第19章 矩形、菱形与正方形单元检测试卷
文档属性
| 名称 | 第19章 矩形、菱形与正方形单元检测试卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-12 13:40:29 | ||
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文档简介
华师大八年级下第19章 矩形、菱形与正方形单元检测试卷
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题，每题3分，共36分）
1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝130°，连接BD，∠DBC等于（ ）
A．25° B．35° C．50° D．65°
2．四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AD=BC
3．如图，在长方形ABCD中，已知，，将AD沿直线AF折叠，使点D落在BC的点E处，则CF的长是
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．如图，在矩形中，，点，，，分别是边，，，的中点，连接，，则图中矩形的个数共有（ ）
A．5个 B．8个 C．9个 D．11个
6．如图，是菱形的对角线，分别是边的中点，连接，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C．四边形是菱形 D．四边形是菱形
7．如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF＋EG等于（ ）
A． B． C．a D．2a
8．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点（如图），则∠EAF等于（ ）．
A．60° B．75° C．120° D．45°
9．如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，点E是DC边上的中点,连接OE.OE＝5，BD＝12，则菱形的面积为（ ）
A．96 B．48 C．192 D．24
10．如图，在正方形ABCD中，作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（）
A．10° B．15° C．12.5° D．20°
11．如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,过点A作AE垂直BC与点E,则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
12．如图有两个边长为4cm的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，绕着中心旋转其中一个正方形，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A．无法确定 B．8cm2 C．16cm2 D．4cm2
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
13．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为_____．
14．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则矩形ABCD的面积为_______．
16．如图，在矩形纸片中，，，边上有一点，，将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，则线段的长是__．
17．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的底数是_____度．
18．如图，在△ABC中，AB=3+,∠B=45°，∠C=105°，点 D、E、F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为___________ 。
三、解答题（8小题，共66分）
19．矩形ABCD的对角线AC、BD相交与O，DE//AC，CE//BD.求证：四边形OCED是菱形.
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．
21．如图，将长方形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，连接BD，若∠1=∠3，AE∥BD，求∠EAC的度数．
22．如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于E，交DC延长线于F，点G为EF的中点，连结DG．
（1）求证：BC＝DF；
（2）连BD，求BD：DG的值．
23．如图，四边形中，，，于交的延长线于，，．
(1)求证：．
(2)求证：四边形是菱形．
24．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．
（1）求证：△AED≌△CEB′；
（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．
25．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长
（3）连结AE，AF，当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由．
26．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．
（1）若BF⊥AE，
①求证：BF＝AE；
②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；
（2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．
参考答案
1．【考点】菱形的性质，等腰三角形的性质
【分析】直接利用菱形的性质得出∠C的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案．
解：∵在菱形ABCD中，∠A=130°，
∴∠C=130°，BC=DC，
∴∠DBC=∠CDB=（180°-130°）=25°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．
2．【考点】矩形的判定
【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理可得，只需添加条件是对角线相等．
解：可添加AC=BD，理由如下： ∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形， ∴四边形ABCD是矩形． 故选：B．
