第9章 多边形 单元检测试卷
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华师大七年级下第9章 多边形单元检测试卷
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题，每题3分，共36分）
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是
A． B． C． D．
2．如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米．
A．100 B．120 C．140 D．60
3．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是
A．5，5，5 B．5，7，7 C．5，12，13 D．5，7，12
4．若多边形的边数增加1，则( )
A．其内角和增加180 B．其内角和为360 C．其内角和不变 D．其外角和减少
5．已知一个三角形三个内角度数的比是l：5：6，则其最大内角的度数为 （ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
6．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图，D是BC的中点，E是AC的中点，△ADE的面积为2，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
8．已知某多边形的内角和比该多边形的外角和的3倍还多180，则该多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
10．如图，将一副三角板如图放置，，，，若，则
A． B． C． D．
11．三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是 ( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
12．若在下列形状的地砖中只选一种去铺地，要求既没有空隙而地砖又不相互重叠，则不能把地面按要求铺满的地砖形状是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正五边形
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
13．一个等腰三角形的两条边长分别为10 cm和4 cm，那么它的周长为 _______.
14．如图，某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成，图中图形的尖角∠ABC的度数为_______．
15．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 ______.
16．一个三角形三个内角度数的比是2∶5∶4，那么这个三角形是___三角形.
17．如图,小丽从A点出发前进a米,向右转40°,再前进a米,又右转40°，…，这样一直走下去，当她第一次回到出发点A时，一共走了54米,则a=__________.
18．如图所示,∠1=50°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为________
三、解答题（8小题，共66分）
19．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，5为边的三角形， 求a的整数解。
20．请你根据如图所示的阿宝与仙鹤的对话，解答下列问题：
（1）仙鹤为什么说多边形内角和的度数不可能是；
（2）若图中仙鹤所提到的外角的度数为，请分别求仙鹤所画的多边形的内角和的度数与边数．
21．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的角平分线，若∠B＝，∠C＝，求∠BAD、∠AEB的度数.
22．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE、∠BOA的度数．
23．如图，在中，D是BC边上一点，，，求的度数．
24．如图，P是△ABC内一点，连结BP，并延长交AC于点D.
(1)试探究AB＋BC＋CA与2BD的大小关系；
(2)试探究AB＋CA与PB＋PC的大小关系．
25．如图,直角△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是直线AB上的一动点,设∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α
(1)如图1,点P在线段AB上(不与A、B重合)
①若∠α=50°,则∠1+∠2=_________
②写出∠1、∠2与∠α之间满足的数量关系式,并说明理由
(2)如图2,若点P运动到边AB的延长线上时,直接写出∠1、∠2与∠α之间所满足的数量关系式
26．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB.
(1) 若∠A=40°，求∠BOC的度数。
(2) 若∠A=90°,则∠BOC=________；若∠A=120°，则∠BOC=_______.
(3) 观察（1）（2）的结果，试找出∠BOC与∠A之间的数量关系，不必证明。
(4) 利用（3）中的关系式解答：若∠BOC=157°，求∠A的度数。
参考答案
1．【考点】直角三角形两锐角互余
【分析】根据直角三角形两锐角互余，列式进行计算即可得解．
解：在一个直角三角形中，有一个锐角等于，
另一个锐角的度数是．
故选：C．
【点睛】考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
2．【考点】多边形的内角与外角
【分析】根据多边形的外角和为360°，由题意得到小明运动的轨迹为正10边形的周长，即可求解．
解：由题意得：360°÷36°＝10，
则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10＝120（米）．
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和定理．
3．【考点】三角形的三边关系
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．
解：A、，能构成三角形；
B、，能构成三角形；
C、，能构成三角形；
D、，不能构成三角形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
4．【考点】多边形的内角和
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）?180°（n为多边形的边数），即可进行判断.
解 :设多边形的边数为n， 则原多边形的内角和为（n-2）?180°， 边数增加后的多边形的内角和为（n+1-2）?180°， ∴（n+1-2）?180°-（n-2）?180°=180°， ∴其内角和的度数增加180°． 故选A．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式：（n-2）?180°（n为多边形的边数）.
