第18章 平行四边形单元检测试卷
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华师大八年级下第18章 平行四边形单元检测试卷
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题，每题3分，共36分）
1．在□ABCD中，下列结论一定正确的是（ ）．
A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180° C．AB=AD D．∠A≠∠C
2．有一张平行四边形纸片ABCD，已知，按如图所示的方法折叠两次，则的度数等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
3．如图，平行四边形的两条对角线将平行四边形的面积分成四部分，分别记作S1，S2，S3，S4，下列关系式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角相等
5．四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180
6．如图，在?ABCD中，过对角线BD上点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有（ ）对面积相等平行四边形．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，?ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到?AB′C′D′，若点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C=（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
8．如图，在?ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD交 BC 边于点 E．则线段 CE 的长度为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
9．下面给出四边形ABCD中的∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（? ）.
A．3:4:4:3 B．4:3:4:3 C．4:3:2:1 D．2:2:3:3
10．下列说法错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
11．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且，过点O作交BC于点E，若的周长为10，则?ABCD的周长为
A．14 B．16 C．20 D．18
12．如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
13．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AD＝AC＝2，则BD的长为_____．
15．如图，在?ABCD中，AD＞CD，按下列步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交点分别为点F，G；②过点F，G作直线FG，交AD于点E．如果△CDE的周长为8，那么?ABCD的周长是_____．
16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是______．（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．
17．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点的平行四边形有______个．
18．已知，在一个三角形中，如果两条边相等，那么这两条边所对的角相等．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB＝2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E，∠DCM＝∠AEM．若∠A是锐角，且∠CEM＝53°，则∠EMC＝_____
三、解答题（8小题，共66分）
19．如图，在□ABCD的边DC上截取DE=AD，延长AD至F，使得AF=AB，连接EB，求证：EF=EB.
20．如图，点E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE,DF//BE.求证：四边形ABCD是平行四边形.
21．已知如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE。
求证：BC=2CD
22．在平行四边形ABCD中，∠C和∠D的平分线交于M，DM的延长线交AD于E，试猜想:
（1）CM与DE的位置关系？
（2）M在DE的什么位置上？并证明你的猜想.
23．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，BE＝DF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）CE∥AF．
24．如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求证：BF=FD；
（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数．
25．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF、CE．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．
26．如图，在△ABC中，CA＝CB，AB＝10，0°＜∠C＜60°，AF⊥BC于点F，在FC上截取FD＝FB，点E是AC上一点，连接DA、DE，且∠ADE＝∠B.
（1）求证：ED＝EC；
（2）若∠C＝30°，求BD长；
（3）在（2）的条件下，将图中△DEC绕点D逆时针旋转得到△DE′C′，请问在旋转的过程中，以点C、E、C′、E′为顶点的四边形可以构成平行四边形吗？若可以，请求出该平行四边形的面积，若不可以，请说明理由.
参考答案
1．【考点】平行四边形的性质
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B=180°．
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B=180°． 故选：B．
【点睛】考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
2．【考点】平行四边形的性质
【分析】如图，由折叠可得∠CED=90°=∠BCE，即可得到∠DCE=15°，由折叠可得∠DCF=2×15°=30°，即可得到∠BCF=60°．
解：如图，
解：由折叠可得，∠CED=90°=∠BCE， 又∵∠D=∠B=75°， ∴∠DCE=15°， 由折叠可得，∠DCF=2×15°=30°， ∴∠BCF=60°． 故选：A．
【点睛】本题考查折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3．【考点】平行四边形的性质，三角形的面积
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴S1=S2=S3=S4，
故选B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
