高三数学卷
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一、填空题（第1题到第6题每题4分，第7题到第12题每题5分，满分54分）
1．计算行列式=_____________．
2．在的展开式中常数项为_____________．
3．设函数的图像经过点，则的反函数=_______．
4．参数方程表示的普通方程为________．
5．若关于的二元一次线性方程组的增广矩阵是，该方程组的解为，则_____________．
6．若满足约束条件，则的最小值为_________．
7．设等比数列中，首项，若是递增数列，则公比的取值范围是 ．
8．双曲线的右焦点恰好是的焦点，它的两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为_________．
9．已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递减，当时，恒有成立，则的取值范围是_________．
10．随机选取集合的非空子集和且的概率
是_________．
11．实系数一元二次方程的两个虚根，的实部，则的模等于，则实数________．
12．设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，的取值范围为_________．
二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分）
13．在等差数列中，设，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分非必要条件．
14．如左下图的后母戊鼎（原称司母戊鼎）是迄今为止世界上出土最大、最重的青铜礼器，有“镇国之宝”的美誉．后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下承中空“柱足”，造型厚重端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌文明的见证．
上右图为鼎足近似模型的三视图（单位：cm）．经该鼎青铜密度为a（单位：kg/cm3），则根据三视图信息可得一个“柱足”的重量约为（重量＝体积×密度，单位：kg）（ ）
A． B． C． D．．
15． 已知的周长为，，则顶点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．．
16．设有，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个新的三角形，再作的内切圆，得到的三个切点又确定一个新的三角形，以此类推，一次一次不停地作下去可以得到一个三角形序列，它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．与原三角形相似 D．以上均不对．
三、解答题（14+14+14+16+18=76分）
17．已知成等差数列，成等比数列，
（1）若，求；
（2）求的值．
18．如图，在四棱锥中，，，的中点是，，，，
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求面与平面所成二面角的大小．
19．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升，小于毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图，该函数近似模型如下：．
又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为毫克/百毫升．根据上述条件，解答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整分钟计算）
20．已知两点，动点在轴上的射影是，且，
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线的两个斜率存在，分别记为，若，求点的坐标；
（3）若经过点的直线与动点的轨迹有两个交点为、，
当时，求直线的方程.
21．统计学中将个数的和记作
（1）设，求；
（2）是否存在互不相等的非负整数，,使得成立，若存在，请写出推理的过程；若不存在请证明；
（3）设是不同的正实数，，对任意的，都有，判断是否为一个等比数列，请说明理由.
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2019年4月奉贤区高三数学二模参考答案
一、填空题（1-6，每个4分，7-12每个5分，合计54分）
1、 2、（必须要化简）
3、(可以不写定义域) 4、或
5、 6、
7、 8、（标准方程是唯一的表达形式），
写成类似这样的扣分
9、或或 10、（不可以写成近似值之类的）
11、 12、
二、选择题（每个5分，合计20分）
13、D 14、C 15、A 16、A
三、解答题（14+14+14+16+18=76分）
17、（1）因为成等差数列，所以··········2分
又，所以，即
所以或，·····················2分
解出或····················1分
因为成等比数列，所以的解集是空集···················1分
方法二：成等差数列，所以··········2分
又，所以，，
解出或····················3分
因为成等比数列，所以的解集是空集···················1分
（2）因为成等差数列，所以
因为成等比数列，所以···················2分
所以·················2分
·················2分
·················2分
18、（1）方法一：
是中点，所以 2分
,所以平行，
或其补角是异面直线所成的角 2分
计算可得,
所求异面直线角为 3分
方法二：建立空间直角坐标系，但必须证明，，
若不写证明，直接写如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系直接扣2分
是中点，所以
，所以
如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
··········2分
···········2分
异面直线与所成角为
异面直线与所成角为···········2分
（2）设面的一个法向量为
，又
即不妨令，
则，
即面的一个法向量为，···········2分
同理可得面的一个法向量为···········2分
令和所成角为，则···········2分
所以，即面与平面所成二面角的大小为.···········1分
19、（1）由题意得：当时，，即····2分
所以当时，，
在时取到最大值 ·········2分
又当时，是单调递减函数，
在时取到最大值 ·········2分
，所以喝1瓶啤酒小时血液中的酒精含量达到最大值·····1分
（2）当时，，
此时血液中酒精含量范围是，不可以驾车；·········3分
当时，单调递减函数
所以令 即小时，·········2分
所以喝1瓶啤酒后342分钟后才可以驾车。·········2分
20、（1）设，则
又·········2分
，所以动点的轨迹方程为···2分
（2）由题意得：
所以，即 ·········2分
又由（1）可得，所以解得 ·········1分
即点或或或···2分（漏一解扣1分）
（3）方法1：设直线方程，联立方程组
计算恒成立·········1分
设，所以
所以·······3分
即，解得·········1分
直线的方程为·········2分（漏一解扣1分）
方法2：设两个点的坐标分别为，其中（为参数）
将坐标代入得：
计算恒成立···1分
又，所以,·········3分
，即解得：，·········1分
直线的方程为·········2分（漏一解扣1分）
21、（1）因为，所以·········2分
所以·········2分
（2）因为，
又，所以中最大可能是10，
因为，
所以 （必需要说明清楚，否则只能得1分） ·······3分
又，
所以必有· ·······1分
又因为，所以
所以必然存在某几项，其中，
只有， ·······2分
所以存在这样互不相等的非负整数，，使得成立。 ·······1分
（3）数学归纳法证明：
当，代入，
化简得所以成等比数列 ·······2分
假设当时成等比数列，是不同的正实数
记，设
化简整理得：
······2分
去分母同乘以得
整理
因为
得，从而，
所以时是等比数列 ······3分