5．【考点】三角形内角和定理
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．
解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，5k°，6k°， 根据三角形内角和定理，可知k°+5k°+6k°=180°， 解得k°=15°． 所以6k°=90°，即最大的内角是90°． 故选：C．
【点睛】此类题利用三角形内角和定理(三角形内角和是180°)列方程求解可简化计算．
6．【考点】三角形的外角定理
【分析】由∠A＝80°，∠B＝40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．
解：∵∠ACD＝∠B+∠A，
而∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝80°+40°＝120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝60°，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的外角定理，熟练掌握“三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和”是解题的关键．
7．【考点】三角形的中线的性，三角形的面积
【分析】根据三角形的中线的性质解答即可．
解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，△ADE的面积为2，
∴△ADC的面积＝4，
∴△ABC的面积＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是根据三角形的中线的性质解答．
8．【考点】多边形的内角和与外角和
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n-2），外角和为360度，即可根据题意列出方程进行求解.
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得180°（n-2）=3×360°+180°
解得n=9
故选C.
【点睛】此题主要考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟知多边形的内角和公式.
9．【考点】三角形内角和定理及外角的性质
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝70°+180°＝250°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
10．【考点】平行线的性质，三角形外角与内角的关系
【分析】因为∠AFD是△AFE的一个外角，先利用平行线性质求出∠EAC的度数，再利用三角形外角性质即可求解．
解：∵∠C=30°，AE∥BC，∴∠EAC=∠C=30°．
又∵∠E=45°，∴∠AFD=∠E+∠EAC=45°+30°=75°．
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要熟练掌握平行线的性质以及三角形外角与内角的关系．
11．【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
解：三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，
此三角形是直角三角形.
故答案选C.
【点睛】本题考查的知识点是三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是熟练的掌握三角形的角平分线、中线和高.
12．【考点】正多边形的镶嵌
【分析】根据密铺的条件可知，正三角形，正方形，正六边形的每个内角都能被360度整除，所以都能密铺；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能被360°整除，不能密铺．
解：A、正三角形的每个内角是60°，6个能密铺； B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺； C、正六边形的每个内角是120°，3个能密铺;
D、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能被360°整除，不能密铺.
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能被360°整除．
13．【考点】三角形三边关系
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知，等腰三角形的腰长不可能为4cm，只能为10cm，依此即可求得等腰三角形的周长．
解：∵等腰三角形的两条边长分别为4cm，10cm， ∴由三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为4cm，只能为10cm， ∴等腰三角形的周长=10+10+4=24cm． 故答案为：24cm．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质（等腰三角形的两腰相等）和三角形三边关系（三角形两边之和大于第三边）等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生应熟练掌握．
14．【考点】平面镶嵌（密铺）
【分析】先算出正五边形的每个内角的度数，让360减去3个内角的度数和的差除以2即可．
解：∵正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，
∴∠ABC=（360°﹣3×108°）÷2=36°÷2=18°．
故答案为：18°．
【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是求出正五边形的每个内角的度数.
15．【考点】三角形的内角和定理
【分析】根据三角形的内角和是180°，可知∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，由BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，可知∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，即∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和是180°，得出∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，从而求出∠BOC的度数．
解：∵∠BAC=60°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-60°）=120°．
【点睛】三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
16．【考点】三角形的内角和定理
【分析】三角形的内角和是180度，根据比值关系计算判断.
解：三角形的内角和是180度，三角形三个内角度数的比是2∶5∶4，所以三个角分别为：,,
三角形为锐角三角形.
故答案为：锐角.
【点睛】此题重点考查学生对三角形内角和的认识，理解三角形内角和是解题的关键.
17．【考点】多边形的外角和
【分析】根据多边形的外角和，可得答案．
解：由题意，得
360÷40=9，
是九边形
故答案为：6.
【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于是解题的关键.
18．【考点】三角形外角的性质和三角形内角和定理
【分析】由三角形外角的性质可知∠D+∠F=∠2，∠A+∠E=∠3，由对顶角相等可知∠4=∠1=50°，根据三角形内角和180°可得出∠B+∠C=130°，∠2+∠3=130°，即可求解.
解：如图，∠D+∠F=∠2，∠A+∠E=∠3，
∴∠A+∠D+∠E+∠F=∠2+∠3，
∵∠1=50°，
∴∠2+∠3=180°-50°=130°，∠4=50°，
∴∠B+∠C=180°-50°=130°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°.
