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9.1.2不等式的性质
学习目标：
1.理解不等式的性质；
2.利用不等式的性质解不等式.
3.利用天平实验探究不等式性质1,性质2;通过对具体不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等式符号改变的情形探究不等式性质3;在此基础上，利用不等式的性质解不等式，要着重强化不等式性质3的理解与运用.
学习重点：不等式的性质.
学习难点：不等式的性质3.
学习过程：
一、新知引入
小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁，小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大了．”小刚的说法对吗？为什么？
等式的基本性质1:
等式的基本性质2:
二、新知讲解
不等式基本性质1
（1）观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
6＞4，则5+2_____3+2，5-2____3-2；
-1＜3，则-1+3_____2+3，-1-3____2-3；
发现:当不等式两边加上或减去同一个数时,不等号的方向________
a＞b，则a±c_____b±c；
●归纳：不等式的性质1
不等式的两边加（或减）同一个数(或式子)，不等号的方向______.
字母表示为：a＞b，则a±c_____b±c
不等式基本性质2
（2）观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
6＞2，则6×5_____2×5，6/5_____2/5
-2＜3，则-2×6_____3×6，-2/6_____3/6.
发现： 当不等式的两边 乘以同一个正数时,不等号的方向______ .
●归纳：不等式的性质2
不等式的两边乘（或除以）同一个 ，不等号的方向 .
用式子表示：如果a＜b，c＞0，那么a/c＜b/c或a/c＜b/c.
不等式基本性质3
（3）观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
6＞2 6 x（- 2） ____ 2 x（- 2）
6 ÷(-2)____2 ÷（-2）
–2<4 (-2) x（- 2） ____ 4 x（-2）
(-2) ÷(-2)____4 ÷(-2)
发现：当不等式的两边 除以同一个负数时,不等号的方向________.
●归纳：不等式的性质 3
不等式的两边乘（或除以）同一个 ，不等号的方向改变必须把不等号的方向________
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么a/c＜b/c或a/c＜b/c.
巩固练习：
1.设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.
（1） a - 3____b - 3； （2） a÷3____b÷3
（3） 0.1a____0.1b; （4） -4a____-4b
（5） 2a+3____2b+3; （6）(m2+1)a____ (m2+1)b(m为常数)
2.已知a＜0，用“＜”“＞”填空：
(1)a+2 ____2； ?(2)a-1 _____-1； (3)3a______0； (4)-______0;
(5)a2_____0; (6)a3______0; (7)a-1_____0；??(8)|a|______0．
3.判断正误：
（１）如果a＞b，那么ac＞bc。
（２）如果a＞b，那么ac2＞bc2。
（３）如果ac2＞bc2, 那么a＞b。
三、例题讲解
例1、利用不等式的性质解下列不等式：
(1)x-７＞26； (2)3x<2x+1；
(3) x﹥50； (4)-4x﹥3.
例2、某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm。容器内原有水的高度为3cm， 现准备向它继续注。用V(单位：cm3 ）表示新注入水的体积，写出V的取值范围。
巩固练习：
1、若a>b，则 ( )
A.a>－b B.a<－b C.－2a>－2b D.－2a<－2b
2、把下列不等式的解集表示在数轴上.
（1）5x < 200 ; （2）
（3）x - 4 ≥ 2(x+2) (4）
3、用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，人跑开的速度是每秒4 m，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100 m以外的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？
4、某种商品的进价 为800元，出售标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（ ）
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
5、已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
四、课堂小结
1.不等式的三个性质.
2.运用不等式的性质3时，一定要变号.
利用性质将不等式化为：x﹥a 或 x﹤a的形式
五、布置作业
教材120页3、4、5题
当堂测评
下列不等式变形正确的是 （ ）
由4x- 1≥0得4x>1 B.由5x>3 得 x>3
C.由>0得 y>0 D.由-2x<4得x<-2
2、图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ）
A.x≥－2 B.x＜1
C.x≠0 D.x＜0
3、在平面直角坐标系中，点（-7，-2m+1）在第三象限，则m的取值范围是（ ）
m < B.m> - C.m < - D.m >
4、关于x的不等式（1-a）x> 3 解集为x < ,则a的取值范围是 （ ）
A.a >0 B.a<0 C.a > 1 D.a < 1
5、已知－x＜－y，用“＜”或“＞”填空：
(1)－2x________－2y；
(2)2x________2y；
(3)x________y.
