＋b＜0的解集（直接写出答案）
(4)求△AOB的面积.
(5)在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由.
【变式题组】
如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，⑴求这两个函数的解析式；
⑵求A、C两点的坐标；
⑶若P是y轴上一动点，，求点P的坐标.
培优升级·检测
1、已知反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），且，则的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示. 当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（ ）.
A．不大于；B．不小于 C．不大于；D．不小于 3、反比例函数的图像上有三点，，，，， 。若则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4、一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）
5、反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是_____.
6、两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是_____（填序号）
7、如图，A是反比例函数（x＞0）上一点，AB⊥x轴，C是OB的中点，一次函数y2＝ax＋b的图象经过点A、C两点，并交y轴为D（0，－2），＝4.
⑴求两函数的解析式；
⑵在y轴右侧，若y1＞y2时，求x的取值范围.
8、如图，已知A（－6，n），B（3，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数 图象的两个交点，直线AB与x轴和y轴的交点分别为C、D．
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵求不等式>0的解集（请直接写出答案）；
⑶求证：AC＝BD；
⑷若y轴上有一动点P，使得△PAB的面积为18，求P点的坐标.
(5)在y轴上是否存在点P，使△BOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；
若不存在，说明理由.
第六讲 反比例函数的图象与性质培优辅导答案
知识点一、反比例函数的概念：
一般地，形如___________ ( k是常数, _k≠0_ ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）y = （k ≠ 0） ， （B）xy = k（k ≠ 0） （C）y=kx-1（k≠0）
（3）求解析式的方法：_待定系数法__________
反比例函数的概念
例1、下列函数①②③④⑤⑥、⑦
⑧⑨其中是y关于x的反比例函数的有：__②_③_ ⑧__⑨___________。
例2、已知函数(k为常数)，若它是反比例函数，则k的值是__-1____，解析式为______；若它是正比例函数且函数图像y随x增大而减小，则k的值是________．
【变式题组】
1、已知函数，若它是反比例函数且函数图像在每一个象限内y随x增大而减小，则a的值是___2_____；
例3求反比例函数的解析式及相关函数的表达式
1、反比例函数的图象经过（—2，5）和（2， ），
求（1）的值；（2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由。
解：（1）k=-10，n=-5
（2）点B（，）不在这个函数图象上，因为
2、 已知，与x成正比例，与x成反比例，当时，；当时，，求时，y的值．
分析 先求出y与x之间的关系式，再求时，y的值．
解 因为与x成正比例，与x成反比例，
所以．
所以．
将，；，代入，得
解得
所以．
所以当时，．
【变式题组】
1、如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ B ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
2、已知y是x的反比例函数，x是z的正比例函数，那么y是z的__反____函数．
知识要点二、反比例函数的图象和性质：
反比例函数
的符号
图象
性质
①的取值范围是， 的取值范围是． ②当时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，随的增大而减小．
①的取值范围是， 的取值范围是． ②当时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，随的增大而增大．
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
例4：1、若反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是( A )．
(A)k＜0 (B)k＞0 (C)k≤0 (D)k≥0
2、若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)都在反比例函数的图象上，则( D )．
(A)y1＜y2＜y3 (B)y2＜y1＜y3 (C)y3＜y2＜y1 (D)y1＜y3＜y2
3、已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( A )．
(A)y1＜0＜y2 (B)y2＜0＜y1 (C)y1＜y2＜0 (D)y2＜y1＜0
例5：已知函数中，x＞0时，y随x增大而增大，则y＝kx－k的大致图象为（ A ）
【变式题组】
1、已知反比例函数（a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随着x值增大而减小，则一次函数y＝－ax＋a的图象不经过（ C ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ A ）
3、若ab＜0,则正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标第中的大致图象可能是（ B ）
知识要点三、反比例函数与三角形面积结合题型。
反比例函数的几何意义：在反比例函数中，k的几何意义为：点 B(x,y) 是双曲线上任意一点, 则矩形OABC的面积是BC *BA = ︳x︱︳y︱= ︳xy︱=︳k︱
S△OAB=OA* AB=︳x︱︳y︱ =︳xy︱=︳k︱即：，或.
例6：1、如上图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是______．
2、如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则( B )．
A. S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 B．D.＞4
【变式题组】
1、如图所示正比例函数）与反比例函数的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC．若的面积为S，则：（ A ）
A． B． C． D．S的值不确定
2、如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、B、C向x、y轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是、、，则、、的大小关系是 （ D ）
A.＝＞ B.＜＜ C.＞＞ D.＝＝
【典型例题】
例1、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点， ⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
⑵并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?
⑶求不等式kx＋b＜0的解集（直接写出答案）
(4)求△AOB的面积.
(5)在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；
若不存在，说明理由.