故答案为260°.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键.
19．【考点】一元一次不等式组的解法，三角形的三边关系
【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得＜a＜8，进而得出a的取值范围是4≤a＜8，，即可得到a的整数解有5个．
解：解不等式①，可得x＜2a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞，
又∵存在以3，a，5为边的三角形，
∴2＜a＜8，
∴a的取值范围是4≤a＜8，
∴a的整数解有5个：3,4,5,6,7.
【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．【考点】多边形的内角和与外角和
【分析】（1））多边形的内角和可以表示成（n-2）?180°，依此可知多边形的内角和是180°的倍数； （2）求出少加的内角的度数，进而得出边数．
解：（1）∵多边形内角和为（n﹣2）?180°，∴1340°不能整除180°，
故多边形内角和的度数不可能是1340°；
（2）∵1340°﹣40°=1300°，180°﹣40°=140°，
∴1300°+140°=1440°，1440°÷180°+2=10,
∴仙鹤所画的多边形的内角和的度数为1440°，边数为10.
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和；掌握多边形内角和定理和外角和定理是关键．
21．【考点】三角形的内角和定理，三角形的高线与角平分线
【分析】先根据三角形的内角和，求得∠BAC的度数，再根据AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，求得∠BAD和∠BAE的度数，最后根据三角形内角和求得∠AEB的度数．
解：在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝50°，
∠BAC=180°-∠B-∠C=60°， ∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线， ∴∠ADB=90°, ∠BAE=∠BAC=30°，
∴∠BAD=90°-∠B=20°， ∴在△ABE中，∠AEB=180°-∠B-∠BAE=80°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的高线与角平分线的概念，解决问题的关键是根据三角形内部各个角的和差关系进行计算，属于基础题．
22．【考点】三角形内角和定理，三角形的高和角平分线
【分析】根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
解∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠BAC＝60°，AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°，
∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝25°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°．
故∠DAE，∠BOA的度数分别是10°，125°
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
23． 【考点】三角形内角和定理，三角形外角性质
【分析】依据三角形外角性质，即可得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠DAC的度数．
解：∵∠1=∠2=39°，
∴∠3=∠4=∠1+∠2=78°，
∴△ACD中，∠DAC=180°﹣（∠3+∠4）=180°﹣2×78°=24°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
24．【考点】三角形三边关系
【分析】(1)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，BC＋CD＞BD，再根据不等式的性质即可求解；(2)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，PD＋CD＞PC，再根据不等式的性质即可求解.
解：(1)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，BC＋CD＞BD，
∴AB＋AD＋BC＋CD＞2BD，
∴AB＋BC＋CA＞2BD.
(2)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，PD＋CD＞PC，
∴AB＋AD＋PD＋CD＞BD＋PC，
∴AB＋AD＋CD＞BD－PD＋PC，
即AB＋CA＞PB＋PC.
【点睛】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三边关系式是解题的关键
25．【考点】三角形内角和定理和外角的性质
【分析】(1)①根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；②利用①中所求得出答案即可；
(2)利用三角外角的性质得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
解：(1)①∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，
∵∠C=90°，∠α=50°，
∴∠1+∠2=140°；
②∠1+∠2=90°+α；
∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α；
(2)∠1=90°+∠2+α，
理由：∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
故答案为：(1)①140°，②∠1+∠2=90°+α；(2)∠1=90°+∠2+α.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．
26．【考点】三角形内角和定理，角平分线的定义
【分析】（1）根据∠A的度数即可得到∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠OBC+∠OCB的度数，最后依据三角形内角和定理即可得出结论； （2）运用（1）中的方法进行计算即可； （3）根据（1）（2）的结果即可得出∠BOC与∠A之间的数量关系为∠BOC=90°+∠A； （4）直接利用（3）中的关系式即可得到∠A的度数．
解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°；
（2）∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×90°＝45°，
∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°；
∵∠A＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×60°＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°；
故答案为：135°，150°；
（3）∠BOC与∠A之间的数量关系为∠BOC＝90°+∠A；
（4）若∠BOC＝157°，则157°＝90°+∠A，
解得∠A＝134°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．
班级_____________考号______________姓名_______________总分_________________
一、选择题（12小题，每题3分，共36分）
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是
A． B． C． D．
2．如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米．
A．100 B．120 C．140 D．60
3．下列各组数不可能是一个三角形的边长的是
A．5，5，5 B．5，7，7 C．5，12，13 D．5，7，12
4．若多边形的边数增加1，则( )
A．其内角和增加180 B．其内角和为360 C．其内角和不变 D．其外角和减少
5．已知一个三角形三个内角度数的比是l：5：6，则其最大内角的度数为 （ ）
A．60° B．75° C．90° D．120°
6．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如图，D是BC的中点，E是AC的中点，△ADE的面积为2，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
8．已知某多边形的内角和比该多边形的外角和的3倍还多180，则该多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
10．如图，将一副三角板如图放置，，，，若，则
A． B． C． D．
11．三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是 ( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
12．若在下列形状的地砖中只选一种去铺地，要求既没有空隙而地砖又不相互重叠，则不能把地面按要求铺满的地砖形状是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正五边形
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
13．一个等腰三角形的两条边长分别为10 cm和4 cm，那么它的周长为 _______.