6、利用不等式的性质解下列不等式：
(1)2x－2<0； (2)3x－9<6x； (3)x－2＞x－5.
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9.1.2不等式的性质
教学目标：
1.理解不等式的性质；
2.利用不等式的性质解不等式.
3.利用天平实验探究不等式性质1,性质2;通过对具体不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等式符号改变的情形探究不等式性质3;在此基础上，利用不等式的性质解不等式，要着重强化不等式性质3的理解与运用.
教学重点：不等式的性质.
教学难点：不等式的性质3.
教学过程：
一、新知引入
小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁，小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大了．”小刚的说法对吗？为什么？
回顾等式的性质：
等式的基本性质1:在等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，结果仍相等．
如果a=b,那么a±c=b±c
等式的基本性质2:在等式两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，结果仍相等．
如果a=b,那么ac=bc或（c≠0）。
等式和不等式只有一字之差，是否不等式也具有同样的性质呢？今天我们一起来学习这个课题。二、新知讲解
不等式基本性质1
用你智慧的双眼，看看下列规律，然后用你用你优美的语言概述一下那你发现的结论。
（1）观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
6＞4，则5+2_____3+2，5-2____3-2；
-1＜3，则-1+3_____2+3，-1-3____2-3；
发现:当不等式两边加上或减去同一个数时,不等号的方向________
a＞b，则a±c_____b±c；
●归纳：不等式的性质1
不等式的两边加（或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
字母表示为：a＞b，则a±c_____b±c
不等式基本性质2
不等式的两边加减一个数，具有那样的规律。那么乘除一个数是否也有同样的规律呢？试一试：
（2）观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
6＞2，则6×5_____2×5，6/5_____2/5
-2＜3，则-2×6_____3×6，-2/6_____3/6.
发现： 当不等式的两边 乘以同一个正数时,不等号的方向______ .
●归纳：不等式的性质2
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
用式子表示：如果a＜b，c＞0，那么a/c＜b/c或a/c＜b/c.
不等式基本性质3
（3）观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
6＞2 6 x（- 2） ____ 2 x（- 2）
6 ÷(-2)____2 ÷（-2）
–2<4 (-2) x（- 2） ____ 4 x（-2）
(-2) ÷(-2)____4 ÷(-2)
发现：当不等式的两边 除以同一个负数时,不等号的方向________.
●归纳：不等式的性质 3
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变必须把不等号的方向改变
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么a/c＜b/c或a/c＜b/c.
第一个环节的内容，相信同学们已经有了很好的理解了，下面我们一起来做一些练习看看同学们掌握的如何，有没有信心！
巩固练习：
1.设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.
（1） a - 3____b - 3； （2） a÷3____b÷3
（3） 0.1a____0.1b; （4） -4a____-4b
（5） 2a+3____2b+3; （6）(m2+1)a____ (m2+1)b(m为常数)
2.已知a＜0，用“＜”“＞”填空：
(1)a+2 ____2； ?(2)a-1 _____-1； (3)3a______0； (4)-______0;
(5)a2_____0; (6)a3______0; (7)a-1_____0；??(8)|a|______0．
3.判断正误：
（１）如果a＞b，那么ac＞bc。
（２）如果a＞b，那么ac2＞bc2。
（３）如果ac2＞bc2, 那么a＞b。
三、例题讲解
例1、利用不等式的性质解下列不等式：
(1)x-７＞26； (2)3x<2x+1；
(3) x﹥50； (4)-4x﹥3.
分析：解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为x﹥a或x﹤a的形式．
解：(1)为了使不等式x-７＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质１，不等式两边都加７，不等号的方向不变，得：
x-７+７﹥26+７
x﹥33
（2）为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据_____________，不等式两边都减去____，不等号的方向_____，得：3x-2x﹤2x+1-2x x﹤1
（3）为了使不等式 x﹥50中不等号的一边变为x，根据不等式的性质2，不等式的两边都除以 不等号的方向不变，得：x﹥75
例2、某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm。容器内原有水的高度为3cm， 现准备向它继续注。用V(单位：cm3 ）表示新注入水的体积，写出V的取值范围。
解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即
V+3×7×3≤3×5×10
解得 V≤105
又由于新注入水的体积不能是负数，因此，V的取值范围是：V≥0并且V≤105
在数轴上表示V的取值范围如图：
在表示0和105的点上画实心圆点，表示取值范围包括这两个数
方法总结：用数轴表示不等式的解集的方法：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定“方向”．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x>a或x≥a向右画，x
方法总结：本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键设出每天读多少页，以总页数作为等量关系列方程．
巩固练习：
1、若a>b，则 ( )D
A.a>－b B.a<－b C.－2a>－2b D.－2a<－2b
2、把下列不等式的解集表示在数轴上.
