11.3 简谐运动的回复力和能量+Word版含答案

第3节简谐运动的回复力和能量
1.如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
2．回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，其方向总是指向平衡位置。
3．在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，振幅越大，机械能就越大。
4．简谐运动中，在平衡位置处动能最大，势能最小，最大位移处动能为0，势能最大。
一、简谐运动的回复力
1．简谐运动
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
2．回复力
使振动物体回到平衡位置的力。
3．回复力的方向
总是指向平衡位置。
4．回复力的表达式
F＝－kx。即回复力与物体的位移大小成正比，“－”号表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由简谐运动系统决定。
二、简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
1．自主思考——判一判
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。(√)
(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。(×)
(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。(×)
(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零。(×)
(5)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(×)
2．合作探究——议一议
(1)简谐运动的回复力F＝－kx中，k一定是弹簧的劲度系数吗？
提示：不一定。k是一个常数，由简谐运动系统决定。对于一个特定的简谐运动系统来说k是不变的，但这个系统不一定是弹簧振子，k也就不一定是劲度系数。
(2)在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？
提示：在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端。动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。
对回复力和加速度的理解
1．回复力的来源
(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。
(2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；还可能是某一力的分力。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。
2．关于k值：公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。
3．加速度的特点：根据牛顿第二定律得a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时，振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
4．回复力的规律：因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
[典例]　[多选]如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是(　　)
A．物体做简谐运动，OC＝OB
B．物体做简谐运动，OC≠OB
C．物体所受合力F＝－kx
D．物体所受合力F＝－3kx
[思路点拨]　通过题图可以得到以下信息：
(1)振动物体在水平方向受两弹簧的弹力，且两弹力的方向相同。
(2)物体做简谐运动时其振动范围关于O点对称。
[解析]　物体的位移为x，则物体所受的合力F＝－k1x－k2x＝－(k2＋k1)x＝－3kx，D正确，C错误；可见物体做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，A正确，B错误。
[答案]　AD
判断一个振动为简谐运动的方法
根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：
(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。
(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断。
(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－x进行判断。　　　　
1.在水平方向上做简谐运动的弹簧振子如图所示，受力情况是(　　)
A．重力、支持力和弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧弹力和回复力
C．重力、支持力和回复力
D．重力、支持力、摩擦力和回复力
解析：选A　回复力是按作用效果命名的力，它由弹力或其他力或几个力的合力或分力等来充当。本题中水平弹簧振子受重力、杆的支持力和弹簧的弹力(振子做简谐运动，杆光滑不受摩擦力)，弹簧的弹力提供回复力。
2．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是(　　)
解析：选C　由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图像应如图C所示。
3.如图所示，竖直轻弹簧两端分别与物块A、B相连，物块A、B所受重力均为mg，物块B放在固定于水平面上的压力传感器上，物块A在初始位置处于平衡状态。现对物块A施以大小为F＝mg的力将其下压一段距离x保持静止，然后撤去力F，当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时(　　)
A．压力传感器的读数是零
B．压力传感器的读数是mg/2
C．压力传感器的读数是2mg
D．压力传感器的读数是mg
解析：选D　设物块A在初始位置时弹簧的压缩量为x0，对A列平衡方程：mg＝kx0①
施加力F后，A的平衡方程为
F＋mg＝k(x＋x0)②
又由于F＝mg③
由①②③得kx＝mg，撤去力F的瞬间，物块A所受的回复力F回＝k(x＋x0)－mg＝kx