【点睛】考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
3．【考点】翻折变换，矩形的性质，勾股定理
【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得，，由勾股定理可求BE的长，即可得CE的长，再由勾股定理可求CF的长．
解：四边形ABCD是矩形，
，，
折叠
，，
在中，，
，
在中，，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．
4．【考点】矩形的性质，等边三角形的性质和判定
【分析】根据矩形性质得出AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，推出OA＝OB，得出△AOB是等边三角形，推出AB＝AO＝4即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
5．【考点】矩形的判定
【分析】根据矩形的判定定理解答．
解：∵E，G分别是边DA，BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴四边形DEGC、AEGB是矩形，
同理四边形ADHF、BCHF是矩形，
则图中四个小四边形是矩形，
故图中矩形的个数共有9个，
故选：C．
【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
6．【考点】菱形的性质和判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定
【分析】根据菱形的性质和三角形的中位线以及菱形的判定可得AC⊥BD且DO=BD,再根据三角形的中位线可得EF=BD,即可得出结论
解：∵是菱形的对角线，
∴AC⊥BD且DO=BD,
∵分别是边的中点，
∴EF=BD，EF//BD，
∴EF=DO, ∴选项A正确．
∵AC⊥BD，EF//BD
∴，∴选项B正确．
∵是菱形的对角线，
∴BC=CD，O为AC的中点
∵分别是边的中点，
∴EO//BC//AD，FO//CD//AB且EO=FO=BC=DC
∴四边形是菱形∴选项C正确．
∵EF//BD，FO//AB
∴.四边形是平行四边形
∴选项D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、三角形的中位线定理、平行四边形的判定以及平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．【考点】正方形的性质，矩形的性质和判定
【分析】由正方形的性质可知∠BAC=∠ACB，又知EF⊥AB，EG⊥BC，可得EG=CG，EF=GB，从而求出EF＋EG=BC即可．
解：∵E是正方形ABCD对角线AC上一点，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠B=90°
∵EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，
∴四边形EFBG是矩形，三角形CGE是等腰直角三角形
∴EG=CG，EF=BG，
∴EF+EG=BC
∵正方形ABCD周长为a，
∴BC=，
∴EF+EG=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、矩形的性质和判定，利用等腰直角三角形的性质解决所求问题．
8．【考点】菱形的性质，含30°的直角三角形
【分析】根据含30°的直角三角形可知∠BAE=∠DAF=30°，故可求出∠B=∠D=60°，∠BAD=120°，故可求出∠EAF的度数.
解：∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点
∴BE=AB，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
同理得∠DAF=30°，
根据菱形的性质可得∠B=∠D=60°，∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.
【点睛】此题主要考查菱形内的角度计算，解题的关键是熟知含30°直角三角形的性质.
9．【考点】菱形的性质，直角三角形斜边的中线
【分析】由四边形ABCD是菱形，可知AC⊥BD，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求出CD=10，根据勾股定理求出OC的长，然后由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，，
∴CD=2OE=10，
∴，
∴AC=2OC=16，
∴菱形的面积为：.
故选A.
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键. 菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
10．【考点】正方形的性质，等边三角形的性质
【分析】根据等边三角形的性质及正方形的性质可得到AB=AE，从而可求得∠BAE的度数，则∠AEB的度数就不难求了．
解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB=AE， ∴∠BAE=90°+60°=150°， ∴∠AEB=（180°-150°）÷2=15°． 故选：B．
【点睛】本题考查正方形和等边三角形的特殊性质，解题关键是熟练掌握性质．
11．【考点】菱形的性质，勾股定理
【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°，
∴BC==5（cm），
∴AE×BC=BO×AC
故5AE=24，
解得：AE=．
故选C．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用三角形面积求出AE的长是解题关键．
12．【考点】正方形的性质,全等三角形的判定与性质
【分析】如图，根据正方形的性质得OD＝OC，∠ODA＝∠OCD＝45°，∠DOC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠DOE＝∠COF，于是可根据“ASA”证明△ODE≌△OCF，
则S△ODE＝S△OCF，所以S四边形EOFD＝S△DOC＝S正方形ABCD．
解：如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OC，∠ODA＝∠OCD＝45°，∠DOC＝90°，
而∠POM＝90°，
即∠DOF+∠COF＝90°，∠DOE+∠DOF＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
在△ODE和△OCF中，
，
∴△ODE≌△OCF（ASA），
∴S△ODE＝S△OCF，
∴S四边形EOFD＝S△DOC＝S正方形ABCD＝×42＝4（cm2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键,也是本题的难点.
