课件26张PPT。3.1.1 数系的扩充和复数的概念1.复数的概念及其表示
(1)虚数单位
满足i2=-1的i叫做虚数单位.
(2)复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i是虚数单位,全体复数所构成的集合C叫做复数集.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
名师点拨1.对于复数z=a+bi(a,b∈R),应注意其虚部是b,而不是bi.
2.对于复数z=a+bi,只有当a,b∈R时,才能得出z的实部为a,虚部为b,若没有a,b∈R的条件,则不能说a,b就是z的实部与虚部.2.复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定a+bi与c+di相等的充要条件是 a=c,且b=d.
名师点拨两个复数的比较问题
(1)若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能够比较大小,说明这两个复数都是实数;
(2)当两个复数不全是实数时,就不能比较它们的大小,只能说它们相等还是不相等;
(3)根据两个复数相等的充要条件,如果a=c,b=d两式中至少有一个不成立,那么就有a+bi≠c+di.【做一做2】 若x,y∈R,且2 016+yi=x-2 017i,则实数x= ,y= .?
解析:由复数相等的充要条件可得
所以x=2 016,y=-2 017.
答案:2 016 -2 017名师点拨1.形如z=bi的数不一定是纯虚数,只有当b∈R且b≠0时,bi才是纯虚数,否则不一定是纯虚数.
2.若z是纯虚数,可设z=bi(b∈R,b≠0);若z是虚数,可设z=a+bi(a,b∈R且b≠0);若z是复数,可设z=a+bi(a,b∈R).解析:根据纯虚数的定义知, 是纯虚数.
答案:C思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若a,b是实数,则z=a+bi是虚数. ( )
(2)在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x=0,则复数z为纯虚数. ( )
(3)复数可以分为两大类:实数与虚数. ( )
(4)若复数z等于0,则其实部与虚部都等于0. ( )
(5)两个复数一定不能比较大小. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×探究一探究二探究三思维辨析对复数相关概念的理解
【例1】 下列说法中正确的是( )
A.复数由实数、虚数、纯虚数构成
B.若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有x≠0
C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数
D.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i
思路分析:根据复数及其相关概念进行分析判断,注意列举反例.
解析:选项A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数;选项B错,若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有y≠0,但可以x=0;选项C正确,若复数z=x+yi(x,y∈R)是纯虚数,必有x=0,y≠0,因此只要x≠0,复数z一定不是纯虚数;选项D错,当a,b∈R时,a+i与b+i都是虚数,不能比较大小.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析反思感悟判断复数概念方面的命题真假的注意点
(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系;
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;
(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1给出下列说法:①复数2+3i的虚部是3i;②形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数;③若a∈R,a≠0,则(a+3)i是纯虚数;④若两个复数能够比较大小,则它们都是实数.其中错误说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:复数2+3i的虚部是3,①错;形如a+bi(b∈R)的数不一定是虚数,②错;只有当a∈R,a+3≠0时,(a+3)i是纯虚数,③错;若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故④正确.所以有3个错误.
答案:C探究一探究二探究三思维辨析复数的分类及其应用
【例2】已知复数z=(a3-4a2+3a)+ (a∈R,a≠0).
(1)当a为何值时,z是实数?
(2)当a为何值时,z是虚数?
(3)是否存在实数a,使得z是纯虚数?
(4)是否存在实数a,使得z等于0?
思路分析:根据复数分类的标准及条件,建立关于实数a的方程或不等式(组),求解a满足的条件.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟根据复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)根据复数的分类求参数时,首先应将复数化为标准的代数形式z=a+bi(a,b∈R),若不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解;
(2)要注意先确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解;
(3)要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2已知m∈R,复数z=lg m+(m2-1)i,当m为何值时,
(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数.探究一探究二探究三思维辨析复数相等的充要条件及其应用
【例3】 求解下列各题:
(1)若(4x-2y)i=x+1,求实数x,y的值;
(2)若不等式m2-(m2-2m)i<9+ 成立,求实数m的值.
思路分析:对于(1),可直接根据两个复数相等的充要条件建立关于x,y的方程组求解;对于(2),应先根据两个复数能够比较大小,确定它们都是实数,然后再根据大小关系建立不等式组求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.解决复数相等问题的基本步骤
(1)等号两侧都写成复数的代数形式;
(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组);
(3)解方程(组).