14．如图，某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成，图中图形的尖角∠ABC的度数为_______．
15．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 ______.
16．一个三角形三个内角度数的比是2∶5∶4，那么这个三角形是___三角形.
17．如图,小丽从A点出发前进a米,向右转40°,再前进a米,又右转40°，…，这样一直走下去，当她第一次回到出发点A时，一共走了54米,则a=__________.
18．如图所示,∠1=50°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为________
三、解答题（8小题，共66分）
19．已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，5为边的三角形， 求a的整数解。
20．请你根据如图所示的阿宝与仙鹤的对话，解答下列问题：
（1）仙鹤为什么说多边形内角和的度数不可能是；
（2）若图中仙鹤所提到的外角的度数为，请分别求仙鹤所画的多边形的内角和的度数与边数．
21．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的角平分线，若∠B＝，∠C＝，求∠BAD、∠AEB的度数.
22．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE、∠BOA的度数．
23．如图，在中，D是BC边上一点，，，求的度数．
24．如图，P是△ABC内一点，连结BP，并延长交AC于点D.
(1)试探究AB＋BC＋CA与2BD的大小关系；
(2)试探究AB＋CA与PB＋PC的大小关系．
25．如图,直角△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是直线AB上的一动点,设∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α
(1)如图1,点P在线段AB上(不与A、B重合)
①若∠α=50°,则∠1+∠2=_________
②写出∠1、∠2与∠α之间满足的数量关系式,并说明理由
(2)如图2,若点P运动到边AB的延长线上时,直接写出∠1、∠2与∠α之间所满足的数量关系式
26．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB.
(1) 若∠A=40°，求∠BOC的度数。
(2) 若∠A=90°,则∠BOC=________；若∠A=120°，则∠BOC=_______.
(3) 观察（1）（2）的结果，试找出∠BOC与∠A之间的数量关系，不必证明。
(4) 利用（3）中的关系式解答：若∠BOC=157°，求∠A的度数。
参考答案
1．【考点】直角三角形两锐角互余
【分析】根据直角三角形两锐角互余，列式进行计算即可得解．
解：在一个直角三角形中，有一个锐角等于，
另一个锐角的度数是．
故选：C．
【点睛】考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
2．【考点】多边形的内角与外角
【分析】根据多边形的外角和为360°，由题意得到小明运动的轨迹为正10边形的周长，即可求解．
解：由题意得：360°÷36°＝10，
则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10＝120（米）．
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和定理．
3．【考点】三角形的三边关系
【分析】看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可．
解：A、，能构成三角形；
B、，能构成三角形；
C、，能构成三角形；
D、，不能构成三角形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
4．【考点】多边形的内角和
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）?180°（n为多边形的边数），即可进行判断.
解 :设多边形的边数为n， 则原多边形的内角和为（n-2）?180°， 边数增加后的多边形的内角和为（n+1-2）?180°， ∴（n+1-2）?180°-（n-2）?180°=180°， ∴其内角和的度数增加180°． 故选A．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式：（n-2）?180°（n为多边形的边数）.
