课件24张PPT。第1课时 归纳推理归纳推理 【做一做1】 已知n是正整数, ,则当n=1,2,3,4,…时, M= , , , ,由此可推测当n>1时,M是一个整数,这个整数从最高位开始,连续有 个 ,最后一位是 .?
解析:当n=1,2,3,4,…时,M=3,23,223,2 223,因此推测当n>1时,M是一个整数,这个整数从最高位开始,连续有n-1个2,最后一位是3.
答案:3 23 223 2 223 n-1 2 3【做一做2】 如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排列下去,那么第36颗珠子的颜色是( )
A.白色 B.黑色
C.白色的可能性大 D.黑色的可能性大
解析:由题图知,这串珠子的排列规律是每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)呈周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子,其颜色与第一颗珠子的颜色相同,故它的颜色一定是白色.
答案:A思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于归纳推理. ( )
(2)归纳推理是根据部分已知的特殊现象推断未知的一般现象. ( )
(3)归纳推理是由部分到整体,由一般到特殊的推理. ( )
(4)归纳推理得出的结果一定不正确. ( )
(5)归纳推理分为完全归纳推理与不完全归纳推理. ( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√探究一探究二探究三探究四等式中的归纳推理问题
【例1】 已知下列等式成立:
13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100,……试根据以上几个等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示.
思路分析:分析给出的各个等式左边的项数、各项的次数以及底数的取值特点,分析等号右边的结果与项数的关系,从而写出一般性的结论.
解:从给出的各个等式可以看出:第1个等式左边有1项,是13,右边为1,等于12;第2个等式左边有2项,是13+23,右边为9,等于(1+2)2;第3个等式左边有3项,是13+23+33,右边为36,等于(1+2+3)2,第4个等式左边有4项,是13+23+33+43,右边为100,等于(1+2+3+4)2,由此可以归纳得出一般性的结论为13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2(n∈N*).探究一探究二探究三探究四反思感悟给出几个等式归纳其一般性结论时,要重点观察分析所给出的等式中项数、次数以及字母的系数等方面的变化规律,发现它们与自然数n的关系,从而写出一般性结论.探究一探究二探究三探究四变式训练1观察下列各式:
9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……
这些等式反映了自然数间的某种规律,设n表示正整数,则可用关于n的等式表示为 .?
解析:由已知,得32-12=2×4,42-22=3×4,52-32=4×4,62-42=5×4,
……猜想(n+2)2-n2=4(n+1).
答案:(n+2)2-n2=4n+4探究一探究二探究三探究四不等式中的归纳推理问题
【例2】观察下列不等式:思路分析:观察给出的不等式发现,左侧括号内是连续奇数的倒数之和,右侧括号内是连续偶数的倒数之和,而另一个数与项数有关,据此可写出一般性结论.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四反思感悟给出几个不等式归纳其一般性结论时,要重点观察分析所给出的不等式中项数、次数以及字母的系数等方面的变化规律,发现它们与自然数n的关系,从而写出一般性结论.探究一探究二探究三探究四变式训练2观察下列不等式:log32·log34<1,log43·log45<1,
log54·log56<1,……试由此归纳出一个一般性的结论,并证明这一结论.
解:由所给几个不等式可得一般性结论为:若n∈N*,且n>2,
则logn(n-1)·logn(n+1)<1.
证明:因为n∈N*且n>2,
所以logn(n-1)>0,logn(n+1)>0,探究一探究二探究三探究四图形中的归纳推理问题
【例3】 有两种颜色的正六边形地面砖,按如图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中灰色正六边形的个数是 ( )
?
A.26 B.31 C.32 D.36
思路分析:分析给出的3个图案中灰色正六边形的个数,猜测一般结论.探究一探究二探究三探究四解析:法一:灰色正六边形个数如表: 由表可以看出灰色正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中灰色正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.
法二:由图案的排列规律可知,除第一块白色正六边形需6个灰色正六边形围绕(图案1)外,每增加一块白色正六边形,只需增加5块灰色正六边形(每两块相邻的白色正六边形之间有一块“公共”的灰色正六边形),故第六个图案中灰色正六边形的个数为6+5×(6-1)=31.
答案:B探究一探究二探究三探究四反思感悟解决图形形式的归纳推理问题,关键是认真分析给出的图形的各方面的特点,例如数量规律、排列规律、结构规律等,由此推测出一般结论.探究一探究二探究三探究四变式训练3观察下图中的图形规律,在右下角的空格内画上合适的图形为( )探究一探究二探究三探究四数列中的归纳推理问题
【例4】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).试归纳猜想数列{an}的通项公式.
思路分析:利用a1的值和公式nan+1=Sn+n(n+1),逐步求得a2,a3,a4的值,然后归纳得到数列{an}的通项公式.