2.复数比较大小问题的求解方法
一般地,两个复数是不一定能够比较大小的,若给出的两个复数有了大小关系,则说明这两个复数首先已经是实数,然后还有相应的大小关系.例如:如果a,b,c,d∈R且a+bi>c+di,则必有探究一探究二探究三思维辨析变式训练3若a,b,c∈R,且复数z1=3a+|b|i与复数z2=(2-a)-|c|i相等,则a+b+c= .?探究一探究二探究三思维辨析对复数的相关概念理解不清致误
【典例】 给出下列命题:①若x+yi=0,则x=y=0;②若a+bi=3+8i,则a=3,b=8;③若x为实数,且(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数,则x=±2;④若3x+mi<0,则有x<0.其中正确命题的序号是 .?
错解分析:本题常见错解是由于对复数中的相关概念,例如虚数、纯虚数、实部、虚部等理解不清,混淆它们之间的联系,导致错误选择.
解析:命题①和②都是错误的,原因是没有x,y∈R,a,b∈R的限制条件,相应结论都是错误的;命题③也是错误的,事实上,当(x2-4)+(x2+2x)i是纯虚数时,应有 所以x=2;④是正确的,因为由3x+mi<0可得 即x<0.
答案:④探究一探究二探究三思维辨析纠错心得复数中的许多结论,都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的,如果没有这一条件,相应结论不一定能够成立.例如:a+bi=0?a=b=0成立的条件是a,b∈R;a+bi=c+di?a=c,b=d成立的条件是a,b,c,d∈R.另外,复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件是a=0且b≠0,切记不能丢掉“b≠0”这一条件.探究一探究二探究三思维辨析跟踪训练若k∈R,且(2k2-5k-3)+(2k2-k-1)i不是纯虚数,则实数k的取值范围是 .?
解析:当该复数是纯虚数时,应有 解得k=3,因此若该复数不是纯虚数,必有k≠3.
答案:k≠31.下列命题正确的是( )
A.0是实数不是复数
B.实数集与复数集的交集是实数集
C.复数集与虚数集的交集是空集
D.若实数a与ai对应,则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应
解析:选项A中,0是实数也是复数,所以A不正确;选项B中,实数集与复数集的交集是实数集,所以B正确;选项C中,复数集与虚数集的交集是虚数集,所以C不正确;选项D中,当a=0时,ai=0,所以实数0在纯虚数集中没有对应元素,所以D不正确.故选B.
答案:B解析:复数(2+ )i的实部是0,故选D.
答案:D
3.“复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:因为1-a+a2= ,所以若复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数,则4-a2=0,即a=±2;当a=-2时,4-a2+(1-a+a2)i=7i,为纯虚数,故是必要不充分条件,故选B.
答案:B4.已知复数z1=(a+2b)+(a-b)i,z2=-4b+(2a+1)i(a,b∈R),当z1=z2时, a+b= .?5.如果(m2-1)+(m2-2m)i>0,求实数m的值. 课件22张PPT。3.1.2 复数的几何意义1.复平面 特别提醒1.复数z=a+bi用复平面内的点Z(a,b)表示,注意其坐标是(a,b),而非(a,bi).
2.复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点,若起点不是原点,则复数与向量不能建立一一对应关系.【做一做1】 (1)复数z=-2-10i在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:复数z=-2-10i在复平面内对应的点的坐标是(-2,-10),在第三象限.
答案:C
(2)若 对应的复数( )
A.等于0
B.等于-3
C.在虚轴上
D.既不在实轴上,也不在虚轴上
解析:向量 对应的复数为-3i,在虚轴上.
答案:C3.复数的模 名师点拨1.实数0与零向量对应,故复数0的模为0.
2.两个复数相等,其模必相等,但模相等的两个复数不一定相等.
【做一做2】 (1)复数z=5-i的模等于 ;?
(2)若复数z=x+2i的模等于4,则实数x= .?思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)在复平面中,虚数对应的点都在虚轴上. ( )
(2)复数与复平面内的向量一一对应. ( )
(3)复数的模一定是正实数. ( )
(4)若|z|=2,则复数z在复平面内对应点的轨迹是一个半径等于2的圆. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√探究一探究二探究三思维辨析复数与复平面内点的对应
【例1】 已知复数z=(a+3)+(2a-4)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)Z在实轴上;
(2)Z与原点关于(2,-1)对称;
(3)Z在第四象限;
(4)Z在曲线 上.