4．【考点】平行四边形的性质
【分析】平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边平行且相等；②角：平行四边形的对角相等；③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
解：A、平行四边形对角线互相平分但不一定垂直，故此选项正确；
B、平行四边形对边平行且相等，故该选项错误；
C、平行四边形对角线互相平分，故该选项错误；
D、平行四边形对角相等，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握是解题的关键．
5．【考点】平行四边形的判定
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
解：根据平行四边形的判定，A、C、D均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
6．【考点】平行四边形的性质
【分析】平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积．三角形BFP的面积等于BGP的面积，三角形PED的面积等于三角形HPD的面积，从而可得到四边形PFCH的面积等于四边形AGPE的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个．
解：∵ABCD为平行四边形，BD为对角线，∴△ABD的面积等于△BCD的面积，同理△BFP的面积等于△BGP的面积，△PED的面积等于△HPD的面积．
∵△BCD的面积减去△BFP的面积和PHD的面积等于平行四边形PFCH的面积，△ABD的面积减去△GBD和△EPD的面积等于平行四边形AGPE的面积，∴平行四边形PFCH的面积=平行四边形AGPE的面积，∴同时加上平行四边形PHDE和BFPG，可以得出平行四边形AGHD面积和平行四边形EFCD面积相等，平行四边形ABFE和平行四边形BCHG面积相等．
所以有3对面积相等的平行四边形．
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．并且平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成面积相等的两个图形．
7．【考点】旋转的性质，平行四边形的性质
【分析】先根据旋转的性质得到AB=AB'，∠BAB'=30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠B=∠AB'B=75°，然后根据平行四边形的性质得AB∥CD，再根据平行线的性质计算得∠C=180°﹣∠B=105°．
解：∵?ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到?AB'C'D''，∴AB=AB'，∠BAB'=30°，∴∠B=∠AB'B×（180°﹣30°）=75°．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠C=180°﹣75°=105°．
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的性质．
8．【考点】角平分线、平行四边形的性质，等腰三角形的判定
【分析】先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而求出EC的长．
解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．
9．【考点】平行四边形的判定
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．
解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知D正确．
故选B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
10．【考点】平行四边形的判定
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
解：由平行四边形的判定方法可知：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A、B、D说法正确，
当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故C是说法错误的，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
11．【考点】平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质
【分析】由平行四边形的性质得出，，，再根据线段垂直平分线的性质得出，由的周长得出，即可求出平行四边形ABCD的周长．
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为10，
，
平行四边形ABCD的周长；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
12．【考点】行四边形的性质
【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明?AFDE的周长等于AB+AC．
解：∵DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE是平行四边形，∠B=∠EDC，∠FDB=∠C
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDF
∴BF=FD，DE=EC，
所以：?AFDE的周长等于AB+AC=10．
故选B．
【点睛】根据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题．
13．【考点】平行四边形的判定
【分析】根据OB＝OD，当OA＝OC时，四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．
解：由题意得：当OA＝7时，OC＝14﹣7＝7＝OA，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：7．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，难度一般．
14．【考点】平行四边形的性质，勾股定理
【分析】设AC与BD的交点为O，根据平行四边形的性质，可得AO＝CO＝1，BO＝DO，根据勾股定理可得BO＝，即可求BD的长．
解：设AC与BD的交点为O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝2，AD∥BC
AO＝CO＝1，BO＝DO
∵AC⊥BC
∴BO＝＝
∴BD＝2.
故答案为2.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，关键是灵活运用平行四边形的性质解决问题．
15．【考点】垂线的作法和性质，平行四边形的性质
【分析】由中垂线的作法可知AE=CE，然后由△ CDE的周长为8，可知CD+AD，继而可求出平行四边形的周长.
解：由图知，EF是线段AC的中垂线，
∴AE＝CE，
∵△CDE的周长为8，
∴CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝8，
则?ABCD的周长是2×8＝16.
【点睛】中垂线的作法和性质以及平行四边形周长公式是本题的考点，利用中垂线的性质求得AD+CD的长是解题的关键.