13．【考点】正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质
【分析】由菱形的性质可得AB=BC，且∠B=60°，可得AC=AB=3，由正方形的性质可得AC=EF=3．
解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC，且∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=3， ∵四边形ACEF是正方形， ∴AC=EF=3 故答案为：3
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
14．【考点】菱形的性质，勾股定理
【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．
解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm， 在Rt△ABC中， 由勾股定理：x2=（8-x）2+22， 解得：x=,
∴4x=17， 即菱形的最大周长为17cm． 故答案是：17．
【点睛】解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．
15．【考点】矩形的性质，含30°角的直角三角形
【分析】由矩形的性质得出∠BAD＝90°，由直角三角形30度角的性质和勾股定理计算AD的长，根据矩形的面积公式可得结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝4，∠ADB＝30°，
∴BD＝8，
∴AD＝＝4，
∴S矩形ABCD＝AB?AD＝4×4＝16，
故答案为：16．
【点睛】此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形30度角的性质是关键．
16．【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理
【分析】过作于，根据矩形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：过作于，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，
将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．【考点】等边三角形的性质，正方形的性质
【分析】根据已知可求得∠BEC的度数，根据三角形外角定理可求得∠AGD的度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及正方形的性质的运用．
18．【考点】轴对称-最短问题，菱形的性质
【分析】如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．由四边形ADEF是菱形，推出F，D关于直线AE对称，推出PF=PD，推出PF+PB=PA+PB，由PD+PB≥BD，推出PF+PB的最小值是线段BD的长．
解：如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．
∵四边形ADEF是菱形，
∴F，D关于直线AE对称，
∴PF=PD，
∴PF+PB=PA+PB，
∵PD+PB≥BD，
∴PF+PB的最小值是线段BD的长，
∵∠CAB=180°-105°-45°=30°，设AF=EF=AD=x，则DH=EG=x，FG=x，
∵∠EGB=45°，EG⊥BG，
∴EG=BG=x，
∴x+x+x=3+，
∴x=2，
∴DH=1，BH=3，
∴BD==，
∴PF+PB的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题．
19．【考点】矩形的性质，菱形判定
【分析】直接利用平行四边形的判定方法得出四边形OCED是平行四边形，再利用矩形的性质以及菱形的判定方法得出答案．
证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC=OB=OD=AC=BD， ∴四边形OCED是菱形．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及菱形判定方法，正确掌握相关四边形判定与性质是解题关键．
20．【考点】正方形性质，勾股定理及逆定理
【分析】根据勾股定理求出BE2、EF2、BF2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
解：∵△BEF是直角三角形，
理由是：∵在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝DC＝BC＝4，DE＝4﹣2＝2，CF＝4﹣1＝3，
∵由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝42+22＝20，EF2＝DE2+DF2＝22+12＝5，BF2＝BC2+CF2＝42+32＝25，
∴BE2+EF2＝BF2，
∴∠BEF＝90°，
即△BEF是直角三角形．
【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2，注意：一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，难度适中．
21．【考点】平行线的性质，矩形的性质，翻折变换
【分析】直接利用翻折变换的性质，结合矩形的性质得出∠CBN=∠2=∠3，进而得出∠BOC=90°，求出答案即可．
解：∵将长方形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，
∴∠2=∠3，∠ABC=∠E=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠CBN．
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠CBN=∠2=∠3．
∵AE∥BD，
∴∠BOC=∠E=90°，
∴∠CBN+∠2+∠3=90°，
∴∠CBN=∠2=∠3=30°，
∴∠EAC=90°﹣∠2=60°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及矩形的性质和翻折变换，根据题意得出∠CBN=∠2=∠3是解题的关键．
22．【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质
【分析】（1）根据矩形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可．
证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝45°，
∴AD＝DF，
∴BC＝DF；
（2）连接CG，BG，
∵点G为EF的中点，
∴GF＝CG，
∴∠F＝∠BCG＝45°，
在△BCG与△DFG中，
∴△BCG≌△DFG（SAS），
∴BG＝DG，∠CBG＝∠FDG，
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BD＝DG，
∴BD：DG＝：1．
【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
23．【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定
【分析】(1)证明RtΔDFC?RtΔDEC(HL)，根据全等三角形的性质即可得证；
(2)先证明ΔDEC≌ΔBEC(SAS)，继而证明四边形ABCD为平行四边形，再根据BC=CD，即可得证.