解:由于a1=2,且nan+1=Sn+n(n+1).
令n=1,得a2=S1+1×2=a1+2=2+2=4;
令n=2,得2a3=S2+2×3=a1+a2+6=2+4+6=12,于是a3=6;
令n=3,得3a4=S3+3×4=a1+a2+a3+12=2+4+6+12=24,于是a4=8,
由此可以归纳得到数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).探究一探究二探究三探究四反思感悟在数列问题中,常常用归纳推理来求数列的通项公式与前n项和公式,其一般步骤是:
(1)根据给出的第1项(或其他几项)的值,利用递推关系式求出数列的前几项或前几项和;
(2)观察数列的前几项或前几项和的结果,从中寻找与项数n的关系;
(3)写出数列的通项公式或前n项和公式.探究一探究二探究三探究四变式训练4已知在数列{an}中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前n项和),则S2,S3,S4分别为 ,由此猜想Sn= .?1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( )
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1 111
1 234×9+5=11 111
12 345×9+6=111 111
A.1 111 110 B.1 111 111
C.1 111 112 D.1 111 113
解析:由数塔呈现的规律知,结果是各位都是1的7位数.
答案:B2.如图,在所给的四个选项中,最适合填入问号处,使之呈现一定的规律性的为( )解析:观察第一组中的三个图,可知每一个黑色方块都从右向左循环移动,每次向左移动一格,由第二组的前两个图,可知选A.
答案:A解析:由已知不等式可猜测
答案:C
4.观察下列等式:(1+1)=2×1,(2+1)(2+2)=22×1×3,(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5,……照此规律,第n个等式可为 .?
答案:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)课件26张PPT。第2课时 类比推理1.类比推理 名师点拨类比推理与归纳推理的比较 【做一做1】 “鲁班发明锯子”的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的腿,“锯子”能“锯”开木材,它们在功能上是类似的.因此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的.该过程体现了( )
A.归纳推理 B.类比推理
C.没有推理 D.以上说法都不对
解析:推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,上述过程是推理,由性质类比可知是类比推理.
答案:B2.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.
【做一做2】 下列说法正确的是( )
A.合情推理的结论一定正确
B.合情推理的结论一定不正确
C.归纳推理和类比推理都属于合情推理
D.合情推理是由一般到特殊的推理
答案:C思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)类比推理是由一般到特殊的推理. ( )
(2)由直线与圆相切时,圆心与切点的连线和直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切点连线与平面垂直,这是运用了类比推理. ( )
(3)类比推理得到的结论可以作为定理使用. ( )
(4)合情推理在数学证明和数学发现中具有重要作用. ( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√探究一探究二探究三思维辨析平面与空间的类比 思路分析:由平面向空间类比推广时,等边三角形与正四面体是类比对象,BC的中点与△BCD的重心是类比对象,外接圆与外接球是类比对象.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟平面与空间的类比是最常见的一种类比,一般地,进行平面与空间的类比时,常见的对象如下:探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析等差数列与等比数列的类比
【例2】 在等差数列{an}中,如果m,n,p,r∈N*,且m+n+p=3r,那么必有am+an+ap=3ar,类比该结论,写出在等比数列{bn}中类似的结论,并用数列知识加以证明.
思路分析:从等差数列与等比数列的定义与性质出发,寻找两种数列的联系点进行类比.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.等差数列与等比数列是一对重要的类比对象,二者在很多方面可以进行类比,例如:等差数列中项的加、减、倍数运算与等比数列中的乘、除、开方运算相对应.
2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到可以进行类比的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结合相关的知识进行证明,以确保类比结果的合理性.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2设等差数列{an}的前n项和为Sn,若存在正整数m,n(m解析:在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时,加减运算类比推理到乘除运算,累加类比推理到累乘,故若正项等比数列{bn}的前n项积为Tn,若存在正整数m,n(m答案:1探究一探究二探究三思维辨析解题方法的类比
【例3】 我们知道:
12=1,
22=(1+1)2=12+2×1+1,
32=(2+1)2=22+2×2+1,
42=(3+1)2=32+2×3+1,
……
n2=(n-1)2+2(n-1)+1,
将以上各式的左右两边分别相加,整理得n2=2×[1+2+3+…+(n-1)]+n,
所以1+2+3+…+(n-1)= .