16．【考点】平行四边形的判定
【分析】本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
解：可添加的条件有：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等，答案不唯一；
以AB=CD为例进行说明；
证明：∵AB∥CD， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．（一组对边分别平行而且相等的四边形是平行四边形）
以∠A=∠C为例进行说明； 证明：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C=180°； ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠B=180°； ∴AD∥BC； ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 故答案为：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等（不唯一）
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答此类题的关键
17．【考点】平行四边形的判定，三角形中位线定理
【分析】由于D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，易知DE、DF、EF都是△ABC的中位线，那么DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形EDFC是平行四边形；四边形EBDF是平行四边形；四边形ADEF是平行四边形．
解：∵D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形，四边形ADEF是平行四边形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容．
18．【考点】平行四边形的性质，三角形的外角定理
【分析】设∠DCM＝∠AEM=x，由 AB＝2BC，M是AB的中点，得MB=CB，又AB∥CD，故∠DCM=∠CMB=∠MCB=x，由平行四边形的性质得∠A=∠DCB=2x，又CE⊥AD，得出x=90°-∠CEM=27°,再利用外角定理得∠EMC=∠EMB-∠CMB=∠AEM+∠A-∠CMB=27°+2×27°-27°=54°.
解：设∠DCM＝∠AEM=x，
∵ AB＝2BC，M是AB的中点，
∴MB=CB，
又AB∥CD，故∠DCM=∠CMB=∠MCB=x，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠DCB=2x，
又CE⊥AD，得出x=90°-∠CEM=27°,
∴∠EMC=∠EMB-∠CMB=∠AEM+∠A-∠CMB=27°+2×27°-27°=54°.
【点睛】此题主要考查平行四边形的性质及三角形的外角定理，解题的关键是熟知平行线的性质及三角形外角定理.
19．【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的对边相等及线段间的和差关系，可证明DF=CE，DE=AD=BC，再由AD∥BC，得出∠FDE=∠ECB，利用SAS即可证明△FDE≌△ECB，从而得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∴∠FDC=∠ECB，
∵DE=AD，
∴DE=BC，
∵AF=AB，DE=AD，AB=DC，
∴AF-AD=AB-AD=DC-DE，即DF=CE，
在△FDE和△ECB中，，
∴△FDE≌△ECB，
∴EF=EB．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握：平行四边形的对边平行且相等．
20．【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【分析】利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
证明：∵DF∥BE， ∴∠DFE=∠BEF． 又∵AF=CE，DF=BE， ∴△AFD≌△CEB（SAS）． ∴∠DAC=∠BCA，AD=BC， ∴AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
21．【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质
【分析】延长CE交BA的延长线于F,先证明BF=BC,EF=EC,再证明CD=AF=AB,由,得出,即可得出结论.
解：延长CE交BA的延长线于F,
∵BE平分∠ABC
∴∠FBE=∠CBE
∵CE⊥BE
∴∠BEF=∠BEC=90°,
∵BE=BE
∴△BEF≌△BEC
∴BF=BC,FE=EC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,BF∥CD
∵∠4=∠2, ∠FAE=∠D
∴△AEF≌△DEC
∴AF=CD
∵AB=CD
∴BF=BA+AF=BA+CD=CD+CD=2CD
又∵BF=BC
∴BC=2CD
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质;证明三角形是等腰三角形是解题关键.
22．【考点】平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质
【分析】（1）CM⊥DE，由平行四边形ABCD得AD∥BC，∠ADC+∠BCD=180°，结合角平分线可得∠MDC+∠MCD=90°，即可得结论；
（2）由平行线的性质得∠ADE=∠CEM，结合角平分线可得∠CDE=∠CED，可证出△ECD是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得CM是中线，则M为ED的中点.
解：(1) CM⊥DE
∵ AD∥BC
∴∠ADC+∠BCD=180°
∵DE,CM分别平分∠ADC, ∠BCD
∴∠MDC+∠MCD=90°
∴CM⊥DE
(2)M为ED的中点
∵AD∥BC
∴∠ADE=∠CEM
∵∠ADE=∠CDE
∴∠CDE=∠CED
∴CD=CE
∵CM⊥DE，
∴EM=MD，即M为ED的中点.