5．【考点】三角形内角和定理
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．
解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，5k°，6k°， 根据三角形内角和定理，可知k°+5k°+6k°=180°， 解得k°=15°． 所以6k°=90°，即最大的内角是90°． 故选：C．
【点睛】此类题利用三角形内角和定理(三角形内角和是180°)列方程求解可简化计算．
6．【考点】三角形的外角定理
【分析】由∠A＝80°，∠B＝40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．
解：∵∠ACD＝∠B+∠A，
而∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝80°+40°＝120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝60°，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的外角定理，熟练掌握“三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和”是解题的关键．
7．【考点】三角形的中线的性，三角形的面积
【分析】根据三角形的中线的性质解答即可．
解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，△ADE的面积为2，
∴△ADC的面积＝4，
∴△ABC的面积＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积，关键是根据三角形的中线的性质解答．
8．【考点】多边形的内角和与外角和
【分析】设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n-2），外角和为360度，即可根据题意列出方程进行求解.
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得180°（n-2）=3×360°+180°
解得n=9
故选C.
【点睛】此题主要考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是熟知多边形的内角和公式.
9．【考点】三角形内角和定理及外角的性质
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝70°+180°＝250°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
10．【考点】平行线的性质，三角形外角与内角的关系
【分析】因为∠AFD是△AFE的一个外角，先利用平行线性质求出∠EAC的度数，再利用三角形外角性质即可求解．
解：∵∠C=30°，AE∥BC，∴∠EAC=∠C=30°．
又∵∠E=45°，∴∠AFD=∠E+∠EAC=45°+30°=75°．
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要熟练掌握平行线的性质以及三角形外角与内角的关系．
11．【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
解：三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，
此三角形是直角三角形.
故答案选C.
【点睛】本题考查的知识点是三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是熟练的掌握三角形的角平分线、中线和高.
12．【考点】正多边形的镶嵌
【分析】根据密铺的条件可知，正三角形，正方形，正六边形的每个内角都能被360度整除，所以都能密铺；正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能被360°整除，不能密铺．
解：A、正三角形的每个内角是60°，6个能密铺； B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺； C、正六边形的每个内角是120°，3个能密铺;
D、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能被360°整除，不能密铺.
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能被360°整除．
13．【考点】三角形三边关系
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知，等腰三角形的腰长不可能为4cm，只能为10cm，依此即可求得等腰三角形的周长．
解：∵等腰三角形的两条边长分别为4cm，10cm， ∴由三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为4cm，只能为10cm， ∴等腰三角形的周长=10+10+4=24cm． 故答案为：24cm．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质（等腰三角形的两腰相等）和三角形三边关系（三角形两边之和大于第三边）等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生应熟练掌握．
14．【考点】平面镶嵌（密铺）
【分析】先算出正五边形的每个内角的度数，让360减去3个内角的度数和的差除以2即可．
解：∵正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，
∴∠ABC=（360°﹣3×108°）÷2=36°÷2=18°．
故答案为：18°．
【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是求出正五边形的每个内角的度数.
15．【考点】三角形的内角和定理
【分析】根据三角形的内角和是180°，可知∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，由BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，可知∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，即∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和是180°，得出∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，从而求出∠BOC的度数．
解：∵∠BAC=60°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-60°）=120°．
【点睛】三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
16．【考点】三角形的内角和定理
【分析】三角形的内角和是180度，根据比值关系计算判断.
解：三角形的内角和是180度，三角形三个内角度数的比是2∶5∶4，所以三个角分别为：,,
三角形为锐角三角形.
故答案为：锐角.
【点睛】此题重点考查学生对三角形内角和的认识，理解三角形内角和是解题的关键.
17．【考点】多边形的外角和
【分析】根据多边形的外角和，可得答案．
解：由题意，得
360÷40=9，
是九边形
故答案为：6.
【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于是解题的关键.
18．【考点】三角形外角的性质和三角形内角和定理
【分析】由三角形外角的性质可知∠D+∠F=∠2，∠A+∠E=∠3，由对顶角相等可知∠4=∠1=50°，根据三角形内角和180°可得出∠B+∠C=130°，∠2+∠3=130°，即可求解.
解：如图，∠D+∠F=∠2，∠A+∠E=∠3，
∴∠A+∠D+∠E+∠F=∠2+∠3，
∵∠1=50°，
∴∠2+∠3=180°-50°=130°，∠4=50°，
∴∠B+∠C=180°-50°=130°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°.