类比上述推理方法写出求12+22+32+…+n2的表达式的过程.探究一探究二探究三思维辨析思路分析:这是解题方法上的类比问题,分析已经给出的问题的解题方法与步骤可知,应将13,23,33,…,n3等进行改写,然后两边相加,通过变形整理得出结论.探究一探究二探究三思维辨析解:已知:
13=1,
23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,
33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,
43=(3+1)3=33+3×32+3×3+1,
……
n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1,
将以上各式的左右两边分别相加,得
(13+23+…+n3)=[13+23+…+(n-1)3]+3[12+22+…+(n-1)2]
+3[1+2+…+(n-1)]+n,
整理得n3=3(12+22+…+n2)-3n2+3[1+2+…+(n-1)]+n,探究一探究二探究三思维辨析反思感悟借助类比推理可以推测未知,可以发现新结论,可以探索和提供解决问题的思路和方法,这是类比推理的重要作用,因此在解决一个未知的问题时,如果能够发现未知问题与已知问题的相似之处,它们之间具有可类比性,就可以根据已知问题的求解方法类比解决未知问题.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析盲目类比致误
【典例】 平面几何中有结论:若一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等或互补.类比这一结论,在立体几何中,若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角( )
A.互补 B.相等
C.互补或相等 D.大小关系不定
错解分析:本题的错误在于盲目将空间问题与平面问题类比,不注意结合实际问题进行分析.?
解析:如右图所示,当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时,这两个二面角没有任何大小关系,故选D.
答案:D探究一探究二探究三思维辨析纠错心得类比推理虽然是一种很好、很重要的推理,利用类比推理可以获得一些重要结论,但它的结论不一定是正确的,因此为了使这种推理更严谨、更完美,我们还要注意结合类比所涉及的实际问题进行分析.探究一探究二探究三思维辨析跟踪训练已知{an}为等比数列,a7=6,则a1a2·…·a13=613.类比该结论,若{bn}为等差数列,b7=6,则{bn}中的类似结论为 .?
解析:等比数列中,“乘积”类比到等差数列中“和”,故应有结论为b1+b2+…+b13=6×13.
答案:b1+b2+…+b13=6×131.由“若a>b,则a+c>b+c”得到“若a>b,则ac>bc”采用的是( )
A.归纳推理 B.演绎推理
C.类比推理 D.数学证明
解析:由加法类比乘法,是运用了类比推理.
答案:C
2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式 ,可推知扇形面积公式S扇等于( )解析:我们将扇形的弧类比为三角形的底边,则扇形的半径r类比为三角形底边上的高,所以 .
答案:C3.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为 .?
解析:因为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体积之比为相似比的立方,故体积比为1∶8.
答案:1∶84.我们知道,在平面中,如果一个平行四边形的两条对角线相等,那么这个平行四边形是矩形.将这一结论类比推广到空间中,我们可以得到怎样的结论?如何证明该结论的准确性?
解:空间中,类似的结论是:如果一个平行六面体的体对角线相等,那么这个平行六面体是直平行六面体.
证明如下:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
若对角线A1C与AC1相等,
则四边形ACC1A1是矩形,
因此A1A⊥AC.
同理,由BD1=B1D可得四边形BB1D1D是矩形,
因此D1D⊥DB,
即A1A⊥DB.
又因为AC与BD相交,
所以A1A⊥底面ABCD,
故平行六面体是直平行六面体.课件30张PPT。2.1.2 演绎推理1.演绎推理 【做一做1】 下列推理是演绎推理的是( )
A.若M,N是平面内两定点,动点P满足|PM|+|PN|=2a>|MN|,则点P的轨迹是椭圆
B.由a1=1,an=2n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积为πr2,猜想出椭圆 的面积为πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析:可知B是归纳推理,C,D是类比推理,只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理.
答案:A2.三段论推理 【做一做2】 “凡是自然数都是整数,4是自然数,所以4是整数.”以上三段论推理( )
A.完全正确
B.推理形式不正确
C.不正确,两个“自然数”概念不一致
D.不正确,两个“整数”概念不一致
解析:大前提“凡是自然数都是整数”正确.小前提“4是自然数”也正确,推理形式符合演绎推理规则,所以结论正确.
答案:A3.演绎推理与合情推理的区别与联系 思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)演绎推理是由特殊到一般再回到特殊的推理. ( )
(2)三段论推理是演绎推理的唯一模式. ( )
(3)三段论中,大前提正确,小前提正确,推理过程正确,则结论正确. ( )
(4)三段论推理中,大前提可以省略,小前提不能省略. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×探究一探究二探究三思维辨析三段论推理模式的理解与应用
【例1】将下列演绎推理改写为三段论推理的形式,并注明大前提、小前提、结论.
(1)若∠A,∠B是等腰三角形ABC的两个底角,则∠A=∠B;
(2)函数f(x)=x3-2x的图象关于原点对称;
(3)通项公式为an=3n-1的数列{an}是等差数列.
