第三节 表征交变电流的物理量
1．交变电流完成一次周期性变化的__________称为交变电流的周期．交变电流在1s内完成周期性变化的________叫做它的频率，周期和频率互为________即____________或____________．
2．让交变电流与恒定电流分别通过________阻值的电阻，如果它们在____________内产生的________相等，这个恒定电流I、电压U的数值就叫做相应交变电流的电流、电压的有效值．
3．正弦式交变电流的峰值和有效值的关系为________________，________________.
4．(双选)某交变电流的方向在1s内改变100次，则其周期T和频率f分别为( )
A．T＝0.01sB．T＝0.02s
C．f＝100HzD．f＝50Hz
5．(双选)一矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，产生交变电流的电动势的图象如图1所示，则( )
图1
A．交变电流的频率是4πHz
B．当t＝0时，线圈平面与磁感线垂直
C．当t＝πs时，e有最大值
D．交流电的周期是2πs
6．如图2是一个正弦式交变电流的图象，下列说法正确的是( )
图2
A．周期是0.2s，电流的峰值是10A
B．周期是0.15s，电流的峰值是10A
C．频率是5Hz，电流的有效值是10A
D．频率是0.2Hz，电流的有效值是7.07A
【概念规律练】
知识点一 交变电流的周期和频率
1．某交变电压随时间的变化规律如图3所示，则此交变电流的频率为________Hz.线圈转动的角速度是________rad/s.若将此电压加在10μF的电容器上，则电容器的耐压值不应小于________V.
图3
2．我国照明电压的瞬时值表达式为e＝220·sin100πtV，它的周期是________，频率是________，在1s内电流的方向改变________次，电压最大值为________．
知识点二 交变电流的峰值和有效值
3．关于交变电流的感应电动势的有效值U和最大值Um，下列说法中正确的是( )
A．任何形式的交变电流都具有U＝Um/的关系
B．只有正(余)弦式交变电流才具有U＝的关系
C．照明电压220V、动力电压380V指的都是最大值
D．交流电压表和交流电流表测的都是最大值
4．电阻R1、R2与交流电源按照图4(a)方式连接，R1＝10Ω，R2＝20Ω.合上开关S后，通过电阻R2的正弦式交变电流i随时间t变化的情况如图(b)所示．则( )
图4
A．通过R1的电流有效值是1.2A
B．R1两端的电压有效值是6V
C．通过R2的电流最大值是1.2A
D．R2两端的电压最大值是6V
【方法技巧练】
一、有效值的计算方法
5．如图5所示为一交变电流的图象，则该交变电流的有效值为多大？
图5
6．某一交流电的电压波形如图6所示，求这一交流电的电压有效值U.
图6
二、瞬时值、最大值、有效值与平均值的应用技巧
7．如图7所示，矩形线圈的匝数为n，线圈面积为S，线圈电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R，在线圈由图示位置转过90°的过程中，求：
图7
(1)通过电阻R的电荷量q；
(2)电阻R上产生的焦耳热Q.