解：(1)∵CE⊥BD，
∴∠DEC=90°，
∴，
在和中，
，，
∴，
∴；
(2)∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，∴，
∴，而，
∴四边形为平行四边形，而，
∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.
24．【考点】折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定
【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得； （2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D
∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠
∴BC＝B'C，∠B＝∠B'
∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC
∴△ADE≌△B'EC
（2）四边形AECF是菱形
∵△ADE≌△B'EC
∴AE＝CE
∵AE＝CE，EF⊥AC
∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF
∴AF＝CF
∵CD∥AB
∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF
∴∠AEF＝∠EFA
∴AF＝AE
∴AF＝AE＝CE＝CF
∴四边形AECF是菱形
【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．
25．【考点】矩形的性质判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理
【分析】（1）根据CF平分∠ACD，且MN∥BD可证OF=OC，同理可证OE=OC，即可得OE=OF； （2）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可求∠ECF=90°，根据勾股定理可求EF的长，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可得OC的长； （3）当点O在AC的中点时，由（1）知OE=OF，可证四边形AECF是平行四边形，再根据∠ECF=90°，可证四边形AECF是矩形．
解：（1）OE=OF，理由如下：
∵CF平分∠ACD，且MN∥BD ∴∠ACF=∠FCD=∠CFO ∴OF=OC 同理可证：OC=OE ∴OE=OF （2）由（1）知：OF=OC=OE ∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC ∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC 而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180° ∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90° ∴EF＝=＝10
∴OC＝EF＝5 （3）当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形 理由如下： ∵当点O移动到AC中点时 ∴OA=OC且OE=OF ∴四边形AECF为平行四边形 又∵∠ECF=90° ∴四边形AECF为矩形
【点睛】本题考查了矩形的性质判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
26．【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理
【分析】（1）①如图1①，要证BF＝AE，只需证△ABE≌△BCF，只需证到∠BAE＝∠CBF即可；
②延长AD，交射线BM于点G，如图1②，由△ABE≌△BCF可得BE＝CF，由此可得CF＝DF，从而可证到△DGF≌△CBF，则有DG＝BC，从而可得DG＝AD，然后运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；
（2）可分点F在CD上和点F在AD上两种情况进行讨论．当点F在CD上时，如图2①，易证Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），则有∠BAE＝∠CBF，由此可证到∠AOB＝90°，然后在Rt△ABE中，运用面积法就可求出BO的长；当点F在AD上时，如图2②，易证Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），则有∠BAE＝∠ABF，根据等角对等边可得OB＝OA，根据等角的余角相等可得∠AEB＝∠EBF，根据等角对等边可得OB＝OE，即可得到OA＝OB＝OE，只需求出AE的长就可解决问题．
解：（1）①如图1①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE；
②OD＝AB．
证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，
∵△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF．
∵E为BC的中点，
∴CF＝BE＝BC＝DC，
∴CF＝DF．
∵DG∥BC，
∴∠DGF＝∠CBF．
在△DGF和△CBF中，
，
∴△DGF≌△CBF，
∴DG＝BC，
∴DG＝AD．
∵BF⊥AE，
∴OD＝AG＝AD＝AB；
（2）①若点F在CD上，如图2①，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠AOB＝90°．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE＝＝2 ．
∵S△ABE＝AB?BE＝AE?BO，
∴BO＝．
②若点F在AD上，如图2②，
在Rt△ABE和Rt△BAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴∠BAE＝∠ABF，
∴OB＝OA．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴OB＝OE，
∴OA＝OB＝OE．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE＝＝2，
∴OB＝AE＝．
综上所述：BO的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等角对等边、等角的余角相等、勾股定理等知识，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决第（1）②小题的关键，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键．