思路分析:分析各个命题,明确它们的大前提、小前提、结论,若有省略,则应先补齐,再改写为三段论模式.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟用三段论写演绎推理的过程时,关键是明确其中的大前提、小前提、结论,其中大前提是指一般性的原理,一般都是省略不写的;小前提指出了一种特殊情况,有时也是省略的,大小前提结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系,得到结论.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1把下列推断写成三段论的形式:
(1)因△ABC三条边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形;
(2)一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数.探究一探究二探究三思维辨析演绎推理在代数证明中的应用 思路分析:(1)利用等比数列的定义进行证明;(2)根据等差数列的定义求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟代数推理和证明的过程,基本都是演绎推理的应用过程,即运用已有的定义、定理、性质、法则等作为大前提进行三段论推理.证明过程中,要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的定义、定理、性质、法则等(大前提),并保证每一步的推理都是正确的,从而得出正确的结论.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2已知函数f(x)=x2+2bx+c(c(1)证明:-3(2)若m是函数y=f(x)+1的一个零点,判断f(m-4)的正负,并加以证明.探究一探究二探究三思维辨析(1)证明:因为函数f(x)的一个零点是1,所以f(1)=0,函数y=f(x)+1有零点,即方程x2+2bx+c+1=0有实数根,
故Δ=4b2-4(c+1)=(c+1)2-4(c+1)≥0,
所以c≥3或c≤-1,(2)解:f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-1)·(x-c),
因为m是函数y=f(x)+1的一个零点,
所以f(m)=(m-c)(m-1)=-1<0,所以c所以c-4所以f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0,
即f(m-4)的符号为正.探究一探究二探究三思维辨析演绎推理在几何证明中的应用
【例3】 已知平面α∥平面β,直线l⊥α,l∩α=A,如图所示,
求证:l⊥β .思路分析:本题可由线面垂直的定义证明. 探究一探究二探究三思维辨析证明:在平面β内任取一条直线b,平面γ是经过点A与直线b的平面.设γ∩α=a.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟在几何推理过程中,多数情况下采用的都是三段论推理模式,其中大前提通常是两个三角形全等、相似的判定定理,线面平行与垂直的判定定理、性质定理,面面平行与垂直的判定定理、性质定理等,一般都可以省略不写.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如图,在锐角三角形ABC中,AD,BE是高线,D,E为垂足, M为AB的中点.求证:ME=MD.试用三段论推理证明这个问题,并指出每一步推理的大、小前提及结论.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析三段论推理中大(小)前提错误致误
【典例】 如图,已知S为△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
求证:AB⊥BC.
错解分析:本题常见错误是在证明过程中使用错误的大前提“如果两个平面垂直,那么一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面”,事实上,此处应该用的大前提是面面垂直的性质定理,即“如果两个平面垂直,那么其中一个平面内与交线垂直的直线,必垂直于另一个平面”.探究一探究二探究三思维辨析证明:如图,过点A作直线AE⊥SB于点E,
因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,
所以AE⊥平面SBC.
又BC?平面SBC,所以BC⊥AE.
因为SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.
又AE∩SA=A,所以BC⊥平面SAB.
所以BC⊥AB,即AB⊥BC.纠错心得在立体几何中,线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程,而这是一个难点,也是易错点,其中主要的错误在于搞错大前提,有时甚至随意编造有关定理作为大前提,从而导致错误.探究一探究二探究三思维辨析A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.是正确的
解析:由题意,大前提“指数函数y=ax(a>0,a≠1)是增函数”是错误的,故推理得到错误的结论,选A.
答案:A1.下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.某校高三(1)班有55人,高三(2)班有54人,高三(3)班有52人,由此得出高三所有班的人数都超过50人
C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1, (n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
解析:两条直线平行,同旁内角互补.∠A,∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,故可推理出∠A+∠B=180°,故选项A是演绎推理,而选项B,D是归纳推理,选项C是类比推理.故选A.
答案:A2.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )
①y=cos x(x∈R)是三角函数;②三角函数是周期函数;③y=cos x(x∈R)是周期函数.
A.①②③ B.②①③
C.②③① D.③②①
解析:演绎推理的三段论形式是:大前提——小前提——结论,所以答案为②①③.
答案:B
3.“一切奇数都不能被2整除,35是奇数,所以35不能被2整除.”把此演绎推理写成“三段论”的形式.
大前提: ,?
小前提: ,?
结论: .?
答案:不能被2整除的整数是奇数 35是奇数 35不能被2整除课件27张PPT。2.2.1 综合法和分析法1.综合法 2.分析法 【做一做1】 下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接证明法;⑤分析法是逆推法.其中正确的表述有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
解析:结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确.