思路分析:根据复数与点的对应关系,得到复数的实部与虚部之间应满足的条件,建立关于a的方程或不等式,即可求得实数a的值(或取值范围).探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.复数与复平面内点的对应关系的实质:复数的实部就是其对应点的横坐标,复数的虚部就是其对应点的纵坐标.
2.已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时,可根据复数与点的对应关系,找到复数实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围).探究一探究二探究三思维辨析变式训练1(1)复平面中下列哪个点对应的复数是纯虚数( )
A.(1,2) B.(-3,0)
C.(0,0) D.(0,-2)
(2)复数2-3i对应的点在直线( )
A.y=x上 B.y=-x上
C.3x+2y=0上 D.2x+3y=0上
解析:(1)点(0,-2)对应的复数为-2i,是纯虚数,故选D.
(2)2-3i对应的点为(2,-3),满足方程3x+2y=0,故选C.
答案:(1)D (2)C探究一探究二探究三思维辨析复数与复平面内向量的对应
【例2】在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点.
(1)求向量 对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.
思路分析:根据复数与点、复数与向量的对应关系求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.
3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对应的复数可能改变.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析复数的模及其应用
【例3】 若复数 +(a2-a-6)i(a∈R)是实数,则z1=(a-1)+(1-2a)i的模为 .?
思路分析:根据复数是实数的条件以及模的计算公式求解.
解析:因为z为实数,所以a2-a-6=0,且a≠-2,
所以a=3.于是z1=2-5i,因此|z1|= .
答案:
反思感悟1.计算复数的模时,应先确定其实部与虚部,再套用公式计算.
2.若两个复数相等,则其模必相等,反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等.
3.两个复数不一定能够比较大小,但两个复数的模一定可以比较大小.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如果复数z满足a=1+ai(a∈R)且|z|<2,则实数a的取值范围是 .?探究一探究二探究三思维辨析混淆复数的模与实数的绝对值致误
【典例】 若复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应的点Z的轨迹是( )
A.2个点 B.1个圆
C.2个圆 D.4个点
错解分析:本题常见错解是由混淆复数的模与实数的绝对值之间的不同导致的.
解析:由|z|2-2|z|-3=0可得(|z|+1)(|z|-3)=0,而|z|+1>0,所以|z|=3,由复数模的几何意义可知,复数Z对应的点到原点的距离等于3,即Z的轨迹是1个圆.
答案:B
纠错心得复数的模不同于实数的绝对值,当复数为实数时,其模就是绝对值,但当复数为虚数时,其模就不同于实数的绝对值,复数模的几何意义是指复数对应的点到原点的距离.探究一探究二探究三思维辨析1.已知复数z=i,则复平面内点Z的坐标为( )
A.(0,1) B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
解析:复数z=i的实部为0,虚部为1,所以对应点的坐标为(0,1).
答案:A
2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,则下列各式正确的是( )
A.z1>z2 B.z1C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|
解析:复数不能比较大小,排除选项A,B,答案:D 5.如果复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.课件24张PPT。3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义1.复数加法、减法的运算法则与运算律 名师点拨1.两个复数的和与差仍为复数.
2.复数的加、减法法则是一种规定,可以推广到多个复数相加减.
3.当b=0,d=0时,复数的加减法与实数的加减法法则完全一致.【做一做1】 计算:(1)(1-3i)+(6+7i)= ;
(2)(2+4i)-(5-4i)= .?
答案:(1)7+4i (2)-3+8i思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若干个复数相加减,就是将它们的实部、虚部分别相加减,所得即为和与差的实部与虚部. ( )
(2)复数的减法运算不满足交换律. ( )
(3)若点P,Q对应的复数分别为z1,z2,则向量 对应的复数即为z1-z2. ( )
(4)若复数z1,z2满足z1-z2>0,那么必有z1>z2. ( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×探究一探究二探究三思维辨析复数的加法与减法运算
【例1】 计算:
(1)(2-i)+(-3+5i)+(4+3i);(2)4-(5+12i)-i;(3)若z-(-3+5i)=-2+6i,求复数z.
