人教版八年级数学上册第15章分式恒等变形讲义（含解析）

对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.
计算
原式
此题还可以先将小括号里的式子通分，再打开括号，但是运算量会加大，所以在运算的
时候需要思考一下简单方法.
计算：
⑴
⑵
⑴；
⑵原式


【探究对象】条件分式求值的方法与技巧
【探究一】将条件式变形后代入求值
【变式一】已知，求的值．
设，
则x=2k，y=3k，z=4k
∴原式＝．
【备注】已知连比，常设比值k为参数，这种解题方法叫见比设参法．
【变式二】已知，求的值．
由，有，
∴或，
解得或．
当时，原式＝；
当时，原式＝．
【探究二】将所求式变形代入求值．
【变式三】已知，求的值．
原式
∵，
∴原式．
【变式四】已知，且，求代数式的值．
原式
【探究三】将条件式和求值式分别变形后代入求值．
【变式五】已知，求分式的值．
原式
∵，
∴，
∴原式＝1．
【备注】本例是将条件式化为“”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．
【变式六】若，，求的值．
由于，∴，，解得=3，=2
∴=
==
==．
将下列式子先化简，再求值
⑴已知：，求代数式的值；
⑵已知：，求的值；
⑶已知：，且，求m的值；
⑷已知，求的值．
⑴原式 当时， 原式
⑵，故
⑶∵，∴，
又∵
∴
⑷解法一：将分子、分母同除以，得：
原式．
解法二：由，得，即，代入所求分式得：
．
恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．
将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．
以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．
已知有理数、、满足，求证：，或，或．
① 若
则
∴
∴
∴或
②当时，即
综上所述，或，或．
此结论十分有用，利用它，一些题可以迎刃而解．
若为自然数，且，求证：．
若，则或或，用以解决本题就容易多了．
证明：由得或或，不妨设，代入左边
左边
，
而右边
，
∴左边右边，原式成立．
若，求证：
证法1：∵，∴代入到等式左边
左边
右边
证法2：左边
右边
此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题.
已知与的和等于，求、的值．
所以，解得
已知，其中、为常数，求的值．
，，原式
⑴若整数使为正整数，则的值为 ．
⑵若取整数，则使分式的值为整数的的值有（ ）．
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
⑴ ；
⑵B，∵，又，，，， ∴的整数值有4个.
已知，求的值．
【解析】因为．
所以
，①
，②
，③
由①+②+③得，
即．
当时，，所以．
当时，，所以，所以的值是或．

⑴若不论为何值，分式总有意义，则 ．
⑵已知分式的值为零，那么的值是 .
⑶当 时，分式的值为正数.
⑷当满足 时，.
⑴；⑵ ；⑶ ；⑷;
⑴
⑵其中
⑴
⑵
当时，原式
已知，求的值.
，故.
已知，其中、、为常数，求的值．
原式右边，得，，，解得，，，从而．

题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习
计算：
原式=
若，，则式子的值为 .

题型二 分式的恒等变形 巩固练习
已知、、为三个不相等的实数，且，求证：.
由，得，故，同理可得，，
故.
题型三 部分分式与分离常数 巩固练习
若恒成立，求M、N的值．
∵，
∴
∴
则，
即
故，
∴ 解得：
当为何值时，分式有最小值？最小值是多少？
∴当时，原分式有最小值4．

⑴计算：
⑵先化简，再求值：，其中．
⑴．
⑵原式 ．
当时，原式
⑴已知：，求的值.
⑵已知，则的值是 ．
⑴变形可得：，所以或，所以或.
⑵∵，∴，，