答案:C
【做一做2】 要证明 ,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是( )
A.综合法 B.分析法
C.类比法 D.归纳法
解析:因为我们很难想到从“21<25”入手,所以用综合法证明比较困难,最合理的是分析法,故选B.
答案:B3.综合法和分析法的综合应用
(1)在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q';根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P'.若由P'可以推出Q'成立,即可证明结论成立.
(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等,用Q表示要证明的结论,则上述过程可用框图表示为:
P?P1→P1?P2→…→Pn?P' ?
Q'?Qm←…←Q2?Q1←Q1?Q名师点拨综合法和分析法的区别与联系
区别:联系:分析法便于我们去寻找证明思路,综合法便于证明过程的叙述,两种方法各有所长,因而在解决问题时,常先用分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地表达证明过程,两种方法结合运用效果会更好.思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)综合法的证明过程是合情推理的过程. ( )
(2)分析法的证明过程是演绎推理的过程. ( )
(3)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理过程实际上是逐步寻求使结论成立的充分条件. ( )
(4)综合法的特点是从“已知”看“未知”,其推理过程实际上是逐步寻求已知条件的必要条件. ( )
(5)分析法与综合法证明同一个问题时,一般思路相反,过程相逆. ( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√探究一探究二探究三规范解答综合法的应用
【例1】 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.求证:a,b,c成等差数列.
思路分析:从已知条件中的等式出发,寻求sin A,sin B,sin C之间的关系,然后结合正弦定理证明结论.
证明:因为sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1,
所以sin B(sin A+sin C)+(cos 2B-1)=0,
即sin B(sin A+sin C)-2sin2B=0,
所以sin B(sin A+sin C-2sin B)=0,
由于在△ABC中,sin B≠0,
因此sin A+sin C-2sin B=0,
由正弦定理可得 ,
于是a+c=2b,故a,b,c成等差数列.探究一探究二探究三规范解答反思感悟1.综合法的证明步骤
(1)分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理、公理等;
(2)转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严密的证明过程.
2.综合法的适用范围
(1)定义明确的题型,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无条件的等式或不等式问题等;
(2)已知条件明确,且容易寻求已知条件的必要条件获得结论的题型.
3.在利用综合法证明不等式的过程中,要注意不等式性质以及基本不等式的应用,在利用综合法证明三角恒等式的过程中,要注意三角函数基本公式和正余弦定理的应用.探究一探究二探究三规范解答变式训练1已知a,b,c是不全相等的正数,求证:
a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.
证明:因为a,b,c是正数,所以b2+c2≥2bc,
所以a(b2+c2)≥2abc.①
同理可得b(c2+a2)≥2abc,②
c(a2+b2)≥2abc.③
又因为a,b,c不全相等,所以①②③三式中不能同时取到“=”,
故①②③三式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.探究一探究二探究三规范解答分析法的应用
【例2】 已知函数f(x)=x2-2x+2,若m>n>1,求证:思路分析:已知条件较少,且很难和要证明的不等式直接联系起来,故可考虑从要证明的不等式出发,采用分析法证明.即证2m2+2n2>m2+2mn+n2,
只需证m2+n2>2mn,
即证(m-n)2>0,
因为m>n>1,所以(m-n)2>0显然成立,
故原不等式成立.探究一探究二探究三规范解答反思感悟分析法的证明过程、书写形式及适用范围
(1)证明过程:确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理、公理对结论进行转化,直到获得一个明显成立的条件即可.
(2)书写形式:要证……,只需证……,即证……,然后得到一个明显成立的条件,所以结论成立.
(3)适用范围:已知条件不明确,或已知条件较少而结论式子较复杂的问题.探究一探究二探究三规范解答变式训练2如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过点A作SB的垂线,垂足为E,过点E作SC的垂线,垂足为F.求证:AF⊥SC.
证明:已知EF⊥SC,要证AF⊥SC,
只需证SC⊥平面AEF,
只需证AE⊥SC,
而AE⊥SB,故只需证AE⊥平面SBC,
只需证AE⊥BC,
而AB⊥BC,故只需证BC⊥平面SAB,只需证BC⊥SA,
由SA⊥平面ABC,可知SA⊥BC,即上式显然成立,
所以AF⊥SC成立.探究一探究二探究三规范解答综合法与分析法的综合应用
【例3】已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且三个内角A,B,C构成等差数列.求证:
思路分析:本题条件较为简单,但结论中的等式较为复杂,故可首先用分析法,将要证明的等式进行转化,转化为一个较为简单的式子,然后再从已知条件入手,结合余弦定理,推导出这个式子,即可得证.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答反思感悟1.有些数学问题的证明,需要把综合法与分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立,这种边分析边综合的证明方法,称为分析综合法,或者称“两头凑法”.