当物块A向上运动到初始位置上方距离也是x时，由对称性知F回＝kx，而kx＝mg，可见物块A所受弹簧弹力恰好为零，以物块B为研究对象，受力分析知压力传感器对物块B的支持力为mg，故压力传感器的读数是mg，故选项D正确。
简谐运动中各物理量的变化规律
1．根据水平弹簧振子图，可分析各个物理量的变化关系如下：
振子的运动
A→O
O→A′
A′→O
O→A
位移
方向
向右
向左
向左
向右
大小
减小
增大
减小
增大
回复力
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
加速度
方向
向左
向右
向右
向左
大小
减小
增大
减小
增大
速度
方向
向左
向左
向右
向右
大小
增大
减小
增大
减小
振子的动能
增大
减小
增大
减小
弹簧的势能
减小
增大
减小
增大
系统总能量
不变
不变
不变
不变
2.各个物理量对应关系不同：位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。
[典例]　把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　　)
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加
[思路点拨]
(1)细杆光滑，说明小球在振动过程中受重力、细杆的支持力、弹簧的弹力作用。
(2)小球在简谐运动过程中只有弹簧弹力做功。
[解析]　小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项错误；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O，动能增加，弹性势能减小，总能量不变，D项错误。
[答案]　A
有关简谐运动的两点提醒
(1)最大位移处、平衡位置处物理量的大小：简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置，F＝0，a＝0，x＝0，Ep＝0，而Ek最大。
(2)竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。　
1.在水平方向上做简谐运动的质点其振动图像如图所示，假设向右为正方向，则物体加速度向右且速度也向右的时间是(　　)
A．0～1 s内　　　　　　　
B．1～2 s内
C．2～3 s内
D．3～4 s内
解析：选D　由题图可知：3～4 s内质点正在从负向最大位移向平衡位置振动，结合振动示意图，知该过程为从B→O，速度向右，由于简谐运动回复力总指向平衡位置，故该过程加速度方向也向右。
2．如图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
(1)简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时________能和________能相互转化，总________守恒。
(2)[多选]关于振子在振动过程中，以下说法中正确的是(　　)
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置振动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
解析：(1)简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误。
答案：(1)振幅　动　弹性势　机械能
(2)ABD
简谐运动的三大特征
1．瞬时性
做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由F＝－kx可知回复力不同。由牛顿第二定律得a＝－x，可知加速度a也不相同，也就是说a、F、x具有瞬时对应性。
2．对称性
(1)物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度(回复力)大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。
(2)对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。
3．周期性
简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可做如下判断：
(1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。
(2)若t2－t1＝nT＋，则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。
1．如图甲所示为某个质点做简谐运动的x-t图像，对图乙的下列判断正确的是(　　)
A．图(1)可作为v-t图像　 B．图(2)可作为F-t图像
C．图(3)可作为F-t图像 D．图(4)可作为a-t图像
解析：选C　t＝0时刻，振子在平衡位置，速度最大且沿x轴的正方向，故A错。根据回复力F＝－kx和牛顿第二定律，加速度和回复力总与位移方向相反，且与位移大小成正比，所以C正确。
2.[多选]一个弹簧振子，做简谐运动的周期为T，设t1时刻振子不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，若t2－t1<，如图所示，则(　　)
A．t2时刻振子的加速度一定跟t1时刻大小相等、方向相反
B．在t1～t2的中间时刻，振子处在平衡位置
C．从t1到t2时间内，振子的运动方向不变
D．从t1到t2时间内，振子所受回复力的方向不变
解析：选ABC　由题图可知t1、t2时刻的加速度大小相等、方向相反，A正确；且在t1～t2的中间时刻，振子处于平衡位置，B正确；在t1～t2时间内，振子的运动方向都沿y轴的正方向，故运动方向不变，C正确；从t1到t2时间内，位移方向发生了变，振子所受回复力的方向发生了变化，D错。本题的正确选项为A、B、C。
3．做简谐运动的物体经过A点时，加速度的大小是2 m/s2，方向指向B点；当它经过B点时，加速度的大小是3 m/s2，方向指向A点。若AB之间的距离是10 cm，它的平衡位置离A点________ cm。
解析：由题意可知，A、B分别在平衡位置的两侧，设A点离平衡位置x1 cm，B点离平衡位置x2 cm，
在A点：kx1＝ma1
在B点：kx2＝ma2
两式相除得：
x1/x2＝a1/a2＝2/3
又x1＋x2＝10 cm
得x1＝4 cm，x2＝6 cm。
答案：4
1．[多选]当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是(　　)