故答案为：(1) CM⊥DE；（2）M为ED的中点，见解析.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质．
23．【考点】平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，由平行线的性质得到∠ADF=∠CBE，利用SAS证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AFD=∠CEB，根据等角的补角相等得到∠AFB=∠CED，根据平行线的判定定理证明CE∥AF．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CBE．
在△ADF和△CBE中，∵AD=BC，∠ADF=∠CBE，BE=DF，
∴△ADF≌△CBE；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠CEB，
∴∠AFB=∠CED，
∴CE∥AF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．【考点】平行四边形的判定
【分析】（1）欲证BF=FD，可证BF=EF，FD=EF．欲证BF=EF，在△BEF中，可证∠BEF=∠EBF，由于CE为直角△ABE斜边AB的中线，所以CB=CE，根据等边对等角，得出∠CEB=∠CBE，又∠CEF=∠CBF=90°，由等角的余角相等得出∠BEF=∠EBF；欲证FD=EF，在△FED中，可证∠FED=∠EDF，由于∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，而∠BEF=∠EBF，故∠FED=∠EDF． （2）假设点D在运动过程中能使四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC=EF，由（1）知AC=CB=AB，EF=BF=BD，则BC=EF=BF，即BA=BD，∠A=45°．
解：（1）在Rt△AEB中，∵AC=BC， ∴CE＝AB， ∴CB=CE， ∴∠CEB=∠CBE． ∵∠CEF=∠CBF=90°， ∴∠BEF=∠EBF， ∴EF=BF． ∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°， ∴∠FED=∠EDF， ∵EF=FD． ∴BF=FD． （2）能．理由如下： 若四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC=EF， ∴BC=BF， ∴BA=BD，∠A=45°． ∴当∠A=45°时四边形ACFE为平行四边形．
【点睛】考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
25．【考点】平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB＝CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，然后利用AAS证得△AEB≌△CFD，即可得AE＝CF，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形．
（2）根据直角三角形中30°的角所对的直角边为斜边的一半，求出AE和BE的长，再根据勾股定理求出DE的长，从而求出DF和EF的长，根据S平行四边形AECF＝底高计算即可；
解：(1)连接AF、EC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△AEB和△CFD中，
,
∴△AEB≌△CFD(AAS)，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)在Rt△ABE中，∵AB＝6，∠ABD＝30°，
∴AE＝AB＝3，BE＝AE＝3，
在Rt△ADE中，AD＝2，
DE＝
∵△AEB≌△CFD，
∴BE＝DF＝3，
∴EF＝DE-DF=2，
∴S平行四边形AECF＝ ＝6．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度一般，证得△AEB≌△CFD，得到AE∥CF且AE＝CF是解此题的关键．
26．【考点】平行四边形的判定与性质，勾股定理
【分析】（1）先判断出∠C=180°-2∠ABC，∠CDE=180°-2∠ABC，进而求出∠C=∠CDE，即可得出结论；（2）先求出角BAD=30°，进而求出BG，AG，即可得出DG，最后用勾股定理即可得出结论；（3）先判断出旋转到C落在CB的延长线上，以点C,E,C’,E’为顶点的四边形是平行四边形，再求出DH，DE即可得出结论.
解：（1）∵AC=BC,
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2∠ABC，
∵AF⊥BC，BF=DF,
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠ABC，
∴∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB=180°-2∠ABC
∴∠CDE=∠C，
∴ED=CE；
（2）∵∠C=30°，
∴∠ABC=∠ADB=∠BAC=∠ADE=75°，
∴∠BAD=30°，
过点B作BG⊥AD于G，如图1，
在Rt△ABG中，AB=10，∠BAD=30°，
∴BG=5，AG=5
∴DG=AD-AG=10-5=5(2-)
在Rt△BDG中，BD=
（3）存在，理由：
如图2，当点C’落在CB延长线上，点E’落在ED的延长线上，
由旋转知DE=DE’,DC=DC’
∴四边形CEC’E’是平行四边形，
过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△ADH中，AD=10，∠DAH=∠BAC-∠BAD=45°，
∴DH=5
在Rt△DEH中，∠AED=∠ACB+∠CDE=60°，
∴∠EDH=30°，
∴DE=
∴CE=
∴S平行四边形CEC’E’=4S△CDE=
【点睛】此题主要考查四边形综合题，解题的关键是熟知平行四边形的判定与性质及勾股定理的应用.