故答案为260°.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键.
19．【考点】一元一次不等式组的解法，三角形的三边关系
【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得＜a＜8，进而得出a的取值范围是4≤a＜8，，即可得到a的整数解有5个．
解：解不等式①，可得x＜2a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞，
又∵存在以3，a，5为边的三角形，
∴2＜a＜8，
∴a的取值范围是4≤a＜8，
∴a的整数解有5个：3,4,5,6,7.
【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．【考点】多边形的内角和与外角和
【分析】（1））多边形的内角和可以表示成（n-2）?180°，依此可知多边形的内角和是180°的倍数； （2）求出少加的内角的度数，进而得出边数．
解：（1）∵多边形内角和为（n﹣2）?180°，∴1340°不能整除180°，
故多边形内角和的度数不可能是1340°；
（2）∵1340°﹣40°=1300°，180°﹣40°=140°，
∴1300°+140°=1440°，1440°÷180°+2=10,
∴仙鹤所画的多边形的内角和的度数为1440°，边数为10.
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和；掌握多边形内角和定理和外角和定理是关键．
21．【考点】三角形的内角和定理，三角形的高线与角平分线
【分析】先根据三角形的内角和，求得∠BAC的度数，再根据AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，求得∠BAD和∠BAE的度数，最后根据三角形内角和求得∠AEB的度数．
解：在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝50°，
∠BAC=180°-∠B-∠C=60°， ∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线， ∴∠ADB=90°, ∠BAE=∠BAC=30°，
∴∠BAD=90°-∠B=20°， ∴在△ABE中，∠AEB=180°-∠B-∠BAE=80°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的高线与角平分线的概念，解决问题的关键是根据三角形内部各个角的和差关系进行计算，属于基础题．
22．【考点】三角形内角和定理，三角形的高和角平分线
【分析】根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
解∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠BAC＝60°，AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠CAD＝30°﹣20°＝10°，
∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝50°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝25°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°．
故∠DAE，∠BOA的度数分别是10°，125°
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
23． 【考点】三角形内角和定理，三角形外角性质
【分析】依据三角形外角性质，即可得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠DAC的度数．
解：∵∠1=∠2=39°，
∴∠3=∠4=∠1+∠2=78°，
∴△ACD中，∠DAC=180°﹣（∠3+∠4）=180°﹣2×78°=24°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
24．【考点】三角形三边关系
【分析】(1)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，BC＋CD＞BD，再根据不等式的性质即可求解；(2)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，PD＋CD＞PC，再根据不等式的性质即可求解.
解：(1)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，BC＋CD＞BD，
∴AB＋AD＋BC＋CD＞2BD，
∴AB＋BC＋CA＞2BD.
(2)根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，PD＋CD＞PC，
∴AB＋AD＋PD＋CD＞BD＋PC，
∴AB＋AD＋CD＞BD－PD＋PC，
即AB＋CA＞PB＋PC.
【点睛】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三边关系式是解题的关键
25．【考点】三角形内角和定理和外角的性质
【分析】(1)①根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；②利用①中所求得出答案即可；
(2)利用三角外角的性质得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
解：(1)①∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，
∵∠C=90°，∠α=50°，
∴∠1+∠2=140°；
②∠1+∠2=90°+α；
∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α；
(2)∠1=90°+∠2+α，
理由：∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
故答案为：(1)①140°，②∠1+∠2=90°+α；(2)∠1=90°+∠2+α.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．
26．【考点】三角形内角和定理，角平分线的定义
【分析】（1）根据∠A的度数即可得到∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠OBC+∠OCB的度数，最后依据三角形内角和定理即可得出结论； （2）运用（1）中的方法进行计算即可； （3）根据（1）（2）的结果即可得出∠BOC与∠A之间的数量关系为∠BOC=90°+∠A； （4）直接利用（3）中的关系式即可得到∠A的度数．
解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°；
（2）∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×90°＝45°，
∴∠BOC＝180°﹣45°＝135°；
∵∠A＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
又∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×60°＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°；
故答案为：135°，150°；
（3）∠BOC与∠A之间的数量关系为∠BOC＝90°+∠A；
（4）若∠BOC＝157°，则157°＝90°+∠A，
解得∠A＝134°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．