（1）5x < 200 ; （2）
（3）x - 4 ≥ 2(x+2) (4）
3、用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，人跑开的速度是每秒4 m，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100 m以外的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？
解：设导火索的长度是x cm ．根据题意，得
×4≥100． 解得： x≥20
答：导火索的长度应大于20 cm．
4、某种商品的进价 为800元，出售标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（ ）B
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
5、已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
四、课堂小结
1.不等式的三个性质.
2.运用不等式的性质3时，一定要变号.
利用性质将不等式化为：x﹥a 或 x﹤a的形式
五、布置作业
教材120页3、4、5题
当堂测评
下列不等式变形正确的是 （ ）C
由4x- 1≥0得4x>1 B.由5x>3 得 x>3
C.由>0得 y>0 D.由-2x<4得x<-2
2、图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ）D
A.x≥－2 B.x＜1
C.x≠0 D.x＜0
3、在平面直角坐标系中，点（-7，-2m+1）在第三象限，则m的取值范围是（ ）D
m < B.m> - C.m < - D.m >
4、关于x的不等式（1-a）x> 3 解集为x < ,则a的取值范围是 （ ）C
A.a >0 B.a<0 C.a > 1 D.a < 1
5、已知－x＜－y，用“＜”或“＞”填空：
(1)－2x________－2y；
(2)2x________2y；
(3)x________y.
解析：(1)根据不等式的性质2，不等式两边同乘以2，不等号方向不变，故填＜；(2)根据不等式的性质3，不等式两边同乘以－2，不等号方向改变，故填＞；(3)根据不等式的性质3，不等式两边同乘以－，不等号方向改变，故填＞.
方法总结：利用不等式的性质2、3把不等式进行变形时，首先必须弄清两边同时乘(或除以)的数的符号，如果这个数是正数，不等号的方向不变；如果是负数，不等号的方向改变．
6、利用不等式的性质解下列不等式：
(1)2x－2<0； (2)3x－9<6x； (3)x－2＞x－5.
解析：根据不等式的性质，把含未知数的项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.
解：(1)根据不等式的性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的性质2，两边除以2得x<1；
(2)根据不等式的性质1，两边都加上9－6x得－3x<9.根据不等式的性质3，两边都除以－3得x＞－3；
(3)根据不等式的性质1，两边都加上2－x得－x>－3.根据不等式的性质3，两边都除以－1得x<3.
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9.1.2不等式的性质
人教版 七年级下
新知导入
小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁，小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大了．”小刚的说法对吗？为什么？
24+9＞32
新知导入
等式和不等式只有一字之差，是否不等式也具有同样的性质呢？
等式的性质
等式的基本性质1:在等式两边都加上(或减去)同一个数或整式，结果仍相等．
如果a=b,那么a±c=b±c
等式的基本性质2:在等式两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，结果仍相等．
如果a=b,那么ac=bc或 （c≠0），
新知讲解
观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
(2) –1<3 -1+3____3+3
-1－3____3－3
6>4 6+2____4+2
6－2____4－2
＞
＞
<
<
发现:当不等式两边加上或减去同一个数时,不等号的方向________
不变
不等式基本性质1
新知讲解
+ C
－C
(或________)
如果_____,
那么_______
如果a>b,那么a±c>b±c
a>b
a+c>b+c
a-c＞b-c
新知讲解
不等式的性质1 不等式的两边加（或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
如果a＞b，那么a±c b±c
字母表示为：
﹥
归纳1：
新知讲解
(3) 6＞2 6×5____2×5
6 ÷ 5____ 2 ÷ 5
(4) –2<3 (-2)×6____3×6
(-2)÷ 6 ____3 ÷ 6
发现： 当不等式的两边 乘以同一个正数时,不等号的方向______ .
＞
＞
<
不变
观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
<
不等式基本性质2
新知讲解
不等式的性质2 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
如果a＜b,c>0那么ac bc，
字母表示为：
﹤
﹤
归纳2：
新知讲解
(5) 6＞2 6 x（- 2） ____ 2 x（- 2） 6 ÷(-2)____2 ÷（-2）
(6) –2<4 (-2) x（- 2） ____ 4 x（-2）
(-2) ÷(-2)____4 ÷(-2)
发现：当不等式的两边 除以同一个负数时,不等号的方向________.