思路分析:(1)(2)可根据复数的加、减法法则计算;(3)可设z=a+bi(a,b∈R),根据复数相等计算,也可把等式看作z的方程,通过移项求解.探究一探究二探究三思维辨析解:(1)(2-i)+(-3+5i)+(4+3i)=(2-3+4)+(-1+5+3)i=3+7i;
(2)4-(5+12i)-i=(4-5)+(-12-1)i=-1-13i;
(3)法一:设z=x+yi(x,y∈R),因为z-(-3+5i)=-2+6i,
所以(x+yi)-(-3+5i)=-2+6i,
即(x+3)+(y-5)i=-2+6i,
于是z=-5+11i.
法二:由z-(-3+5i)=-2+6i可得z=-2+6i+(-3+5i),
所以z=(-2-3)+(6+5)i=-5+11i.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟复数加减运算的方法技巧
(1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行.
(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1(1)计算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)= .?
(2)若(1-3i)+z=6+2i,则复数z= .?
解析:(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.
(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
答案:(1)-2-4i (2)5+5i探究一探究二探究三思维辨析复数的加减运算的几何意义及应用 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量 对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).探究一探究二探究三思维辨析变式训练2已知OACB是复平面内的平行四边形,O是原点,点A,B分别表示复数3+i,2+4i,M是OC,AB的交点,如图所示,求点C,M表示的复数.探究一探究二探究三思维辨析复数加减运算的综合问题
【例3】 (1)已知z1=1+ai,z2=2a-3i,z3=a2+i(a∈R),若z1-z2+z3是纯虚数,则a= .?
(2)若复数z满足2|z|-z=6+3i,则z= .?
思路分析:对于(1),可先根据复数加减运算法则求出z1-z2+z3,再根据纯虚数的定义求解;对于(2),可先设z=x+yi(x,y∈R),则|z|= ,再根据复数相等求解.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟一般地,求复数的问题都可采用复数问题实数化的方法,即求复数时,转化为求该复数的实部与虚部,因此可设复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R),然后根据条件建立关于参数x,y的方程组,通过解方程组,求得x,y的值,也就求得了复数z.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3若复数z满足|z|-1-3i=z,则z= .?探究一探究二探究三思维辨析混淆复数运算与实数运算致误
【典例】 已知复数z满足|z+1|=1,|z+i|=|z-i|,求复数z.
错解分析:本题常见错解:由|z+1|=1得z+1=±1,解得z=0或-2,又因为|z+i|=|z-i|,所以得到z=0.这一结果是错误的,原因是混淆了复数运算与实数运算.
解:设复数z=x+yi(x,y∈R),则由已知条件可得探究一探究二探究三思维辨析纠错心得解决复数问题时,注意实数绝对值与复数模的区别,涉及复数模的计算问题,应采取复数问题实数化的方法,通过建立方程组进行求解.探究一探究二探究三思维辨析跟踪训练若复数z满足z=3|z|,则复数z= .?3.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为( )
A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4
解析:由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故b+4=0且a+3=0且4-b≠0,解得a=-3,b=-4.
答案:A
4.计算:(2+7i)-|-3+4i|+|5-12i|i+3-4i= .?
解析:原式=2+7i-5+13i+3-4i=(2-5+3)+(7+13-4)i=16i.
答案:16i5.设z为复数,且|z|=|z+1|=1,求|z-1|的值. 课件23张PPT。3.2.2 复数代数形式的乘除运算1.复数乘法的运算法则及其运算律 名师点拨1.复数的乘法与多项式乘法是类似的,只有一点不同,即必须先在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.
2.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对复数z,z1,z2和自然数n,m,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=【做一做1】 (1)(2+3i)(1-4i)= ;?
(2)(4-2i)2= .?
解析:(1)(2+3i)(1-4i)=2-8i+3i+12=14-5i;
(2)(4-2i)2=16-16i+(-4)=12-16i.
答案:(1)14-5i (2)12-16i?【做一做2】 若复数z1=2x+5yi与z2=(3-x)-10i互为共轭复数,则实数x,y的值分别为 .?名师点拨复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,再分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).4.虚数单位i幂值的周期性
若n∈N*,则i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.