解：（1）∵点A（-2，1）在反比例函数y=的图象上， ∴m=（-2）×1=-2，
∴反比例函数的表达式为y=-，
∵点B（1，n）也在反比例函数y=-的图象上， ∴n=-2，即B（1，-2）， 把点A（-2，1），点B（1，-2）代入一次函数y=kx+b中， 得解得， ∴一次函数的表达式为y=-x-1； （2）x<-2或0（3）x>1或-2（4）∵在y=-x-1中，当y=0时，得x=-1， ∴直线y=-x-1与x轴的交点为C（-1，0）， ∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=。
（5）存在。共四个分别是
【变式题组】
如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，⑴求这两个函数的解析式；
⑵求A、C两点的坐标；
⑶若P是y轴上一动点，，求点P的坐标.
解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴k＜0，∵S△ABO=|k|=1.5， ∴k=-3， ∴双曲线的解析式为：
∴直线y=-x-（k+1）的解析式为：y=-x-（-3+1），即y=-x+2；
（2）∵把一次函数与反比例函数的解析式组成方程组，∴A（-1，3），C（3，-1）； （3）设P（0，a），解之a=4.5或-0.5
∴点P（0，4.5），（0，-0.5）
培优升级·检测
1、已知反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），且，则的值是（ D ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示. 当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（ D ）.
A．不大于；B．不小于 C．不大于；D．不小于 3、反比例函数的图像上有三点，，，，， 。若则下列各式正确的是（ A）
A． B． C． D．
4、一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ A ）
5、反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是_-3____.
6、两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是__①②④ _（填序号）
7、如图，A是反比例函数（x＞0）上一点，AB⊥x轴，C是OB的中点，一次函数y2＝ax＋b的图象经过点A、C两点，并交y轴为D（0，－2），＝4.
⑴求两函数的解析式；
⑵在y轴右侧，若y1＞y2时，求x的取值范围.
解：（1）作AE⊥y轴于E， ∵S△AOD=4，OD=2， ∴OD?AE=4，∴AE=4， ∵AB⊥OB，C为OB的中点， ∴∠DOC=∠ABC=90°，OC=BC，∠OCD=∠BCA， ∴Rt△DOC≌Rt△ABC， ∴AB=OD=2， ∴A（4，2）， 将A（4，2）代入中，得k=8， ∴反比例函数的解析式为：， 将A（4，2）和D（0，-2）代入y2＝ax＋b，∴一次函数的解析式为：y2＝x-2； (2）根据图象只有在y轴的右侧的情况： 此时当y1≥y2时，0＜x≤4． 8、如图，已知A（－6，n），B（3，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数 图象的两个交点，直线AB与x轴和y轴的交点分别为C、D．
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵求不等式>0的解集（请直接写出答案）；
⑶求证：AC＝BD；
⑷若y轴上有一动点P，使得△PAB的面积为18，求P点的坐标.
(5)在y轴上是否存在点P，使△BOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；
若不存在，说明理由.
解：（1）∵点B（3，-4）在反比例函数y=的图象上， ∴m=3）×(-4)=--12，
∴反比例函数的表达式为y=，
∵点A（-6，n）也在反比例函数y=-的图象上， ∴n=2，即A（-6，2），
把点A（-6，2），点B（3，-4）代入一次函数y=kx+b中， ∴一次函数的表达式为y=-x-2； （2）x<-6或0（3）证长度等
（4）存在。共四个分别是
知识点一、反比例函数的概念：
一般地，形如_______________ ( k是常数, _______ ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）___________ ， （B）___________ （C）__________
（3）求解析式的方法：___________
反比例函数的概念
例1、下列函数①②③④⑤⑥、⑦
⑧⑨其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。
已知函数(k为常数)，若它是反比例函数，则k的值是____，解析式为______；若它是正比例函数且函数图像y随x增大而减小，则k的值是_____．
【变式题组】
1已知函数，若它是反比例函数且函数图像在每一个象限内y随x增大而减小，则a的值是____；
例3求反比例函数的解析式及相关函数的表达式
1、反比例函数的图象经过（—2，5）和（2， ），
求（1）的值；（2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由。
2、 已知，与x成正比例，与x成反比例，当时，；当时，，求时，y的值．
【变式题组】
1、如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
2、已知y是x的反比例函数，x是z的正比例函数，那么y是z的______函数．
知识要点二、反比例函数的图象和性质：
反比例函数
的符号
图象
性质
①的取值范围是， 的取值范围是． ②当时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，随的增大而减小．
①的取值范围是， 的取值范围是． ②当时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，随的增大而增大．
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
例4：1、若反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是( )．
(A)k＜0 (B)k＞0 (C)k≤0 (D)k≥0
2、若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)都在反比例函数的图象上，则( )．
(A)y1＜y2＜y3 (B)y2＜y1＜y3 (C)y3＜y2＜y1 (D)y1＜y3＜y2
3、已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )．
(A)y1＜0＜y2 (B)y2＜0＜y1 (C)y1＜y2＜0 (D)y2＜y1＜0
例5：已知函数中，x＞0时，y随x增大而增大，则y＝kx－k的大致图象为（ ）
【变式题组】
1、已知反比例函数（a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随着x值增大而减小，则一次函数y＝－ax＋a的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）
3、若ab＜0,则正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标第中的大致图象可能是（ ）
知识要点三、反比例函数与三角形面积结合题型。
反比例函数的几何意义：在反比例函数中，k的几何意义为：点 B(x,y) 是双曲线上任意一点, 则矩形OABC的面积是BC *BA = ︳x︱︳y︱= ︳xy︱=︳k︱
S△OAB=OA* AB=︳x︱︳y︱ =︳xy︱=︳k︱即：，或.