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题，每题3分，共36分）
1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝130°，连接BD，∠DBC等于（ ）
A．25° B．35° C．50° D．65°
2．四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AD=BC
3．如图，在长方形ABCD中，已知，，将AD沿直线AF折叠，使点D落在BC的点E处，则CF的长是
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AO＝4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．如图，在矩形中，，点，，，分别是边，，，的中点，连接，，则图中矩形的个数共有（ ）
A．5个 B．8个 C．9个 D．11个
6．如图，是菱形的对角线，分别是边的中点，连接，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C．四边形是菱形 D．四边形是菱形
7．如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF＋EG等于（ ）
A． B． C．a D．2a
8．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点（如图），则∠EAF等于（ ）．
A．60° B．75° C．120° D．45°
9．如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，点E是DC边上的中点,连接OE.OE＝5，BD＝12，则菱形的面积为（ ）
A．96 B．48 C．192 D．24
10．如图，在正方形ABCD中，作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（）
A．10° B．15° C．12.5° D．20°
11．如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,过点A作AE垂直BC与点E,则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
12．如图有两个边长为4cm的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，绕着中心旋转其中一个正方形，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A．无法确定 B．8cm2 C．16cm2 D．4cm2
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
13．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为_____．
14．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则矩形ABCD的面积为_______．
16．如图，在矩形纸片中，，，边上有一点，，将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，则线段的长是__．
17．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的底数是_____度．
18．如图，在△ABC中，AB=3+,∠B=45°，∠C=105°，点 D、E、F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为___________ 。
三、解答题（8小题，共66分）
19．矩形ABCD的对角线AC、BD相交与O，DE//AC，CE//BD.求证：四边形OCED是菱形.
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．
21．如图，将长方形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，连接BD，若∠1=∠3，AE∥BD，求∠EAC的度数．
22．如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于E，交DC延长线于F，点G为EF的中点，连结DG．
（1）求证：BC＝DF；
（2）连BD，求BD：DG的值．
23．如图，四边形中，，，于交的延长线于，，．
(1)求证：．
(2)求证：四边形是菱形．
24．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD交于点E．
（1）求证：△AED≌△CEB′；
（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．
25．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长
（3）连结AE，AF，当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由．
26．已知：正方形ABCD，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O．
（1）若BF⊥AE，
①求证：BF＝AE；
②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；
（2）若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．
参考答案
1．【考点】菱形的性质，等腰三角形的性质
【分析】直接利用菱形的性质得出∠C的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案．
解：∵在菱形ABCD中，∠A=130°，
∴∠C=130°，BC=DC，
∴∠DBC=∠CDB=（180°-130°）=25°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质，正确应用菱形的性质是解题关键．
2．【考点】矩形的判定
【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理可得，只需添加条件是对角线相等．
解：可添加AC=BD，理由如下： ∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形， ∴四边形ABCD是矩形． 故选：B．
【点睛】考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