【做一做4】 计算i2 018-i2 017= .?
解析:i2 018-i2 017=i4×504+2-i4×504+1=i2-i=-1-i.
答案:-1-i思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 探究一探究二探究三思维辨析复数的乘法与除法运算
【例1】 计算下列各题:思路分析:按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.复数乘法运算的技巧
(1)复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.
(2)三个或三个以上的复数相乘可以按照从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致.
(3)在复数乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.例如:(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.
(4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式(zm)n=zmn进行转化求解.
2.复数除法运算的技巧
(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析共轭复数及其应用 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析虚数单位i幂值的周期性及应用
【例3】 计算下列各式的值:
(1)i2 015;(2)(1+i)12+(1-i)12;(3)1+i+i2+…+i2 016.
思路分析:根据i幂值的周期性以及复数高次乘方的运算法则进行计算求解.
解:(1)i2 015=i4×503+3=i3=-i.
(2)(1+i)12+(1-i)12=[(1+i)2]6+[(1-i)2]6
=(2i)6+(-2i)6=(-4)3+(-4)3=-128.
(3)法一:1+i+i2+…+i2 016 =(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+…
+(i2 012+i2 013+i2 014+i2 015)+i2 016=0×504+i2 016=1.
法2:由等比数列前n项和公式可得探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.熟记i的幂值的4个结果:当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分别为1,i,-1,-i.
2.对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3若A={x|x=i2n+i-2n,n∈N*},则集合A的子集的个数为( )
A.3 B.4 C.8 D.16
解析:当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,
当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2,
当n=3时,x=i6+i-6=-2,
当n=4时,x=i8+i-8=2,
……
因此A={2,-2},故A有4个子集.
答案:B探究一探究二探究三思维辨析混淆复数运算性质与实数运算性质致误 纠错心得在复数集中进行乘方运算时,注意实数运算性质与复数运算性质的区别,不能将它们混淆,在复数集中,只有当m,n∈N*时,(zm)n=zmn才成立.探究一探究二探究三思维辨析4.若复数z=(-2-3i)(a+i)是纯虚数,则实数a等于 .?课件31张PPT。习题课——复数运算的综合问题1.与复数有关的方程问题
(1)实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)根的情况(Δ=b2-4ac).(2)复系数方程的解法
若复系数方程有实数根,通常将这个实数根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解.2.复平面内两点间的距离公式及复数形式的基本轨迹
(1)两点间的距离公式
设复数z1,z2对应的两点Z1,Z2的距离为d,则d=|z1-z2|.
(2)常见曲线方程的复数形式3.常用结论
在复平面内,若复数z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB为平行四边形;并且
(1)当|z1+z2|=|z1-z2|时,四边形OACB为矩形;
(2)当|z1|=|z2|时,四边形OACB为菱形;
(3)当|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|时,四边形OACB为正方形;
(4)对于任意复数z1,z2,有|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).【做一做1】 若关于x的方程x2+(2-3i)x-m+6i=0有实数根,则实数m的值等于( )
A.-2 B.2 C.8 D.0答案:C 【做一做2】 若复数z满足|z-1-2i|=|2+3i|,则复数z在复平面内对应点的轨迹是( )
A.点 B.直线 C.圆 D.椭圆
解析:由已知得|z-1-2i|= ,因此复数z在复平面内对应点到点(1,2)的距离等于 ,故其轨迹为圆.
答案:C【做一做3】 若z∈C且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:因为|z+2-2i|=1,所以z在以(-2,2)为圆心,半径为1的圆上,而|z-2-2i|是该圆上的点到点(2,2)的距离,故最小值为3,如图.
?
答案:B【做一做4】 关于复数z的方程|z|-2z=-1+8i的解是 .
解析:设z=x+yi(x,y∈R),答案:3-4i 探究一探究二探究三思维辨析与复数有关的方程问题
【例1】 (1)已知关于x的方程3x2-(2+2i)x-(1-ai)=0(a∈R)有正实数根x0,则实数a= .?
(2)若虚数z1,z2是一个实系数一元二次方程的两个根,且 ,则z1+z2= .?