8．在水平方向的匀强磁场中，有一正方形闭合线圈绕垂直于磁感线方向的轴匀速转动，已知线圈的匝数为n＝100匝，边长为20cm，电阻为10Ω，转动频率f＝50Hz，磁场的磁感应强度为0.5T．求：
(1)外力驱动线圈转动的功率．
(2)转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小．
(3)线圈由中性面转至与中性面成30°夹角的过程中，通过线圈横截面的电荷量．
1．(双选)下面关于交变电流的说法中正确的是( )
A．交流电器设备上所标的电压值和电流值是交变电流的峰值
B．用交流电流表和交流电压表测定的数值是交变电流的瞬时值
C．给定的交变电流数值，在没有特别说明的情况下都是指有效值
D．跟交变电流有相同的热效应的直流电流的数值是交变电流的有效值
2．图8表示两种电压的波形，其中图甲表示电压按正弦规律变化，下列说法正确的是( )
图8
A．图甲表示交流电，图乙表示直流电
B．两种电压的有效值都是311V
C．图甲所示电压的瞬时值表达式为u＝220sin100πtV
D．以上说法都不对
3．(双选)一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图9所示，由图可知( )
图9
A．该交流电的电压的有效值为100V
B．该交流电的频率为25Hz
C．该交流电压瞬时值的表达式为u＝100sin25tV
D．若将该交流电压加在阻值为100Ω的电阻两端，该电阻消耗的功率为50W
4．一个电热器接在10V的直流电源上，在ts内产生的焦耳热为Q，今将该电热器接在一个交流电源上，它在2ts内产生的焦耳热为Q，则这一交流电源的电压的最大值和有效值分别是( )
A．最大值10V，有效值10V
B．最大值10V，有效值5V
C．最大值5V，有效值5V
D．最大值20V，有效值10V
5．将阻值为5Ω的电阻接到内阻不计的交流电源上，电源电动势随时间变化的规律如图10所示．下列说法正确的是( )
图10
A．电路中交变电流的频率为0.25Hz
B．通过电阻的电流为A
C．电阻消耗的电功率为2.5W
D．用交流电压表测得电阻两端的电压是5V
6．(双选)一个矩形线框的面积为S，在磁感应强度为B的匀强磁场中，从线圈平面与磁场垂直的位置开始计时，转速为nr/s，则( )
A．线框交变电动势的峰值为nπBS
B．线框交变电动势的有效值为nπBS
C．从开始转动经过1/4周期，线框中的平均感应电动势为2nBS
D．感应电动势瞬时值为e＝2nπBSsin2nπt
7．一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图11甲所示．已知发电机线圈内阻为5.0Ω，外接一只电阻为95.0Ω的灯泡，如图乙所示，则( )
图11
A．电压表V的示数为220V
B．电路中的电流方向每秒钟改变50次
C．灯泡实际消耗的功率为484W
D．发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2J
8．在如图12所示的电路中，A是熔断电流I0＝2A的保险丝，R是可变电阻．交流电源的内电阻不计，其电动势随时间变化的规律是e＝220sin314tV．为了不使保险丝熔断，可变电阻的阻值应该大于( )
图12
A．110ΩB．110Ω
C．220ΩD．220Ω
9．(双选)有一个电子器件，当其两端电压高于100V时则导通，等于或低于100V时则不导通，若把这个电子器件接到100V、50Hz的正弦交变电源上，这个电子器件将( )
A．不导通B．每秒钟导通50次
C．每秒钟导通100次D．每次导通时间为0.005s
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答 案
10．将一电热器接在10V直流电源上，在时间t内可将一壶水烧开．现将电热器接到一个U＝10sinωtV的交变电源上，煮开同一壶水需时间________；若接到另一交流电源上，需要时间为，那么这个交流电源的最大值为________．
11．某交流电的电压随时间变化的规律如图13所示，此交流电的频率为________，若将该电压加在一阻值为1kΩ的纯电阻用电器上，用电器恰能正常工作，则该用电器的额定功率为________．
图13
12．图14是一交变电流随时间变化的图象，求此交变电流的有效值．
图14
13．如图15所示，线圈abcd的面积是0.05m2，共100匝，线圈电阻为1Ω，外接电阻R＝9Ω，匀强磁场的磁感应强度为B＝T，当线圈以300r/min的转速匀速转动时，求：
图15
(1)转动中感应电动势的最大值和有效值；
(2)电路中交流电压表和交流电流表的示数；
(3)线圈从图示位置转过90°的过程中通过电阻R的电量．
第三节 表征交变电流的物理量
课前预习练
1．时间 次数 倒数 T＝ f＝
2．相同 相同时间 热量
3．I＝ U＝
4．BD [由于正弦式交变电流每周期内方向改变两次，所以其频率为50Hz，由T＝得T＝0.02s．]
5．BD
6．A [由图象可知T＝0.2s，Im＝10A，故频率f＝＝5Hz，I＝＝5A＝7.07A．A正确，B、C、D错误．]
课堂探究练
1．50 100π 200
解析 由图象可知此正弦交变电压的峰值Um＝200V，周期T＝0.02s，频率f＝＝50Hz；ω＝＝rad/s＝100πrad/s.将该电压加在电容器上，电容器的耐压值不应小于200V.