＞
<
＞
改变
观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
<
不等式基本性质3
新知讲解
归纳3：
不等式的性质 3 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
必须把不等号的方向改变
如果a＞b，c＜0那么ac bc，
字母表示为：
﹤
﹤
巩固练习
1.设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.
（1） a - 3____b - 3；
（2） a÷3____b÷3
（3） 0.1a____0.1b;
（4） -4a____-4b
（5） 2a+3____2b+3;
（6）(m2+1)a____ (m2+1)b(m为常数)
＞
＞
＞
＞
＞
＜
不等式的性质1
不等式的性质2
不等式的性质2
不等式的性质3
不等式的性质1,2
不等式的性质2
巩固练习
2.已知a＜0，用“＜”“＞”填空：
(1)a+2 ____2； ?(2)a-1 _____-1；
(3)3a______0； (4)- ______0;
(5)a2_____0; (6)a3______0;
(7)a-1_____0；??(8)|a|______0．
＜
＜
＜
＞
＜
＞
＜
＞
巩固练习
3.判断正误：
（１）如果a＞b，那么ac＞bc。
（２）如果a＞b，那么ac2＞bc2。
（３）如果ac2＞bc2, 那么a＞b。
×
×
例题讲解
例1、利用不等式的性质解下列不等式：
(1)x-７＞26； (2)3x<2x+1；
(3) x﹥50； (4)-4x﹥3.
分析：解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为x﹥a或x﹤a的形式．
解：(1)为了使不等式x-７＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质１，不等式两边都加７，不等号的方向不变，得
x-７+７﹥26+７
x﹥33
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
例题讲解
（2）为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据_____________，不等式两边都减去____，不等号的方向_____，得
3x-2x﹤2x+1-2x
x﹤1
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
不等式性质1
2x
不变
例题讲解
（3）为了使不等式 x﹥50中不等号的一边变为x，根据不等
式的性质2，不等式的两边都除以 不等号的方向不变，
得
x﹥75
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
例题讲解
（4）为了使不等式-4x﹥3中的不等号的一边变为x，根据______________，不等式两边都除以____，不等号的方向______，得
x﹤－
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
不等式的性质3
-4
改变
例题讲解
例2、某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm。容器内原有水的高度为3cm， 现准备向它继续注。用V(单位：cm3 ）
表示新注入水的体积，写出V的取值范围。
解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能
超过容器的容积，即
V+3×7×3≤3×5×10
解得 V≤105
又由于新注入水的体积不能是负数，因此，
V的取值范围是
V≥0并且V≤105
在数轴上表示V的取值范围如图
0
105
在表示0和105的点上画实心圆点，表示取值范围包括这两个数
新知讲解
解未知数为x的不等式
化为x＞a或x＜a的形式
目标
方法：不等式基本性质1~3
1、解不等式的思路：
小结：
2、解不等式的注意事项：
②在数轴上表示解集应注意的问题： 方向、空心或实心
①在运用性质3时,要特别注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，要改变不等号的方向.
巩固练习
1、若a>b，则 ( )
(A)a>－b (B)a<－b
(C)－2a>－2b (D)－2a<－2b
解：不等式的两边都乘以-2，不等号的方向改变.
D
巩固练习
（1）5x < 200 ;
（3）x - 4 ≥ 2(x+2) (4)
2、把下列不等式的解集表示在数轴上.
答案： (1)
(2)
(3)
(4)
38
39
37
40
41
42
36
35
34
-4
-3
-5
-2
-1
0
-6
-7
-8
（2）
巩固练习
3、用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，人跑开的速度是每秒4 m，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100 m以外的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？
解：设导火索的长度是x cm ．根据题意，得
×4≥100．
答：导火索的长度应大于20 cm．
解得： x≥20
巩固练习
4、某种商品的进价 为800元，出售标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（ ）
(A)6折 (B)7折 (C)8折 (D)9折
解:设打x折，由题意得1 200×10x%-800≥
800×5%，解得x≥7，即最多可打7折 .
B
巩固练习
5、已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
解法一：∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a（不等式的性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
想一想：还有其他比较2a与a的大小的方法吗？
∵ 2a-a=a, 又∵ a＜0,
∴ 2a-a＜0,
∴2a课堂总结
不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
利用性质将不等式化为：x﹥a 或 x﹤a的形式
作业布置
教材120页3、4、5题
谢谢
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