思路分析:对于(1),可将实数根设出,代入,利用复数相等的充要条件求解;对于(2),应根据一元二次方程两个虚数根互为共轭复数进行求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析答案:(1)2 (2)-1 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.当一个复系数方程有实数根时,通常将这个实数根设出,然后代入方程,整理,根据复数相等的充要条件进行求解.
2.当实系数一元二次方程有两个虚数根时,这两个虚数根一定互为共轭复数,根与系数的关系仍然成立.探究一探究二探究三思维辨析?探究一探究二探究三思维辨析复平面内两点间距离公式的应用
【例2】 已知z∈C,指出满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹:
(1)|z+1+i|=1;
(2)|z-1|=|z+2i|;
(3)|z+1|+|z+1-i|=2.
思路分析:充分利用复平面内两点间的距离公式以及相关曲线的定义进行分析求解.
解:(1)由于|z+1+i|=|z-(-1-i)|=1,它表明点Z到点(-1,-1)的距离等于1,因此轨迹是以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆.
(2)由于|z-1|=|z+2i|,它表示点Z到点(1,0)的距离等于点Z到点(0,-2)的距离,因此轨迹是以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.
(3)由于|z+1|+|z+1-i|=2,它表示点Z到两定点(-1,0),(-1,1)的距离之和等于常数2,满足椭圆的定义,因此轨迹是以点(-1,0)和(-1,1)为焦点,长轴长为2的椭圆.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.|z1-z2|表示复平面内复数z1,z2对应的点Z1,Z2之间的距离,在具体应用中,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式.
2.判断复数形式表示的点的轨迹时,要充分利用复平面内两点间的距离公式以及相关曲线的定义进行分析判断.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2若A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的两点,O为原点,且|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB的形状为 .?探究一探究二探究三思维辨析【例3】已知复数z1=i(1-i)3.
(1)求|z1|;
(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.
思路分析:转化为平面几何问题求解,或根据复数的几何意义,利用数形结合的方法进行求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟涉及复数模的最值问题,一般要结合轨迹,或转化为平面几何问题求解,或运用数形结合的方法进行求解.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,复数z在复平面内对应的点为Z,如图.因为|z+i|+|z-i|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.原问题可转化为动点Z在线段Z1Z2上移动时,求|ZZ3|的最小值.易知|ZZ3|min=1.故选A.
答案:A探究一探究二探究三思维辨析复数概念与运算的综合问题
【例4】 设复数z1,z2满足z1z2+2iz1-2iz2+1=0.思路分析:(1)可利用复数问题实数化方法进行求解;(2)充分利用共轭复数的性质求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.解决复数问题的基本策略是“复数问题实数化”,即将复数设出其代数形式,然后根据条件转化为实数问题进行求解.
2.解决复数的概念与运算的综合问题时,首先要明确复数的相关概念,其次要熟练掌握复数运算的法则.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析混淆复系数方程与实系数方程的解法致误
【典例】 已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,求实数k的值.
错解分析:本题常见错解是盲目套用实系数一元二次方程有实数根的条件,即根据方程的判别式大于0,来进行判断求解.
解:设x=x0是方程的实根,代入方程并整理,探究一探究二探究三思维辨析纠错心得对于复系数一元二次方程,即方程的系数中含有虚数时,不能用判别式判断其根的情况,而应该将方程的实数根设出,代入方程,利用复数相等的充要条件进行求解.探究一探究二探究三思维辨析跟踪训练若关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实数根,则纯虚数m等于( )解析:设m=ki(k∈R,k≠0),方程的实数根为x0, 答案:A 3.已知|z-3|+|z+3|=10且|z-5i|-|z+5i|=8,则复数z等于( )
A.4i B.-4i
C.±4i D.以上都不正确
解析:由题意,知复数z的对应点在以(-3,0),(3,0)为焦点、长轴长为10的椭圆上,又在以(0,-5),(0,5)为焦点、实轴长为8的双曲线的下支上,如图所示.故z=-4i.故选B.
?
答案:B4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的周长为 .?
解析:由条件知|z-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,以3为半径的圆,故其周长为6π.
答案:6π5.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值;
(2)试判断x=1-i是否为方程的根.
解:(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,
所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,
即(b+c)+(2+b)i=0,故b的值为-2,c的值为2.
(2)由(1)知方程可化为x2-2x+2=0,
把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,
所以x=1-i也是方程的根.