点评 交变电流完成一次周期性变化所需的时间叫周期；交变电流在1s内完成周期性变化的次数叫频率．周期(T)和频率(f)的关系为：T＝.
2．0.02s 50Hz 100 220V
解析 由电压的瞬时值表达式e＝220sin100πtV可得Um＝220V，ω＝100πrad/s，所以周期T＝＝0.02s；由公式f＝得f＝50Hz；一个周期内电流的方向改变两次，所以1s内电流方向改变100次．
点评 交变电流在一个周期内，电流的方向改变两次．
3．B [电压、电流的有效值和峰值之间的倍关系是仅限于正(余)弦交变电流而言的，所以A是错误的，B是正确的；在交变电流的讲述中没有特别说明情况下的电流和电压均指有效值，C错误；交流电压表、交流电流表测的都是有效值，D错误．]
点评 交变电流的峰值Im或Um是它能达到的最大数值．正(余)弦式交变电流的有效值I、U与峰值Im、Um之间的关系为：I＝，U＝.
4．B [R1与R2串联，所以R1与R2中的电流变化情况相同．从图象可以看出，交变电流中电流最大值为0.6A，电流有效值为：I＝＝0.6A，R1两端的电压有效值为U1＝IR1＝6V，R2两端电压最大值为Um＝ImR2＝0.6×20V＝12V，综上所述，正确选项为B.]
点评 在纯电阻电路中，若电源为交流电源，欧姆定律仍然适用，公式I＝中I、U同时对应有效值(或最大值)．
5.I0
解析 交变电流一个周期T内通过电阻R产生的热量为2R·T/2＋IR·T/2，直流电I通过R一个周期T产生的热量为I2RT，由有效值的定义知()2R·T/2＋IR·T/2＝I2RT
解得I＝I0
方法总结 只有正弦(或余弦)式交流电的有效值才是最大值的，对于其他形式的交变电流要紧扣有效值的定义列方程计算有效值，时间一般取一个周期．
6．2V
解析 假设让一直流电压U和题图所示的交流电压分别通过同一电阻，交流电在一个周期内产生的热量为Q1＝2＝·＋·.直流电在一个周期内产生的热量Q2＝·T.由交流电有效值的定义，得Q1＝Q2，即·＋·＝·T.解得U＝2V.
方法总结 有效值是根据电流的热效应定义的(计算时要取一个完整周期的时间)，而不是简单的对电压求平均(错解U＝V＝6V)．
7．(1) (2)
解析 (1)在此过程中，穿过线圈的磁通量变化ΔΦ＝BS，经历时间Δt＝＝
产生的平均电动势为＝n＝nBωS
平均电流为＝＝
通过R的电荷量q＝·Δt＝
(2)该过程中电阻R上产生的焦耳热为一个周期内产生焦耳热的，Q＝I2RT＝()2R＝
方法总结 有效值是根据电流的热效应规定的，而交变电流的平均值是交变电流中各物理量(e，i，u)对时间的平均值，如平均电动势＝n，平均值的大小与Δt的取值有关．在计算交变电流通过导体产生热量、热功率时，只能用交变电流的有效值，而在计算通过导体的电荷量时，只能用交变电流的平均值．
8．(1)1.97×104W (2)314V 31.4A (3)0.027C
解析 (1)线圈中感应电动势的最大值
Em＝nBSω＝nBS·2πf＝100×0.5×(0.2)2×2×3.14×50V＝628V
感应电动势的有效值为U＝＝314V.
外界驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等，P外＝＝W＝1.97×104W.
(2)线圈转到与中性面成30°角时，感应电动势的瞬时值e＝Emsin30°V＝314V，交变电流的瞬时值i＝＝A＝31.4A.
(3)在线圈从中性面转过30°角的过程中，线圈中的平均感应电动势＝n，
平均感应电流＝＝n，通过线圈横截面的电荷量为q，则q＝Δt＝n＝n＝＝C≈0.027C
方法总结 正弦式交流电的电动势的最大值Em＝nBSω.有效值U＝，用在计算有关电流热效应的问题中．瞬时值是指在某一时刻或某一位置线圈中的感应电动势，可直接用公式e＝Emsinωt或e＝Emcosωt(由线圈的计时起点决定是正弦形式还是余弦形式)计算；平均值＝n用在计算通过导体横截面的电荷量的问题中．
课后巩固练
1．CD
2．D [只要电流的方向发生变化，就叫做交流电，所以A选项错误；两种电压的有效值都不是311V，B选项错误；图甲中交变电流的周期为2×10－2s，所以ω＝＝100πrad/s.但是最大值是311 V，所以选项C错误．]
3．BD [根据图象可知该交变电流的最大值为100 V，周期为4×10－2s，所以频率为25 Hz.]