2.在证明过程中,分析法能够发现证明的思路,但解题的表述过程较为繁琐,而综合法表述证明过程则显得简洁,因此在实际解题过程中,常常将分析法和综合法结合起来运用,先利用分析法探求得到解题思路,再利用综合法有条理地表述解题过程.探究一探究二探究三规范解答变式训练3设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,证明: .探究一探究二探究三规范解答分析法的证明过程及步骤
【典例】 设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数y=f(x+1)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,求证: 为偶函数.
审题策略:由于已知条件较为复杂,且不易与要证明的结论联系,故可从要证明的结论出发,利用分析法,从函数图象的对称轴找到证明的突破口.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答答题模板第1步:将证明函数为偶函数的问题转化为证明其对称轴为y轴的问题.
?
第2步:将对称轴用系数a,b表示,从而得到系数a,b应满足的条件.
?
第3步:将已知条件中对称轴满足的条件用系数a,b表示,得到系数a,b之间的关系.
?
第4步:对照第2步中的条件,由分析法证明问题得证.
?
第5步:结论成立.探究一探究二探究三规范解答失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)不能将所要证明的问题转化为对称轴的问题;
(2)不能将对称轴正确地用系数a,b表示;
(3)不能将已知中的条件转化为a,b之间的关系式;
(4)证明过程中的文字叙述不规范.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答1.用分析法证明:要使①A>B,只需使②CA.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立,即②?①,所以①是②的必要条件.故选B.
答案:B
2.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定
解析:∵bcos C+ccos B=asin A,
∴由正弦定理,得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
即sin(B+C)=sin(π-A)=sin A=sin2A.
又sin A>0,∴sin A=1,又A∈(0,π),∴A= ,
∴△ABC是直角三角形,故选C.
答案:C3.命题“函数f(x)=x-xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)=x-xln x求导,得f'(x)=-ln x,当x∈(0,1)时,f'(x)=-ln x>0,故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”,应用了 的证明方法.?
解析:本命题的证明,利用题设条件和导数与函数单调性的关系,经推理论证得到了结论,所以应用的是综合法的证明方法.
答案:综合法课件26张PPT。2.2.2 反证法1.反证法
(1)反证法是间接证明的一种基本方法.
(2)一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了 原命题成立,这种证明方法叫做反证法.
名师点拨反证法的实质
用反证法证明命题“若p,则q”的过程可以用以下框图表示:
肯定条件p,否定结论q→导致逻辑矛盾→“p且 q为假”→“若p则q”为真
特别提醒反证法不是通过证明逆否命题来证明原命题.反证法是先否定命题,然后再证明命题的否定是错误的,从而肯定原命题正确.【做一做1】 用反证法证明命题“已知实数x,y满足x3+y3=2,求证:x+y≤2”时,应作的假设是 .?
解析:命题的结论是x+y≤2,其否定是x+y>2,故应假设“x+y>2”.
答案:x+y>22.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与 已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
3.反证法的一般步骤
用反证法证明命题时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程,这个过程包括下面三个步骤:
(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;
(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.【做一做2】 用反证法证明命题“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:①则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;②所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;③假设直线AC,BD是共面直线.则正确的序号顺序为( )
A.①②③ B.③①②
C.①③② D.②③①
解析:结合反证法的证明步骤可知,其正确步骤为③①②.
答案:B思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)反证法是间接证明的一种基本方法. ( )
(2)反证法与“证明逆否命题法”是同一种方法. ( )
(3)否定性命题、唯一性命题等只能用反证法进行证明. ( )
(4)反证法证明的第一步是对原命题的结论进行否定. ( )
(5)反证法的证明过程既可以是合情推理,也可以是一种演绎推理. ( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×探究一探究二探究三思维辨析用反证法证明否定性命题 思路分析:这是否定性命题,可用反证法证明.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟用反证法证明否定性命题的适用类型
所谓否定性命题,就是指所证问题中,含有“不”“不是”“不相等”“不存在”“不可能”“都不”“没有”等否定性词语的命题,这类命题,其结论的反面比较具体,适合采用反证法证明.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析用反证法证明“至少、至多”命题 思路分析:本题为“至少、至多”型问题,反设其结论,容易导出矛盾,故用反证法证明.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.对于“至少、至多”型问题,直接证明时分类情况较多,证明过程繁琐,而如果运用反证法证明,则分类情况单一,证明过程简单,这体现了“正难则反”的思想方法.
2.证明“至少、至多”型问题时,常见的“结论词”与“反设词”:探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析用反证法证明唯一性命题
【例3】 求证:经过平面α外一点A只能有一条直线和平面α垂直.