例6：1、如上图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是______．
2、如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则( )．
A. S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 B．D.＞4
【变式题组】
1、如图所示正比例函数）与反比例函数的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC．若的面积为S，则：（ ）
A． B． C． D．S的值不确定
2、如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、B、C向x、y轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是、、，则、、的大小关系是 （ ）
A.＝＞ B.＜＜ C.＞＞ D.＝＝
【典型例题】
如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点，
⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
⑵并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?
⑶求不等式kx＋b＜0的解集（直接写出答案）
(4)求△AOB的面积.
(5)在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由.
【变式题组】
如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，⑴求这两个函数的解析式；
⑵求A、C两点的坐标；
⑶若P是y轴上一动点，，求点P的坐标.
培优升级·检测
1、已知反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），且，则的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示. 当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（ ）.
A．不大于；B．不小于 C．不大于；D．不小于 3、反比例函数的图像上有三点，，，，， 。若则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4、一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）
5、反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是_____.
6、两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是_____（填序号）
7、如图，A是反比例函数（x＞0）上一点，AB⊥x轴，C是OB的中点，一次函数y2＝ax＋b的图象经过点A、C两点，并交y轴为D（0，－2），＝4.
⑴求两函数的解析式；
⑵在y轴右侧，若y1＞y2时，求x的取值范围.
8、如图，已知A（－6，n），B（3，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数 图象的两个交点，直线AB与x轴和y轴的交点分别为C、D．
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵求不等式>0的解集（请直接写出答案）；
⑶求证：AC＝BD；
⑷若y轴上有一动点P，使得△PAB的面积为18，求P点的坐标.
(5)在y轴上是否存在点P，使△BOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；
若不存在，说明理由.
第六讲 反比例函数的图象与性质培优辅导答案
知识点一、反比例函数的概念：
一般地，形如___________ ( k是常数, _k≠0_ ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）y = （k ≠ 0） ， （B）xy = k（k ≠ 0） （C）y=kx-1（k≠0）
（3）求解析式的方法：_待定系数法__________
反比例函数的概念
例1、下列函数①②③④⑤⑥、⑦
⑧⑨其中是y关于x的反比例函数的有：__②_③_ ⑧__⑨___________。
例2、已知函数(k为常数)，若它是反比例函数，则k的值是__-1____，解析式为______；若它是正比例函数且函数图像y随x增大而减小，则k的值是________．
【变式题组】
1、已知函数，若它是反比例函数且函数图像在每一个象限内y随x增大而减小，则a的值是___2_____；
例3求反比例函数的解析式及相关函数的表达式
1、反比例函数的图象经过（—2，5）和（2， ），
求（1）的值；（2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由。
解：（1）k=-10，n=-5
（2）点B（，）不在这个函数图象上，因为
2、 已知，与x成正比例，与x成反比例，当时，；当时，，求时，y的值．
分析 先求出y与x之间的关系式，再求时，y的值．
解 因为与x成正比例，与x成反比例，
所以．
所以．
将，；，代入，得
解得
所以．
所以当时，．
【变式题组】
1、如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ B ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
2、已知y是x的反比例函数，x是z的正比例函数，那么y是z的__反____函数．
知识要点二、反比例函数的图象和性质：
反比例函数
的符号
图象
性质
①的取值范围是， 的取值范围是． ②当时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，随的增大而减小．
①的取值范围是， 的取值范围是． ②当时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，随的增大而增大．
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
例4：1、若反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是( A )．
(A)k＜0 (B)k＞0 (C)k≤0 (D)k≥0
2、若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)都在反比例函数的图象上，则( D )．
(A)y1＜y2＜y3 (B)y2＜y1＜y3 (C)y3＜y2＜y1 (D)y1＜y3＜y2
3、已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( A )．
(A)y1＜0＜y2 (B)y2＜0＜y1 (C)y1＜y2＜0 (D)y2＜y1＜0
例5：已知函数中，x＞0时，y随x增大而增大，则y＝kx－k的大致图象为（ A ）
【变式题组】
1、已知反比例函数（a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随着x值增大而减小，则一次函数y＝－ax＋a的图象不经过（ C ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ A ）
3、若ab＜0,则正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标第中的大致图象可能是（ B ）
知识要点三、反比例函数与三角形面积结合题型。
反比例函数的几何意义：在反比例函数中，k的几何意义为：点 B(x,y) 是双曲线上任意一点, 则矩形OABC的面积是BC *BA = ︳x︱︳y︱= ︳xy︱=︳k︱
S△OAB=OA* AB=︳x︱︳y︱ =︳xy︱=︳k︱即：，或.