3．【考点】翻折变换，矩形的性质，勾股定理
【分析】由矩形的性质和折叠的性质可得，，由勾股定理可求BE的长，即可得CE的长，再由勾股定理可求CF的长．
解：四边形ABCD是矩形，
，，
折叠
，，
在中，，
，
在中，，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．
4．【考点】矩形的性质，等边三角形的性质和判定
【分析】根据矩形性质得出AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，推出OA＝OB，得出△AOB是等边三角形，推出AB＝AO＝4即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝4，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
5．【考点】矩形的判定
【分析】根据矩形的判定定理解答．
解：∵E，G分别是边DA，BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴四边形DEGC、AEGB是矩形，
同理四边形ADHF、BCHF是矩形，
则图中四个小四边形是矩形，
故图中矩形的个数共有9个，
故选：C．
【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
6．【考点】菱形的性质和判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定
【分析】根据菱形的性质和三角形的中位线以及菱形的判定可得AC⊥BD且DO=BD,再根据三角形的中位线可得EF=BD,即可得出结论
解：∵是菱形的对角线，
∴AC⊥BD且DO=BD,
∵分别是边的中点，
∴EF=BD，EF//BD，
∴EF=DO, ∴选项A正确．
∵AC⊥BD，EF//BD
∴，∴选项B正确．
∵是菱形的对角线，
∴BC=CD，O为AC的中点
∵分别是边的中点，
∴EO//BC//AD，FO//CD//AB且EO=FO=BC=DC
∴四边形是菱形∴选项C正确．
∵EF//BD，FO//AB
∴.四边形是平行四边形
∴选项D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、三角形的中位线定理、平行四边形的判定以及平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．【考点】正方形的性质，矩形的性质和判定
【分析】由正方形的性质可知∠BAC=∠ACB，又知EF⊥AB，EG⊥BC，可得EG=CG，EF=GB，从而求出EF＋EG=BC即可．
解：∵E是正方形ABCD对角线AC上一点，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠B=90°
∵EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，
∴四边形EFBG是矩形，三角形CGE是等腰直角三角形
∴EG=CG，EF=BG，
∴EF+EG=BC
∵正方形ABCD周长为a，
∴BC=，
∴EF+EG=，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、矩形的性质和判定，利用等腰直角三角形的性质解决所求问题．
8．【考点】菱形的性质，含30°的直角三角形
【分析】根据含30°的直角三角形可知∠BAE=∠DAF=30°，故可求出∠B=∠D=60°，∠BAD=120°，故可求出∠EAF的度数.
解：∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点
∴BE=AB，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
同理得∠DAF=30°，
根据菱形的性质可得∠B=∠D=60°，∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.
【点睛】此题主要考查菱形内的角度计算，解题的关键是熟知含30°直角三角形的性质.
9．【考点】菱形的性质，直角三角形斜边的中线
【分析】由四边形ABCD是菱形，可知AC⊥BD，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求出CD=10，根据勾股定理求出OC的长，然后由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，，
∴CD=2OE=10，
∴，
∴AC=2OC=16，
∴菱形的面积为：.
故选A.
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键. 菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
10．【考点】正方形的性质，等边三角形的性质
【分析】根据等边三角形的性质及正方形的性质可得到AB=AE，从而可求得∠BAE的度数，则∠AEB的度数就不难求了．
解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB=AE， ∴∠BAE=90°+60°=150°， ∴∠AEB=（180°-150°）÷2=15°． 故选：B．
【点睛】本题考查正方形和等边三角形的特殊性质，解题关键是熟练掌握性质．
11．【考点】菱形的性质，勾股定理
【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°，
∴BC==5（cm），
∴AE×BC=BO×AC
故5AE=24，
解得：AE=．
故选C．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用三角形面积求出AE的长是解题关键．
12．【考点】正方形的性质,全等三角形的判定与性质
【分析】如图，根据正方形的性质得OD＝OC，∠ODA＝∠OCD＝45°，∠DOC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠DOE＝∠COF，于是可根据“ASA”证明△ODE≌△OCF，
则S△ODE＝S△OCF，所以S四边形EOFD＝S△DOC＝S正方形ABCD．
解：如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OC，∠ODA＝∠OCD＝45°，∠DOC＝90°，
而∠POM＝90°，
即∠DOF+∠COF＝90°，∠DOE+∠DOF＝90°，
∴∠DOE＝∠COF，
在△ODE和△OCF中，
，
∴△ODE≌△OCF（ASA），
∴S△ODE＝S△OCF，
∴S四边形EOFD＝S△DOC＝S正方形ABCD＝×42＝4（cm2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键,也是本题的难点.