4．B [电热器接在直流电源上时，有Q＝t＝t.电热器接在交流电源上时，有Q＝·2t.故t＝2t，则U＝V＝5V，Um＝U＝10V，所以选项B正确．]
5．C [由周期与频率的关系f＝知，f＝Hz＝25Hz；电动势的有效值U＝＝V＝V，通过电阻的电流I＝＝A，电阻消耗的电功率为P＝＝2.5W，交流电压表所测电压为有效值．]
6．BD [因为ω＝2πn，所以Em＝BSω＝2πnBS，所以A错误；E＝＝nπBS，B正确；因为T＝＝，所以＝＝＝＝4nBS，C错误；感应电动势瞬时值为e＝Emsinωt＝2πnBSsin2πnt，D正确．]
7．D [由电动势的图象知，其最大值为220V，故有效值为220V，电压表测量的是灯泡两端电压U＝209V，A错；交流电的周期T＝0.02s，方向每秒改变100次，B错；灯泡消耗的功率P＝I2R＝()2×95W＝459.8W，C错；发电机内阻每秒产生的热量Q＝I2rt＝()2×5×1J＝24.2J，D对．]
8．B [保险丝的熔断电流是指有效值，故由R＝得R＝110Ω，故B正确．]
9．CD [“100 V,50 Hz”的正弦交变电源，其电压的最大值为100V，当电压的瞬时值为100V时，由100＝100sinθ，知在正半周有两个解就是θ＝45°和θ＝135°，可见交变电流每个周期内将有两次导通，总时间为周期的一半，选项C、D正确．]
10．2t 10V
11．25Hz 24.2W
解析 由题中图象可知，交流电的周期T＝0.04s，所以频率f＝＝25Hz，电压的最大值是220V，有效值是V，所以用电器的额定功率为P＝＝24.2W
12．6A
解析 设非正弦式交变电流的有效值为I′，直流电的电流强度为I，让非正弦式交变电流和直流电分别通过同一电阻(阻值为R)，在一周期(T＝0.3s)内，非正弦式交变电流产生的热量
Q′＝IRt1＋IRt2
＝()2Rt1＋()2Rt2
＝()2R×0.2＋()2R×0.1
＝10.8R
在这一个周期内，直流电产生的热量
Q＝I2RT＝0.3I2R
由Q＝Q′得0.3I2R＝10.8R，所以I＝6A，I′＝I＝6A
13．(1)50V 35.4V (2)31.86V 3.54A
(3)0.16C
解析 (1)Em＝nBSω
＝100××0.05×2π×V
＝50V
E＝＝25V≈35.4V
(2)电流表示数
I＝≈3.54A
电压表示数：U＝IR≈3.54×9V＝31.86V
(3)从图示位置转过90°的过程中，
＝n，
又因为＝，所以q＝Δt，
解得：q＝＝＝C
≈0.16C.
学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
1．对于交变电流下列提到的数值，哪一个不是指有效值( )
A．保险丝的熔断电流 B．220 V交变电压
C．电容器的击穿电压 D．交流电表读数
【解析】 电容器的击穿电压是最大值而不是有效值，故应选C.
【答案】 C
2．如图2-3-6所示电路中，A是熔断电流I0＝2 A的保险丝，R是可变电阻，S是交流电源．交流电源的内电阻不计，其电动势随时间变化的规律是e＝220sin 314t V．为了不使保险丝熔断，可变电阻的阻值应该大于( )
图2-3-6
A．110 Ω B．110 Ω
C．220 Ω D．220 Ω
【解析】 U＝220 V，Rmin＝＝ Ω＝110 Ω.选B.