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题，每题3分，共36分）
1．在□ABCD中，下列结论一定正确的是（ ）．
A．AC⊥BD B．∠A+∠B=180° C．AB=AD D．∠A≠∠C
2．有一张平行四边形纸片ABCD，已知，按如图所示的方法折叠两次，则的度数等于（ ）
A．60° B．55° C．50° D．45°
3．如图，平行四边形的两条对角线将平行四边形的面积分成四部分，分别记作S1，S2，S3，S4，下列关系式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对边平行且相等 C．对角线互相平分 D．对角相等
5．四边形ABCD中，已知AB∥CD，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180
6．如图，在?ABCD中，过对角线BD上点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有（ ）对面积相等平行四边形．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，?ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到?AB′C′D′，若点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C=（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
8．如图，在?ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD交 BC 边于点 E．则线段 CE 的长度为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
9．下面给出四边形ABCD中的∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（? ）.
A．3:4:4:3 B．4:3:4:3 C．4:3:2:1 D．2:2:3:3
10．下列说法错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
11．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且，过点O作交BC于点E，若的周长为10，则?ABCD的周长为
A．14 B．16 C．20 D．18
12．如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
13．若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AD＝AC＝2，则BD的长为_____．
15．如图，在?ABCD中，AD＞CD，按下列步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交点分别为点F，G；②过点F，G作直线FG，交AD于点E．如果△CDE的周长为8，那么?ABCD的周长是_____．
16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是______．（添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．
17．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，以这些点为顶点的平行四边形有______个．
18．已知，在一个三角形中，如果两条边相等，那么这两条边所对的角相等．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB＝2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E，∠DCM＝∠AEM．若∠A是锐角，且∠CEM＝53°，则∠EMC＝_____
三、解答题（8小题，共66分）
19．如图，在□ABCD的边DC上截取DE=AD，延长AD至F，使得AF=AB，连接EB，求证：EF=EB.
20．如图，点E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE,DF//BE.求证：四边形ABCD是平行四边形.
21．已知如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE。
求证：BC=2CD
22．在平行四边形ABCD中，∠C和∠D的平分线交于M，DM的延长线交AD于E，试猜想:
（1）CM与DE的位置关系？
（2）M在DE的什么位置上？并证明你的猜想.
23．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，BE＝DF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）CE∥AF．
24．如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求证：BF=FD；
（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数．
25．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF、CE．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB＝6，AD＝2，∠ABD＝30°，求四边形AECF的面积．
26．如图，在△ABC中，CA＝CB，AB＝10，0°＜∠C＜60°，AF⊥BC于点F，在FC上截取FD＝FB，点E是AC上一点，连接DA、DE，且∠ADE＝∠B.
（1）求证：ED＝EC；
（2）若∠C＝30°，求BD长；
（3）在（2）的条件下，将图中△DEC绕点D逆时针旋转得到△DE′C′，请问在旋转的过程中，以点C、E、C′、E′为顶点的四边形可以构成平行四边形吗？若可以，请求出该平行四边形的面积，若不可以，请说明理由.
参考答案
1．【考点】平行四边形的性质
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，即可证得∠A+∠B=180°．
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B=180°． 故选：B．
【点睛】考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
2．【考点】平行四边形的性质
【分析】如图，由折叠可得∠CED=90°=∠BCE，即可得到∠DCE=15°，由折叠可得∠DCF=2×15°=30°，即可得到∠BCF=60°．
解：如图，
解：由折叠可得，∠CED=90°=∠BCE， 又∵∠D=∠B=75°， ∴∠DCE=15°， 由折叠可得，∠DCF=2×15°=30°， ∴∠BCF=60°． 故选：A．
【点睛】本题考查折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3．【考点】平行四边形的性质，三角形的面积
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴S1=S2=S3=S4，
故选B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
4．【考点】平行四边形的性质