思路分析:本题为唯一性命题,可用反证法证明,即假设经过点A有两条直线都与平面α垂直,然后根据空间以及平面中的有关定理推出矛盾.探究一探究二探究三思维辨析证明:如图,点A在平面α外,假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB,AC(B,C为垂足),
那么AB,AC是两条相交直线,它们确定一个平面β,平面β和平面α相交于直线BC,
因为AB⊥平面α,AC⊥平面α,且BC?α,所以AB⊥BC,AC⊥BC.
在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直,
这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾,
因此假设错误,即经过平面外一点A只能有一条直线和平面α垂直.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟用反证法证明唯一性命题的注意点
(1)当所证命题的结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一一个”“存在唯一”等形式出现时,反设其结论易于导出矛盾,因此可用反证法证明该类命题.
(2)用反证法证明唯一性命题时,如果其结论的反面呈现多样性,必须罗列出所有可能的各种情况,缺少任何一种情况时,反证都是不完全的.
(3)证明“有且只有”等形式的问题时,需要证明两个方面,即证明存在性和唯一性.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3已知函数f(x)在区间[m,n]上的图象是一条连续不断的曲线,且f(x)在[m,n]上单调递减,若f(m)·f(n)<0,求证:方程f(x)=0在[m,n]上有且只有一个实数根.
证明:因为函数f(x)在区间[m,n]上的图象是一条连续不断的曲线,且f(m)·f(n)<0,
所以f(x)在区间[m,n]上至少存在一个零点,亦即方程f(x)=0在[m,n]上至少有一个实数根.
下面证明方程f(x)=0在[m,n]上的根是唯一的.
设方程f(x)=0在[m,n]上的实数根为x0,则f(x0)=0.
假设方程f(x)=0在[m,n]上还存在另一个实数根x1,
则f(x1)=0,且x0≠x1.
若x0>x1,则有f(x0)若x0f(x1),即0>0,矛盾;
故假设错误,即方程f(x)=0在[m,n]上的根是唯一的.探究一探究二探究三思维辨析反证法证明过程中未用反设致误
【典例】 已知实数k满足2k2+3k+1<0,运用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-k2=0没有实数根.
错解分析:本题常见错解是虽然对命题的结论进行了反设,但后面的证明过程中,没有将这一“反设”作为条件进行推理,因此没有推出矛盾,故这种证明过程不是利用反证法进行的,是错误的.
证明:假设方程x2-2x+5-k2=0有实数根,
则其判别式Δ=4-4(5-k2)=4k2-16≥0,
解得k≥2或k≤-2.
又因为实数k满足2k2+3k+1<0,
所以-1“k≥2或k≤-2”与“-1故假设错误,即关于x的方程x2-2x+5-k2=0没有实数根.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得在反证法的证明过程中,必须首先对结论进行否定,然后在后面的推理过程中真正用上这一“反设”,才是真正利用反证法证明问题.探究一探究二探究三思维辨析跟踪训练已知直线a,b相交,求证:直线a与b有且只有一个交点.
证明:假设结论不成立,则有两种情况:直线a与b没有交点;直线a与b有不止一个交点.
(1)假设直线a与b没有交点,则a∥b或a,b是异面直线,这与已知矛盾.
(2)假设直线a与b有不止一个交点,则至少有两个交点,设为P,P',这样经过点P,P'就有两条直线a,b,这与两点确定一条直线矛盾.
由(1)和(2),可知假设不成立,所以直线a与b有且只有一个交点.1.用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是( )
A.将结论与条件同时否定,推出矛盾
B.肯定条件,否定结论,推出矛盾
C.将否定的结论作为条件,原题中的条件不能用
D.肯定结论,否定条件,推出矛盾
解析:反证法中只能将结论否定,条件不能否定.
答案:B
2.用反证法证明命题“已知m,n∈N,若mn能被3整除,则m,n中至少有一个能被3整除”时,假设的内容是( )
A.m,n都能被3整除 B.m,n都不能被3整除
C.m,n不都能被3整除 D.m,n中有一个能被3整除
解析:结论“m,n中至少有一个能被3整除”的否定是“m,n都不能被3整除”,故应假设m,n都不能被3整除.
答案:B3.若实数x,y,z满足x+y+z>9,则x,y,z中至少有一个大于 .?
解析:假设x,y,z都不大于3,即x≤3,y≤3,z≤3,则x+y+z≤9,这与x+y+z>9相矛盾,故x,y,z中至少有一个大于3.
答案:3
4.命题“关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是 .?
答案:无解或至少有两个解证明:假设a,b,c都小于1,即a<1,b<1,c<1,
则a+b+c<3.这与a+b+c<3矛盾,
因此假设错误,即a,b,c中至少有一个不小于1.课件19张PPT。习题课——推理与证明的综合问题1.新定义问题
新定义问题是指给出一个新概念、新定义,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求同学在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,解决所给出的新问题.