【答案】 B
3.如图2-3-7所示，正弦交流电甲和方波交流电乙的峰值、频率完全相同，把此两电流分别输入完全相同的两个电阻中，经过相同的时间(足够长)后，两电阻中消耗的电能之比W甲∶W乙为( )
图2-3-7
A．1∶2 B．1∶
C．1∶1 D．1∶2
【解析】 在一个周期T内，正弦交流电在电阻中消耗的电能为W甲＝()2RT，方波交流电在电阻中消耗的电能为W乙＝I2RT，所以W甲∶W乙＝1∶2，故A正确．
【答案】 A
4．(多选)某小型发电机产生的交变电动势为e＝50sin 100πt(V)，对此电动势，下列表述正确的是( )
A．最大值是50 V B．频率是100 Hz
C．有效值是25 V D．周期是0.02 s
【解析】 由e＝50sin 100πt(V)知Em＝50 V，有效值E＝＝25 V，A错，C对．由ω＝2πf＝100π得f＝50 Hz，B错误，T＝＝0.02 s，D正确
【答案】 CD
5．将正弦式交流电经过整流器处理后，得到的电流波形刚好去掉了半周，如图2-3-8所示，它的有效值是( )
图2-3-8
A．2 A B. A
C. A D．1 A
【解析】 Q交＝()2R＝2R×＝RT，Q直＝I2RT，Q交＝Q直，故I＝1 A.
【答案】 D
6．一正弦交流电的电压随时间变化的规律如图2-3-9所示．由图可知( )
图2-3-9
A．该交流电的电压瞬时值的表达式为u＝100sin 25t (V)
B．该交流电的电压的有效值为100 V
C．该交流电的方向每秒钟改变25次
D．该交流电加在击穿电压为110 V的电容器两端，电容器不会被击穿
【解析】 由图可知T＝4×10－2 s，故f＝＝25 Hz，ω＝2πf＝50 rad/s，所以其表达式为u＝100sin 50t(V)，故A错误；由图象可知交流电的电压最大值为100 V，因此其有效值为 V＝100 V，故B正确；因为一个周期内电流方向改变两次，所以交流电的方向每秒钟改变50次．故C错误；由图象可知交流电的最大值为100 V，电容器要能正常工作，其击穿电压必须大于100 V，故D错误．
【答案】 B
7．如图2-3-10甲所示，调节台灯是通过双向可控硅电子器件来实现无级调节灯的亮度的．现将某无级调光台灯接在220 V的正弦式交变电流上，经过可控硅调节后加在灯管两端的电压如图乙所示，则此时电压表的示数是( )
甲 乙
图2-3-10
A．220 V B．156 V
C．110 V D．78 V
【解析】 由题图可知，该电流不是正弦式交变电流，但每次通电是T的正弦交变电流，其最大值与有效值的关系是U＝，由T＝·，解得U＝110 V≈156 V，故B正确．
【答案】 B
8．如图2-3-11所示，一交流发电机的线圈在匀强磁场中匀速转动，线圈匝数N＝100，线圈电阻r＝3 Ω，ab＝cd＝0.5 m，bc＝ad＝0.4 m，磁感应强度B＝0.5 T，电阻R＝311 Ω，当线圈以n＝300 r/min的转速匀速转动时．求：
图2-3-11
(1)感应电动势的最大值；
(2)t＝0时线圈在图示位置，写出此交变电流电动势瞬时值表达式；
(3)此电压表的示数是多少？
【解析】 (1)电动势的最大值为Em＝NBωS＝NB·(2πn转)·(·)＝314 V.
(2)电动势瞬时值的表达式e＝Emsin ωt＝314sin 10πt(V)．
(3)UV＝×(Em)＝220 V.