【分析】平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边平行且相等；②角：平行四边形的对角相等；③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
解：A、平行四边形对角线互相平分但不一定垂直，故此选项正确；
B、平行四边形对边平行且相等，故该选项错误；
C、平行四边形对角线互相平分，故该选项错误；
D、平行四边形对角相等，故此选项错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握是解题的关键．
5．【考点】平行四边形的判定
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
解：根据平行四边形的判定，A、C、D均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
6．【考点】平行四边形的性质
【分析】平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积．三角形BFP的面积等于BGP的面积，三角形PED的面积等于三角形HPD的面积，从而可得到四边形PFCH的面积等于四边形AGPE的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个．
解：∵ABCD为平行四边形，BD为对角线，∴△ABD的面积等于△BCD的面积，同理△BFP的面积等于△BGP的面积，△PED的面积等于△HPD的面积．
∵△BCD的面积减去△BFP的面积和PHD的面积等于平行四边形PFCH的面积，△ABD的面积减去△GBD和△EPD的面积等于平行四边形AGPE的面积，∴平行四边形PFCH的面积=平行四边形AGPE的面积，∴同时加上平行四边形PHDE和BFPG，可以得出平行四边形AGHD面积和平行四边形EFCD面积相等，平行四边形ABFE和平行四边形BCHG面积相等．
所以有3对面积相等的平行四边形．
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．并且平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成面积相等的两个图形．
7．【考点】旋转的性质，平行四边形的性质
【分析】先根据旋转的性质得到AB=AB'，∠BAB'=30°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠B=∠AB'B=75°，然后根据平行四边形的性质得AB∥CD，再根据平行线的性质计算得∠C=180°﹣∠B=105°．
解：∵?ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到?AB'C'D''，∴AB=AB'，∠BAB'=30°，∴∠B=∠AB'B×（180°﹣30°）=75°．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∴∠C=180°﹣75°=105°．
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的性质．
8．【考点】角平分线、平行四边形的性质，等腰三角形的判定
【分析】先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而求出EC的长．
解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2．
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．
9．【考点】平行四边形的判定
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．
解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知D正确．
故选B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
10．【考点】平行四边形的判定
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
解：由平行四边形的判定方法可知：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A、B、D说法正确，
当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故C是说法错误的，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
11．【考点】平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质
【分析】由平行四边形的性质得出，，，再根据线段垂直平分线的性质得出，由的周长得出，即可求出平行四边形ABCD的周长．
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为10，
，
平行四边形ABCD的周长；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
12．【考点】行四边形的性质
【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明?AFDE的周长等于AB+AC．
解：∵DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE是平行四边形，∠B=∠EDC，∠FDB=∠C
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDF
∴BF=FD，DE=EC，
所以：?AFDE的周长等于AB+AC=10．
故选B．
【点睛】根据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题．
13．【考点】平行四边形的判定
【分析】根据OB＝OD，当OA＝OC时，四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．
解：由题意得：当OA＝7时，OC＝14﹣7＝7＝OA，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：7．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，难度一般．
14．【考点】平行四边形的性质，勾股定理
【分析】设AC与BD的交点为O，根据平行四边形的性质，可得AO＝CO＝1，BO＝DO，根据勾股定理可得BO＝，即可求BD的长．
解：设AC与BD的交点为O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝2，AD∥BC
AO＝CO＝1，BO＝DO
∵AC⊥BC
∴BO＝＝
∴BD＝2.
故答案为2.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，关键是灵活运用平行四边形的性质解决问题．
15．【考点】垂线的作法和性质，平行四边形的性质
【分析】由中垂线的作法可知AE=CE，然后由△ CDE的周长为8，可知CD+AD，继而可求出平行四边形的周长.
解：由图知，EF是线段AC的中垂线，
∴AE＝CE，
∵△CDE的周长为8，
∴CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝8，
则?ABCD的周长是2×8＝16.
【点睛】中垂线的作法和性质以及平行四边形周长公式是本题的考点，利用中垂线的性质求得AD+CD的长是解题的关键.