例6：1、如上图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是______．
2、如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则( B )．
A. S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 B．D.＞4
【变式题组】
1、如图所示正比例函数）与反比例函数的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC．若的面积为S，则：（ A ）
A． B． C． D．S的值不确定
2、如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、B、C向x、y轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是、、，则、、的大小关系是 （ D ）
A.＝＞ B.＜＜ C.＞＞ D.＝＝
【典型例题】
例1、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点， ⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
⑵并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?
⑶求不等式kx＋b＜0的解集（直接写出答案）
(4)求△AOB的面积.
(5)在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；
若不存在，说明理由.
解：（1）∵点A（-2，1）在反比例函数y=的图象上， ∴m=（-2）×1=-2，
∴反比例函数的表达式为y=-，
∵点B（1，n）也在反比例函数y=-的图象上， ∴n=-2，即B（1，-2）， 把点A（-2，1），点B（1，-2）代入一次函数y=kx+b中， 得解得， ∴一次函数的表达式为y=-x-1； （2）x<-2或0
（5）存在。共四个分别是
【变式题组】
如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，⑴求这两个函数的解析式；
⑵求A、C两点的坐标；
⑶若P是y轴上一动点，，求点P的坐标.
解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴k＜0，∵S△ABO=|k|=1.5， ∴k=-3， ∴双曲线的解析式为：
∴直线y=-x-（k+1）的解析式为：y=-x-（-3+1），即y=-x+2；
（2）∵把一次函数与反比例函数的解析式组成方程组，∴A（-1，3），C（3，-1）； （3）设P（0，a），解之a=4.5或-0.5
∴点P（0，4.5），（0，-0.5）
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1、已知反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），且，则的值是（ D ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示. 当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（ D ）.
A．不大于；B．不小于 C．不大于；D．不小于 3、反比例函数的图像上有三点，，，，， 。若则下列各式正确的是（ A）
A． B． C． D．
4、一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ A ）
5、反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是_-3____.
6、两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是__①②④ _（填序号）
7、如图，A是反比例函数（x＞0）上一点，AB⊥x轴，C是OB的中点，一次函数y2＝ax＋b的图象经过点A、C两点，并交y轴为D（0，－2），＝4.
⑴求两函数的解析式；
⑵在y轴右侧，若y1＞y2时，求x的取值范围.
解：（1）作AE⊥y轴于E， ∵S△AOD=4，OD=2， ∴OD?AE=4，∴AE=4， ∵AB⊥OB，C为OB的中点， ∴∠DOC=∠ABC=90°，OC=BC，∠OCD=∠BCA， ∴Rt△DOC≌Rt△ABC， ∴AB=OD=2， ∴A（4，2）， 将A（4，2）代入中，得k=8， ∴反比例函数的解析式为：， 将A（4，2）和D（0，-2）代入y2＝ax＋b，∴一次函数的解析式为：y2＝x-2； (2）根据图象只有在y轴的右侧的情况： 此时当y1≥y2时，0＜x≤4． 8、如图，已知A（－6，n），B（3，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数 图象的两个交点，直线AB与x轴和y轴的交点分别为C、D．
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵求不等式>0的解集（请直接写出答案）；
⑶求证：AC＝BD；
⑷若y轴上有一动点P，使得△PAB的面积为18，求P点的坐标.
(5)在y轴上是否存在点P，使△BOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；
若不存在，说明理由.
解：（1）∵点B（3，-4）在反比例函数y=的图象上， ∴m=3）×(-4)=--12，
∴反比例函数的表达式为y=，
∵点A（-6，n）也在反比例函数y=-的图象上， ∴n=2，即A（-6，2），
把点A（-6，2），点B（3，-4）代入一次函数y=kx+b中， ∴一次函数的表达式为y=-x-2； （2）x<-6或0
（4）存在。共四个分别是