【答案】 (1)314 V (2)e＝314sin 10πt(V)
(3)220 V
[能力提升]
9．一个匝数为100匝，电阻为0.5 Ω的闭合线圈处于某一磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，从某时刻起穿过线圈的磁通量按如图2-3-12所示规律变化．则线圈中产生交变电流的有效值为( )
图2-3-12
A．2A B．2 A
C．6 A D．5 A
【解析】 0～1 s时间内，感应电动势为E1＝＝1 V，电流为2 A；1～1.2 s内，感应电动势E2＝＝5 V，感应电流为10 A；一个周期内发热量为IRt1＋IRt2＝I2R(t1＋t2)，得I＝2 A，B正确．
【答案】 B
10．在一小型交流发电机中，矩形金属线圈abcd的面积为S，匝数为n，线圈总电阻为r，在磁感应强度为B的匀强磁场中绕OO′轴以角速度ω匀速转动(如图2-3-13甲所示)，产生的感应电动势e随时间t的变化规律如图乙所示，矩形线圈与阻值为R的电阻构成闭合电路，下列说法中正确的是( )
甲 乙
图2-3-13
A．从t1到t3这段时间穿过线圈磁通量的变化量为零
B．从t3 到t4这段时间通过电阻R的电荷量为
C．t4时刻穿过线圈的磁通量变化率大小为E0
D．t2时刻电阻R的发热功率为
【解析】 由于磁通量是双向标量，在t1到t3这段时间穿过线圈磁通量的变化量不为零，所以为ΔΦ＝2BS，故A错误；通过电阻的电荷量q＝，所以t3到t4这段时间通过电阻R的电荷量Q＝，故B错误；t4时刻磁通量的变化率最大，由E＝n知其最大值为，故C错误；求功率时需用有效值，所以E＝，所以电流I＝，R的发热功率为P＝，故D正确．
【答案】 D
11．(多选)如图2-3-14甲所示是某同学设计的一种振动发电装置的示意图，它的结构是一个套在辐向形永久磁铁槽中的半径为r＝0.10 m、匝数n＝20 匝的线圈，磁场的磁感线均沿半径方向均匀分布(其右视图如图乙所示)在线圈所在位置磁感应强度B的大小均为B＝ T，线圈的电阻为R1＝0.50 Ω，它的引出线接有R2＝9.5 Ω的小电珠L，外力推动线圈框架的P端，使线圈沿轴线做往复运动，便有电流通过小电珠．当线圈运动速度v随时间t变化的规律如图丙所示时(摩擦等损耗不计)，则下列说法正确的是( )
图2-3-14
A．小电珠中电流的最大值为0.16 A
B．电压表的示数为1.52 V
C．t＝0.1 s时外力F的大小为0.128 N
D．t＝0.2 s时外力F的大小为0 N
【解析】 线圈中产生的感应电动势最大值为Em＝2nπrBv＝2×20×π×0.1××2 V＝1.6 V，
小电珠中电流的最大值为Im＝＝＝0.16 A，故A正确；小电珠中电压的最大值为Um＝ImR2＝0.16×9.5 V＝1.52 V，由于线圈中产生的是正弦式电流，则小电珠中电压的有效值为U＝Um＝1.07 V，故B错误；t＝0.1 s时，外力F的大小F＝BImn2πr＝0.128 N，故C正确；t＝0.2 s时，切割速度为零，安培力为零，但外力F的大小不为零，故D错误．
【答案】 AC
12．如图2-3-15所示，线圈abcd的面积是0.05 m2，共100匝，线圈电阻为1 Ω，外接电阻R＝9 Ω，匀强磁场的磁感应强度为B＝ T，当线圈以300 r/min的转速匀速转动时，求：
图2-3-15
(1)转动中感应电动势的最大值和有效值；
(2)写出从图中位置开始计时的交变电流的瞬时值表达式；
(3)电路中交流电压表和电流表的示数；
(4)线圈从图示位置转过90°的过程中通过电阻R的电荷量．
【解析】 (1)Em＝NBSω＝100××0.05×2π× V＝50 V，E＝＝25 V≈35.4 V.
(2)在图中位置线圈处于中性面，故交变电流的瞬时值e＝Emsin ωt，则e＝50sin(V)＝50sin 10πt(V)．
(3)电流表示数I＝≈3.54 A.
电压表示数U＝IR＝3.54×9 V＝31.86 V.
(4)从图示位置转过90°的过程中，＝N，
又因为＝，所以q＝Δt＝＝≈0.16 C.
【答案】 (1)50 V 35.4 V
(2)e＝50sin 10πt(V)
(3)31.86 V 3.54 A (4)0.16 C