16．【考点】平行四边形的判定
【分析】本题是开放题，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出条件．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
解：可添加的条件有：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等，答案不唯一；
以AB=CD为例进行说明；
证明：∵AB∥CD， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．（一组对边分别平行而且相等的四边形是平行四边形）
以∠A=∠C为例进行说明； 证明：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C=180°； ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠B=180°； ∴AD∥BC； ∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 故答案为：AB=CD或AD∥BC或∠A=∠C等（不唯一）
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答此类题的关键
17．【考点】平行四边形的判定，三角形中位线定理
【分析】由于D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，易知DE、DF、EF都是△ABC的中位线，那么DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形EDFC是平行四边形；四边形EBDF是平行四边形；四边形ADEF是平行四边形．
解：∵D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形，四边形ADEF是平行四边形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容．
18．【考点】平行四边形的性质，三角形的外角定理
【分析】设∠DCM＝∠AEM=x，由 AB＝2BC，M是AB的中点，得MB=CB，又AB∥CD，故∠DCM=∠CMB=∠MCB=x，由平行四边形的性质得∠A=∠DCB=2x，又CE⊥AD，得出x=90°-∠CEM=27°,再利用外角定理得∠EMC=∠EMB-∠CMB=∠AEM+∠A-∠CMB=27°+2×27°-27°=54°.
解：设∠DCM＝∠AEM=x，
∵ AB＝2BC，M是AB的中点，
∴MB=CB，
又AB∥CD，故∠DCM=∠CMB=∠MCB=x，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠DCB=2x，
又CE⊥AD，得出x=90°-∠CEM=27°,
∴∠EMC=∠EMB-∠CMB=∠AEM+∠A-∠CMB=27°+2×27°-27°=54°.
【点睛】此题主要考查平行四边形的性质及三角形的外角定理，解题的关键是熟知平行线的性质及三角形外角定理.
19．【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的对边相等及线段间的和差关系，可证明DF=CE，DE=AD=BC，再由AD∥BC，得出∠FDE=∠ECB，利用SAS即可证明△FDE≌△ECB，从而得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∴∠FDC=∠ECB，
∵DE=AD，
∴DE=BC，
∵AF=AB，DE=AD，AB=DC，
∴AF-AD=AB-AD=DC-DE，即DF=CE，
在△FDE和△ECB中，，
∴△FDE≌△ECB，
∴EF=EB．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握：平行四边形的对边平行且相等．
20．【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【分析】利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
证明：∵DF∥BE， ∴∠DFE=∠BEF． 又∵AF=CE，DF=BE， ∴△AFD≌△CEB（SAS）． ∴∠DAC=∠BCA，AD=BC， ∴AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
21．【考点】平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质
【分析】延长CE交BA的延长线于F,先证明BF=BC,EF=EC,再证明CD=AF=AB,由,得出,即可得出结论.
解：延长CE交BA的延长线于F,
∵BE平分∠ABC
∴∠FBE=∠CBE
∵CE⊥BE
∴∠BEF=∠BEC=90°,
∵BE=BE
∴△BEF≌△BEC
∴BF=BC,FE=EC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,BF∥CD
∵∠4=∠2, ∠FAE=∠D
∴△AEF≌△DEC
∴AF=CD
∵AB=CD
∴BF=BA+AF=BA+CD=CD+CD=2CD
又∵BF=BC
∴BC=2CD
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质;证明三角形是等腰三角形是解题关键.
22．【考点】平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质
【分析】（1）CM⊥DE，由平行四边形ABCD得AD∥BC，∠ADC+∠BCD=180°，结合角平分线可得∠MDC+∠MCD=90°，即可得结论；
（2）由平行线的性质得∠ADE=∠CEM，结合角平分线可得∠CDE=∠CED，可证出△ECD是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得CM是中线，则M为ED的中点.
解：(1) CM⊥DE
∵ AD∥BC
∴∠ADC+∠BCD=180°
∵DE,CM分别平分∠ADC, ∠BCD
∴∠MDC+∠MCD=90°
∴CM⊥DE
(2)M为ED的中点
∵AD∥BC
∴∠ADE=∠CEM
∵∠ADE=∠CDE
∴∠CDE=∠CED
∴CD=CE
∵CM⊥DE，
∴EM=MD，即M为ED的中点.