13．【考点】正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质
【分析】由菱形的性质可得AB=BC，且∠B=60°，可得AC=AB=3，由正方形的性质可得AC=EF=3．
解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC，且∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=3， ∵四边形ACEF是正方形， ∴AC=EF=3 故答案为：3
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
14．【考点】菱形的性质，勾股定理
【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．
解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm， 在Rt△ABC中， 由勾股定理：x2=（8-x）2+22， 解得：x=,
∴4x=17， 即菱形的最大周长为17cm． 故答案是：17．
【点睛】解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．
15．【考点】矩形的性质，含30°角的直角三角形
【分析】由矩形的性质得出∠BAD＝90°，由直角三角形30度角的性质和勾股定理计算AD的长，根据矩形的面积公式可得结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝4，∠ADB＝30°，
∴BD＝8，
∴AD＝＝4，
∴S矩形ABCD＝AB?AD＝4×4＝16，
故答案为：16．
【点睛】此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形30度角的性质是关键．
16．【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理
【分析】过作于，根据矩形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：过作于，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，
将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．【考点】等边三角形的性质，正方形的性质
【分析】根据已知可求得∠BEC的度数，根据三角形外角定理可求得∠AGD的度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及正方形的性质的运用．
18．【考点】轴对称-最短问题，菱形的性质
【分析】如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．由四边形ADEF是菱形，推出F，D关于直线AE对称，推出PF=PD，推出PF+PB=PA+PB，由PD+PB≥BD，推出PF+PB的最小值是线段BD的长．
解：如图，连接OD，BD，作DH⊥AB于H，EG⊥AB于G．
∵四边形ADEF是菱形，
∴F，D关于直线AE对称，
∴PF=PD，
∴PF+PB=PA+PB，
∵PD+PB≥BD，
∴PF+PB的最小值是线段BD的长，
∵∠CAB=180°-105°-45°=30°，设AF=EF=AD=x，则DH=EG=x，FG=x，
∵∠EGB=45°，EG⊥BG，
∴EG=BG=x，
∴x+x+x=3+，
∴x=2，
∴DH=1，BH=3，
∴BD==，
∴PF+PB的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题．
19．【考点】矩形的性质，菱形判定
【分析】直接利用平行四边形的判定方法得出四边形OCED是平行四边形，再利用矩形的性质以及菱形的判定方法得出答案．
证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC=OB=OD=AC=BD， ∴四边形OCED是菱形．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及菱形判定方法，正确掌握相关四边形判定与性质是解题关键．
20．【考点】正方形性质，勾股定理及逆定理
【分析】根据勾股定理求出BE2、EF2、BF2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
解：∵△BEF是直角三角形，
理由是：∵在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝DC＝BC＝4，DE＝4﹣2＝2，CF＝4﹣1＝3，
∵由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝42+22＝20，EF2＝DE2+DF2＝22+12＝5，BF2＝BC2+CF2＝42+32＝25，
∴BE2+EF2＝BF2，
∴∠BEF＝90°，
即△BEF是直角三角形．
【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2，注意：一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，难度适中．
21．【考点】平行线的性质，矩形的性质，翻折变换
【分析】直接利用翻折变换的性质，结合矩形的性质得出∠CBN=∠2=∠3，进而得出∠BOC=90°，求出答案即可．
解：∵将长方形纸片ABCD沿AC翻折，点B落在点E处，
∴∠2=∠3，∠ABC=∠E=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠CBN．
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠CBN=∠2=∠3．
∵AE∥BD，
∴∠BOC=∠E=90°，
∴∠CBN+∠2+∠3=90°，
∴∠CBN=∠2=∠3=30°，
∴∠EAC=90°﹣∠2=60°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及矩形的性质和翻折变换，根据题意得出∠CBN=∠2=∠3是解题的关键．
22．【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质
【分析】（1）根据矩形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可．
证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝45°，
∴AD＝DF，
∴BC＝DF；
（2）连接CG，BG，
∵点G为EF的中点，
∴GF＝CG，
∴∠F＝∠BCG＝45°，
在△BCG与△DFG中，
∴△BCG≌△DFG（SAS），
∴BG＝DG，∠CBG＝∠FDG，
∴△BDG为等腰直角三角形，
∴BD＝DG，
∴BD：DG＝：1．
【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
23．【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定
【分析】(1)证明RtΔDFC?RtΔDEC(HL)，根据全等三角形的性质即可得证；
(2)先证明ΔDEC≌ΔBEC(SAS)，继而证明四边形ABCD为平行四边形，再根据BC=CD，即可得证.