2.推理与证明的综合
解决有些数学问题时,通常将推理和证明结合起来,一般是先通过合情推理推出有关的结论,再用直接证明或者间接证明的方法进行结论正确性的证明.
3.探索性问题
探索性问题是相对于传统封闭性问题而言的,它具有条件的不完备性、结论的不确定性等特征.解决探索性问题时,一般是先假设满足题意的元素存在或者是命题成立,再通过代数推理、论证,若可以得到满足条件的结果,则可以得出存在性结论;若得到了与已知条件等相矛盾的结果,则说明假设的元素不存在,或者命题不成立.【做一做1】 在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围是( )
A.(0,2) B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)
解析:x☉(x-2)<0?x(x-2)+2x+x-2<0?x2+x-2<0?-2答案:B
【做一做2】 若两个向量a,b的夹角为θ,则定义“a×b”为向量的外积,其长度为|a×b|=|a||b|sin θ.若已知|a|=1,|b|=5,a·b=-4,则|a×b|= .?
解析:设向量a,b的夹角为θ,因为|a|=1,|b|=5,a·b=-4,答案:3 【做一做3】 下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:请将错误的一个改正为lg = .?
解析:因为表中的对数值有且仅有一个是错误的,且lg 9=2lg 3,4a-2b=2(2a-b),
所以3和9的对数值正确,
lg 5=1-lg 2,lg 8=3lg 2,
所以3lg 5+lg 8=3,故5和8的对数值也不能都错,
故只有15的对数值错误.
应改正为lg 15=lg 3+lg 5=3a-b+c.
答案:15 3a-b+c探究一探究二探究三新定义问题 思路分析:先求出{bn}的通项公式,再求出其前n项和,最后按照“和等比数列”的定义进行判断.探究一探究二探究三反思感悟求解新定义问题时,要紧扣题目给出的新定义、新概念、新运算,并结合学过的其他数学知识加以解决.探究一探究二探究三变式训练1对于定义在R上的函数f(x),如果存在实数x0使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,则a的取值范围是( )解析:因为f(x)=x2+2ax+1不存在不动点,所以x2+2ax+1=x无解,即x2+(2a-1)x+1=0无解.所以Δ=(2a-1)2-4<0,解得
答案:A探究一探究二探究三推理与证明的综合问题
【例2】已知椭圆具有以下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并分别记为kPM,kPN,则kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线 (a>0,b>0)写出类似的性质,并加以证明.
思路分析:先进行类比推理,得到结论后,再利用综合法进行证明.探究一探究二探究三探究一探究二探究三反思感悟椭圆和双曲线在定义、标准方程、几何性质等诸多方面都具有类似的性质,通过我们已经学习过的相关知识,可以将椭圆的某些性质和双曲线的某些性质进行类比,这样就可以发现一些新的结论,并且可以利用相关的知识证明这些结论的正确性.探究一探究二探究三探究一探究二探究三探索性问题
【例3】 已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离为 ?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
思路分析:先假设符合条件的直线l存在,设出其方程,再根据两个条件进行求解,若求得相应的直线方程,则存在;否则,不存在.探究一探究二探究三解:(1)将点A(1,-2)代入抛物线y2=2px(p>0),得(-2)2=2p×1,
得p=2.
即抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.解得t=±1.
综上可知t=1.
于是符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.探究一探究二探究三反思感悟解决探索性问题时,一般是先假设满足题意的元素存在或者是命题成立,再在此基础上通过代数推理、论证,若可以得到满足条件的结果,不出现矛盾,则可以判断结论成立;若得到了与已知条件等相矛盾的结果,则说明假设的元素不存在.探究一探究二探究三变式训练3已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,a≠1),是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
解:假设存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1,
则f(1)=1,即loga(3-a)=1,解得a=1.5,则f(x)=log1.5(3-1.5x),但当x=2时,函数无意义,故a=1.5不符合题意,
即不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.1.已知函数f(x),其导数为f'(x),记函数f'(x)的导数为f″(x),若在区间(a,b)上,f″(x)>0恒成立,则称f(x)在(a,b)上为下凸函数,下列函数中,在(0,+∞)上为下凸函数的是( )
A.f(x)=2x B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=sin x
解析:对于函数f(x)=x2,f'(x)=2x,于是f″(x)=2,满足f″(x)>0恒成立,故f(x)=x2在(0,+∞)上为下凸函数.
答案:C解析:因为f'(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),
所以f'(a)=(a-b)(a-c),f'(b)=(b-a)(b-c),f'(c)=(c-a)(c-b),答案:0 4.定义:如果函数y=f(x)在定义域内的给定区间[a,b]上存在x0(a