故答案为：(1) CM⊥DE；（2）M为ED的中点，见解析.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质．
23．【考点】平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，由平行线的性质得到∠ADF=∠CBE，利用SAS证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AFD=∠CEB，根据等角的补角相等得到∠AFB=∠CED，根据平行线的判定定理证明CE∥AF．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CBE．
在△ADF和△CBE中，∵AD=BC，∠ADF=∠CBE，BE=DF，
∴△ADF≌△CBE；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠CEB，
∴∠AFB=∠CED，
∴CE∥AF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．【考点】平行四边形的判定
【分析】（1）欲证BF=FD，可证BF=EF，FD=EF．欲证BF=EF，在△BEF中，可证∠BEF=∠EBF，由于CE为直角△ABE斜边AB的中线，所以CB=CE，根据等边对等角，得出∠CEB=∠CBE，又∠CEF=∠CBF=90°，由等角的余角相等得出∠BEF=∠EBF；欲证FD=EF，在△FED中，可证∠FED=∠EDF，由于∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，而∠BEF=∠EBF，故∠FED=∠EDF． （2）假设点D在运动过程中能使四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC=EF，由（1）知AC=CB=AB，EF=BF=BD，则BC=EF=BF，即BA=BD，∠A=45°．
解：（1）在Rt△AEB中，∵AC=BC， ∴CE＝AB， ∴CB=CE， ∴∠CEB=∠CBE． ∵∠CEF=∠CBF=90°， ∴∠BEF=∠EBF， ∴EF=BF． ∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°， ∴∠FED=∠EDF， ∵EF=FD． ∴BF=FD． （2）能．理由如下： 若四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC=EF， ∴BC=BF， ∴BA=BD，∠A=45°． ∴当∠A=45°时四边形ACFE为平行四边形．
【点睛】考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
25．【考点】平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB＝CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，然后利用AAS证得△AEB≌△CFD，即可得AE＝CF，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形．
（2）根据直角三角形中30°的角所对的直角边为斜边的一半，求出AE和BE的长，再根据勾股定理求出DE的长，从而求出DF和EF的长，根据S平行四边形AECF＝底高计算即可；
解：(1)连接AF、EC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△AEB和△CFD中，
,
∴△AEB≌△CFD(AAS)，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)在Rt△ABE中，∵AB＝6，∠ABD＝30°，
∴AE＝AB＝3，BE＝AE＝3，
在Rt△ADE中，AD＝2，
DE＝
∵△AEB≌△CFD，
∴BE＝DF＝3，
∴EF＝DE-DF=2，
∴S平行四边形AECF＝ ＝6．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度一般，证得△AEB≌△CFD，得到AE∥CF且AE＝CF是解此题的关键．
26．【考点】平行四边形的判定与性质，勾股定理
【分析】（1）先判断出∠C=180°-2∠ABC，∠CDE=180°-2∠ABC，进而求出∠C=∠CDE，即可得出结论；（2）先求出角BAD=30°，进而求出BG，AG，即可得出DG，最后用勾股定理即可得出结论；（3）先判断出旋转到C落在CB的延长线上，以点C,E,C’,E’为顶点的四边形是平行四边形，再求出DH，DE即可得出结论.
解：（1）∵AC=BC,
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2∠ABC，
∵AF⊥BC，BF=DF,
∴AB=AD，
∴∠ADB=∠ABC，
∴∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB=180°-2∠ABC
∴∠CDE=∠C，
∴ED=CE；
（2）∵∠C=30°，
∴∠ABC=∠ADB=∠BAC=∠ADE=75°，
∴∠BAD=30°，
过点B作BG⊥AD于G，如图1，
在Rt△ABG中，AB=10，∠BAD=30°，
∴BG=5，AG=5
∴DG=AD-AG=10-5=5(2-)
在Rt△BDG中，BD=
（3）存在，理由：
如图2，当点C’落在CB延长线上，点E’落在ED的延长线上，
由旋转知DE=DE’,DC=DC’
∴四边形CEC’E’是平行四边形，
过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△ADH中，AD=10，∠DAH=∠BAC-∠BAD=45°，
∴DH=5
在Rt△DEH中，∠AED=∠ACB+∠CDE=60°，
∴∠EDH=30°，
∴DE=
∴CE=
∴S平行四边形CEC’E’=4S△CDE=
【点睛】此题主要考查四边形综合题，解题的关键是熟知平行四边形的判定与性质及勾股定理的应用.