解：(1)∵CE⊥BD，
∴∠DEC=90°，
∴，
在和中，
，，
∴，
∴；
(2)∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，∴，
∴，而，
∴四边形为平行四边形，而，
∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.
24．【考点】折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定
【分析】（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得； （2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D
∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠
∴BC＝B'C，∠B＝∠B'
∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC
∴△ADE≌△B'EC
（2）四边形AECF是菱形
∵△ADE≌△B'EC
∴AE＝CE
∵AE＝CE，EF⊥AC
∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF
∴AF＝CF
∵CD∥AB
∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF
∴∠AEF＝∠EFA
∴AF＝AE
∴AF＝AE＝CE＝CF
∴四边形AECF是菱形
【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．
25．【考点】矩形的性质判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理
【分析】（1）根据CF平分∠ACD，且MN∥BD可证OF=OC，同理可证OE=OC，即可得OE=OF； （2）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可求∠ECF=90°，根据勾股定理可求EF的长，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可得OC的长； （3）当点O在AC的中点时，由（1）知OE=OF，可证四边形AECF是平行四边形，再根据∠ECF=90°，可证四边形AECF是矩形．
解：（1）OE=OF，理由如下：
∵CF平分∠ACD，且MN∥BD ∴∠ACF=∠FCD=∠CFO ∴OF=OC 同理可证：OC=OE ∴OE=OF （2）由（1）知：OF=OC=OE ∴∠OCF=∠OFC，∠OCE=∠OEC ∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC 而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180° ∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90° ∴EF＝=＝10
∴OC＝EF＝5 （3）当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形 理由如下： ∵当点O移动到AC中点时 ∴OA=OC且OE=OF ∴四边形AECF为平行四边形 又∵∠ECF=90° ∴四边形AECF为矩形
【点睛】本题考查了矩形的性质判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
26．【考点】正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理
【分析】（1）①如图1①，要证BF＝AE，只需证△ABE≌△BCF，只需证到∠BAE＝∠CBF即可；
②延长AD，交射线BM于点G，如图1②，由△ABE≌△BCF可得BE＝CF，由此可得CF＝DF，从而可证到△DGF≌△CBF，则有DG＝BC，从而可得DG＝AD，然后运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；
（2）可分点F在CD上和点F在AD上两种情况进行讨论．当点F在CD上时，如图2①，易证Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），则有∠BAE＝∠CBF，由此可证到∠AOB＝90°，然后在Rt△ABE中，运用面积法就可求出BO的长；当点F在AD上时，如图2②，易证Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），则有∠BAE＝∠ABF，根据等角对等边可得OB＝OA，根据等角的余角相等可得∠AEB＝∠EBF，根据等角对等边可得OB＝OE，即可得到OA＝OB＝OE，只需求出AE的长就可解决问题．
解：（1）①如图1①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE；
②OD＝AB．
证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1②，
∵△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF．
∵E为BC的中点，
∴CF＝BE＝BC＝DC，
∴CF＝DF．
∵DG∥BC，
∴∠DGF＝∠CBF．
在△DGF和△CBF中，
，
∴△DGF≌△CBF，
∴DG＝BC，
∴DG＝AD．
∵BF⊥AE，
∴OD＝AG＝AD＝AB；
（2）①若点F在CD上，如图2①，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠AOB＝90°．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE＝＝2 ．
∵S△ABE＝AB?BE＝AE?BO，
∴BO＝．
②若点F在AD上，如图2②，
在Rt△ABE和Rt△BAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴∠BAE＝∠ABF，
∴OB＝OA．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴OB＝OE，
∴OA＝OB＝OE．
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE＝＝2，
∴OB＝AE＝．
综上所述：BO的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等角对等边、等角的余角相等、勾股定理等知识，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决第（1）②小题的关键，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键．