A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等
B．振子从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧弹力始终做负功
C．振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒
解析：选CD　振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A错；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，B错；振子运动过程中的回复力由弹簧振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒，故C、D对。
2．如图甲所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，如图乙是弹簧振子做简谐运动时的位移—时间图像，则关于弹簧振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图像中正确的是(　　)
解析：选C　由题图乙可知，x＝Asin ωt，弹簧振子做简谐运动，回复力F＝－kx，由牛顿第二定律可知，a＝＝－sin ωt，可知选项C正确。
3．[多选]关于质点做简谐运动，下列说法中正确的是(　　)
A．在某一时刻，它的速度与回复力的方向相同，与位移的方向相反
B．在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同
C．在某一段时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大
D．在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小
解析：选AD　如图所示，设O为质点做简谐运动的平衡位置，它由C经过O到B，又由B经过O到C的一个周期内，由于质点受到的回复力和位移的方向总是相反的，且质点由B到O和由C到O的过程中，速度的方向与回复力的方向相同，A正确。质点的位移方向与加速度方向总相反，B不正确。质点振动过程中，当回复力增大时，其势能增加，根据机械能守恒定律，其动能必然减小，C不正确。当质点的势能减小时，如从C到O或从B到O阶段，回复力减小，质点的加速度大小也减小，D正确。
4．做简谐运动的弹簧振子质量为0.2 kg，当它运动到平衡位置左侧20 cm时受到的回复力是4 N；当它运动到平衡位置右侧40 cm时，它的加速度为(　　)
A．20 m/s2，向右　　　　　　 　B．20 m/s2，向左
C．40 m/s2，向右 D．40 m/s2，向左
解析：选D　加速度方向指向平衡位置，因此方向向左。由力和位移的大小关系F＝kx可知，当x＝40 cm时，F＝8 N，a＝＝40 m/s2，方向指向平衡位置，故D正确。
5．一平台沿竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上随平台一起运动，当振动平台处于什么位置时，物体对平台的压力最大(　　)
A．当振动平台运动到最高点时
B．当振动平台向下运动过振动中心时
C．当振动平台运动到最低点时
D．当振动平台向上运动过振动中心时
解析：选C　物体随平台在竖直方向振动过程中，仅受两个力作用：重力和台面支持力。由这两个力的合力作为振动的回复力，并产生始终指向平衡位置的加速度。物体在最高点a和最低点b时，所受回复力和加速度的大小相等，方向均指向O点，如图所示。
根据牛顿第二定律得
最高点mg－FNa＝ma；最低点FNb－mg＝ma；
平衡位置FNO－mg＝0；所以FNb>FNO>FNa。
即当振动平台运动到最低点时，平台对物体的支持力最大，根据牛顿第三定律，此时物体对平台的压力最大。
6.[多选]如图是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定(　　)
A．从t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小
B．从t2到t3时间内振幅不断增大
C．t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大
D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
解析：选AC　t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；振幅是离开平衡位置的最大距离，简谐运动的振幅保持不变，从t2到t3，变化的是位移而不是振幅，B错误；t3时刻振子位移为零，处于平衡位置处，速度最大，动能最大，C正确；t1、t4时刻位移相同，即振子处于同一位置，但运动方向相反，速度等大反向，动能相同，D错误。
7．如图所示，光滑的水平面上放有一弹簧振子，轻弹簧右端固定在滑块上，已知滑块质量m＝0.5 kg，弹簧劲度系数k＝240 N/m，将滑块从平衡位置O向左平移，将弹簧压缩5 cm，静止释放后滑块在A、B间滑动，则：
(1)滑块加速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时滑块加速度多大？
(2)滑块速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时滑块速度多大？(假设整个系统具有的最大弹性势能为0.3 J)
解析：(1)由于简谐运动的加速度a＝＝－x，故加速度最大的位置在最大位移处的A或B两点，加速度大小a＝x＝×0.05 m/s2＝24 m/s2。
(2)在平衡位置O滑块的速度最大。
根据机械能守恒，有Epm＝mvm2，故vm＝＝ m/s≈1.1 m/s。
答案：(1)A点或B点　24 m/s2　(2)O点　1.1 m/s
8.如图所示，在竖直悬挂的劲度系数为k的轻弹簧下端挂一个质量为m的小球，有一个竖直向下的力将小球竖直拉向下方，当小球静止时拉力的大小为F，若撤去拉力，小球便在竖直面内做简谐运动，求：
(1)小球在最低点受到弹簧对它的弹力的大小；
(2)小球经过平衡位置时弹簧的伸长量；
(3)小球在振动过程中通过最高点时的加速度的大小和方向。
解析：(1)由于撤去F前小球静止，
故弹簧的弹力FT＝F＋mg。
(2)小球在平衡位置时弹力等于重力，
故弹簧的伸长量为Δx＝。
(3)小球振动过程中在最高点和最低点的加速度大小相等，方向相反，而在最低点，其合外力为F，故在最高点时，加速度a＝，加速度方向竖直向下。
答案：(1)F＋mg　(2)　(3)　竖直向下